一、機率概念
我們稱一事件Ａ發生的機率為 P，設 S 為 n 個樣本點的樣本空間，且 樣本空間中各基本事件出現的機會均等。若 為一事件，則事件 A 發生的機率為 A 之元素個數與 n 之比，記為 P（A）＝n（A）/n（S）
＝n（A）/n，其中 n（A）與 n（S）分別表示 A 與 S 之元素個數。本 研究的機率概念（probability concepts）係指機率相關的各種概念，包 括 構 成 機 率 情 境 的 一 些 相 關 元 素 的 知 識 ， 如 樣 本 空 間 （ sample space）、實驗機率（experimental probability of an event）、理論機率
（ experimental probability of an event ）、 機 率 比 較 （ probability comparisons ）、 條 件 機 率 （ conditional probability ）、 獨 立 事 件
（independence）。
S A⊂
二、樣本空間
樣本空間（sample space）定義為隨機試驗中，所有可能的結果所形 成的集合稱為樣本空間。例如：投擲一個公正骰子，我們可以描述其 出現的所有結果有 1 點、2 點、3 點、4 點、5 點、6 點六種情形。
三、實驗機率
實驗機率（experimental probability of an event）是指隨機實驗中，一 事件實際出現的次數和實驗次數之比。例如：投擲一個公正骰子十 次，出現 3 次一點，則出現一點的機率為 3/10。
四、理論機率
理論機率（theoretical probability of an event）是指一事件之機率，為 此事件中之元素個數除以樣本空間之元素個數。以丟擲一公正骰子為 例，會得到一奇數的機率為 3/6＝1/2。
五、機率比較
機率比較（probability comparisons）係指兩個不同事件的機率大小比 較。例如：投擲兩個十元硬幣出現「一個正面一個反面」及「兩個都 是反面」的事件中，「一個正面一個反面」是 1/2，「兩個都是反面」
是 1/4。
六、條件機率
條件機率（conditional probability）P（B/A）意即在 A 事件發生的情況 下，B 事件發生的機率。若 A 事件發生之機率大於 0 時， P（B/A）
＝P（A∩B）/P（A）。例如：自一副撲克牌中任意抽取一張，若已知 抽到的一張是紅色，那麼抽到紅心 A 的機率是多少？
七、獨立事件
本研究所指之獨立性（independence）為事件之獨立性，其定義如下：
「對任意事件 A，B，若 P（A∩B）＝P（A）•P（B）成立時，稱事件 A 與事件 B 獨立。」例如：投擲一公正銅板二次，令 A 表第一次出現正 面的事件，B 表第二次出現正面的事件，則 A、B 二事件相互獨立。
八、機率概念的思考層次
本研究所指之機率概念的思考層次是 Jones, Langrall, Thornton &
Tarr（1999）所提出的「機率思考架構」理論，在每一個機率組成中，
兒童的機率概念發展皆包含四個層次。「層次一」是主觀的（subjective thinking）思考層次，在此一層次的兒童只基於個人的主觀想法或喜 好來處理機率問題。「層次二」是過渡的（transitional）層次，兒童思 考是介於主觀的和非正式量化思考之間，但其思考結果最後往往返回 依賴主觀的想法。「層次三」是非正式量化（informal quantitative thinking）的思考層次，兒童已能進行量化思考，但尚未具備足夠的 分數概念。「層次四」是思考發展的最高層次，兒童完全使用生產性 策（productive strategy）去描述結果，即求出完整樣本空間之策略，
且已能用分數完整的表現出其數量的推理（numerical reasoning）。
第四節 研究限制
本研究的範圍由於研究者的時間與人力因素，僅以研究者所任教的班級學 童作為主要的研究對象，因此有地域性及廣博性的限制，其結果的呈現請引用 者斟酌參考。
第貳章 文獻探討
本研究主要目的為探討國小五年級兒童學習機率概念之情形，為了能對研 究主題有更深入的瞭解，本章共分為四節撰寫：第一節討論兒童的機率概念思 考模式；第二節介紹機率概念之實證研究；第三節分析機率課程的發展；第四 節探討行動研究法。
第一節 兒童的機率概念思考模式
兒童的機率概念發展正如其他概念發展一樣，由具體到形式運思層次，
逐漸成熟發展。儘管有些研究的範圍涉及兒童的機率思考，例如：Piaget ＆ Inhelder（1975）；Falk（1983）；Hawkins＆Kapadia（1984）；Fischbein，Nello ＆ Marino（1991）； Shaughnessy（1992），卻沒有任何研究已產生一個系統化之 描述或預測學生在機率思考的架構，缺乏這樣的架構去瞭解學生在課堂的學 習，對機率教學的設計是不適當的（引自 Jones, Langrall, Thornton＆
Mogill ,1997）。
然而，Jones, Langrall, Thornton & Tarr（1999）所提出的「機率思考架構」
理論，可用來當作檢測學生機率思考程度的工具，此架構包含六個組成、四層 次。六個組成為「樣本空間」、「實驗機率」、「理論機率」、「機率比較」、「條件 機率」、「獨立事件」。在每一個機率組成中，兒童的機率概念發展皆包含四個 層次。
「層次一」是主觀的（subjective thinking）思考層次，在此一層次的兒童 只基於個人的主觀想法或喜好來處理機率問題。
