正比相關研究

壹、正比的意義與研究

「正比」在實際生活中是廣泛使用到的概念，如單位換算、不同國家 幣值的兌換、調配相同口味、濃度但大小容量不同的食材或是不同尺寸的 產品或是地圖的繪製與應用等，應用相當廣泛，是極為重要的解決問題概 念（林福來，1984）。而此單元「正比」實為比例問題的延伸，包含著比、

比值與比例式三者之應用關係。比例（proportion）概念實為連接初階數學 與高階數學的橋樑（Lesh, Behr, & Post, 1988；Lamon, 1993），亦是培養 問題解決的一個重要概念（傅宗聖，2007）。

對數學概念的發展中，比例問題不僅含有整數、分數乘除計算、分數意義，

而正比概念更是轉化為代數學習的關鍵點（張瑜容，2010）。

在南一版數學課程裡將「正比」從「比與比值」中分離成另一獨立單 元，因此若要成功學習正比概念，必先從探討先前的比例概念為始。關於 比例之定義，許多國內外學者皆有著許多的看法，Hoffer（1992）、Lamon

（1995）與國內學者沈明勳與劉祥通（2002）認為比例概念即為「兩個比 或比值成等價關係」，意即呈現｢a：b=c：d」，a、b 兩數量間之關係與 c、

d 兩數量之關係相同，若以比值來表示則為「^a

b= ^c

d」，為等值分數之形式 (Levin, 2002)。

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正比依據101學年度南一版國小數學教科書的定義，成正比的核心概 念為當一變量隨著另一變量以相同的倍數改變，此兩量即為「正比例關係」，

與學者沈明勳、劉祥通（2002）說明正比例關係之定義一致：將兩相同量 做不同等分除的分割，而產生多個不同的等值分數，且可將等值分數以數 個比例式來呈現，如：「a：b=c：d=e：f」。亦可以採用列表的方式統整 記錄。

因此正比例關係包含於比例關係內，同樣都具備著緊密且相互依存的

「共變性」（covariance）與「不變性」（invariance）之特質(Lamon, 1995)。

例如：「1個橡皮擦8元，那麼3個橡皮擦就是24元」，依據題目可以將橡 皮擦的數量與價格之關係寫作1：8與3：24，此兩比例關係的比值皆為 ¹

8 是

「不變」的；而當橡皮擦的個數從1個變為3個時，為了維持比例關係的比 值不變，所以價格會從8元變為為24元，亦即「24」隨著「3」來「變動」，

因此這種在相同的情況下，比的前、後項有相關且會伴隨著改變，就是前 後項的「共變性」。

貳、比例推理基本能力

那麼若想解決比例問題前，需考慮學生本身的先備知識與其基本能力，

應具備那些能力呢？國內外許多學者皆有著多樣的看法，研究者根據學者 楊錦連（1999）、劉祥通與周立勳（1999）、沈明勳與劉祥通（2002）、

魏宗明與劉祥通（2003）之看法整理出學習者應具備下列五項能力：

一、 因數與倍數概念的能力

學習者常利用因數與倍數的概念來解出比例問題，而因數與倍數概 念的運用也往往是解決比例問題的重要關鍵(Lo & Watanabe, 1997)，例如：

「20 元可買8 顆糖果，15元可買幾顆糖果？」，學生可先將20元分成4 份，一份為5元，再把8顆糖果也分成4份，一份是2顆，所以5元能買到2 顆糖果，由此解出15元是3份，可以買到6顆糖果。但若學生已經具備公

因數概念便能縮短解題時間，快速找出答案，由此可知，欲想解出正比 問題，能否順利找出兩前項公因數便是解題之基礎。

二、 了解乘法與除法問題情境

比與比例問題實質上是內嵌於乘法概念裡，當學習者未完全了解乘除 法之情境，常常會受到直觀的解題方法影響，如大數除以小數、先除後乘 固著以及數字大小等，以「20 元可買 8 顆糖果，10 元可買幾顆糖果？」

為例，學生解題會習慣以大數除以小數 20÷10=2，先算出倍數，再受到先 除後乘之觀念影響將 8×2=16，算出不合邏輯的答案，若數字放大，此種 錯誤情形更容易發生，顯示學生對於乘除情境之理解混淆。

