本節旨在探討兒童學習機率概念後之概念改變情形，透過紙筆測驗之前、
後測、學習單、數學日記、兒童訪談之錄音資料、實施教學之錄影帶，來做分 析與探討：
一、兒童在前後測機率問題之解題表現情形
將前、後測之選擇題進行批閱後，使用 spss 統計分析套裝軟體 10.0 中 文版進行統計分析。參與前、後測之紙筆測驗兒童計 33 人，選擇題共有 20 題，
每題答對給 5 分，答錯給 0 分，因此總分是 100 分。
從表 4-1 可知前測總分的平均數是 51.82 分，後測總分的平均數是 65.15 分，平均數的大小可以看出，兒童的後測成績較前測為優，顯示兒童經過學習 過後的總成績有進步；而標準差的大小可以判斷，經過學習之後，兒童之間的 總分差距縮小。
由表 4-1 可以得知，此一成對樣本的 t 檢定，考驗結果達顯著，表示本班 兒童前後測總分有顯著的不同。
表 4-1 前、後測總分相依樣本 t 檢定分析摘要表
平均數 標準差 相關係數 t 值 顯著性 前測總分 51.82 22.14
後測總分 65.15 19.51 .759 -5.222 .000
＊＊＊P<.001
二、兒童在學習機率概念過程中之對話與思考層次
本研究在實施機率概念教學時，從學習單和數學日記，可以了解兒童學習 的情形；在實施機率概念教學後一個月做了後測，由試題當中的文字題，可以 了解兒童學習機率概念後對機率問題的思考層次。茲將上述內容分六個組成敘 述如下：
（一）樣本空間
1、學習機率概念過程中之對話
在教學活動內容中有一個佈題，上課時討論熱絡，甚至已經下課 了，兒童還主動要求再找一節課繼續討論，所以，再繼續討論猜拳 的情形。題目如下：
如果五年乙班的老師挑出宜辰和伯旻，請他們兩個猜拳決定，請問共有幾種 情形？
全班討論結果，可分為三種做法找出答案：
（1）沒有一定的規則，想到什麼就寫什麼，有完整找出九種情形 的也有不到九種或多於九種的。如下為完整找出九種情形的：
t：你要不要再檢查看看你寫出來的九種情形？
s8：好啊！（看了約一分鐘）這裡寫錯了，（指出寫錯的地方）
t：要不要自己改改看。
s8：好（自己改正錯誤）
t：很好，沒有問題了。（930601 s8 訪談）
（2）先隨便寫出一種情形，下一個把它顛倒，再以一樣的方法繼 續找，然後寫出三個平手的狀況。學習單內容如下：
（3）先固定一方都是某一種狀況，另一方則有三種情形，再以一 樣的方法繼續。學習單內容如下：
2、機率概念之思考層次
根據後測的機率概念文字題第四題，題目內容如下：
甲班和乙班的班長猜拳要決定拔河比賽的場地，請問兩位班長共有幾種猜拳的 情形，例如：甲班出剪刀，乙班出石頭是其中一種情形。（作答時剪刀以×表示、
石頭以○表示、布以△表示）
本題是一個二階段實驗的情境。解題情形如下：
（1） 全班 33 位兒童中，前測時有 8 位兒童答對，而後測增加為 29 位兒童答對。
（2） 未答對的思考層次一兒童由 25 位減少為 4 位。
（3） 有時候在二階段實驗列出完全結果的過渡期的思考層次二，
由 5 位減少為 1 位兒童。
（4） 能使用部分生產性策略，去列出二階段實驗的結果的非正式 量化的思考層次三，由 3 位增加為 28 位兒童。
由此發現，兒童學習機率概念後，在樣本空間這個組成，大部分 的兒童思考層次由層次一提昇至層次三。
（二）實驗機率
1、學習機率概念過程中之對話
（1）學習單中的活動二（見附錄三-2），第一題題目如下：
在決定抽出誰當班長之前，五年乙班的老師事先做了 20 次的抽球活動。老 師的結果如下:宜辰 3 次、伯旻 3 次、鈺欣 4 次、玟惠 2 次、映廷 8 次。由 以上結果為基礎，誰最有可能當班長？或是無法說出來？
研究者發現兒童還是覺得抽到的機率是要靠運氣的，全班 33 個 人有 26 個人都是這麼覺得，就連會回答五個人機率都是一樣的，
其實心裡還是覺得誰被抽到是運氣較好的關係，會回答五個人機 率都是一樣的是因為他去補習的時候有教過。
t：為什麼覺得抽球的活動不公平？
s24：因為運氣好的人才會被抽中，都是要靠運氣。（930602 s24 訪談）
（2）學習單中的活動二（見附錄三-2），第三題題目如下：
（930603s10 訪談）
2、機率概念之思考層次
根據後測的機率概念文字題第一題，題目內容如下：
小丸子和小玉共同投擲一枚硬幣 20 次之後，結果出現正面 12 次，反面 8 次，
底下是她們探討在這 20 次的投擲當中，出現正面或反面的機會誰比較大的對 話。小丸子說：「因為出現正面 12 次的關係，所以代表正面出現的機會比反面 大。」小玉說：「不對，出現正面的機會和出現反面的機會是一樣的。」你（妳）
認為誰說的對呢？把你（妳）的想法寫下來。
解題情形如下：
（1） 全班 33 位兒童中，前測時有 1 位兒童看不懂題目未作答，
但後測則全班都有作答。
（2） 使用主觀的判斷去決定結果的思考層次一兒童，由 15 位增 為 20 位。
（3） 對於實驗資料的小樣本給予太多的信任，屬於層次二過渡期 的思考層次兒童，由 9 位減為 3 位。
（4） 覺得更多方面的試驗樣品是被需要的，屬於層次三非正式量 化的的思考層次兒童，由 8 位減為 2 位。
（5） 以數字表示的思考層次四兒童由 0 位增為 8 位。
由此發現，兒童學習機率概念後，在實驗機率這個組成，已有部 分兒童可以達到思考層次四，但思考層次一的兒童人數卻增加了，因 本研究設計之活動二只讓兒童察覺實驗機率的結果和理論機率值並 不一定相同，未設計實驗次數多寡和實驗結果的關係，所以，兒童產 生了衝突卻無法得到解決，而又回到了主觀的思考層次。
（三）理論機率
1、學習機率概念過程中之對話
（1）學習單中的活動三（見附錄三-3），第一題和第二題題目如下：
在五年乙班，是否女生比較有可能抽到班長?請寫出原因。
映廷（女）抽到班長的機會是否比伯旻（男）大? 為什麼?
