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第五章 結論與建議

第一節 結論

本研究主要透過建構反應題型,了解國小六年級學生在「正比」單元 中比例問題的解題歷程,分析探究學生在此單元使用的多重解題策略、概 念技能與錯誤類型三者間之關係,期望研究結果能讓教學現場的教師清楚 理解本單元能夠使用之解題策略與所應具備之概念,達到「因材施教」之 理念,並留心學生可能發生的錯誤類型,提高補救教學之成效。本章根據 研究目的及結果提出結論,並對未來的研究提出一些建議以供參考。

壹、探究各試題解題策略對概念與錯誤類型分析

因個人先備知識的差異或是內在思維方式的不同,在本單元的解題歷 程呈現出多種的解題策略,將此份自編正比診斷測驗分為非語意問題以及 語意問題兩大方面來探究,分別說明如下:

一、非語意問題

試題主要評量正比定義概念時,大多數受試者傾向使用檢驗兩變量比 值是否相等(M2)為判斷標準,且答對率表現較高,使用兩比例式相等方 式(M1)容易發生錯誤類型B1(加法策略,兩數量同時增減固定數值即 為正比)與B2「認為兩數量有倍數變化關係(非固定倍數)即為正比」。

少數受試者會使用畫圖法(M4)將試題訊息轉換成圖表,以判定是否為正 比,答對情形也較好,但若題目訊息將兩變量變化情形由大至小呈現,則 使用M4的受試者容易答錯,教師可針對此部分加強圖表概念。

當試題為了解學生在正比情形下,挑選出相同比例之選項時,多數受 試者採取找出相等比例式(M5)的策略解題,但易缺乏概念S4(能將比值 以分子:分母的方式轉換成比)、S5(能依據兩數量成正比,寫成相等的

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比),並且連帶發生錯誤類型B5(比值轉換成比的前後項錯置)、B7(相 等的比,前後項未等量乘除)、B8(將整數比取倒數後視為相等的比)情 形,相較之下,使用比值相等(M6)之受試者答對率高,也較少缺乏概念 與發生錯誤類型之情形,能使用M6的學生,在分數概念上較為完整,因而 分數計算能力之表現也較好。

二、語意問題

研究者依據文獻設計五種語意問題,從答對率之表現得知交換問題與 組合問題對於學生是比較簡單的題型,在題意上貼近生活經驗,容易理解,

而此類型之數字結構大多為整數,在計算方面也較為簡單,採取的策略以 倍數法(M10)居多,而密度問題、子母問題與伸縮問題之答對率則與數 字結構息息相關,若題目數字為非整數,則使用公式法(M11)受試者人 數會增加,M10與M11相較之下,M11答對率高於M10,發生的錯誤類型 也較少,但是否學生能夠真正理解比例問題的推理,或純粹為公式的背誦,

則需要由教師仔細觀察,在概念缺乏方面以M10的主要解題概念S6(運用 相等的比其固定的倍數變化關係,解出未知數)缺乏之比率為最高,錯誤 類型則以B9「能算出兩前(後)項的倍數,但無法判斷該以乘法或是除法來 求未知數」、B10(相等的比中,內外項與前後項混淆)發生率最高。使 用比值法(M9)與單價法(M12)之受試者,可能與分數計算能力有限及 教科書主要呈現的解題方式有關,因此使用人數最少,而發生的錯誤類型 以B9為多。

貳、探討在正比單元中解題策略與數學成績之差異

常見的解題策略分別為「比值法」、「倍數法」、「公式法」、「單 價法」,學生會因解題習慣或是題目類型的差別,而擁有選擇單一解題策 略以及混合策略的情形,雖然單元教材有以比例等式間的倍數關係來敘寫 以及比值相等的概念來呈現,但由於班級教師教學風格的不同,或是融合 坊間數學補習班的教法,使用「公式法」解題之受試者反而多於使用「比 值法」。

依據實徵資料發現,部分學生在作答過程中會有解題策略-單一型與混 合型,根據研究結果解題策略單一型可分為倍數法(B)、公式法(C)以 及混合策略(M),將解題策略組型與數學成績經過分析之後,發現公式 法(C)的學生數學成績顯著高於倍數法(B)與混合策略。而倍數法(B)

和混合策略之數學成績無差異。表示使用公式法能提升學生解題成效,但 教師在教授公式法之前,需首重解決比例問題之判斷方法、推理能力,以 免學生流於套公式的機械動作。

參、研究解題策略與概念之關係

研究結果顯示出,倍數法(B)的受試者在概念 S1、S5、S6 學習較為 周全完備,因此容易使用倍數法解題,而 S6(運用相等的比其固定的倍數 變化關係,解出未知數)為正比解題之核心概念,因此若學生運用倍數法 解題失敗時,可先從 S6 之概念加強,提高學生學習成效。

而公式法(C)之受試者,則需要具備 S2、S5、S8 三個概念,其中 S8(運用內項乘積等於外項乘積,來求出未知數),是公式法解題重點,

若學生運用公式法卻解題失敗,教師可檢視是否為 S8 概念不完善。運用 公式法之學生對於 S6 概念具備的人數明顯較少,因此公式法是否會對於 在解比例問題上的抽象推理能力有所影響,應是教師需要特別留意的。

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肆、探討正比解題策略對錯誤類型之關係

研究結果顯示有26.96%的學生會發生B9「能算出兩前(後)項的倍數,

但無法判斷該以乘法或是除法來求未知數」之錯誤類型,這受到比例式數 字結構與未知數位置影響,學生容易有先求出兩前(後)項倍數關係後,

再以乘法方式求出未知數此種的固定計算方式解題,卻未詳細考慮未知數 位置以及數字大小問題,因此易發生B9此錯誤類型。

解題策略-混合型所涵蓋的概念廣泛,若是概念學習不完備,則概念之 間容易相互干擾,也會發生較多種的錯誤類型,並且研究結果指出固定的 策略會有特定的錯誤類型,如使用混合策略(M)之受試者發生就包含了 較多種的錯誤類型,有B1(加法策略,兩數量同時增減固定數值即為正比)、 B4(無法依照題意列出正確算式)、B5(比值轉換成比的前後項錯置)、

B10(相等的比中,內外項與前後項混淆)。

倍數法(B)之受試者則易於產生B9「能算出兩前(後)項的倍數,

但無法判斷該以乘法或是除法來求未知數」,文獻也指出數字結構易造成 失敗的解題策略,學生擅長解整數倍之比例問題,非整數倍之比例問題,

雖能正確計算出兩項倍數關係,卻易在解未知數的逆溯活動中,無法判斷 下一個步驟是要利用乘法還是除法,而解題失敗。