「層次二」是過渡的（transitional thinking）思考層次，兒童思考是介於主 觀的和非正式量化思考之間，但其思考結果最後往往返回依賴主觀的想法。
「層次三」是非正式量化（informal quantitative thinking）的思考層次，兒 童已能進行量化思考，但尚未具備足夠的分數概念。
「層次四」是思考發展的最高層次，兒童使用衍生性策略（generative strategy）去描述結果，即求出完整樣本空間之策略，例如兩人猜拳所有可能的 情形，則先固定一人是出剪刀，另一人出剪刀、石頭或布三種情形，再固定出 石頭，也有三種情形，最後固定出布，也有三種情形，如此共九種情形。且已 能用分數完整的表現出其數值推理（numerical reasoning）。
以下表 2-1 至表 2-6 分別是不同思考層次在樣本空間（sample space）、
實驗機率（experimental probability of an event）、理論機率（experimental probability of an event）、機率比較（probability comparisons）、條件機 率（conditional probability）、獨立事件（independence）的表現。
表 2-1 樣本空間的思考架構 組成
層次
樣本空間
主觀的 在一階段實驗（例如投擲一枚硬幣）列出不完全的結果。
過渡期的 在一階段實驗以及有時候在二階段實驗（例如投擲兩枚硬幣）
列出完全的結果。
非正式量化的 使用部分衍生性策略去列出二階段實驗的結果。
數值推理的 對於二階段實驗及三階段實驗能應用衍生性策略列出完整的 結果。
表 2-2 實驗機率的思考架構 組成
層次
實驗機率
將從隨機實驗所得來的資料視為無關係的並且使用主觀的判 斷去決定最可能或最不可能的事件。
主觀的
無法察覺在實驗機率和理論機率間有任何關係。
當決定最可能或最不可能的事件，對於樣本數少的實驗資料給 予太多的信任。
過渡期的
當實驗的資料與預想的想法相衝突時，可能會回復到主觀的判 斷。
開始承認決定最可能或最不可能的事件，需要更多的實驗次 數。
非正式量化的
承認實驗機率會和理論機率有顯著的不同。
蒐集適當的資料去決定實驗機率的數值。
數值推理的
從一個大的試驗樣本決定的實驗機率約等於理論機率。
表 2-3 理論機率的思考架構
表 2-5 條件機率的思考架構 組成
層次
條件機率
主觀的 在不置回的情況使用主觀的推論去解釋。
過渡期的 承認在有些事件的機率在一個不置回的情形下會改變；然而，
這個承認並非完整的而且通常僅限於先前已經發生過的事件。
承認在所有事件的機率在一個不置回的情形下會改變。
非正式量化的
可以在不置回的情況下，量化出改變的機率。
可用數字表示置回與不置回情況下的機率。
數值推理的
在置回以及不置回的每一個試驗情況下，使用數字的推論去比 較事件先後的機率。
表 2-6 獨立事件的思考架構 組成
層次
獨立事件
主觀的 有一個傾向去思考連續的事件總是有關係的。
開始承認連續的事件可能有關係的或是沒有關係的。
過渡期的
使用先前試驗的分佈結果去預測下一次的結果。
非正式量化的 可以在置回以及不置回的情況下分出獨立及相依事件。
數值推理的 可以使用機率數值化去區分獨立以及相依事件。
根據以上的架構，對於兒童機率概念思考的洞察，提供了極其重要的參考 架構，來幫助教師了解和促進兒童的機率推理。本研究透過行動研究來探討兒 童機率概念之學習情形與教師之專業成長。因此，本研究之機率概念包含上述 六個組成，且以此架構作為本研究之理論基礎。
第二節 機率概念之實證研究
一、兒童機率概念之認知發展
Piaget＆Inhelder（1975）提出兒童對機率概念的發展分為三階段：
（一）第一階段－運思前期
此階段的兒童在一個隨機的混合事件中將嘗試去尋找次序性。例 如：袋中有 6 個紅球 4 個白球，每次抽完再把球放回去，倘若前二 次均抽出紅球，就會認為第三次應該就是白球了。
（二）第二階段－具體運思期
此階段的兒童沒有組合的技巧或數學的成熟度，無法掌握排列組合 的各種狀況。
（三）第三階段－形式運思期
此階段的兒童才漸漸發展出排列組合的完整概念，並且瞭解相對次 數的極限機率，即大數法則。
根據上述兒童機率概念之認知發展理論可知，學生對於機率概念的瞭解會 隨著認知的發展，由主觀而具體的層次逐漸發展至抽象的層次。
二、Jones 等人(Jones, Langrall, Thornton & Tarr,1999)的機率概念之教學研究 （一）研究樣本
觀察八個沒有接觸過機率教學的三年級兒童做為研究個案，時間達
二年多。
（二）研究目的
經由觀察兒童的機率思考過程，這個研究企圖要：
1、發展一個原始的架構，去描述及預測兒童在機率的情境之下，
如何去做思考。
2、根據這個原始的架構去產生評量的探討。
3、使用評量的探討去精練及確認這一個架構。
（三）研究結果
1、研究已發展且驗證一個架構可以系統性的描述和預測兒童在機 率上的想法。
2、此架構中，兒童的機率概念包含了四個組成，「樣本空間」、「理 論機率」、「機率比較」和「條件機率」。而 1999 年又增添了以 預測和實驗為主的「實驗機率」和由條件機率引申出來的「獨 立事件」。對每一個組成，有四個層次，想法範圍由主觀判斷到 數字推理。
3、雖然已有大量的研究在機率研究已提到機率概念，但是，提出 的架構將提供兒童機率思考的藍圖，這在指引課堂教學和評量
3、雖然已有大量的研究在機率研究已提到機率概念，但是，提出 的架構將提供兒童機率思考的藍圖，這在指引課堂教學和評量