表徵運用與迷思概念

(一)CAS 對各表徵之影響

學習者在 CAS 實驗活動的環境中，需透過 CAS 來表達數學概念，因此學生於實驗活動及 CAS 習題所呈現的外在表徵，皆涉及相關程式之表現方式，以下說明程式對各表徵形式內容之影響：

1. 數值模式表現情形

Tall (1981, 1992) 指出：動態的概念 (dynamic conception) 對學生發展極限概念是容易且自然的。因此，實驗活動探索之極限問題，皆由計算靠近 limiting point 之函數值開始。活動中涉及以 CAS 呈現數值表徵部分有：L-1.ac、L-2.ab、L-3.ab,de 及 L-4.ab；以下先分別探討學生於各試題之表現情形，最後再推測表徵結構中數值表徵大致的輪廓。

學生在 L-1.a 觀察到靠近

x

= 左右兩側之函數值具單調性 (越來越接近 1)，0 一致地猜測極限值為 1，這與學生的起點行為^*是一致的。而 L-1.b之表現情形也

* 起點行為 (entry behavior) 是指開始學習時學生既有的先備知識或技能，例如：學習乘法前必先會加法；而終點行為 (terminal behavior) 是指預定學生經過練習後能學到的知識或技能 (張春興，1996)。

具一致性，學生皆以函數的奇偶性說明數值表上

( ¹ ) ( ¹ )

L-3.a 只呈現靠近「右側」的函數值，察覺數值具單調性且漸漸靠近 0；

Ic：圖形與 sin x 相類似，介於

− 1

^與 1 之間不斷上下起伏，並非所有函數

「不能通過」(cannot pass)。Posner, Strike, Hewson & Gertzog (1982) 指出：提供產生認知衝突 (cognitive conflict) 的示例，能改變學生既有的概念 (引自余民寧，1997)。

晤談中以「常數函數」(constant function) 為示例，使學生在認知上產生衝突，藉此改變極限是無法到達之迷思，以 S3、S4 的回答為例：

數值表提供學生從數值行為猜測可能的極限值，這牽涉到下述數學定理：

S8：

²

概念理解 (Davis, 1984; Even, 1998; Putman, Lampert & Peterson, 1990; Lesh, Post &

Behr, 1987)。

給定誤差為時 (ε 為 0.5、0.1 及 0.01)，學生必須更改繪圖指令 plot 的控制項

「view」，即：將 view 的範圍設定在 ε

L

− ε 與 L + ε 之間。從活動錄影 V21-54:14~

V21-55:27 片段，可看出學生不了解「view」之涵義，雖然最後呈現之圖形能說明

「函數值與猜測極限值的差，在給定誤差之內」，但尚未與非形式定義「誤差」涵義作連結。相較之下，以視窗說明的學生，與非形式定義具有較強的連結。晤談中可見學生對「view」之涵義不是很了解，以 S1、S4 的回答為例。

ε − δ

T： ...你改了 view 所以知道這個東西是在做什麼，...view 是改變哪裡的，是 x 軸 還是 y 軸？

S1： x 軸吧。

T： view 是改變 x 軸？...你還記不記得這在講什麼。

S1：啊！我知道了，view 是改變這個點 (指 y 軸刻度 1 位置)，是說這個點上下的範圍吧。

T：要求它誤差在 0.1 (│

f x

( ) 1− <│ 0.1)，當初你們為什麼要把它改成 0.8 和 1.2？

S4：因為它剛好都在 0.9 跟 1.1 之間啊。(如下圖)

T：對。

S4：然後我就…就剛好 x 是在-0.6 跟 0.6，剛好可以在 0.1 之內。

T：當然這個圖也沒錯，所以你告訴我 0.6。請你告訴我你這邊 view 選成 0.8 到 1.2 的話，其實在這個範圍裡頭，跟 1 的誤差是多少？ y

S4： 0.2。

T：是啊，我原來是要看 0.1 啊。

S4：喔，因為我想說它圖在 1.1 跟 0.9 之間啊。

從上述晤談紀錄可知，仍有學生尚未將 plot 指令之控制項「view」，與極限概念之作連結，雖然能滿足題目需求，但未完成所需學習的課題。研究者繼續比對問卷試題 Q-2 可知，只有 5 名學生提到「view」在極限定義中扮演著誤差的角色。由此可知，學生傾向使用如圖 4-1 所示之「繪圖視窗」來描述「

