(一) 極限概念 (limit concept)
極限出現在許多不同的數學脈絡 (context)，例如：函數的極限、數列的極限、
級數的極限等。此外，連續、微分與積分等概念也涉及到極限。本研究指的極限概 念是「函數的極限」(limit of a function)，其中又包含下列三種陳述方式：
1. 直觀概念
設 f D
: → R
是一實函數，其中 D 為 R 的一個子集。若 a R∈ ，則lim ( )
x a f x L
→
=
的意義是，當 x D∈ 且 x a≠ ，而 x a− 非常小時， ( )
f x
− 會隨著 x aL
− 變小而逐漸變 得非常接近零 (余文卿等人，2001)。2. 非形式定義 (informal definition) We write
lim ( )
x a f x L
→
=
and say “the limit of f x( )
, as x approaches a, equals L”, if we can make the values of f x( )
arbitrarily close to L (as close to L as we like) by takingx to be sufficiently close to a (on either side of a
) but not equal to a (Stewart, 2003).3. 形式定義 (formal definition)
Let f be a function defined on some open interval that contains the number a, expect possibly at a itself. Then we say the limit of f x
( )
as x approaches a is L, and we writelim ( )
x a f x L
→
=
, if for every number ε >0 there is a number δ > such that0f x
( )− < εL
(二) 表徵 (representation)
本研究的「表徵」是指 Behr, Lesh & Post (1987) 所述：外在具體化已內在概念 化的知識，即：將「極限概念」視為內在概念化的表徵對象，將所觀察到的呈現方式 作為外在具體化之表徵形式。由於外在具體化表徵具多樣的呈現方式，而組成多重 表徵之表徵結構。
首先，研究者參考諸位研究者 (Lesh et al., 1987; Janvier, 1987; 左台益、蔡志仁, 2001) 所設計的數學概念表徵形式，進行傳統 (不涉及 CAS) 學習模式下，極限概念 表徵形式之設計，最後擴增原先設計完成的表徵形式之表現內容，孕育出 CAS 實驗 活動的學習環境下之表徵形式。研究者所設計的表徵形式 (不涉及 CAS) 如下：
1. 語意表徵
極限概念的語意表徵是指：將概念意涵以口語方式敘述或以文字呈現；以下說明 直觀及形式概念之語意表徵內容。
z 直觀概念：學生說出或寫下「當 x 夠靠近 時，
a
f x( )
會夠靠近極限值L」、「當 x 越來越靠近 時，a
f x( )
越來越靠近L」與「當 x 接近 時，a
f x( )
接近L」等。z 形式概念：學生說出或寫下「給定誤差ε ，找尋x與a的可行距離 δ ，讓所有滿足前 者條件x的函數值與極限值，在誤差ε 範圍之內」等。
2. 數值表徵
透過觀察教科書上以「數值表列」(numerical table) 呈現函數的方式，揣測極限 的存在性，進而臆測可能的極限值。極限概念之數值表徵是指：學生藉由電算器或 徒手計算一些函數值 (數值形式)，揣測極限的存在性，進而臆測可能的極限值；以下 說明直觀及形式概念之數值表徵內容。
z 直觀概念：學生只選取「一個」數列並計算函數值，從函數數值之行為，揣測極 限的存在性，進而臆測可能的極限值。
z 形式概念：學生選取「多個」數列並計算函數值，從函數數值之行為，揣測極限 的存在性，進而臆測可能的極限值。
例如：觀察
( ) sin
x圖1-1 圖形表徵直觀概念 Stewart (2003) 圖1-2 圖形表徵形式概念 Stewart (2003)
z 形式概念：將極限的 程序 (process) 以「人工動態」方式呈現，也隸屬於圖形 表徵之內。學生透過操弄繪圖視窗，不斷重複地表現出「畫二條水平線 (給定
ε − δ
ε )，
畫二條鉛直線 (尋找δ )」之行為模式，使得 0<│
x
−2│< δ ⇒│f x
( ) 3− │<ε ，步驟 分解如圖 1-3 所示。
第二步 第一步
