國小五年級兒童學習機率概念之探討

國立台中師範學院數學教育系理學碩士論文

指導教授：許天維 博士

胡豐榮 博士

國小五年級兒童學習機率概念之探討

研究生：楊珊珊 撰

中 華 民 國 九 十 四 年 五 月

摘要

本研究之研究者在國小任教，因此，欲經由行動研究法(action research) 來了解國小五年級兒童學習機率概念的情形，以作為改進教學與課程設計之 參考為本研究之目的。 提出的研究問題有三：一、探討國小五年級兒童學習機率概念前對機率 概念的思考層次。二、探討國小五年級兒童學習機率概念後在機率概念上之 成長情形。三、透過機率教學活動之實施與觀察兒童的學習情形，以描述研 究者的教學反省與成長。本研究採用行動研究法，以研究者任教的班級進行 實地的研究以收集相關資料，進行質性的分析：機率思考層次來研究探討， 並以量性的分析：平均數、標準差、t 檢定評估結果。研究對象是彰化縣秀 水鄉國小五年級的兒童，男生有 17 人，女生有 16 人，班級總人數 33 人。 研究結果發現國小五年級兒童學習機率概念前對機率概念的思考層次 在「樣本空間（sample space）」、「實驗機率（experimental probability of an event ）」、「理論機率 （ theoretical probability of an event）」、「機 率比 較 （probability comparisons）」這四組成中，最高皆能達到層次三非正式量化的 思 考 層 次 ： 而 在 「 條 件 機 率 （ conditional probability ）」、「 獨 立 事 件 （independence）」這兩個組成中，最高只能達到層次二過渡期的思考層次。 對機率問題的解題表現在前後測選擇題的得分依成對樣本 t 檢定均有顯著 的不同，且顯示學生經過學習後的後測成績均較前測為優。此外，學習機率 概念後對機率概念的思考層次均能提升。另外，研究者在實施機率教學之後 研究能力與設計教學活動的方面也有成長。 最後再根據研究結果在教學、課程編製、未來研究方向等方面提供若干 的建議。 關鍵字：機率概念、國小五年級、行動研究

Abstract

The researcher of the study teaches at elementary school, thus she uses action research to find out how the five-grade-students in the elementary school learn probability and their learning conditions. By so doing the researcher could improve her instruction and the curriculum designs.

We adopted action research to collect the data. We applied quality analysis to study with the levels of probabilistic thinking, and applied quantity analysis to evaluate result with mean, standard deviation, and t test. The research objects are the five-grade-students in the elementary school in Shioushuei town, Changhua county. There are 17 boys, 16 girls, and the total number of students is 33.

The result of this research emerge that grade five elementary school students all could attain the third levels of probabilistic thinking-informal quantitative thinking, which is the highest level including four constructs (sample space, experiment possibility of an event, theoretical probability of an event, and possibility comparisons), however, they only could attain the second levels of probabilistic thinking- transitional thinking, which is the highest level including two constructs (conditional probability, and independence), before they study probability.

The scores of pre and post tests of the solution of probability questions are significantly different in pair t test. It reveals that students have better scores after studying than before. In addition, the levels of probabilistic thinking can be improved after studying probability. Besides, after probability instruction, the researcher’s study ability and design activities of instruction had grown.

Finally, according to the result of the research we provided several suggestions in instruction and the design of the curriculum.

Key words：Probability Concepts, Five-Grade-Students In The Elementary School, Action Research

目錄

第壹章 緒論………1

第一節 問題背景與研究動機……….…………..1 第二節 研究目的與待答問題……….…………..3 第三節 名詞解釋……….…………..4 第四節 研究範圍與限制………...6

第貳章 文獻探討………..7

第一節 兒童的機率概念思考模式………..7 第二節 機率概念之實證研究……….………12 第三節 機率課程的發展……….17 第四節 行動研究法……….…………20

第參章 研究方法……….24

第一節 研究設計與理念……….………24 第二節 研究流程……….………29 第三節 研究者經驗與角色……….………30 第四節 研究情境……….………30 第五節 前後測工具的發展與實施……….………32 第六節 資料的蒐集與分析……….………33

第肆章 結果與討論……….…….36

第一節 學習機率概念前對機率概念的思考層次……….36 第二節 學習機率概念後在機率概念之成長情形……….42 第三節 研究者的教學反省與成長……….54

第伍章 結論與建議……….…..58

第一節 結論……….………58 第二節 建議……….………60

參考文獻………..63

壹、中文部份……….………...63 貳、英文部份……….………...65

表次

表 2-1 樣本空間的思考架構……….………..8 表 2-2 實驗機率的思考架構……….………..9 表 2-3 理論機率的思考架構……….………...10 表 2-4 機率比較的思考架構……….……….10 表 2-5 條件機率的思考架構……….……….11 表 2-6 獨立事件的思考架構……….……….11 表 3-1 六個機率概念的活動設計……….….…………...….26 表 4-1 前、後測總分相依樣本 t 檢定分析摘要表…………..……42

圖次

圖 2-1 六十四年版機率課程教材地位圖……….……….…………17 圖 3-1 研究流程圖……….……….29 圖 3-2 班級配置圖……….……….31

附錄次

附錄一 前後測試題……….………67 附錄二 前後測試題分析……….………72 附錄三 學習單……….………....79 附錄四 數學日記……….………....85 附錄五 研究日誌……….………....86 附錄六 機率大挑戰試題修正問卷（給資深國小教師）………….92 附錄七 訪談紀錄（從學習單中）.………....93 附錄八 訪談紀錄（從數學日記中）.………94 附錄九 教學檢核表……….………96 附錄十 教學活動示例………….………..…..97

第壹章 緒論

本章將對本研究的問題背景與研究動機、研究目的與待答問題、名詞 解釋、研究限制做一通盤描述。

第一節 問題背景與研究動機

在日常生活中，我們經常要接觸到有關「機率」的問題，而且有意無 意地使用「機率」的概念來加以探討和解決。尤其現在每天熱門的話題， 諸如樂透彩、大樂透，每當有人中巨額頭獎時，就可見到大排長龍的人群 聚集在這個開出頭彩的投注站，總覺得自己到這裡投注應該也會中獎。研 究者在國小任教多年，每當學期末學校舉辦抽獎活動時，學生們總會說： 「老師！我要第一個抽！第一個抽比較好！」，在詢問學生為何要第一個 抽的理由後發現：「學生認為如果自己不是第一個抽，而是排在後面才抽 的話，則其深怕獎品會被前面的人抽完，而輪到自己時已沒有獎品了。」 這樣的回答讓研究者驚訝，為何學生不知每人抽到獎品的機率都是一樣 的。 查驗教育部公佈的九年一貫課程，「數學」領域的學習包含了五大主 題，分別是「數與量」、「幾何」、「統計與機率」、「代數」、「連結」。其中 「統計與機率」這個學習領域，漸漸地隨著資訊科技的迅速發展，變得非 常重要。例如：報讀或解讀資料的能力，往往影響對最新資訊的認知。可 見機率與統計的教學不容忽視。另外，機率與統計的教學強調與生活連結 及認知發展，是以早期兒童的統計與機率概念勢必直接影響其終身的學 習，因此，是一項生活中不可或缺與忽視的基本能力。 機率是生活經驗的一部份，有許多具體的問題，其重要性也深受教育 家的重視，具影響力的組織，如 National Council of Teachers of Mathematics

為課程的一部份。從美國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics 簡稱 NCTM）2000 年公佈的課程標準，可發現 K-12 的每個階 段都有機率概念的教學。再加上 Shaughnessy（1992）之看法：機率教學 須安排有系統的密集課程。由上可見機率在課程與教學上深受重視。 從文獻中可知「人類的學習是一種從具體到抽象的一種建構活動，而 且保留了社會文化的情境，因此教學所使用的理論與問題要能被兒童瞭 解」（Gravemeijer, van den Heuvel-Panhuizen＆Streefland，1990）。故機 率教學所使用的理論與問題更見其重要性。有趣的日常生活中真實的問題 方能真正引發兒童去關心所處的世界，機率問題所呈現的正是一種生活的 教學，不但連結了小數、分數、百分比、幾何圖形等知識，而且在機率教 學時的教學活動及溝通討論也能促進學生對於社會文化的學習。 但反觀國內，在國小階段機率概念的相關研究有：朱雅瑋（民 85）和 吳靜瑜（民 87）透過質和量併用的研究方法來探討國小學童機率的概念； 施能宏（民 86）以晤談來獲知學生的概念與策略、陳欣民（民 91）採用 半結構式晤談法(semi-structured interview)進行訪談、韓燕言(民 91) 以研 究者自編的機率概念測驗進行團體施測、羅友任(民 91) 採用自編的「機 率解題測驗」為研究工具，探討學生機率解題能力、後設認知能力與解題 溝通能力之相關。其中只有張捷勝(民 90)的研究方法採「行動研究法」， 將理論落實於實務工作，但其研究對象侷限於北部的小學，到底中部小學 學生的機率學習情形是如何呢？是以研究者心想自己在中部的小學任 教，也可使用自己班級的學生為研究對象，採「行動研究法」來進行對於 機率教學的研究，來探究兒童學習機率前後對機率想法的變化情形，以期 在機率之教學上獲得相關訊息並對教學有所裨益。