ε − δ 視窗」。

圖4-1 以繪圖視窗描述ε − δ視窗

探討完「view」之表現情形後，以下針對學生如何選取δ 之過程作進一步探討，

依據問卷試題 Q-3 可知：有 82.9% 勾選「會先限定 plot 指令中 view 的範圍，

從圖形中觀察，並適時地調整 plot 中 x 的範圍」；有 11.4% 勾選「觀察圖形，亂槍打鳥式地去試」。從活動錄影 V11-111:08~V11-111:45 片段，可看出學生會有技巧地利用已繪圖形選取。研究者仔細觀察 plot 指令控制項輸入之先後次序，即：

x-range 與 view 先後次序；先輸入 x-range 再輸入 view 之學生，所使用的繪圖視窗

與視窗略有差異，多半是設定不適當 view 之範圍，可從 V21-54:14~V21-55:24、

V9-31:49~V9-34:41 察覺此一現象。由此可見，先輸入 x-range 再輸入 view 之學生不了解極限程序之先後次序。

ε − δ

學生在 L-2.cde 所呈現之圖形，以圖 4-2 與圖 4-3 為代表探查「圖形模式」之表現情形。根據活動錄影 V2-94:30~V2-96:20 片段，學生對視窗內函數的解讀情形如下：當 CAS 呈現如圖 4-2 相類似圖形時，學生能觀察到「存在x

∈ − [ 0.5, 0.5]

，使得 x

sin ¹ 0 0.1

− ≥

」之現象，並以口語方式說明；而當 CAS 呈現如圖 4-3 相類似圖形時，學生能觀察到「 x

sin ¹ 0 0.1

− <

，對所有x

∈ − [ 0.1, 0.1]

」。此時，學生皆以語意表徵上述之現象，尚未使用數學語言 (不等式) 表達此一現象。

圖4-2

1 sin

x x^在

[ − 0.5, 0.5] [ 0.1, 0.1] × −

^圖形 ^圖4-3

1 sin

x x^在

[ 0.1, 0.1] [ 0.1, 0.1] − × −

^圖形

學生在 L-3.cf 所呈現之圖形，以圖 4-4 與圖 4-5 為代表探查其「圖形模式」

之表現情形。此時，學生是否發現 Maple 呈現之圖形與數學事實不符之現象？

圖4-4 1 ₁ 1 3 ^x

⎛ ⎞⎜ ⎟

− ⎝ ⎠

在

[ 1,1] [ 0.5, 0.5] − × −

^圖形 ^圖4-5 1 ₁ 1 3 ^x

⎛ ⎞⎜ ⎟

− ⎝ ⎠

在

[ 1,1] [0.5,1.5] − ×

^圖形

根據活動錄影 V21-73:40~V21-77:48 片段，該組學生未察覺圖形與數學事實不符之現象，導致一些荒謬之說法 (函數在

x

= 有很多個值)，進而影響極限之判讀。從 0 活動錄影 V2-99:56~V2-101:12 片段，亦可發現圖 4-4、圖 4-5 喚起學生心智中左、

右極限的概念心象，進而以動態逼近方式回答極限不存在。

從對 Maple 看法之問卷結果可知，有 34.3% (勾選非常同意或同意) 會對執行結果產生質疑，這 34.3% 中有 91.7% 會適時地檢查是否指令有誤，這 91.7% 中所有學生發覺指令無誤時，會進一步思考原因及所傳達的訊息，相關試題勾選情形如表 4-1 所示。上述統計結果顯示，約有 30 % 學生以正確的態度使用 Maple。

