正比問題之多重解題策略

解題策略是指同一數學題目裡，不同的學習者由於先備知識、題意理 解、思考模式會受到舊有的學習經驗影響，因此採取的解題途徑必然大不 相同，因此在解題歷程裡會呈現出多種正確且合理的解題策略，而非單一 策略能呈現出的多種正確的數學解題方法。

正比解題為比例問題之應用，因此研究者從比例問題之解題策略進行 深究與歸納，從文獻整理出四種解題策略，分別是單價法(Cramer, Post, &

Currier, 1993；Hoffer, 1992；Noelting, 1980)、疊加（累加）法(Hart, 1981)、

倍數法(Noelting, 1980；Tourniaire & Pulos, 1985)、公式法(Lamon, 1999)，

茲分列說明如下：

壹、單價法

單價法是無關比例概念，學習者先依據題意先算出單位量，再乘以單 位數（何意中，1988；陳英傑，1992），此解題法內含有 Lamon 在 1994 所提出的單位化（unitizing）觀點，由單一的聚集單位逐漸建立為多重的 聚集單位，能發展更複雜的推理機制。由例題來看「4 罐飲料 56 元，6 罐 飲料要多少錢？」，算出單一罐飲料之價格，56÷ 4 = 14，再計算 6 罐飲 料總額，14 × 6 = 84，得知 6 罐飲料為 84 元，完成解題。若以比例式 4：

56=6：□來剖析，單價法實為囊括「比值單位化」概念，利用左邊比例式 得知比值為 ¹

14 （4 ÷ 56 = ¹

14），又兩比例式比值不變，因此6 ÷ □ = ¹

14， 則□=6× 14=84，亦為單元所教授的正比例定義之一。解比例問題的思考 解題過程為：

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而國內外研究也顯示出，單價法有助於學習者成功解題（劉祥通，2004；

Cramer et al., 1993；Hart, 1981；Lamon, 1993）。

貳、疊加法

疊加法對於低能力學習者的認知負擔輕，他們通常不擅長乘法、不了 解比值定義亦或不會使用分數乘法，就常使用此解題策略(Hart，1981)，在 特定數值簡單或是整數倍的比例問題中，能成功解題，但兩量關係若非整 數倍，則運用此法極少數人能正確解題（傅宗聖，2007）。例如：「3 顆 糖果賣 10 元，請問 9 顆糖果賣多少錢？」，學習者會以 3 顆糖果 10 元推 算 6 顆 20 元直到 9 顆 30 元為止，但若數字過大、非整數倍關係則容易解 題失敗。

參、倍數法

高年級學習者使用倍數法來解決正比問題是較為駕輕就熟且易於理 解的方法，能輕而易舉地掌握倍的概念與使用時機（李凱雯，2013），當 比例式中，兩前（後）項的倍數關係能類比至兩後（前）項並求出未知數，

即是倍數法，如：「4 罐飲料 56 元，8 罐飲料要多少錢？」，學習者能知 道 8 罐飲料是 4 罐飲料的 2 倍（8÷4=2）所以價錢也會是 2 倍，算式為 56×

2 = 112，算出答案是 112 元。解比例問題的思考解題過程為：

此種解題方式能與正比例定義「當一變量隨著另一變量以相同的倍數改變」

相互連結，因此剛學習正比問題時，會採用此策略進行解題。

× 2

× 2 4：56=8：□

肆、公式法

在教學現場中，教學者會以倍數法先進行正比概念之建立，但若比例 式中兩前(後)項之倍數非整數時，或是未知數的位置在前項比例式，需要 使用逆溯活動解出未知數時，易造成學生解題的障礙與困難，因此，教學 者為了讓學習者成功解答比例問題，並計算出正確的答案，而教授內項乘 積和等於外項乘積之公式解題，即 a：b=c：□，a× □ =b×c，求得□= b×c÷a，

這種解題策略雖然能提升答題成功率，但完全是以數字的計算來解題，失 去學習正比題目的推理、分析及探究，反而流於套公式的計算練習（沈明 勳、劉祥通，2002）。

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