第二節 研究目的與待答問題

Elliott (1981)認為：「教師經常對教育研究成果抱持不信任的態度， 因為他們感受到外來教育理論經常以否定他們既有的習慣或自認成功的 教學策略為起點，也經常不了解教室中所面對的複雜性問題，而在真正情 境中難以實施。」又說：「教師即研究者。」 研究者在國小任教，因此，欲經由行動研究法來了解國小五年級兒童 學習機率概念的情形，以作為改進教學與課程設計之參考為本研究之目 的。以下為本研究提出之待答問題： 一、探討國小五年級兒童學習機率概念前對機率概念的思考層次。 二、探討國小五年級兒童學習機率概念後在機率概念上之成長情形。 三、透過機率教學活動之實施與觀察兒童的學習情形，以描述研究者的教 學反省與成長。

第三節 名詞解釋

一、機率概念 我們稱一事件Ａ發生的機率為 P，設 S 為 n 個樣本點的樣本空間，且 樣本空間中各基本事件出現的機會均等。若 為一事件，則事件 A 發生的機率為 A 之元素個數與 n 之比，記為 P（A）＝n（A）/n（S） ＝n（A）/n，其中 n（A）與 n（S）分別表示 A 與 S 之元素個數。本 研究的機率概念（probability concepts）係指機率相關的各種概念，包 括 構 成 機 率 情 境 的 一 些 相 關 元 素 的 知 識 ， 如 樣 本 空 間 （ sample space）、實驗機率（experimental probability of an event）、理論機率 （ experimental probability of an event ）、 機 率 比 較 （ probability comparisons ）、 條 件 機 率 （ conditional probability ）、 獨 立 事 件 （independence）。 S A⊂ 二、樣本空間 樣本空間（sample space）定義為隨機試驗中，所有可能的結果所形 成的集合稱為樣本空間。例如：投擲一個公正骰子，我們可以描述其 出現的所有結果有 1 點、2 點、3 點、4 點、5 點、6 點六種情形。 三、實驗機率

實驗機率（experimental probability of an event）是指隨機實驗中，一 事件實際出現的次數和實驗次數之比。例如：投擲一個公正骰子十 次，出現 3 次一點，則出現一點的機率為 3/10。

四、理論機率

理論機率（theoretical probability of an event）是指一事件之機率，為 此事件中之元素個數除以樣本空間之元素個數。以丟擲一公正骰子為 例，會得到一奇數的機率為 3/6＝1/2。 五、機率比較 機率比較（probability comparisons）係指兩個不同事件的機率大小比 較。例如：投擲兩個十元硬幣出現「一個正面一個反面」及「兩個都 是反面」的事件中，「一個正面一個反面」是 1/2，「兩個都是反面」 是 1/4。 六、條件機率 條件機率（conditional probability）P（B/A）意即在 A 事件發生的情況 下，B 事件發生的機率。若 A 事件發生之機率大於 0 時， P（B/A） ＝P（A∩B）/P（A）。例如：自一副撲克牌中任意抽取一張，若已知 抽到的一張是紅色，那麼抽到紅心 A 的機率是多少？ 七、獨立事件 本研究所指之獨立性（independence）為事件之獨立性，其定義如下： 「對任意事件 A，B，若 P（A∩B）＝P（A）•P（B）成立時，稱事件 A 與事件 B 獨立。」例如：投擲一公正銅板二次，令 A 表第一次出現正 面的事件，B 表第二次出現正面的事件，則 A、B 二事件相互獨立。

八、機率概念的思考層次

本研究所指之機率概念的思考層次是 Jones, Langrall, Thornton & Tarr（1999）所提出的「機率思考架構」理論，在每一個機率組成中， 兒童的機率概念發展皆包含四個層次。「層次一」是主觀的（subjective thinking）思考層次，在此一層次的兒童只基於個人的主觀想法或喜 好來處理機率問題。「層次二」是過渡的（transitional）層次，兒童思 考是介於主觀的和非正式量化思考之間，但其思考結果最後往往返回 依賴主觀的想法。「層次三」是非正式量化（informal quantitative thinking）的思考層次，兒童已能進行量化思考，但尚未具備足夠的 分數概念。「層次四」是思考發展的最高層次，兒童完全使用生產性 策（productive strategy）去描述結果，即求出完整樣本空間之策略， 且已能用分數完整的表現出其數量的推理（numerical reasoning）。

第四節 研究限制

本研究的範圍由於研究者的時間與人力因素，僅以研究者所任教的班級學 童作為主要的研究對象，因此有地域性及廣博性的限制，其結果的呈現請引用 者斟酌參考。

第貳章 文獻探討

本研究主要目的為探討國小五年級兒童學習機率概念之情形，為了能對研 究主題有更深入的瞭解，本章共分為四節撰寫：第一節討論兒童的機率概念思 考模式；第二節介紹機率概念之實證研究；第三節分析機率課程的發展；第四 節探討行動研究法。

第一節 兒童的機率概念思考模式

兒童的機率概念發展正如其他概念發展一樣，由具體到形式運思層次， 逐漸成熟發展。儘管有些研究的範圍涉及兒童的機率思考，例如：Piaget ＆

Inhelder（1975）；Falk（1983）；Hawkins＆Kapadia（1984）；Fischbein，Nello ＆

Marino（1991）； Shaughnessy（1992），卻沒有任何研究已產生一個系統化之

描述或預測學生在機率思考的架構，缺乏這樣的架構去瞭解學生在課堂的學 習，對機率教學的設計是不適當的（引自 Jones, Langrall, Thornton＆ Mogill ,1997）。

然而，Jones, Langrall, Thornton & Tarr（1999）所提出的「機率思考架構」 理論，可用來當作檢測學生機率思考程度的工具，此架構包含六個組成、四層 次。六個組成為「樣本空間」、「實驗機率」、「理論機率」、「機率比較」、「條件 機率」、「獨立事件」。在每一個機率組成中，兒童的機率概念發展皆包含四個 層次。 「層次一」是主觀的（subjective thinking）思考層次，在此一層次的兒童 只基於個人的主觀想法或喜好來處理機率問題。 「層次二」是過渡的（transitional thinking）思考層次，兒童思考是介於主 觀的和非正式量化思考之間，但其思考結果最後往往返回依賴主觀的想法。 「層次三」是非正式量化（informal quantitative thinking）的思考層次，兒 童已能進行量化思考，但尚未具備足夠的分數概念。

「層次四」是思考發展的最高層次，兒童使用衍生性策略（generative strategy）去描述結果，即求出完整樣本空間之策略，例如兩人猜拳所有可能的 情形，則先固定一人是出剪刀，另一人出剪刀、石頭或布三種情形，再固定出 石頭，也有三種情形，最後固定出布，也有三種情形，如此共九種情形。且已 能用分數完整的表現出其數值推理（numerical reasoning）。 以下表 2-1 至表 2-6 分別是不同思考層次在樣本空間（sample space）、 實驗機率（experimental probability of an event）、理論機率（experimental probability of an event）、機率比較（probability comparisons）、條件機 率（conditional probability）、獨立事件（independence）的表現。 表 2-1 樣本空間的思考架構 組成 層次 樣本空間 主觀的 在一階段實驗（例如投擲一枚硬幣）列出不完全的結果。 過渡期的 在一階段實驗以及有時候在二階段實驗（例如投擲兩枚硬幣） 列出完全的結果。 非正式量化的 使用部分衍生性策略去列出二階段實驗的結果。 數值推理的 對於二階段實驗及三階段實驗能應用衍生性策略列出完整的 結果。