非常同意同意沒意見不同意非常不同意

z 我會對 Maple 執行的結果產生質疑。 2 10 17 3 3

z 當我會對 Maple 執行的結果產生質疑的時候，我會檢查指令是否有錯。

11 21 3 0 0

z 當我會對 Maple 執行的結果產生質疑，而且指令也檢查無誤時，我會思考其原因及所傳達的訊息。

6 23 3 2 1

表4-1 對 Maple 看法問卷

研究者進一步探究思考詭異處 (

x

= 處) 學生之反應，以下節錄晤談部分資料，0 藉以說明不了解 (misunderstand) 詭異處傳達訊息之現象。晤談對話紀錄如下：

T： ...那條直直的線應該還是不應該在那裡？

S1：對的啊。

T：真的唷！垂直線會是函數圖形？

S1：可是我們取 0 取很多的時候，它 (指直直的線) 就會有偏了啊，就是真的會有偏了啊 (下圖圈選處)。

T：不，你應該仔細想一下，我還特別跟你們講 Maple 是怎麼畫圖的。

該組學生將繪圖指令 plot 控制項「thinkness」設定為 10，發覺函數曲線變粗，且該直線有稍微偏斜的現象，因此認為該直線是存在的，S1、S2 未回到式子上思考圖形的正誤。Goldenberg (1988) 指出：螢幕上所呈現的圖形，可能造成意義上的誤解 (misinterpretations)。CAS 在技術限制下呈現的結果有時困擾著學生，但實際上引起學生與教師之間的進一步討論 (Pierce & Stacey, 2001)。研究者認為：CAS 實驗活動的學習環境下，不可迴避圖形產生之詭異處，應適時地讓學生思考這些類似的現象，

進而牽引學生以多面向思索、觀察及比對並強化函數表徵之間的連結。

研究者從活動錄影中，發現學生複製「計算數值」程式碼，修改函數後未更改 -0.0001524390244 ⎥⎥⎥

圖4-6 多面向思索網絡

學生在 L-4.c 所呈現之圖形，以圖 4-7 與圖 4-8 為代表探查其「圖形模式」

表現情形。學生如何解讀如此撲朔迷離之圖形？研究者從學生繳交之活動作業作探查，並與成效評量 P-3.c 校正，發現學生對圖 4-7 之反應為：複雜、不斷在

− 1

與 1 之間起伏，因此產生縮小 x-range，欲看清楚

x

= 附近圖形之行為，僅有一組 0 學生給定其它誤差，表示該組學生已將 L-1、L-2 之行動內化成過程。 ε

圖4-7

sin

π

在

[ 0.1, 0.1] [ 1,1] − × −

^圖形 ^圖4-8

sin

π

在

[ 0.1, 0.1] [ 0.1, 0.1] − × −

^圖形

在 E-35.a 中，學生解題模式可分成圖形與代數取向：圖形取向學生以ε − 視窗選取δ ；代數取向學生透過解方程式 ( 及 ) 選取δ ，再從圖形上驗證之可行性。E-35.a 整理分析後，分類結果如下：

1 3.4

+ + =

x x³

+ + =

1 2.6

類型 I 使用 plot 指令繪圖，嘗試操弄圖形來選取

δ

。

Ia：view 範圍設定在 2.6 和 3.4 之間，並選取正確的

δ

。

Ib：view 範圍設定在 2.6 和 3.4 之間，所選取的

δ

無法滿足極限定義。

Ic：view 範圍設定在 2.6 和 3.4 之間，尚未選取

δ

。

Id：view 範圍設定不在 2.6 和 3.4 之間，所選取的

δ

無法滿足極限定義。

類型 II 使用 solve 指令解x³

+ + =

1 3.4

與x³

+ + =

1 2.6

之 x 值，並計算

x

−1 選取較小者視為

δ

^。

由於此題要求學生由圖形取向思索問題，因此類型 II 的學生極限概念的多重表徵 上缺乏圖形表徵。以下進一步探查 view 範圍設定正確，即：「view=2.6..3.4」，且選取不適當之成因。透過δ ε − δ視窗選取δ ，且呈現出不可行之 δ ，如圖 4-9 所示，研究者推測其原因為：未了解欲求之δ 須滿足之必要條件。

圖4-9 選取不可行之ε − δ視窗

活動單 (worksheet) 明確地說明所找之距離需滿足的條件，以 L-1.d 為例：

... , can you determine how close to 0(from either side of 0)

x

has to be to ensure that f x

( )

(

x

≠0) is close to the limit you get in (c) within 0.5. ...

