電腦科技讓學生在學習的過程中，經由猜想的探索與檢測達到主動學習，實踐 透過概念衝突來建構知識，不僅增加學生的學習興趣亦增進學習之參與感。然而，
任何的工具皆有它的使用方式，使用電腦科技也必須要注意到此問題，才能得到最佳 的學習效果。本節簡介電腦代數系統及其教學上的應用與限制性。
(一)
機系統只能做數值上的計算。現今較為普遍的 AS 有 Maple、Mathematica 及 Mathcad 等。CAS 能提供「數值的」(numerical)、
「圖形的」(graphical) 及「符號的」(symbolic) 多種呈現方式，能使學習者較完整地 分析數學知識。即：提供學生迅速地試驗大量的例子，並得到軟體技術限制下的結果 (outcome)。因此，CAS 在學習上是個理想的工具，它能同時呈現各種表徵並提供 連結之機會。也就是說，CAS 提供學生從不同的角度思考相同的問題，扮演著數學 學習上多重表徵之間轉換的媒介。此外，有大多數地學生將 CAS 視為「數學專家」
(Pierce & Stacey, 2001)。
題 (極值問題、繪圖、線性近似等)。Orton (1983) 指出：複雜的「代數運算」會 影響數學概念的學習。Davis 等人 (1992) 指出：CAS 在數學學習上能減緩艱辛的 符號 (symbol) 操弄過程，將學生的心思花費在解決問題上 (Pierce & Stacey, 2001)。
因此，CAS 能協助學生處理微分的運算，只要將鍵入正確地指令，微分後的結果 將顯示出來，進而改變傳統微分概念教學的次序。
電腦代數系統
電腦代數系統 (Computer Algebra System, CAS) 為一套能提供學習者操弄符號 及觀察圖形和表格的軟體。此系統最讓人稱道的是「符號運算」，也就是我們在數學 課室所演算的方式，不像一般的計算
C
(二) 使用 CAS 的微積分教學
在傳統的微積分課程，學生必須先學會微分法則 (rules) 才能進一步解決最佳化 (optimization) 問題，以至於他們必須在發展微分技巧後，才能學習其它相關的應用 問
在「黎曼和」(Riem 符號運算之強大功能。
，學生使用紙筆計算黎曼和，花費相當多的時間在處理數值計算或 符號運算，因而喪失對積分的「概念性理解」。因此，引進 CAS 不僅能提供學生在 技巧操作前，概念的學習與應用的機會，還能將目光聚焦在「概念性理解」上。
但缺乏「概念性 解」。他提到極限概念會影響微分與積分的學習，但一般傳統的微積分教學沒有
細思考極限的概念。而在使用 CAS 的教學環境中，學生不僅
Heid (1988) 將 CAS 使用在微積分的教學，主張在學習操作技巧前，先學習微 積分的概念與應用。Heid 認為一但有穩固的概念理解，學生能迅速地學會必要的操 作技巧。依據上述觀點，Heid 使用「概念性理解」教微積分，他的學生使用微分、
積分及 muMATH 所產生的圖形，回答問題並解決相關的應用問題，只於學期末最 後三週教授微積分的操作技巧。學生參與以技巧導向 (skills-oriented) 命題的期末 測驗 (傳統教學模式教師命題)，測驗結果發現在二種不同教學模式下成績無顯著差 異，但對於 Heid 的學生而言，顯示出較優越的「概念性理解」。
Dubinsky & Schwingendorf (1991) 使用與 Heid 相似的方法在微積分教學上，
其研究結果與 Heid 相同。Rochowicz (1996) 微積分學習的研究報告指出：電腦教 學環境能夠減少強調計算技巧與計算方法記憶的學習；學生也可以在此環境中，從 圖形取向思索問題而非僅從代數計算的方法去學習微積分。因此，使用 CAS 整合微 積分教學環境，不僅增添學生概念理解與應用能力，亦保有傳統學習下的操作技巧。
指出：圖形視覺化的 方法幫助學生獲得更多的概念理解，而不需要以所對應的符號表示 (symbolization)。
ann sums) 的單元裡，更能突顯 CAS 傳統的微積分課程
Orton (1983) 指出：許多學生能熟練地應用積分與微分的技巧，
理
較多的時間讓學生仔