表 2-2 實驗機率的思考架構 組成 層次 實驗機率 將從隨機實驗所得來的資料視為無關係的並且使用主觀的判 斷去決定最可能或最不可能的事件。 主觀的 無法察覺在實驗機率和理論機率間有任何關係。 當決定最可能或最不可能的事件，對於樣本數少的實驗資料給 予太多的信任。 過渡期的 當實驗的資料與預想的想法相衝突時，可能會回復到主觀的判 斷。 開始承認決定最可能或最不可能的事件，需要更多的實驗次 數。 非正式量化的 承認實驗機率會和理論機率有顯著的不同。 蒐集適當的資料去決定實驗機率的數值。 數值推理的 從一個大的試驗樣本決定的實驗機率約等於理論機率。

表 2-3 理論機率的思考架構 組成 層次 理論機率 藉由主觀的判斷去預測最可能或最不可能的事件。 主觀的 辨識必然和不可能事件。 過渡期的 藉由量化的判斷去預測最可能或最不可能的事件，但有可能會 回復到主觀的判斷。 藉由量化的判斷去預測最可能或最不可能的事件。 非正式量化的 非正式地使用數字去比較機率。 預測一階段或簡單的二階段實驗最可能或最不可能的事件。 數值推理的 對一個事件選定以數字表示機率。 表 2-4 機率比較的思考架構 組成 層次 機率比較 使用主觀判斷比較在兩個不同樣本空間下一個事件的機率。 主觀的 不能區分「公平」和「不公平」的機率事件。 以量化思考為基礎來做機率比較（並不總是正確）。 過渡期的 開始能分辨「公平」和「不公平」的機率事件。 使用明顯的量化推論去說明比較以及發明自己的方法來表示 機率。 非正式量化的 使用明顯的量化推論去區分「公平」及「不公平」的機率事件。 選定一個機率數值且做一個明顯的比較。 數值推理的 對一個事件選定以數字表示機率。

表 2-5 條件機率的思考架構 組成 層次 條件機率 主觀的 在不置回的情況使用主觀的推論去解釋。 過渡期的 承認在有些事件的機率在一個不置回的情形下會改變；然而， 這個承認並非完整的而且通常僅限於先前已經發生過的事件。 承認在所有事件的機率在一個不置回的情形下會改變。 非正式量化的 可以在不置回的情況下，量化出改變的機率。 可用數字表示置回與不置回情況下的機率。 數值推理的 在置回以及不置回的每一個試驗情況下，使用數字的推論去比 較事件先後的機率。 表 2-6 獨立事件的思考架構 組成 層次 獨立事件 主觀的 有一個傾向去思考連續的事件總是有關係的。 開始承認連續的事件可能有關係的或是沒有關係的。 過渡期的 使用先前試驗的分佈結果去預測下一次的結果。 非正式量化的 可以在置回以及不置回的情況下分出獨立及相依事件。 數值推理的 可以使用機率數值化去區分獨立以及相依事件。 根據以上的架構，對於兒童機率概念思考的洞察，提供了極其重要的參考 架構，來幫助教師了解和促進兒童的機率推理。本研究透過行動研究來探討兒 童機率概念之學習情形與教師之專業成長。因此，本研究之機率概念包含上述 六個組成，且以此架構作為本研究之理論基礎。

第二節 機率概念之實證研究

一、兒童機率概念之認知發展 Piaget＆Inhelder（1975）提出兒童對機率概念的發展分為三階段： （一）第一階段－運思前期 此階段的兒童在一個隨機的混合事件中將嘗試去尋找次序性。例 如：袋中有 6 個紅球 4 個白球，每次抽完再把球放回去，倘若前二 次均抽出紅球，就會認為第三次應該就是白球了。 （二）第二階段－具體運思期 此階段的兒童沒有組合的技巧或數學的成熟度，無法掌握排列組合 的各種狀況。 （三）第三階段－形式運思期 此階段的兒童才漸漸發展出排列組合的完整概念，並且瞭解相對次 數的極限機率，即大數法則。 根據上述兒童機率概念之認知發展理論可知，學生對於機率概念的瞭解會 隨著認知的發展，由主觀而具體的層次逐漸發展至抽象的層次。

二、Jones 等人(Jones, Langrall, Thornton & Tarr,1999)的機率概念之教學研究 （一）研究樣本 觀察八個沒有接觸過機率教學的三年級兒童做為研究個案，時間達 二年多。 （二）研究目的 經由觀察兒童的機率思考過程，這個研究企圖要： 1、發展一個原始的架構，去描述及預測兒童在機率的情境之下， 如何去做思考。 2、根據這個原始的架構去產生評量的探討。 3、使用評量的探討去精練及確認這一個架構。

（三）研究結果 1、研究已發展且驗證一個架構可以系統性的描述和預測兒童在機 率上的想法。 2、此架構中，兒童的機率概念包含了四個組成，「樣本空間」、「理 論機率」、「機率比較」和「條件機率」。而 1999 年又增添了以 預測和實驗為主的「實驗機率」和由條件機率引申出來的「獨 立事件」。對每一個組成，有四個層次，想法範圍由主觀判斷到 數字推理。 3、雖然已有大量的研究在機率研究已提到機率概念，但是，提出 的架構將提供兒童機率思考的藍圖，這在指引課堂教學和評量 是有需要的。 三、機率另有概念之研究 （一）朱雅瑋（民 85）「國小學童機率的直觀概念」 研究主要探討國小學童機率概念的直觀類型，以國小六年級兒童三 校九班為研究之樣本，進行問卷調查及面談，研究發現國小學童機 率概念的直觀類型可分為八類。 1、符合已出現母群分配典型。 2、符合理想母群分配典型。 3、符合隨機過程典型。 4、正反時近效應。 5、樣本空元素之可獲性不足。 6、無法從不同具體情境抽離出相同數學結構。 7、樣本空間之形成不正確。 8、結果取向。 （二）張捷勝(民 90)「探討兒童的機率學習－以國小六年級的學生為例」 研究旨在探討學生在機率學習時對機率問題的想法，以自己任教的

國小六年級班級為研究之樣本，進行行動研究，研究結果發現學生 在機率學習時對機率問題的想法有如下的類別： 1、想法自然型。 2、想法接受型。 3、想法整合型。 四、機率迷思概念之研究 （一）Kahneman＆Tversky（1972，1973）表示迷思概念普遍存在大學生 之中甚至具有統計背景的學生也不例外。兩個最常見的迷思概念類 型可歸類成「代表性啟發」（representativeness heuristic）和「可獲 性啟發」（availability heuristic）。 「代表性啟發」是指人們估計事件的可能性是基於一個結果能代表 其母群的某些方面的適當性，認為即使是小樣本或單一的結果要不 是能反應母群的分配就是能反應隨機事件產生的過程。 「可獲性啟發」是指當人們估計某事件的可能性是基於他們能夠喚 起心中某事件的特別例證的容易度而定。此種判斷的啟發是由於其 自我狹隘的經驗或個人的觀點，因此可歸納是其個人重要的偏見。 （二）Konold（1983，1991，1993）研究指出有些學生並不把實驗的單一 試驗結果視為許多試驗結果中的一個，而是認為實驗中的每個單一 試驗是分離、個別的現象，Konold 稱之為結果導向（outcome approach）。 （三）Green（1987，1988）從 3000 位 11-16 歲的受試者中，近一步探尋 機率的發展階段，並據以提出三點建議： 1、比值的概念對機率的概念認知相當重要。 2、學生對使用機率語言時，如可能、不可能、至少、確定的詞彙 時，顯現模糊的觀念。 3、只有經由學校廣泛且有系統的教學過程，才可能減少迷思概念。

（四）Lecoutre（1992）曾對學生做骰子及撲克牌籌碼的「純隨機試驗」 研究，發現學生有「等機率偏見」（equiprobability bias）。學生認 為隨機事件的發生應該是自然而然相等的。 （五）林燈茂（民 87）「機率教學前後之國小六年級學童的機率概念知識 之比較研究」 針對 124 名受試學童分析與比較，於機率教學前後在六個某些共同 問題（包括「比值接近」一題、「大數法則」兩題、「機率值」三題） 的答題應情形，其研究結果顯示：現行國小機率教學，不僅未能有 效改善學童於機率教學前所潛在的迷思想法（部分甚至被強化）， 而且還激發出一些新的迷思想法。 （六）吳靜瑜（民 87）「國小六年級學童機率概念之研究」 研究探討學生在面對機率問題時，其所產生的迷思概念類型，以國 小六年級兒童三校三班共 107 位學童為研究之樣本，進行問卷調查 及晤談，研究發現學生在面對機率問題時，其所產生的迷思概念類 型共有六種： 1、正負時近效應。 2、結果取向。 3、對樣本空間進行分類。 4、可獲性捷思策略。 5、數量模式。 6、忽略樣本空間大小對預測準確性之影響。 （七）陳欣民（民 91）「國小學童解機率問題之個案研究」 研究探討三位未曾接觸機率課程與教學之學童的機率概念，採用半 結構式晤談法進行訪談，研究者將學者的研究中歸納出學生在面對 機率問題所可能存有的迷思概念如下： 1、代表性捷思策略。 包括（1）符合母群體隨機過程分配典型