而 E-35.a 問題表徵方式為「找出ε =0.4所對應之δ 」。由此可見，此類學生有著含糊的形式定義，或者尚未將電腦實驗活動之過程壓縮成物件。從晤談中可知，學生時常未以所需滿足之必要條件檢驗其正確性，以 Sδ 7 的回答為例：

T： ...，什麼叫做

lim ( )

x a f x L

→

=

？

S7：基本上就是...給一個誤差範圍啊，給一個誤差範圍...然後一定可以找到...，

找到它的。 δ T：嗯。

S7：嗯，對啊...這就是定義啊。

T：找到δ 以後呢？

S7：就它滿足在這裡面的 ( 0< − < δ ) 都會小於...，就是都會在這裡面。

x a

T：在哪裡面？

S7：在這裡面的值會小於...都會在...，跟它的差都會小於ε ( ( )

f x

− < ε )。

L

綜合以上所述，學生於實驗活動中所具有的圖形表徵如下：

(1) 若 x a= 附近能找到一個明確的位置，則認為極限存在且極限值為該明確 位置點之 y 座標。

(2) 若無法掌握 x a= 附近圖形或察覺圖形錯開 (jump)，則認為極限不存在。

(3) 當給定ε 後，能藉由操弄圖形選取 δ ，判別「 0< − < δ ⇒

x a f x

( )− < ε 」

L

是否成立。

3. 動態模式表現情形

在感官接收訊息方面，視覺資訊能使抽象的觀念變為具體，支援整體的認識與意義，也能提高學習者的學習動機。活動一開始教師示範極限ε − δ 程序 (process) 之動畫，以說明極限存在時，給定ε 後可找到與其對應之 δ 。活動中未要求學生撰寫此一程式，而是透過多次的圖形操弄，呈現數個 ε − δ 視窗，使學生在心智中產生「動態的」極限程序。當學習者做某行動若干次且深思熟慮，意識到行動的用意後，

可在心智中執行此一行動而不需外界的刺激 (Dubinsky, 1991)。當學習到「形式定義」

時，若學生已經將行動內化之過程壓縮成物件，必能將 view、x-range 分別與形式定義之ε 、 δ 作連結。也就是說，此類學生具有較佳的圖形、動態模式及語意表徵。

以 S9 的回答為例：

ε − δ

T：所以說說這裡畫了三個圖 (L-1.def 執行結果) 在幹嘛？

S9：就是拉近看。

T：拉近看，你怎麼拉近看，你「拉近」的程序是怎麼樣做的？譬如說這個問題 (L-1.e) 要求跟它的極限的誤差是小於 0.1。

S9：我是會先調整這個 view，然後再去看他的線最後會落在這附近...，這裡 x 軸 上那附近，然後調整這邊 x (指令中 x-range) 的值去看。

在文檔中 CAS 實驗活動的學習環境下極限概念之建構歷程 (頁 59-95)

x

( 1 ) ( 1 )

− 1

2

L

f x

x-range 與 view 先後次序；先輸入 x-range 再輸入 view 之學生，所使用的繪圖視窗

∈ − [ 0.5, 0.5]

sin 1 0 0.1

− ≥

sin 1 0 0.1

− <

∈ − [ 0.1, 0.1]

1 sin

[ − 0.5, 0.5] [ 0.1, 0.1] × −

1 sin

[ 0.1, 0.1] [ 0.1, 0.1] − × −

[ 1,1] [ 0.5, 0.5] − × −

[ 1,1] [0.5,1.5] − ×

x

x

− 1

x

sin

π

[ 0.1, 0.1] [ 1,1] − × −

sin

π

[ 0.1, 0.1] [ 0.1, 0.1] − × −

1 3.4

+ + =

+ + =

1 2.6

δ

δ

δ

δ

δ

+ + =

1 3.4

+ + =

1 2.6

x

δ

x

( )

x

lim ( )

=

x a

f x

L

x a f x

L

( ¹ ) ( ¹ )

²

sin ¹ 0 0.1

sin ¹ 0 0.1