擁有對知識的「概念性理解」，亦保有傳統學習下的「操作技巧」(manipulative skills) (Heid, 1988; Dubinsky & Schwingendorf, 1991)。
(三) 圖形視覺化
在 80 年代初期，高解析度 (high-resolution) 圖形的誕生，帶給學習者使用圖形 的方法學習微積分，幫助學生將數學概念視覺化。Heid (1988)
楊維哲 (1994) 認為「視覺化」是理解的一大部分，學生心中若缺少「圖像化」，
就談不上真正的學習。認知心理學家 Piager 與 Bruner 都強調在「符號」思考及 運算前，必須經過「圖像」(icon) 階段。因此，許多微積分教科書也增加不少圖示，
提供學習者建構心像及了解概念之涵義，但這些圖形都是「靜態的」(static)，只能 明 (illustrate) 圖形裡有什麼。而 CAS 能提供學習者以「外在動態表徵」(dynamic external representation) 方式，詮釋抽象數學概念。因此，這些「外在動態表徵」將 提供學習者建構「動態心像」。
，那麼視覺化、情境化及數值化的 腦環境設計，實有其重要性；而動態本身就可視為一個情境；另外為了解決特殊化 與一般化的爭議，若能夠以動態呈現各種可能變化，那麼圖形就不止是一份靜態成果 的展現 (demonstration) 而已 (謝哲仁，2003)。鄭晉昌 (1997) 指出：透過視覺可以 擴大個人的知覺經驗，對學習者而言有下列三點益處：
(1) 視覺經驗較為具體，尤其是動態的視覺經驗可以讓人瞭解整個事件發生的 歷程。
(2) 因為視覺訊息較易處理，因此視覺思考可以讓學習者在學習的過程中，容許 有更多的短期記憶的空間進行資訊的處理。
許多使用 CAS 的微積分課程，除了傳統的符號表徵外，還強調了視覺 (visual) 與數值 (numeric) 表徵。在 Porzio (1995) 的研究中，比較了三種教學模式：傳統課 程、使用圖形計算器及使用 CAS (Calculus & Mathematica)，發現使用 CAS 課程的
生在圖形與符號表徵之間的連結能力比其它二者課程強。因此，CAS 能迅速地 精確圖形，提供學習者使用圖形或幾何方法學習微積分。
說
Piaget 指出：學習具有階段性，具體操作期必須發生在形式操作期之前，如果將 數學的學習視為具有階段性，就如 Piaget 所言
電
(3) 視覺經驗較具可探索性，讓學習者更具想像空間，擴展學習的深度。
學
產生大部分函數的
(四)
據建構主義的數學學習觀點，強調學生的概念性理解需要經歷個人和群體商 討的
使用 CAS 的學習模式
CAS 提供學生探索數學想法的工具，引發了利用「建構」的方式學習微積分。
建構主義者認為學習是一種學習者建構知識的歷程，透過新經驗與舊知識相融合，
學習者不斷修正既有的知識。因此，將原本以教師為主 (teacher-centered) 的教室，
轉變成以學生為主 (student-centered) 的實驗室，在實驗室裡學生嘗試他們自己的想 法並探索數學真理。
依
過程 (Vygotsky, 1978)。同儕討論使得想法前後交互作用，提供學生精練 (refine) 語言和其它經驗的思維。這樣的過程能導致學生「同化」新知識到現有的基模，或強 迫改變當他們「調適」矛盾的經驗。Drouhard (1997) 把 CAS 視為教室裡的另一個 成員 (player)，將 Joshua & Dupin (1993)「教學三角模式」(didactic triangle model)，
如圖 2-6 所示，擴增為金字塔型，如圖 2-7 所示 (Pierce & Stacey, 2001)。
知識
教師 學生
圖 2-6 教學三角模式 Joshua & Dupin (1993)
知識
團體 (Group)
圖 2-7 教學三角模式 Drouhard (1997)
教師 學生
CAS
Drouhard (1997) 指出：每個成員能產生不同的作用，如：學習者、訊息提供者、
Tall (1989) 描述在教室使用 CAS 所發生的互動 (interactions) 情形，為了建構 試驗基模，學生四種可能的互動環境類型如下：