（2）符合理想母群體分配典型 （3）正時近效應 （4）負時近效應又稱為「賭徒謬誤」（Gambler’s Fallacy） 2、可獲性捷思策略。 3、結果取向。 4、忽略樣本空間大小對預測準確性之影響。 5、對稱性機率實驗與非對稱性機率實驗。 6、以絕對差異的大小為依據。 7、判斷事件發生的可能性時所使用的錯誤想法。 8、做機率比較時以目標物的大小為依據。 從這些機率概念之實證研究相關文獻中，發現兒童在學習機率概念過程中 的問題及盲點，因此，本研究除了探討兒童學習機率前的思考層次外，也想探 究兒童在學習機率概念過程中之對話與機率概念思考層次的成長情形。

第三節 機率課程的發展

一、國內小學的機率課程發展： （一）民國六十四年公佈之課程標準在統計與圖表部份中將能獲得概率 （機率）的初步認識，放在第六學年度，且在十二冊最後一單元（教 育部，民 64）。民國六十四年課程標準列的是概率，直接進入機率 模式之教學，內容包含實驗機率和古典機率，共花 240 分鐘來教機 率單元。其教材地位如下： 五年級 六年級 國中 第 11 冊第 10 單元 ＊比的意義 ＊比值的意義及求法 ＊比的相等關係及其 化簡 本冊第 2、5 單元 ＊打折的意義及求法 ＊加成的意義及求法 ＊資料的整理 —次數分配 ＊平均數、中 位數與眾數 ＊相對次數分 配與相對累 積次數分配 ＊機率 本單元 ＊機率的簡單概念 ＊機率的求法 ＊機率的應用 第 10 冊第 9 單元 ＊百分率的意義 ＊百分率的求法 圖 2-1 六十四年版機率課程教材地位圖

（二）民國八十二年新修訂的國民小學課程標準中統計圖表部份六年級亦 列有從遊戲中瞭解機率的初步概念並加以注解，意即機率的初步概 念包含兩部份：1、部分與全體的關係 2、大數法測，也就是大量的 試驗結果，趨近於某一數。例：世界人口，男女人類趨於平衡，各 約占總人口人數的 1/2。（82 年國民小學課程標準，P131）。82 年課 程標準列的是從遊戲中瞭解機率的初步概念且指定為大數法則。只 探討機率之初步概念，包括實驗機率和主觀機率之初步概念但尚未 進入機率模式之建立。藉由兒童之日常生活經驗慢慢導入事件發生 程度之量化，課程內容包含認識百分數，讀圓形圖和長條百分圖及 機率，合起來共 200 分鐘。 （三）教育部八十九年公布「國民中小學九年一貫課程暫行綱要」，後經 修訂，於九十二年初陸續公佈九年一貫各學習領域課程綱要，於九 年級（國中三年級）機率的介紹仍以引進實驗或遊戲來了解機會並 建立相關概念為主，尚不宜做嚴格的定義或過份繁雜的統計量計 算。此階段可視資料量或其特性，適度引進電算器、電腦軟體來協 助計算統計量，或製作統計圖形。有關電算器、電腦的使用，應視 為學習的輔助工具，除非資料量過大或人工不易執行，否則不宜完 全依賴它們來執行。統計圖形的製作，在小學階段仍以人工製作為 主；在九年級可引進通用的軟體，如 Excel 或其他繪圖軟體來協 助。由於「統計與機率」主題在國民教育階段仍屬概念性的教學， 較嚴謹的介紹將在高中、職階段的數學課程中實施。 二、美國數學教師協會（NCTM）2000 年公佈有關機率部份 美國數學教學計畫中，從幼稚園到十二年級有關機率部份： （一）幼稚園到二年級機率部份的年級目標 1、發展和評估推論，並從基本資料做預測（從學生經驗中來探討 可能與不可能）。

2、瞭解與應用機率的基本概念。 （二）三到五年級機率部份的年級目標 1、用可能或不可能來描述事件，並用像「必然」、「可能的」字眼 來討論可能性的程度。 2、預測單純的實驗結果的機率，並預試此預測。 3、理解一個事件發生可能性的程度可以用 0 到 1 的任一數字來表 徵。 （三）六到八年級機率部份的年級目標 1、了解和使用機率的術語去描述互補和互斥的事件。 2、從經驗和模擬實驗使用比例和機率基本理解去做推論。 3、能利用組織表、樹形圖或面積模式等方法來計算簡單複合事件 的機率。 （四）九到十二年級機率部份的年級目標 1、瞭解樣本空間和機率分配的概念並在簡單情況下的建構樣本空 間和機率分配。 2、用模擬試驗來構築經驗機率的分配。 3、計算及在簡單情形中解釋隨機變量的期望值。 4、理解條件機率和獨立事件的概念。 5、理解如何計算一個複合事件的機率。 從以上的國內小學的機率課程發展和美國數學教學計畫，綜合其結果發現 國內機率的課程在國小六年級，甚至是國中三年級才出現，而美國從幼稚園到 十二年級都有機率的概念教學，國內機率的課程設計比美國晚了許多，並且美 國的機率課程是從淺顯到深入循序漸進的去設計，國內很少有系統及充分的時 間去接觸機率的學習。蔡文煥（民 87）也提及是否在我國國小課程亦可考慮提 早在四年級便進行初步機率主觀念之建立，而在高年級時再導入經驗機率模式 之建立。

第四節 行動研究法

本研究採行動研究法（action research），指以小規模的介入實際情境， 對當前事務中獨特問題的探究；通常由直接涉事的那些人負責執行，並對此一 介入的效果作嚴謹的檢查，旨在促成某種獨特情境的改變。這種由工作者共同 參與，謀求工作情境中當前問題之解決，評價並導正決定和行動過程的研究方 法，就是行動研究法（郭生玉、黃光雄、簡茂發，民 80 年）。就國小老師而言， 學校或教室即為其所要進行研究的實際情境。。 「行動研究」的基礎假設為：一、教學現場發生的問題需要特別的解決方 案。二、實務問題的解決之道只能在實際情境中發展出來，因為問題是在實際 情境中發生的。三、解決之道不能任意應用到其它情境中，但可以提供其它實 務工作者參考，並在實際情境中進行檢驗。 行動研究的步驟分為研究階段和行動階段，如下： 一、研究階段 (一)發展問題 1、一個興趣－教師希望、喜歡。 2、一個困難－想要改善一個困難的情境、解決一個問題。 3、一個困惑－想要了解問題、探求真相。 (二)初步文獻探討 1、簡單收集與問題相關之文獻。 2、初步閱讀得到初步概念，建立研究的起點行為。 (三)確定研究問題 1、將研究問題進一步釐清、精確化。 2、問題分析由大而小、由廣而狹、由淺到深。 3、重新界定問題、確定研究目的。

(四)深入文獻探討 1、文獻內容兼顧理論、實際研究及相關文件。 2、文獻內容要包含概念、變項的意義、變項的測量方法等。 3、文獻資料要經整理組織、並且要有適當的歸納批判。 4、文獻的陳述要客觀、完整、不斷章取義或單面陳述。 (五)擬訂研究計畫 1、選擇研究方法與研究工具。 2、確定研究程序、研究對象、樣本、資料處理方法。 (六)執行研究計畫 1、收集資料──書面文件、觀察等方法。 2、分析資料──應用歸類、比較、驗證等方法將資料進一步分析。 3、解釋資料──根據分析結果以敘述的方法解釋資料。 (七)撰寫研究報告 1、研究報告基本架構。 2、文字敘寫簡明清晰。 3、邏輯推論嚴謹、講求證據。 二、行動階段 (一)擬訂行動方案 1、根據研究結果所提之建議，提出可能的行動改善方案。 2、比較並選擇較佳之行動方案。 (二)實施行動方案 1、開始進行新的行動方案。 2、繼續資料的收集，以便比較分析。 (三)行動方案的評鑑與檢討 1、評估新的行動方案實施之成效。 2、應用適當的測量方法進行評估。

