本研究主要是對研究者所任教的班級，以機率概念為主題的教學來進行行 動研究，藉以瞭解國小五年級兒童學習機率概念的情形，並促進研究者的教學 反省與改進。本章第一節針對國小五年級兒童學習機率概念前對機率問題的思 考層次做分析解釋，第二節分析學習後對機率問題之解題表現和想法，第三節 描述研究者的教學反省與專業成長。
第一節 學習機率概念前對機率概念的思考層次
本研究在實施機率概念教學前一個月做了前測（見附錄一），前測之紙筆 測驗包含「樣本空間」、「實驗機率」、「理論機率」、「機率比較」、「條件機率」、
「獨立事件」六個組成，透過兒童在機率概念文字題上之作答情形，可以瞭解 兒童學習機率概念前對機率概念的想法。
一、樣本空間
根據前測的機率概念文字題第四題，題目內容如下：
甲班和乙班的班長猜拳要決定拔河比賽的場地，請問兩位班長共有幾種猜拳的情形，
例如：甲班出剪刀，乙班出石頭是其中一種情形。（作答時剪刀以×表示、石頭以○表 示、布以△表示）
從兒童回答該題的情形來看，全班 33 位兒童中有 8 位兒童答對，有 3 位 兒童能使用部分生產性策略去列出二階段實驗的結果，屬於層次三非正式量化 的的思考層次。其他 5 位兒童在一階段實驗以及有時候在二階段實驗列出完全 的結果，屬於層次二過渡期的思考層次。而未答對的 25 位兒童在一階段實驗 列出不完全的結果，屬於層次一主觀的的思考層次。
根據 Jones et al.（1999）提出的機率思考架構分析，研究對象之兒童在學 習機率概念前，面對有關樣本空間的問題時，有如下之三種不同思考層次：
（一）主觀的層次：研究對象之兒童在學習機率概念前，在一階段隨機實
驗中，列出不完全的結果。
（二）過渡期的層次：研究對象之兒童在學習機率概念前，在一階段隨機 實驗以及有時候在二階段隨機實驗中，列出正確的 結果。
（三）非正式量化的層次：研究對象之兒童在學習機率概念前，使用部分 生產性策略去列出二階段隨機實驗的結果。
二、實驗機率
根據前測的機率概念文字題第一題，題目內容如下：
小丸子和小玉共同投擲一枚硬幣 20 次之後，結果出現正面 12 次，反面 8 次，底下是她 們探討在這 20 次的投擲當中，出現正面或反面的機會誰比較大的對話。小丸子說：「因 為出現正面 12 次的關係，所以代表正面出現的機會比反面大。」小玉說：「不對，出現 正面的機會和出現反面的機會是一樣的。」你（妳）認為誰說的對呢？把你（妳）的想 法寫下來。
從兒童回答該題的情形來看，全班 33 位兒童中有 1 位兒童未作答，訪談 結果得知看不懂題目在說什麼，不會寫所以未作答。有 15 位兒童使用主觀的 判斷去決定結果，屬於層次一主觀的的思考層次。有 9 位兒童對於實驗資料的 小樣本給予太多的信任，屬於層次二過渡期的思考層次。其他 8 位兒童覺得更 多方面的試驗樣品是被需要的，屬於層次三非正式量化的的思考層次。
根據 Jones et al.（1999）提出的機率思考架構分析，研究對象之兒童在學 習機率概念前，面對有關實驗機率的問題時，有如下之三種不同思考層次：
（一）主觀的層次：研究對象之兒童在學習機率概念前，往往把從隨機實 驗所得來的資料視為無關係的，並且使用主觀的判斷 去決定最可能或最不可能的事件。
（二）過渡期的層次：研究對象之兒童在學習機率概念前，當決定最可能 或最不可能的事件，對於隨機實驗中已出現之樣本 給予太多的信任；同時當隨機實驗的資料與預想的 想法相衝突時，可能會回復到主觀的判斷。
（三）非正式量化的層次：研究對象之兒童在學習機率概念前，開始察覺 是否增加隨機實驗之次數，關係到實驗機率之 結果。
三、理論機率
根據前測的機率概念文字題第五題、第六題、第七題，題目內容如下：
甲班和乙班各派代表猜拳，請問共有幾種猜拳的情形，例如：甲班出剪刀，乙班出石頭 是其中一種情形。（做答時剪刀以×表示、石頭以○表示、布以△表示）
接上題，甲班贏的機率有多少？（ ）。
乙班贏的機率有多少？（ ）。
在電視節目的遊戲中，有一個保密的二位數□□。
個位可以是 1 或 2 或 3，十位可以是 4 或 5 或 6
你（妳）挑選個位數字正確的機率有多少？（ ）。
從兒童回答的情形來看，全班 33 位兒童中有 14 位兒童藉由主觀的判斷去 預測事件的機率，屬於層次一主觀的的思考層次。有 18 位兒童藉由量化的判 斷去預測事件的機率，但有可能會回復到主觀的判斷，屬於層次二過渡期的思 考層次。只有 1 位兒童藉由量化的判斷正確的去預測事件的機率，屬於層次三 非正式量化的的思考層次。