型，能 幫助學生擴增數學思維及修正數學基模。在傳統數學教室裡 CAS 增加「人工頭腦」
的環境，學生的猜想能透過電腦來「試驗」，也能鼓勵他們探索及試驗他們數學上的 想法。
(五) 使用 CAS 的限制
資訊科技能突破某些層面上的教學，但不當地使用科技可能會使學生產生學習 方法上或概念上的謬誤，這是因為科技上虛擬實體 (virtual reality) 與數學概念實體 (mathematics conceptual reality) 的偏差所導致。科技軟體的運算多以近似值表達，
學生在這種學習情況之下，可能會將電腦結果的近似值與表達的真實數值混為一談 (郭禮賢，1999)。因此，在教學上必須釐清兩者之間的關係，必要時可避開這類產生 誤解的例子。此外，Sanders & Wilcocks (1994) 提到：如果學生發現學習使用某個課 程軟體是困難的，他們會不想去使用 (謝哲仁，2003)。因此，困難的軟體操作介面會 降低學習意願，亦影響課程知識本身的學習。
教導者 (tutor)、神諭 (oracle) 與對話者 (interlocutor)；將 CAS 視為古希臘「神諭」
(oracle) 相似的角色，因為實際上 CAS 並沒有回答問題，它做出的動作及執行的結 果可能與預期不同，這需要充分地解釋 (Pierce & Stacey, 2001)。
及
(1) 無生命 (inanimate)：學生透過操弄具體物件獲得訊息的環境。
(2) 人工頭腦 (cybernetic)：CAS 依據「既定規則」(pre-ordained rules) 提供學生 答覆的系統。
(3) 人與人之間 (interpersonal)：與其他人溝通討論的環境。
(4) 個人 (personal)：自我反思知識的結果。
Pierce & Stacey (2001) 指出：「人工頭腦」與「人與人之間」這二種互動類
Wain (1993) & Thomas (1994) 探討教師與學生使用 CAS 所遭遇的一些困難，
這些困難包括數學上慣用的「表示法」(notation) 與 CAS 語法的困惑及 CAS 產生 錯誤結果。雖然 CAS 在技術限制下呈現的結果有時困擾著學生，但實際上引起學生 與教師之間的進一步討論 (Pierce & Stacey, 2001)。此外，學習如何使用 CAS 也可能 造成學習上的負擔。
然而，學生使用 CAS 可能只學到「如何做」(how to do)，而不是「為什麼做」
(why to do)。使用者正確地輸入語法指令時，CAS 以「既定規則」回應可能的結果，
例如：輸入 Maple 指令「limit(f(x),x=0);」即可得到極限值，但 CAS 並未告知學習 者任何極限概念。像這種以「目的取向」(goal-oriented) 的 CAS，中間似乎忽略了數 學教學過程所需過程的學習。因此，使用 CAS 教學前必須先了解軟體本身的效能，
並設計符合學生概念發展的活動，才能產生較佳的學習效果。若未將目光聚焦在概念 學習上，那麼學生只學習到如何敲擊鍵盤或使用 CAS (Monaghan, Sun & Tall, 1994)。
此外，CAS 的使用態度也會對學習產生影響，學生若過份依賴它的運作而沒有足夠 的運算操練，將導致演算能力低落。
(六) 使用 CAS 產生的誤解
使用 CAS 描繪圖形有相當多微妙的 (subtle) 技巧，選擇適當的定義域與值域 才能呈現合適的圖形。例如：使用圖形計算器 (TI-92) 繪圖時， x 軸與y軸的比例會 改變原有圖形的風貌。此外，螢幕上所呈現的圖形，可能造成意義上嚴重的「誤解」
(misinterpretations)。Goldenberg (1988) 指出：學生在自主地 學習情境下，探
所預期的學習目標。
−
向上平移 4 個單位，得出(freely)
究變數 “b” 對y
=
ax+
b圖形之影響，可能建構出複雜 (complex) 的數學概念。以下 配合視窗圖形說明 Goldenberg 所發現之現象。究變數 “b” 對y