(四)修正行動方案再實施 1、根據評估結果修正行動方案。 2、根據修正行動方案再行實施。 3、評估修正行動方案的成效。 進行行動研究法時，資料收集有以下幾種方法： 一、書面文件 （一）學生作業：日記、文章、活動、測驗、班刊、塗鴉等。 （二）教師文字資料：課程設計、作業評論、筆記、日誌、評量等。 （三）其它：其它與研究主題相關之文件。 二、觀察和記錄 （一）直接觀察與記錄：教師自己直接觀察與記錄。 （二）他人觀察與記錄：教師於情境中，但請別人進行觀察與記錄。 （三）錄音觀察與記錄：使用錄音方式進行。 （四）相片觀察與記錄：使用照相機。 （五）影帶觀察與記錄：使用錄影機。 三、訪談與記錄 （一）準備半結構性問題。 （二）說明目的。 （三）傾聽。 （四）提問。 （五）闡述與澄清。 四、書面調查 （一）設計問卷。 （二）進行施測 針對研究對象實施問卷調查。 （三）資料分析

1.閱讀資料。 2.選擇資料。 3.呈現資料。 4.解釋資料、做結論。 以往所謂“研究”大多是指教師們的理工或文史專長，其實，身為一位教 師，用心去了解自己的“教”與學生的“學”，似乎也是一個值得投入的研究 方向。行動研究是以自我反省與自我批判為手段，來檢視教師本身教學過程的 一種實務研究，透過研究過程，教師本身成為研究者，不僅可以提升自己的實 踐理論與能力，更能藉由行動研究策略增進教學與學習的品質，此外，更帶動 了教師們對專業的重視，也擴大了專業的知識基礎。行動研究不是一門艱深的 學問，只是一些基本的概念與做法，卻可以幫助教師們自省，也可以幫助學生 的學習，是一種值得鼓勵的研究。

第參章 研究方法

本研究採用的研究方法為行動研究法（action research）。研究者選擇自己 任教的班級來實地進行，以蒐集相關資料進行分析及回答研究問題。故本章依 研究設計與理念、研究流程、研究者經驗與角色、研究情境、前後測工具的發 展與實施、資料的收集與分析六節敘述如下：

第一節 研究設計與理念

本研究參考 Jones et al.（1999）之研究中的「選班長活動」，來設計在樣 本空間、實驗機率、理論機率、機率比較、條件機率、獨立事件的主要教學活 動。研究者目前（九十二學年度）擔任五年級之級任老師，設計「誰是班長？」 之教學活動，實施教學時間為期三週，每週實施二節機率概念的教學，實施教 學地點在班級教室。 一、研究設計的架構 為了能瞭解學生對於各式各樣的機率推理,研究者在自己任教的班級實施 一系列的教學活動。藉由系統性的觀察受教者的想法,包括六種重要觀念: 樣 本空間、實驗機率、理論機率、機率比較、條件機率、獨立事件。 樣本空間的觀念在所有機率推理中是基本的，本研究參考 Jones et al. （1999）之研究，設計一階段、二階段之隨機實驗，據此瞭解兒童對樣本空間 之理解情形。 而在實驗機率、理論機率、機率比較、條件機率、獨立事件方面，研究者 均設計三個情境題來進行教學，其中一道題為參考 Jones et al.（1999）之佈 題，其餘二道題為研究者本人之自行設計。 二、機率概念教學活動設計

（一）單元名稱：「誰是班長？」 （二）教學活動目標 活動一（樣本空間）：對於一個事件，能夠知道所有可能的結果。 活動二（實驗機率）：將從隨機實驗所得來的資料，瞭解當一個試 驗樣本產生一個實驗機率會和理論機率有顯 著的不同。 從一個大的試驗樣本決定的實驗機率較可能 接近理論機率。 活動三（理論機率）：能以量化的判斷去預測一個事件的機率。 活動四（機率比較）：在兩個不同的隨機實驗中，比較一個事件的 機率。 活動五（條件機率）：知道所有事件的機率在一個不置回的情形下 會改變。 活動六（獨立事件）：瞭解獨立事件的意義。 （三）教學活動內容 1、問題情境： 五年級即將結束，各班開始準備選出六年級的班長，在五年甲 班被提名的五位學生得票數都相同，五位學生分別是：雅勻 （女）、陞鴻（男）、霈頡（女）、哲維（男）、聖旻（男）。在五 年乙班被提名的五位學生也打成平手，五位學生分別是：宜辰 （女）、伯旻（男）、鈺欣（女）、玟惠（女）、映廷（女）。甲、 乙兩班級老師決定打破平手僵局,將名字放入箱子裡,搖動後抽 出一個名字當班長。 2、六個機率概念的活動設計說明：

表 3-1 六個機率概念的活動設計 活動名稱 活動核心佈題 樣本空間活動設計 1、在五年乙班，你（妳）覺得哪一個名字會被抽出? 實驗機率活動設計 1、在決定抽出誰當班長之前，五年乙班的老師事先做 了 20 次的抽球活動。老師的結果如下:宜辰 3 次、 伯旻 3 次、鈺欣 4 次、玟惠 2 次、映廷 8 次。由以 上結果為基礎，誰最有可能當班長？或是無法說出 來？ 2、假設五年乙班的老師做了 100 次的抽球，你（妳） 覺得結果會是什麼？給每位被提名人一個數字，說 出你（妳）的想法。 理論機率活動設計 1、在五年乙班，是否女生比較有可能抽到班長?請解釋。 2、宜辰（女）抽到班長的機會是否比伯旻（男）大? 為什麼? 機率比較活動設計 1、在哪一個班級中（五年甲班或是五年乙班）男生比 較容易抽中？你（妳）怎麼知道呢？ 條件機率活動設計 1、在五年乙班，宜辰被抽出而選為班長。老師接著抽 第二位班長，將宜辰的名字拿出箱子。當宜辰的名 字拿出去後，抽出其他人名字的機率是否有改變? 2、接上題，伯旻被抽出的機會有改變嗎？請解釋。 獨立事件活動設計 1、五年甲班的老師決定從箱子裡抽出五次，以第五個 名字當班長。每一次把抽出來的結果紀錄下來後再 放回箱子。前面四次抽出來的依序是女、男、男、 男。女生在第五次是否有更好的機會被抽中？請解 釋。

3、教學中之活動 （1） 活動一： a、預備經驗：（a）兒童能說出自己的觀察和想法。 （b）能瞭解佈題的情境。 b、情境佈置：（a）準備一個箱子，內裝五顆大小一樣的球， 上面各貼上五位被提名的兒童名字。 （b）學習單（如附錄三-1）、小組討論。 （2） 活動二： a、預備經驗：（a）兒童能說出自己的觀察和想法。 （b）能瞭解佈題的情境。 b、情境佈置：硬幣、學習單（如附錄三-2）、小組討論。 （3） 活動三： a、預備經驗：（a）兒童能說出自己的觀察和想法。 （b）能瞭解佈題的情境。 b、情境佈置：學習單（如附錄三-3）、小組討論。 （4） 活動四： a、預備經驗：（a）兒童能說出自己的觀察和想法。 （b）能瞭解佈題的情境。 b、情境佈置：學習單（如附錄三-4）、小組討論。 （5） 活動五： a、預備經驗：（a）兒童能說出自己的觀察和想法。 （b）能瞭解佈題的情境。 b、情境佈置：學習單（如附錄三-5）、小組討論。 （6） 活動六： a、預備經驗：（a）兒童能說出自己的觀察和想法。 （b）能瞭解佈題的情境。 b、情境佈置：學習單（如附錄三-6）、小組討論。

4、教學後之反省 在每次實施教學後，受教者需要寫數學日記（見附錄四），可藉 此讓受教者再次思考上課所學習的觀念，或寫出遇到的困難，或 寫出任何自己的想法等，研究者也可藉此瞭解其想法，更能幫助 機率概念的學習。 而研究者需要寫研究日誌（見附錄五），可幫助研究者反省教學 活動的流程或課程的設計等等相關的問題，對於整個研究的進行 有其重要性。

第二節 研究流程

撰寫報告 資料分析 1.兒童機率學習之觀察 2.教學研究日誌 3.晤談學生 4.文件資料 5.資料轉譯 6.分析歸納 行動研究 1.前測 2.機率教學 3.後測 4.教學反省與問題諮詢 選擇研究樣本 研究問題與文獻探討 1.研究工作準備 2.形成研究問題 3.相關文獻探討 圖 3-1 研究流程圖