兒童覺得題目不清楚，研究者試著與兒童討論如何修改會比較 好，兒童也試著修改題目，給研究者建議敘述方式再口語一些 較好。
t ：你可以再說一次給老師的建議嗎？
s27：就是學習單中的題目可以用老師平時說話的方式敘述，這樣我們比較 看得懂。
t：好，我知道了。（930609 s27 訪談）
（2）研究者發現，在說明原因時，兒童說出 80﹪和 20﹪、1/5 和 4/5，
即「百分率」和「分數」兩種表示機率的方式。
a、「百分率」表示
b、「分數」表示
t：第一題可以說一次給老師聽嗎？
s10：因為女生有四個人，所以被抽到的機會是 4/5，男生有一個人，所以被 抽到的機會是 1/5。
t：4/5 和 1/5 是怎麼想到要這樣表示？
s10：就突然想到要這樣表示。（930608 s10 訪談）
2、機率概念之思考層次
根據後測的機率概念文字題第五、六、七題，題目內容如下：
甲班和乙班各派代表猜拳，請問共有幾種猜拳的情形，例如：甲班出剪刀，乙班 出石頭是其中一種情形。
接上題，甲班贏的機率有多少？（ ）。乙班贏的機率有多少？（ ）。
在電視節目的遊戲中，有一個保密的二位數□□。
個位可以是 1 或 2 或 3，十位可以是 4 或 5 或 6
你（妳）挑選個位數字正確的機率有多少？（ ）。
解題情形如下：
（1）全班 33 位兒童中，藉由主觀的判斷去預測事件的機率，屬於 層次一主觀的思考層次的兒童，由 14 位減為 10 位。
（2）藉由量化的判斷去預測事件的機率，但有可能會回復到主觀 的判斷，屬於層次二過渡期的思考層次的兒童，由 18 位減 為 7 位。
（3）藉由量化的判斷正確的去預測事件的機率，屬於層次三非正 式量化的的思考層次的兒童，由 1 位增為 8 位。
（4）對一個事件選定以數字表示的思考層次四兒童，由 0 位增為 8 位。
由此發現，兒童學習機率概念後，在理論機率這個組成，已有部 分兒童可以達到思考層次四，且各思考層次的兒童人數分布平均。
（四）機率比較
1、學習機率概念過程中之對話
學習單中的活動四（見附錄三-4），第二題題目如下：
老師有二包禮物袋，第一包裡面有 1 支鉛筆 9 個擦子，第二包裡面有 8 支鉛筆 2 個擦子，只能選其中一包禮物袋抽出一個，依你（妳）最想要的禮物來選擇 禮物袋，你（妳）會選那一包？為什麼？
對於題目的編寫，兒童給了以下的建議：
（1）研究者沒有考慮到鉛筆和擦子的外形完全不一樣，如果抽東西 是可以選擇控制的，所以兒童建議裝糖果，兩種不同口味供 選擇。
（2）有些兒童對於禮物袋的禮物鉛筆和擦子都不感興趣，以致於難 做選擇，所以題目的編寫還要再多思考。
2、機率概念之思考層次
根據後測的機率概念文字題第二題和第三題，題目內容如下：
聖誕老公公的禮物袋有二包，第一包裡面有 1 枝棒棒糖 9 條巧克力，第二包裡 面有 8 枝棒棒糖 2 條巧克力，只能選其中一包抽出一個，你（妳）會選那一包
禮物袋？為什麼？與你（妳）想要的禮物有關嗎？
我會選第（ ）包，因為：
接上題，聖誕老公公的二包禮物袋，對於喜歡巧克力的小朋友抽到巧克力機會 一樣嗎？請說明你（妳）的答案。
解題情形如下：
（1）全班 33 位兒童中，使用主觀判斷比較在兩個不同樣本空間下 一個事件的機率，屬於層次一主觀的的思考層次的兒童，由 17 位減少為 9 位。
（2）以量化思考為基礎來做機率比較（並不總是正確），屬於層次 二過渡期的思考層次的兒童，由 15 位減少為 14 位。
（3）使用明顯的量化推論去說明比較以及發明自己的方法來表示 機率，屬於層次三非正式量化的的思考層次的兒童，由 1 位 增加為 2 位。
（4）選定一個機率數值化，且做一個明顯的比較的思考層次四兒 童，由 0 位增為 8 位。
由此發現，兒童學習機率概念後，在機率比較這個組成，已有部分 兒童可以達到思考層次四，但大部分的兒童思考層次仍集中在層次二和
由此發現，兒童學習機率概念後，在機率比較這個組成，已有部分 兒童可以達到思考層次四，但大部分的兒童思考層次仍集中在層次二和