三、 有理數概念的能力

比與比例其實內含有分數的概念，若將分數分為五種範疇，則比就 是其中一個(Kieren, 1980)，在國小數學領域中，學生對於分數的意義大多 為部分-全體之概念，對於其他定義如：商數（quotient）、比率（ratio）、

運算子（operator）不甚了解，造成學生解比例問題時無法以分數表示兩 量之倍數關係，遭遇無法除盡時，往往就放棄解題（沈明勳、劉祥通，

2002）。因此，有理數概念的完備，對於學生對於比例問題的解題歷程 是有巨大影響的。

四、 相對思考的能力

比例在實質意義上表示兩數量間的關係，不只是單單一個量的改變 (Lamon, 1995)，而「相對」正是「比例」中最重要的成分（鄭英豪，1990）。

解決比例問題需要相對思考能力，但是學生通常會採取熟悉的絕對思考 模式，而較少選擇相對思考模式，因此要讓學生能常接觸相對性情境，

使其理解情境中兩數量的相對性，例如：兩位孩童，一位體重30公斤，

另一位體重40公斤，一年後，兩人體重各變為35公斤與45公斤，以絕對 的觀點角度來分析，這兩位孩童的生長量是一樣的，皆增重了5公斤，但

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是從相對的角度來看，一位增加了原來體重的 ¹

6，而另一位則增加了原來 體重的¹

8，由此可知兩人的生長量是有差異的。

五、 單位化與基準化的能力

單位化意即在比例問題中，先求單位量，再利用單位量解題，舉例說 明：10元買4顆糖果，那麼6顆糖果是多少元呢？可先求出1顆糖果是⁵

2元

（10÷4=⁵

2），算出單位量，在以此單位量求出6顆糖果是15元（⁵

2×6=15），

這也是比值的單位化；而以一個單位架構來推論到其他情境的方式，即為

「基準化」的過程，在數學思考時，是經常使用到的能力(Freudenthal, 1983)。

比例問題中透過單位化與基準化，能重新詮釋題目訊息，並且化繁為簡，

進而發展比例推理能力。

參、正比單元的教材分析

美國全國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics）

2000 年提出，無論是在數與計算、測量或代數等主題領域，6 至 8 年級階 段的課程中須強調比例概念的重要性。我國教育部（2003）在九年一貫課 程綱要中在第三階段（國小五、六年級）即有比例相關教材，期望能提早 養成學生的比例推理能力，進而發展對未知數問題之各種解題策略。

因此比例概念廣泛的出現在小學的數學主題中，例如：學習整數與分 數的加減乘除計算、兩數量的（公）因（倍）數，皆屬於數學領域「數與 量」的範疇；在「圖形與空間」的主題中，需要應用於圖形放大、縮小的 比例尺概念；而為了解出比例關係中的未知數，也隱含著「代數」的概念；

皆顯示出正比問題內的多樣性、複雜性及重要性，而往後國中數學的相似 三角形以及高中數學的黃金比例分割與三角函數都需要有著「正比」的基 礎概念，是進入高等數學的敲門磚（沈明勳、劉祥通，2002），因此能清 楚理解正比意義更是國小階段的重要學習任務。

97 課綱九年一貫數學科能力指標明列出：N-3-05 能理解比、比例、

比值與正、反比的意義，並解決生活中的問題。分年細目並詳細列舉：

6-n-07 能認識比和比值，並解決生活中的問題。

6-n-09 能理解正比的現象，並發展正比的概念，解決生活問題

6-a-04 能在比例的情境或幾何公式中，透過列表的方式認識變數（教育部，

2008）。從能力指標裡清楚顯示若要學習正比概念，首要先具備比與比值、

基礎代數的觀念。下圖2-1是「正比」單元在國小數學領域中連結的相關 單元。

圖2-1 「正比」單元的教材地位（引自南一出版社國小數學六上備課用書）

第十冊 第十一單元

◎能以繪製折線圖。

第十一冊 第四單元

◎能在情境中認識 比和比值。

第十一冊 第七單元

◎認識兩個數量呈正比的 關係。

◎了解兩個數量正比例和 非正比例的關係。

◎能以繪製正比關係圖。

◎能理解正比現象，並發 展正比概念，解決生活 中的問題。

第十二冊 第四單元

◎了解比例尺的意 義及表示法。

前備經驗 正比單元教學重點 發展教材

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