第三節 研究者經驗與角色

行動研究之設計及資料蒐集都不那麼正式，研究涉及的人員時常直接 參與資料的蒐集，並進而自行研究之。在此研究中，就經驗論來說，至少 要具備五年以上之教學經驗；在教學基本素養方面，必須參加進修或研習 活動一週以上，還要有舉辦教學觀摩的經驗；而在人脈方面也很重要，要 有大學教授或研究學者等諮詢的對象，能隨時對研究進行反省與修改的能 力。 研究者畢業於國立台北師範學院數理教育學系數學組，民國 86 年畢 業後就一直擔任國小級任教師，接觸數學科的教學多年；也於民國 87 年 指導學生參加 38 屆中小學科學展覽，榮獲初小組數學科甲等；目前負責 任教學校之數學領域召集人的工作，經常參與和數學教育相關的進修研習 活動。 在本研究中，研究者的角色是「教師即研究者」。研究者在民國 91 學 年度進入國立台中師院數學教育研究所教學組就讀，蒐集、閱讀機率概念 的相關資料，設計教學活動以利機率教學的進行，且依現場的教學實務經 驗，進行學生的晤談以及其他相關資料的蒐集，期望藉由蒐集到的資料瞭 解學生對機率概念的學習情形。

第四節 研究情境

一、個案學校介紹 本研究的學校位於彰化縣秀水鄉的北部，靠近彰化市區，總班級數 約 23 班，是一所百年的老學校，多數的家長教育程度為國、高中，僅少 數為專科以上之程度，大部份都十分關心學生的學習，一班的學生數約 32 人，大約有三分之一的學生會在放學後到安親班進行課後輔導，學校的教 師年齡分布十分平均，從年輕到資深教師都有，平均年齡 35 歲。

二、研究對象 本研究的班級為五年乙班，是一常態編班的班級，學生程度低、中、 高三群皆有，參與研究的學生男生有 17 人，女生有 16 人，學生之間的相 處融洽，五年級即由研究者擔任級任老師，為了加強訓練學生的發表討論 能力，學期開始座位即採討論式的小組分配，依每次的評量成績做異質性 的分組，平均分配分成 6 組，每組男女生人數各半。 三、班級氣氛 本研究班級的學生自五年級重新分班，但同學之間的互動不錯，班級 氣氛良好。 四、教室配置 第四組 第五組 第六組 第一組 第二組 第三組 電腦 教師座位 公 佈 欄 門 門 視聽器材 DVD 黑 板 圖 3-2 班級配置圖

第五節 前後測工具的發展與實施

本研究所採用之前、後測問卷是參考 Jones et al.（1999）之研究及國 內小學機率課程所改編。 進行前測的時間是在正式機率教學前一個月，後測的時間是在正式機 率教學後一個月，都採用同一問卷施測，以瞭解教學前後學生的機率認知 及學習改變的情形。 此測驗問卷內容包含了六個組成：「樣本空間」、「實驗機率」、「理論 機率」、「機率比較」、「條件機率」和「獨立事件」。其試題分析見附錄二。 一、試探性階段 為了瞭解本測驗問卷的可用性與適用性，且作為修定與刪除題目之依 據，問卷初稿擬定後，研究者即印製本研究之研究目的、研究問題、研究 對象、問卷內容，並附上簡要說明，請教國立台中師範學院數教所的教授， 以及在學校有實務經驗之數學教師，針對問卷之內容、題目類型、文字敘 述的方式等提供意見（見附錄六），以建立本問卷之專家效度，最後擬定 預試的問卷。 二、預備性階段 預試的問卷編妥後，隨機抽選本校五年級一班學生進行預試。而這些 學生將不列入研究對象。 三、正式施測 匯集預試結果及專家學者所提之意見，將問卷題目之文字敘述與題數 進行修正而形成正式施測問卷（見附錄一）。

第六節 資料的蒐集與分析

本研究整個資料的蒐集與分析可分為三個階段，第一階段是在兒童學 習機率活動前；第二階段是在兒童學習機率活動中；第三階段是在兒童學 習機率活動結束後，在所有的資料蒐集完畢後，對所有的資料統整與分析。 一、質的部份 （一）錄影、錄音及拍照 包括教學活動、晤談等項目之實況錄影、錄音及拍照，均委請 學校的實習教師幫忙，以協助研究者回想當時的狀況，便於教 學當天進行檢閱，作為改進教學之參考。 （二）訪談紀錄 1、時間：利用午休時間或下課時間。 2、對象：在前測、學習單、數學日記或後測中無法呈現自己 的想法或解題策略之學生為主要之訪談對象，進行 半結構式的晤談，來瞭解學生的學習情形。 3、方式：研究者會先讓訪談對象重新閱讀自己的筆測問卷內 容，以喚起記憶，接著使用如下的用語來引導被訪 談的學生做更深入的說明。「你（妳）知道題目的意 思嗎？」、「你（妳）是如何知道答案的？可不可以 再說清楚一點？」、「為什麼你（妳）覺得是這樣呢？ 可不可以請你（妳）說說看？可不可以再說清楚一 點？」、「你（妳）的想法是從哪裡來的？」。從學生 的回答當中，研究者可藉此瞭解學生的舊經驗、學 習方式及對問題的瞭解與做法。 4、紀錄：在訪談後，馬上逐字紀錄於筆記型電腦，作為撰寫研 究報告時的參考資料。 （三）研究日誌 研究者在每次教學後立即寫下自己的想法、發現的問題及反省

改進的空間，平時也將所有的想法寫在隨身的筆記，當作研究 省思的參考資料。 （四）學生的文件資料 1、數學日記：每一次進行教學後，學生將學習的心得或發現 寫下，能讓學生自己思考學習的過程，也讓研 究者瞭解學生的想法，格式如附錄四。 2、學習單：進行教學所使用的，可以瞭解學習過程中的情形， 內容如附錄三。 （五）文字題問卷 前、後測問卷文字題的部分，共有 8 題，以瞭解機率教學前後 兒童的機率思考情形。依據下列步驟分析兒童的機率思考層 次： 1、將本研究文字題問卷，根據機率概念的六個組成，分別將 題目分為六群。（見附錄二） 2、參考 Jones 的機率概念思考架構，分析每一位受試者在每 一題的填答理由，以決定該受試者在各題的思考層次為主 觀的（層次一），或過度的（層次二），或非正式量化的（層 次三），或者量化的（層次四）層次。（見表 2-1 至表 2-6） 3、記錄受試者在每一題所能達到的最高層次。 二、量的部份 採用前、後測問卷中選擇題的部分，選擇題共有 20 題，每題答 對給 5 分，答錯給 0 分，因此總分是 100 分。以瞭解機率教學前後兒 童的學習改變的情形。 三、信度和效度 在質的部份，以 Denzin（1978）所提出四種形式的三角校正法， 來考驗文字題問卷與質性資料之信效度（引自吳芝儀等譯，民 88）。

（一）方法論三角校正：本研究採用不同的資料收集方法，檢驗研 究發現的一致性。 （二）資料三角校正：本研究分別從學生、老師、文獻等收集有關 同一事件的資料，在同一方法中檢驗不同資 料來源的一致性。 （三）研究者三角校正：本研究邀請指導教授和資深國小教師對研 究發現進行審查與認可。若三位中有二位 持相同看法則認定研究發現具可靠性。 （四）理論三角校正：本研究使用機率相關文獻（參閱第二章）和 Jones 理論去詮釋資料。 因此，本研究之文字題問卷與質性資料具良好之信效度。 在量的部份，本研究以統計套裝軟體 spss 分析前測選擇題測驗之 Cronbach α係數為 0.89 具良好之信度，且邀請指導教授和資深國小 教師進行審查、建議與認可的工作，所以選擇題測驗具專家效度。

第肆章 結果與討論

本研究主要是對研究者所任教的班級，以機率概念為主題的教學來進行行 動研究，藉以瞭解國小五年級兒童學習機率概念的情形，並促進研究者的教學 反省與改進。本章第一節針對國小五年級兒童學習機率概念前對機率問題的思 考層次做分析解釋，第二節分析學習後對機率問題之解題表現和想法，第三節 描述研究者的教學反省與專業成長。

