正比解題策略對錯誤類型之關係探討

壹、正比單元錯誤類型結果統計

將正比單元易容易發生之錯誤類型經由參考文獻、專家教師以及預試 結果，分類成10個（B1~B10），而解題策略運用的差異，代表受試者使用 的概念也有所不同，伴隨而至的錯誤類型也大相逕庭，因此將定義若受試 者在此份試卷中，發生一次錯誤類型，即判斷受試者具備此錯誤類型，例 如：觀察受試者在這十五道試的題解題歷程，有出現一次B10（相等的比 中，內外項與前後項混淆），那麼此受試者就具備B10，並將錯誤類型發 生情形整理如表4-32， 除38.83%的受試者發生B4（無法依照題意列出正 確算式）人數最多之外，值得深入研究的是B9「能算出兩前(後)項的倍數，

但無法判斷該以乘法或是除法來求未知數」，究其原因，學生對於比例式 數字結構與未知數位置容易產生固著概念，往往求出兩前（後）項倍數關 係後，容易先除再乘的固定計算方式來求解，卻未詳細考慮未知數位置以 及數字大小問題，因此易發生B9此錯誤類型。

表 4-32

錯誤類型分析表

Bug B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 次 數 70 41 9 193 87 80 40 57 134 55

比例

（%） 14.08 8.25 1.81 38.83 17.51 16.10 8.05 11.47 26.96 11.07

74

17.51 16.1

8.05

大小都會影響學生解比例問題的成功率（魏宗明、劉祥通，2003），受試

76

解題策略組型 錯誤

類型 B C M 其他 總和 P

B10 0

個數 117 110 177 38 442 .038*

百分比 23.5% 22.1% 35.6% 7.6% 88.9%

1

個數 14 7 32 2 55 百分比 2.8% 1.4% 6.4% .4% 11.1%

備註：1. B：倍數法，C：公式法，D：混合策略

2.策略使用百分率=各策略使用人數/策略使用總人數 3.各錯誤類型百分率=發生個數∕各策略使用人數 4.錯誤類型總和百分率=發生總個數∕策略使用總人數 5. *p < .05。

表 4-34

學生錯誤類型 B10 態樣

試題內容 學生作答策略 M

( )8. 當固定三角形的高時，三 角形的底和面積成正比，若底是 12 公分，面積是 72 平方公分，那 麼面積是 48 平方公分時，則底是 幾公分呢？

S377

S450 說明：

1.若數字有整數倍關係，混合策略受試者亦容易將倍數法的前後項，與公 式法的內外項混淆。

2.以公式法：內項乘積等於外項乘積解題時，學生會將48與12相乘，可能 是48與12有倍數關係。

（續下頁）

試題內容 學生作答策略 B ( )8. 當固定三角形的高時，三角

形的底和面積成正比，若底是12公 分，面積是72平方公分，那麼面積是 48平方公分時，則底是幾公分呢？

S038

S362 說明：學生內在運思48÷12=4是整數倍，習慣找能夠除盡之倍數解題。

二、解題策略單一型-倍數法（B）與錯誤類型分析

而慣用倍數法（B）之受試者則易於產生B9「能算出兩前（後）項的 倍數，但無法判斷該以乘法或是除法來求未知數」，在比例問題的核心概 念中，以固定倍數求其未知數，是許多學生感到困擾的關鍵重點，而數字 結構一直是比例推理問題探討主軸之一， 比例等式中，兩前（後）項若 成整數倍則較無此錯誤類型發生，但是倍數關係為非整數倍，則容易發生 B9錯誤類型與先前研究相符（楊錦連，1999；翁宜青、劉祥通，2003）。

將學生作答情形呈現如下表：

表 4-35

學生作答反應比較

試題內容(整數倍) 學生成功作答反應

( )6. 百貨公司舉辦點數換現金 活動，100 個點數可折抵現金 3 元，沛璇折抵現金 72 元，請問

她用了多少點數去折抵呢？ S044

（續下頁）

78

試題內容(非整數倍) 學生失敗作答反應

( )9.已知 2 公升的綠茶加 21 公克 的糖最好喝，幾公升的綠茶加

30 公克的糖一樣好喝？ S286

S344 說明：兩前(後)項之倍數為非整數倍，因此學生易找能夠除盡之倍數，算 出正確的倍數關係，但卻還是以先除後乘的固著解題模式計算，忽略求 未知數的逆溯活動推理過程，如：30÷ 21無法除盡，則以21÷30=0.7找出 兩數倍數，但下一步求出未知數的推理過程應為2÷ 0.7而不是2×0.7。

試題內容(非整數倍) 學生失敗作答反應

( )8.當固定三角形的高時，三角 形的底和面積成正比，若底是 12 公分，面積是 72 平方公分，那麼 面積是 48 平方公分時，則底是 幾公分呢？

S020

S044 說明：學生習慣以大數除以小數，求出非整數倍數後，但卻還是以先除 後乘的固著解題模式計算，忽略求未知數的推理過程，無法判斷應以12 乘以或除以此非整數倍數。

因此，學生在建構反應題的作答歷程中，能清楚呈現受試者因運用了 不同的策略，伴隨著不同錯誤類型的產生，教師若能了解策略與錯誤類型 之關係，在補救教學上便可以依照學生熟悉策略所發生的錯誤類型加以修 改導正，不僅學生容易理解，也可以在短時間內提升策略正確運用能力。