極限概念相關研究

(一) 極限概念的學習

Monaghan (1986) 研究 16~17 歲學生的實數、極限及無窮的概念，發現他們的 實數概念裡，透露出能適當操作整數、分數及

2 、π 這類的數，但較沒把握處理 無限小數；在此基礎下所建構出的極限概念，必定包含認知衝突的種子，這些種子 將散播困惑在學生的心智上。Davis & Vinner (1986) 建議：剛開始學習這項主題時，

學生必須面對不可避免的障礙 (Monaghan, Sun & Tall, 1994)。

Sierpinska (1987) 指出：極限概念主要的學習障礙在實數、無窮及函數這三個具 體的層面上 (Monaghan et al., 1994)。Monaghan (1991) 研究關於極限教學上使用的言 語，發現學生將「極限」與生活中具體的言詞相提並論；學生有著含糊的措辭，將影

理」(generic extension principle)，

響極限概念的學習。Szydlik (2000) 研究學生函數極限的概念性理解及數學信念，察 覺學生無法給出一致的極限定義，或說明解題時所使用的算式及程序是可行的，並提 到學生具有極限是「不可橫渡」(cross) 之迷思。Cornu (1992) 談論到極限概念發展史 上四種主要在知識論的 (epistemological) 障礙，其中二項為「無窮大及無窮小」的概 念及「極限是否到達極限值」的問題。研究者認為：當這些障礙被挖掘出來後，教學 法應有相對應地改變，才能幫助學生克服困難，而不是排除困難的學習內容。

Maurer (1987) 指出：學生常像有創造力的科學家，自我一般化所學的課程，但 可惜的是學生一般化方法經常是有錯誤的；學生往往著重在表面特徵而非意義 (引自 謝哲仁，2003)。Tall (1991) 提到「一般性擴增原

當個體在只有遇到明確性質的問題，如果沒有出現「反例」，心智上會認為該性質在 所有的情境是有效的，即使它沒有被明確地陳述出來。例如：學生看到極限值會到達 的收斂數列，他們會認為收斂數列不會到達極限值。學生剛開始以直觀方式接觸極 限概念，容易產生「極限無法到達」的情境，但較能產生控制的感覺 (Tall, 1991)。

學生產生控制的感覺後，會認為他們已經知道極限概念，既使他們不能解決必須掌握 定義完整意思的問題 (Cornu, 1992)。

Tall & Vinner (1981) 指出：許多我們使用自如地概念，並非概念本身的形式定義 (formal definition)，而是透過經驗習得並使用於適當的情境中。不久之後，這些概念 用他們的想法被精鍊，而解釋漸漸變得細緻。在此過程中，給概念一個具有傳遞功能

的符號或名稱，將有助於心理操作。Gray & Tall (1993) 提到「符號」(symbol) 能 同時呈現數學的「過程」(process) 及「概念」(concept)，這些符號稱為「過程概念」

(procept)；而

lim ( )

不同的心智表徵。這些來自「自發性模式」(spontaneous model) 中的「個人模式」，

阻礙了數學上的定義發展。Tall & Vinner (1981) 指出：學生在「對於所有」(for all) 和「存在」(some) 的意思上及量詞的操作上會產生問題。極限的形式定義不僅涉及 到量詞的使用，還牽扯了邏輯演繹的先後次序，因此在學習與教學上皆產生困難。

然而，記得極限的形式定義，並不表示完全地了解概念本身的含意。

實際認知衝突 (actual cognitive conflict) 有助於精煉「概念心像」(concept image) 或「概念定義心像」(concept definition image)。但有研究指出：當出現「實際認知衝 突」的例子時，學生用懷疑的心態看待這個例子，以維護他們的認知平衡，因此無法

(二) 極限迷思概念

定義很久才會出現，這意指在出現概念的

強 「

ing large) 的迷思概念 關 (Cornu, 1992)。根據文獻探討可知，學生有著下列二項極限概念之迷思：

(1) 極限實際上是否能到達。

(2) 極限的靜態的還是動態的。

(三) 使用 CAS 學習極限概念

Cornu (1992) 指出：提供學生增加建構極限概念適合的經驗環境，必須反思學生 在新環境中的體驗，以了解學到了什麼及什麼樣的知識形式被貯存在記憶中。Cornu (1992) 學習者與電腦互動 (interaction) 學習時，可能涉及到程式 (programming)。個 體能從建構電腦程式之過程，獲得和掌握所對應的數學想法。因此，電腦環境將容許