第一節 學習機率概念前對機率概念的思考層次

本研究在實施機率概念教學前一個月做了前測（見附錄一），前測之紙筆 測驗包含「樣本空間」、「實驗機率」、「理論機率」、「機率比較」、「條件機率」、 「獨立事件」六個組成，透過兒童在機率概念文字題上之作答情形，可以瞭解 兒童學習機率概念前對機率概念的想法。 一、樣本空間 根據前測的機率概念文字題第四題，題目內容如下： 甲班和乙班的班長猜拳要決定拔河比賽的場地，請問兩位班長共有幾種猜拳的情形， 例如：甲班出剪刀，乙班出石頭是其中一種情形。（作答時剪刀以×表示、石頭以○表 示、布以△表示） 從兒童回答該題的情形來看，全班 33 位兒童中有 8 位兒童答對，有 3 位 兒童能使用部分生產性策略去列出二階段實驗的結果，屬於層次三非正式量化 的的思考層次。其他 5 位兒童在一階段實驗以及有時候在二階段實驗列出完全 的結果，屬於層次二過渡期的思考層次。而未答對的 25 位兒童在一階段實驗 列出不完全的結果，屬於層次一主觀的的思考層次。 根據 Jones et al.（1999）提出的機率思考架構分析，研究對象之兒童在學 習機率概念前，面對有關樣本空間的問題時，有如下之三種不同思考層次： （一）主觀的層次：研究對象之兒童在學習機率概念前，在一階段隨機實

驗中，列出不完全的結果。 （二）過渡期的層次：研究對象之兒童在學習機率概念前，在一階段隨機 實驗以及有時候在二階段隨機實驗中，列出正確的 結果。 （三）非正式量化的層次：研究對象之兒童在學習機率概念前，使用部分 生產性策略去列出二階段隨機實驗的結果。 二、實驗機率 根據前測的機率概念文字題第一題，題目內容如下： 小丸子和小玉共同投擲一枚硬幣 20 次之後，結果出現正面 12 次，反面 8 次，底下是她 們探討在這 20 次的投擲當中，出現正面或反面的機會誰比較大的對話。小丸子說：「因 為出現正面 12 次的關係，所以代表正面出現的機會比反面大。」小玉說：「不對，出現 正面的機會和出現反面的機會是一樣的。」你（妳）認為誰說的對呢？把你（妳）的想 法寫下來。 從兒童回答該題的情形來看，全班 33 位兒童中有 1 位兒童未作答，訪談 結果得知看不懂題目在說什麼，不會寫所以未作答。有 15 位兒童使用主觀的 判斷去決定結果，屬於層次一主觀的的思考層次。有 9 位兒童對於實驗資料的 小樣本給予太多的信任，屬於層次二過渡期的思考層次。其他 8 位兒童覺得更 多方面的試驗樣品是被需要的，屬於層次三非正式量化的的思考層次。 根據 Jones et al.（1999）提出的機率思考架構分析，研究對象之兒童在學 習機率概念前，面對有關實驗機率的問題時，有如下之三種不同思考層次： （一）主觀的層次：研究對象之兒童在學習機率概念前，往往把從隨機實 驗所得來的資料視為無關係的，並且使用主觀的判斷 去決定最可能或最不可能的事件。 （二）過渡期的層次：研究對象之兒童在學習機率概念前，當決定最可能 或最不可能的事件，對於隨機實驗中已出現之樣本 給予太多的信任；同時當隨機實驗的資料與預想的 想法相衝突時，可能會回復到主觀的判斷。

（三）非正式量化的層次：研究對象之兒童在學習機率概念前，開始察覺 是否增加隨機實驗之次數，關係到實驗機率之 結果。 三、理論機率 根據前測的機率概念文字題第五題、第六題、第七題，題目內容如下： 甲班和乙班各派代表猜拳，請問共有幾種猜拳的情形，例如：甲班出剪刀，乙班出石頭 是其中一種情形。（做答時剪刀以×表示、石頭以○表示、布以△表示） 接上題，甲班贏的機率有多少？（ ）。 乙班贏的機率有多少？（ ）。 在電視節目的遊戲中，有一個保密的二位數□□。 個位可以是 1 或 2 或 3，十位可以是 4 或 5 或 6 你（妳）挑選個位數字正確的機率有多少？（ ）。 從兒童回答的情形來看，全班 33 位兒童中有 14 位兒童藉由主觀的判斷去 預測事件的機率，屬於層次一主觀的的思考層次。有 18 位兒童藉由量化的判 斷去預測事件的機率，但有可能會回復到主觀的判斷，屬於層次二過渡期的思 考層次。只有 1 位兒童藉由量化的判斷正確的去預測事件的機率，屬於層次三 非正式量化的的思考層次。 根據 Jones et al.（1999）提出的機率思考架構分析，研究對象之兒童在學 習機率概念前，面對有關理論機率的問題時，有如下之三種不同思考層次： （一）主觀的層次：研究對象之兒童在學習機率概念前，藉由主觀的判斷 去預測最可能或最不可能的事件，以及能辨識必然和 不可能事件的能力。 （二）過渡期的層次：研究對象之兒童在學習機率概念前，藉由量化的判 斷去預測最可能或最不可能的事件，但有可能會回 復到主觀的判斷。 （三）非正式量化的層次：研究對象之兒童在學習機率概念前，藉由量化

的判斷去預測最可能或最不可能的事件時，會 使用非正式數字去比較機率。 四、機率比較 根據前測的機率概念文字題第二題和第三題，題目內容如下： 聖誕老公公的禮物袋有二包，第一包裡面有 1 枝棒棒糖 9 條巧克力，第二包裡面有 8 枝 棒棒糖 2 條巧克力，只能選其中一包抽出一個，你（妳）會選那一包禮物袋？為什麼？ 與你（妳）想要的禮物有關嗎？ 我會選第（ ）包，因為： 接上題，聖誕老公公的二包禮物袋，對於喜歡巧克力的小朋友抽到巧克力機會一樣嗎？ 請說明你（妳）的答案。 從兒童回答的情形來看，全班 33 位兒童中有 17 位兒童使用主觀判斷比 較在兩個不同樣本空間下一個事件的機率，屬於層次一主觀的的思考層次。有 15 位兒童以量化思考為基礎來做機率比較（並不總是正確），屬於層次二過渡 期的思考層次。只有 1 位兒童使用明顯的量化推論去說明比較以及發明自己的 方法來表示機率，屬於層次三非正式量化的的思考層次。 根據 Jones et al.（1999）提出的機率思考架構分析，研究對象之兒童在學 習機率概念前，面對有關機率比較的問題時，有如下之三種不同思考層次： （一）主觀的層次：研究對象之兒童在學習機率概念前，使用主觀判斷比 較在兩個不同樣本空間下一個事件的機率。 （二）過渡期的層次：研究對象之兒童在學習機率概念前，以量化思考為 基礎來做機率比較（並不總是正確）。 （三）非正式量化的層次：研究對象之兒童在學習機率概念前，使用明顯 的量化推論去說明比較以及發明自己的方法來表 示機率。 五、條件機率 根據前測的選擇題第七題、第九題、第十六題和第十八題，題目內容如下：

一包 m＆m 巧克力裡面裝有 2 顆紅色、3 顆黃色、4 顆綠色的巧克力，假如拿出一顆紅 色的糖果且吃掉了，而老師再把這一包糖果搖一搖，你（妳）再度閉起眼睛不看並從中 拿出一顆，拿出黃色的機會比起原來的情形機會是如何？ 1 變大 2 變小 3 不變 4 無法預測 箱子裡裝有大小都一樣的紅球 2 顆、黃球 5 顆、綠球 4 顆，假如你（妳）前二次都拿出 黃球且不再放回，而老師再把這一箱彩色的球搖一搖，你（妳）再度閉起眼睛不看並從 中拿出一顆，你（妳）得到何種顏色的球機會最小？請你（妳）選出最認同的選項。 1 紅色 2 黃色 3 綠色 4 藍色 摸彩箱裡面有 5 顆紅球、7 顆黃球、9 顆綠球，假如拿出黃球一顆且不放回箱裡面，而老 師再把摸彩箱搖一搖，你（妳）再度閉起眼睛不看並從中拿出一顆，拿出紅色的機會比 起原來的情形機會是如何？ 1 變大 2 變小 3 不變 4 無法預測 萬聖節的『不給則搗蛋』活動，袋子裡裝有 3 條草莓巧克力棒、1 條牛奶巧克力棒和 2 條杏仁巧克力棒。小丸子想要到草莓巧克力棒。第一次她抽出一條牛奶巧克力棒而且吃 掉。假如她再抽一次，抽出草莓巧克力棒的機會變得如何？ 1 變大 2 變小 3 和以前一樣 4 無法預測 從兒童回答的情形來看，全班 33 位兒童中有 29 位兒童在不置回的情況使 用主觀的推論去解釋，屬於層次一主觀的的思考層次。有 4 位兒童承認事件的 機率在一個不置回的情形下會改變，屬於層次二過渡期的思考層次。 根據 Jones et al.（1999）提出的機率思考架構分析，研究對象之兒童在學 習機率概念前，面對有關條件機率的問題時，有如下之二種不同思考層次： （一）主觀的層次：研究對象之兒童在學習機率概念前，使用主觀的推論 去解釋在不置回的情況。 （二）過渡期的層次：研究對象之兒童在學習機率概念前，承認事件的機 率在一個不置回的情形下會改變。