根據 Jones et al.（1999）提出的機率思考架構分析，研究對象之兒童在學 習機率概念前，面對有關理論機率的問題時，有如下之三種不同思考層次：
（一）主觀的層次：研究對象之兒童在學習機率概念前，藉由主觀的判斷 去預測最可能或最不可能的事件，以及能辨識必然和 不可能事件的能力。
（二）過渡期的層次：研究對象之兒童在學習機率概念前，藉由量化的判 斷去預測最可能或最不可能的事件，但有可能會回 復到主觀的判斷。
（三）非正式量化的層次：研究對象之兒童在學習機率概念前，藉由量化
的判斷去預測最可能或最不可能的事件時，會 使用非正式數字去比較機率。
四、機率比較
根據前測的機率概念文字題第二題和第三題，題目內容如下：
聖誕老公公的禮物袋有二包，第一包裡面有 1 枝棒棒糖 9 條巧克力，第二包裡面有 8 枝 棒棒糖 2 條巧克力，只能選其中一包抽出一個，你（妳）會選那一包禮物袋？為什麼？
與你（妳）想要的禮物有關嗎？
我會選第（ ）包，因為：
接上題，聖誕老公公的二包禮物袋，對於喜歡巧克力的小朋友抽到巧克力機會一樣嗎？
請說明你（妳）的答案。
從兒童回答的情形來看，全班 33 位兒童中有 17 位兒童使用主觀判斷比 較在兩個不同樣本空間下一個事件的機率，屬於層次一主觀的的思考層次。有 15 位兒童以量化思考為基礎來做機率比較（並不總是正確），屬於層次二過渡 期的思考層次。只有 1 位兒童使用明顯的量化推論去說明比較以及發明自己的 方法來表示機率，屬於層次三非正式量化的的思考層次。
根據 Jones et al.（1999）提出的機率思考架構分析，研究對象之兒童在學 習機率概念前，面對有關機率比較的問題時，有如下之三種不同思考層次：
（一）主觀的層次：研究對象之兒童在學習機率概念前，使用主觀判斷比 較在兩個不同樣本空間下一個事件的機率。
（二）過渡期的層次：研究對象之兒童在學習機率概念前，以量化思考為 基礎來做機率比較（並不總是正確）。
（三）非正式量化的層次：研究對象之兒童在學習機率概念前，使用明顯 的量化推論去說明比較以及發明自己的方法來表 示機率。
五、條件機率
根據前測的選擇題第七題、第九題、第十六題和第十八題，題目內容如下：
一包 m＆m 巧克力裡面裝有 2 顆紅色、3 顆黃色、4 顆綠色的巧克力，假如拿出一顆紅 色的糖果且吃掉了，而老師再把這一包糖果搖一搖，你（妳）再度閉起眼睛不看並從中 拿出一顆，拿出黃色的機會比起原來的情形機會是如何？
1 變大 2 變小 3 不變 4 無法預測
箱子裡裝有大小都一樣的紅球 2 顆、黃球 5 顆、綠球 4 顆，假如你（妳）前二次都拿出 黃球且不再放回，而老師再把這一箱彩色的球搖一搖，你（妳）再度閉起眼睛不看並從 中拿出一顆，你（妳）得到何種顏色的球機會最小？請你（妳）選出最認同的選項。
1 紅色 2 黃色 3 綠色 4 藍色
摸彩箱裡面有 5 顆紅球、7 顆黃球、9 顆綠球，假如拿出黃球一顆且不放回箱裡面，而老 師再把摸彩箱搖一搖，你（妳）再度閉起眼睛不看並從中拿出一顆，拿出紅色的機會比 起原來的情形機會是如何？ 1 變大 2 變小 3 不變 4 無法預測
萬聖節的『不給則搗蛋』活動，袋子裡裝有 3 條草莓巧克力棒、1 條牛奶巧克力棒和 2 條杏仁巧克力棒。小丸子想要到草莓巧克力棒。第一次她抽出一條牛奶巧克力棒而且吃 掉。假如她再抽一次，抽出草莓巧克力棒的機會變得如何？
1 變大 2 變小 3 和以前一樣 4 無法預測
從兒童回答的情形來看，全班 33 位兒童中有 29 位兒童在不置回的情況使 用主觀的推論去解釋，屬於層次一主觀的的思考層次。有 4 位兒童承認事件的 機率在一個不置回的情形下會改變，屬於層次二過渡期的思考層次。
根據 Jones et al.（1999）提出的機率思考架構分析，研究對象之兒童在學 習機率概念前，面對有關條件機率的問題時，有如下之二種不同思考層次：
（一）主觀的層次：研究對象之兒童在學習機率概念前，使用主觀的推論 去解釋在不置回的情況。
（二）過渡期的層次：研究對象之兒童在學習機率概念前，承認事件的機 率在一個不置回的情形下會改變。
六、獨立事件
根據前測的機率概念文字題第八題，題目內容如下：
在電視節目的遊戲中，有一個保密的二位數□□。
個位可以是 1 或 2 或 3，十位可以是 4 或 5 或 6，假定你（妳）個位挑選正確。
你挑選十位正確的機會會變大、變小或是不變？（ ）
從兒童回答的情形來看，全班 33 位兒童中有 2 位兒童未作答，訪談結果
從兒童回答的情形來看，全班 33 位兒童中有 2 位兒童未作答，訪談結果