圖1-3 人工動態ε − δ程序之步驟分解 4. 代數符號表徵
在數學教育裡使用代數符號表徵數學概念為終極的目標，從獲得符號初步意義、
使符號成為溝通工具後，要逐步提升學生對此表徵的使用，使符號成為解題工具。
極限概念的符號表徵是指：以數學語言表達極限概念，包含著一般常用的數學算式、
約定俗成的數學符號與記號 (notation) 等。例如：對於所有「 」、存在「
∀
∃ 」、無窮大「
∞
」及極限形式定義所使用的不等式等。z 直觀概念：學生將 視為一固定的數，找尋可行之ε δ 並檢驗其正確性。
z 形式概念：學生將 視為可操弄之文字符號，找尋可行之ε δ 並檢驗其正確性。
以上四種形式為傳統模式下所具有的表徵內容，本研究欲探討 CAS 實驗活動 的學習環境下，表徵結構之相關議題；有鑒於 CAS 能提供數值、圖形及代數等多種 呈現方式，讓學習者能透過 CAS 呈現概念之各種表徵形式。研究者以「CAS 表徵」
表示透過 CAS 呈現數學概念之各種表徵形式，以 rep(CAS)
= ( , , , )
N G D A 表示所呈 現之結果，也就是 rep(CAS) 涉及到數值計算 (N)、圖形呈現 (G)、動態展示 (D) 和 代數運算 (A)。以下說明「CAS 表徵」的四種模式：z 數值模式 (numerical model)：CAS 提供快速且大量的數值計算，透過 CAS 能 立即建立若干函數數值表，提供學習者觀察大量函數數值行為，揣測極限存在性，
進而臆測可能的極限值。因此，引進 CAS 後較能體驗「對於所有」之意涵，並增 加學生從數值取向探索極限之可能性。
z 圖形模式 (graphical model)：CAS 協助學生處理圖形的描繪，進而改變傳統模式 下概念教學的次序。因此，引進 CAS 後增加從函數圖形探索極限之可能性。
z 動態模式 (dynamic model)：透過 CAS 呈現動態ε − δ 視窗*，以不斷拉近 (zoom in) 之動作，表現極限存在時「∀ε皆能∃δ 」之情境。
z 代數模式 (algebraic model)：透過 CAS 符號計算功能，計算出相對於 之可行ε δ 並檢驗其正確性。
因此，引進 CAS 後形式概念之數值表徵增加了數值模式、圖形表徵增加了圖形 及動態模式、代數符號表徵則增加了代數模式，亦提供學生表徵與表徵之間之轉換 情境。研究者參考 Lesh 等人 (1987) 表徵系統的互動模式，以「金字塔」(pyramidal) 模型呈現 CAS 實驗活動的學習環境中，極限概念之表徵轉換關係。CAS 位於金字 塔最頂端，若去除此頂點 (CAS) 將形成與 Lesh 等人相類似的平面網絡，亦即傳統 學習模式 (不涉及CAS) 的表徵轉換系統，如圖 1-4 所示。
圖1-4 極限概念表徵系統的轉換模式 CAS
語意
代數符號 數值
圖形
(三) 迷思概念
學生進入學習情境前已有許多先入為主的概念，學生也會利用這些概念來學習 知識或解釋教師授課的內容，但這些概念若與專家學者的概念有所不同，這時這個 所形成的概念被稱為「迷思概念」(misconceptions)。
(四) 概念心像與概念定義
Vinner (1975) 定義個體概念的「心像」(mental picture)，為關於此概念所有的 視覺及符號表徵；Vinner (1980) 定義個體的「概念心像」(concept image)，包括心像 及在個體頭腦中所有相關概念的性質 (Tall, 1980)。Tall & Vinner (1981) 延續此一想 法將「概念心像」定義為包括心像、性質及概念相關過程的認知結構，也就是本研 究所指的「概念心像」。而「概念定義」(concept definition) 是指：用來具體說明此 概念的文字形式，也就是數學家所接受的定義。此外，概念定義所產生的概念心像稱 為「概念定義心像」(concept definition image)。
(五) 認知衝突
Tall & Vinner (1981) 使用「潛在衝突因子」(potential conflict factor)，表示概念 心像的任何部分或概念定義的任何含意，與其它部分或其它的含意相衝突。本研究 所提及的「認知衝突」(cognitive conflict) 是指：用以描述心智中喚起相互矛盾概念 心像或概念定義心像之情境。
第貳章 文獻探討
本研究旨在探討 CAS 實驗活動的學習環境中，大學生極限概念與表徵二者之間 的相關議題。因此，本章文獻探討主要區分為五個部份，第一節介紹認知學習理論；
第二節是 APOS 理論相關研究；第三節將表徵相關研究做綜合性的論述；第四節是 與 CAS 相關的議題；而第五節則是極限概念相關研究。