六、獨立事件 根據前測的機率概念文字題第八題，題目內容如下： 在電視節目的遊戲中，有一個保密的二位數□□。 個位可以是 1 或 2 或 3，十位可以是 4 或 5 或 6，假定你（妳）個位挑選正確。 你挑選十位正確的機會會變大、變小或是不變？（ ） 從兒童回答的情形來看，全班 33 位兒童中有 2 位兒童未作答，訪談結果 得知看不懂題目在說什麼，也不會寫，所以未作答。有 18 位兒童傾向去思考 連續的事件總是有關係的，屬於層次一主觀的的思考層次。有 13 位兒童開始 承認連續的事件可能有關係的或是沒有關係的，屬於層次二過渡期的思考層 次。 根據 Jones et al.（1999）提出的機率思考架構分析，研究對象之兒童在學 習機率概念前，面對有關獨立事件的問題時，有如下之二種不同思考層次： （一）主觀的層次：研究對象之兒童在學習機率概念前，有一個傾向去思 考連續的事件總是有關係的。 （二）過渡期的層次：研究對象之兒童在學習機率概念前，開始承認連續 的事件可能有關係的或是沒有關係的。 研究結果發現，研究對象之兒童在學習機率概念前，在「樣本空間」、「實 驗機率」、「理論機率」、「機率比較」這四組成中，最高皆能達到層次三非正式 量化的思考層次：而在「條件機率」、「獨立事件」這兩個組成中，最高只能達 到層次二過渡期的思考層次。

第二節 學習機率概念後在機率概念之成長情形

本節旨在探討兒童學習機率概念後之概念改變情形，透過紙筆測驗之前、 後測、學習單、數學日記、兒童訪談之錄音資料、實施教學之錄影帶，來做分 析與探討： 一、兒童在前後測機率問題之解題表現情形 將前、後測之選擇題進行批閱後，使用 spss 統計分析套裝軟體 10.0 中 文版進行統計分析。參與前、後測之紙筆測驗兒童計 33 人，選擇題共有 20 題， 每題答對給 5 分，答錯給 0 分，因此總分是 100 分。 從表 4-1 可知前測總分的平均數是 51.82 分，後測總分的平均數是 65.15 分，平均數的大小可以看出，兒童的後測成績較前測為優，顯示兒童經過學習 過後的總成績有進步；而標準差的大小可以判斷，經過學習之後，兒童之間的 總分差距縮小。 由表 4-1 可以得知，此一成對樣本的 t 檢定，考驗結果達顯著，表示本班 兒童前後測總分有顯著的不同。 表 4-1 前、後測總分相依樣本 t 檢定分析摘要表 平均數 標準差 相關係數 t 值 顯著性 前測總分 51.82 22.14 後測總分 65.15 19.51 .759 -5.222 .000 ＊＊＊ P<.001 二、兒童在學習機率概念過程中之對話與思考層次 本研究在實施機率概念教學時，從學習單和數學日記，可以了解兒童學習 的情形；在實施機率概念教學後一個月做了後測，由試題當中的文字題，可以 了解兒童學習機率概念後對機率問題的思考層次。茲將上述內容分六個組成敘 述如下：

（一）樣本空間 1、學習機率概念過程中之對話 在教學活動內容中有一個佈題，上課時討論熱絡，甚至已經下課 了，兒童還主動要求再找一節課繼續討論，所以，再繼續討論猜拳 的情形。題目如下： 如果五年乙班的老師挑出宜辰和伯旻，請他們兩個猜拳決定，請問共有幾種 情形？ 全班討論結果，可分為三種做法找出答案： （1）沒有一定的規則，想到什麼就寫什麼，有完整找出九種情形 的也有不到九種或多於九種的。如下為完整找出九種情形的： t：你要不要再檢查看看你寫出來的九種情形？ s8：好啊！（看了約一分鐘）這裡寫錯了，（指出寫錯的地方） t：要不要自己改改看。 s8：好（自己改正錯誤） t：很好，沒有問題了。（930601 s8 訪談） （2）先隨便寫出一種情形，下一個把它顛倒，再以一樣的方法繼 續找，然後寫出三個平手的狀況。學習單內容如下： （3）先固定一方都是某一種狀況，另一方則有三種情形，再以一 樣的方法繼續。學習單內容如下：

2、機率概念之思考層次 根據後測的機率概念文字題第四題，題目內容如下： 甲班和乙班的班長猜拳要決定拔河比賽的場地，請問兩位班長共有幾種猜拳的 情形，例如：甲班出剪刀，乙班出石頭是其中一種情形。（作答時剪刀以×表示、 石頭以○表示、布以△表示） 本題是一個二階段實驗的情境。解題情形如下： （1） 全班 33 位兒童中，前測時有 8 位兒童答對，而後測增加為 29 位兒童答對。 （2） 未答對的思考層次一兒童由 25 位減少為 4 位。 （3） 有時候在二階段實驗列出完全結果的過渡期的思考層次二， 由 5 位減少為 1 位兒童。 （4） 能使用部分生產性策略，去列出二階段實驗的結果的非正式 量化的思考層次三，由 3 位增加為 28 位兒童。 由此發現，兒童學習機率概念後，在樣本空間這個組成，大部分 的兒童思考層次由層次一提昇至層次三。 （二）實驗機率 1、學習機率概念過程中之對話 （1）學習單中的活動二（見附錄三-2），第一題題目如下： 在決定抽出誰當班長之前，五年乙班的老師事先做了 20 次的抽球活動。老 師的結果如下:宜辰 3 次、伯旻 3 次、鈺欣 4 次、玟惠 2 次、映廷 8 次。由 以上結果為基礎，誰最有可能當班長？或是無法說出來？ 研究者發現兒童還是覺得抽到的機率是要靠運氣的，全班 33 個 人有 26 個人都是這麼覺得，就連會回答五個人機率都是一樣的， 其實心裡還是覺得誰被抽到是運氣較好的關係，會回答五個人機 率都是一樣的是因為他去補習的時候有教過。 t：為什麼覺得抽球的活動不公平？ s24：因為運氣好的人才會被抽中，都是要靠運氣。（930602 s24 訪談）

（2）學習單中的活動二（見附錄三-2），第三題題目如下： 如果老師要鈺欣和玟惠各自投擲一枚硬幣二十次，請你（妳）先預測看 看她們投擲的結果，之後投擲結果出現後，再觀察看看，你（妳）發現 了什麼？ 將預測和結果填在下表。 次數 種類 姓名 玟惠 鈺欣 反面 正面 反面 正面 實驗後結果 先預測結果 你（妳）先預測的結果和實驗後的結果一樣嗎？請將你（妳）的想法寫下 來。 研究者發現： a、有兒童當隨機實驗的結果與預想的想法相衝突時，可能會 回復到主觀的判斷，屬於主觀的思考層次一。 t：50﹪是什麼意思？ s31：有一點可能也有一點不可能。 t：可以再說清楚一點嗎？到底是可能比較多還是不可能比較多？ s31：本來覺得大概是一半一半。但是真的擲的時候，並沒有常常擲到， 到現在這個謎還是沒有解開。（930603 s31 訪談） b、已有兒童了解從一個大的試驗樣本決定的實驗機率約等於 理論機率，達到以數字表示的層次四。 t：數學日記中的意思可以再說清楚一點嗎？ s10：是投的次數越多，正面和反面的次數就會越一樣。 （930603s10 訪談） 2、機率概念之思考層次 根據後測的機率概念文字題第一題，題目內容如下： 小丸子和小玉共同投擲一枚硬幣 20 次之後，結果出現正面 12 次，反面 8 次，