第四章 研究結果
第二節 解題策略組型對數學成績之關係探討
壹、解題策略組型分析
從整份試卷共 15 題，將其細分成 15 個策略，則策略、概念、錯誤類 型與對應試題之關係如表 4-1 所示，為使分析更具意義，依據文獻合併統 整一致性的四種解題策略如表 4-2 所示， M2、M7、M9、M13、M15 五 種策略均涵蓋利用比值相等之概念來解題，因此合併為策略 A，命名為比 值法；M1、M8、M10、M14 四種策略均以先求出已知項之倍數關係再解 未知數，合併為策略 B，是為倍數法；M3、M11 均使用到內項乘積等於外 項乘積之公式解題，合併成策略 C，命名為公式法；而 M12 則是先求出單 位量，再乘以單位數，無使用到比例概念，訂為策略 D，單價法。
表 4-25
策略、概念錯誤類型與對應試題關聯表
策略代碼 概念列表 錯誤類型 對應試題
M1 S1 B1，B2 1，2
M2 S2 B3 1，2
M3 S8 B10 4
M4 S9 1，2，12，15
M5 S4-S5 B5，B6 3，14
M6 S3-S2 3，14
M7 S3-S7 B9 4
M8 S6 B9 4
M9 S5-S3-S7 B6，B9 5，6，8，9，10，11，13 M10 S5-S6 B6，B9 5，6，7，8，9，10，11，13
（續下頁）
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策略代碼 概念列表 錯誤類型 對應試題
M11 S5-S8 B6，B10 5，6，7，8，9，10，11，13 M12 S10 B4 5，6，7，8，9，11，13
M13 S2-S7 B9 7
M14 S1-S9 B1，B2 12，15 M15 S2-S9 B3 12，15
表 4-26
解題策略分析與對應試題及其說明
A 比值法
策略 M2、M6、M7、M9、M13、M15 涵蓋概念 S2、S3、S5、S7
說明 列出相等的比，利用比值相同解未知數
試題
5，6，7，8，9，11，13 1，2，4，10，12，15
試題內容 學生作答反應
( )9.已知2公升的綠茶加21公 克的糖最好喝，幾公升的綠茶加30 公克的糖一樣好喝？
S357
（續下頁）
B 倍數法
策略 M1、M5、M8、M10、M14 涵蓋概念 S1、S5、S6
說明 列出相等的比，利用兩前(後)項固定倍數
關係解未知數
試題
5，6，7，8，9，11，13 1，2，4，10，12，15
試題內容 學生作答反應
( )9.已知 2 公升的綠茶加 21 公克的糖最好喝，幾公升的綠茶
加 30 公克的糖一樣好喝？ S168
C 公式法
策略 M3、M11
涵蓋概念 S5、S8
說明
列出相等的比，利用內項乘積等於外項 乘積解未知數
試題
5，6，7，8，9，11，13 4，10
試題內容 學生作答反應
( )9.已知 2 公升的綠茶加 21 公克的糖最好喝，幾公升的綠茶
加 30 公克的糖一樣好喝？ S045
（續下頁）
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D 單價法
策略 M12
涵蓋概念 S10
說明 先算單位量，再乘以單位數
試題 5，6，7，8，9，11，13
試題內容 學生作答反應
( )9.已知 2 公升的綠茶加 21 公克的糖最好喝，幾公升的綠茶
加 30 公克的糖一樣好喝？ S005
為探討四種解題策略是否會對數學成績產生影響，若特定策略能夠廣 泛的被學生使用與理解，而提升數學成績，那麼就能提供教育現場的教師 們做為教學參考，因此，研究者從實徵資料歸納受試者的解題策略，做出 一致性的分類，但題型限制，此份試卷無法將全部試題（15 題）包含此四 種解題策略，因此研究者挑選出七題（試題 5、6、7、8、9、11、13）都 涵蓋此四種策略，將並定義受試者在七題中至少有五題是使用同一策略，
則稱為「解題策略-單一型」，統計出來的結果分為單一型-倍數法（B）、
單一型-公式法（C）與「解題策略-混合型」（M）以及其他（9）四組，
從表 4-27 可知在正比單元解題策略中有 26.36%的受試者習慣使用倍數法
（B）解題，而有 23.54%的人數習慣使用公式法（C）解題，研究結果發 現使用單一型-比值法（A）與單一型-單價法（D）兩種解題策略人數較少，
可能是由於本單元課程教材呈現之解題方法都以 B 為主，因此學生最常練 習倍數法的應用；而若使用 A 來解題時，現場教師常會輔以十字交乘之解 題方式將 A 的解題歷程轉換成 C 來解出未知數，因此在此次回收樣本中，
單一型-比值法（A）人數為 0。
表 4-27
解題策略組型比例
解題策略組型 人數 百分比(%)
A(比值法) 0 0 %
B(倍數法) 131 26.36%
C(公式法) 117 23.54%
M(混合策略) 209 42.05%
其他 40 8.05%
總和 497 100%
貳、解題策略組型與數學成績之分析
進一步探討解題策略組型與此份數學成績之關係，以統計套裝軟體 SPSS18.0 中文視窗版進行四組數學成績平均數之單因子變異數分析
（ANOVA），有效樣本為 497 份。從變異數同質性檢定達顯著（.000<.05），
得知此四組慣用單一策略之變異數不同質，因此進行 Brown-Forsythe 檢定，
統計分析結果如下表 4-28，解題策略組型與數學建構題得分達顯著水準
（Sig = .000 < .05），表示受試者的解題策略組型會影響數學成績，再以 Games-Howell 法檢定進行事後比較，將結果整理成表 4-29：
表 4-28
均等平均數的 Robust 檢定
Brown-Forsythe 統計量a 分子自由度 分母自由度 Sig。
建構得分 143.293 3 454.407 .000
a. 漸近的 F 分配。
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4-29
解題策略組型差異比較表
解題策略組型與數學成績之比較：Games-Howell 檢定 (I)解題策略
組型
(J) 解題策 略組型
平均差異 (I-J)
標準誤 顯著性
95% 信賴區間 下界 上界
B
C -.882* .190 .000 -1.37 -.39 M .432 .179 .078 -.03 .90 其他 4.448* .198 .000 4.97 3.93
C
M 1.313* .186 .000 .83 1.80 其他 5.329* .205 .000 5.86 4.80
*. 平均差異在 0.05 水準是顯著的。
由上表4-29可知，使用其他策略之受試者數學成績會顯著低於單一型-倍數法（B）、單一型-公式法（C）、混合策略組型（M）之受試者，其 他策略的學生意即表示缺乏過多比例的概念，在解題歷程中無法有邏輯性 的列出算式，抑或只是胡亂作答，因此在數學成績表現上明顯低於其他擁 有明確策略之受試者。而單一型-公式法（C）之數學成績會顯著優於單一 型-倍數法（B）與混和混合策略組型（M）；混合策略組型（M）與單一 型-倍數法（B）無差異，顯示出對於比例問題，使用內項乘積等於外項乘 積的公式法能提升解題成功率與數學成績，但能否表示學生真正理解比例 問題之涵義抑或是流於套公式，只是單純的數字計算，若除去公式後，能 否依然使用比例推理方式正確解出答案就未可得知，這是教師在教導公式 法需要特別留心、注意其比例問題之意義解釋以及推理能力培養，而非著 重公式的套用。