生操作物件及建構知識。

Orton (1983) & Rochowicz (1996) 指出：利用電腦學習微積分，能減少強調計算 技巧與計算方法記憶的學習。學生也可以在此電腦環境中，從圖形取向的策略上而非 僅從代數計算的方法去學習微積分 (Rochowicz, 1996)。因此，在使用 CAS 的學習 環境下較能發展完整的數學概念。

極限首先被以直觀的方式介紹，形式

形式定義前，「直觀概念」之心像被建立了許久。因此，極限的概念心像很可能包含 與形式概念的衝突因子。例如：若剛開始教學時有 調 逼近過程」的傾向，則概念 心像包含許多與形式定義衝突的因子，這些衝突因子為「不能通過」(cannot pass)、

「逼近但無法到達」(approaches but cannot reach)。由此可知，學生所產生的極限、

無窮心像，與「漸漸逼近」(getting close)、「逐漸變大」(grow 有

學

然而，科技並非萬靈丹。使用 CAS 學習極限概念，可能讓學生誤認為極限無法 到達 (attain)，或極限必須單調地 (monotonically) 靠近且極限值是個有界值，甚至只 學會如何敲擊鍵盤。以下對此現象加以說明：

Dubinsky (1991) 提出過程壓縮成物件的理論 (a theory of encapsulation of process as object)，並使用 ISETL 語言設計程式建構數學上的效果，提供概念性數學思考 良好的環境。但 ISETL 語言計算有理數是使用浮點 (floating point) 計算，無法計算 出精確的極限值，在此環境下建構極限概念的想法仍有缺陷。

Tall (1981) 指出：「動態的概念」(dynamic conception) 對學生剛開始發展極限 概念是容易且自然的。依據此一觀點可知，學生主要的困難在「如何從動態的概念 進入極限的形式化理解 (formal understanding)」(Williams, 1991)。此外，有些研究者

Vinner, 1981; Williams, 1991) 認為：學生的動態概念可能會阻礙形式概念 (form

Monaghan, Sun & Tall (1994) 研究指出：若學生從原始的式子透過「敲擊鍵盤」

troke) 得到極限值，未將注意力置於概念學習上，這與小孩子敲擊鍵盤執行 代數

(Tall &

al conception) 的發展。Li & Tall (1993) 使用 BASIC 語言設計程式，成功地 給予學生級數可視為「數列項相加」的函數概念，進而幫助學生分辨數列與級數的 差異，但數列的極限過程無法成功地轉移至物件，大部分的學生失敗於將極限過程 壓縮成物件。

(key s

計算相類似，他們可能只學會如何敲擊鍵盤，對極限概念的學習毫無助益。在他 們的研究中，實驗組學生 (使用 DERIVE 學習) 只會使用 CAS 求極限值，而不知還 有其它的方法。這些學生在解釋

0

( ) ( )

lim

h

f x h f x

→ h

+ −

的意義時，皆無使用理論方式

說明意義，僅兩名學生提到「斜率」或「微分」的詞語，他們以多項式取代 f x

( )

， 描述用 DERIVE 執行或鍵盤敲擊的方式去計算極限值。

第參章 研究方法

依據研究目的及第貳章的文獻探討，本章針對研究方法作詳細的說明，第一節 說明研究架構與流程；第二節討論研究樣本；第三節說明教材來源與分析及測驗 工具；第四節闡述研究資料的蒐集方法及處理方式。

第一節 研究架構與流程

(一) 研究架構

本研究採用 Lesh 等人 (1987) 對「表徵」(representation) 意義的詮釋，探討大 學生在 CAS 實驗活動的學習環境下，極限概念之建構歷程，並陳述學生解題過程常 出現之錯誤類型，以提供教學者及教材編輯者作為極限概念教學之參考依據，進而 對學生的學習有所助益。

「表徵」可用來具體呈現數學概念與思維，本研究以表徵觀點探討在 CAS 實驗 活動的學習環境下，極限概念之建構歷程。由於外在具體化表徵具多樣的呈現方式，

因而組成多重表徵之表徵結構，研究者參考國內外相關文獻，並與指導教授討論出 極限概念之表徵形式包括：語意表徵、數值表徵、圖形表徵、代數表徵，各表徵之 表現內容陳述於本章之測驗工具。

由學生所回答之結果，無法確實得知學生真正的想法，因此必須藉由晤談尋求 學生真正想法研究者從實驗活動、成效評量之表現，抽取樣本加以訪談，以求更能 深入瞭解學生的想法、作答原因及探討出學生的錯誤類型與迷思概念。晤談時緊扣 極限概念並順著學生回答的方向進行探討，以錄音方式記錄晤談過程，再將晤談內容 逐字轉成文字稿，以進行事後分析。最後將實驗活動、紙筆測驗及晤談等結果，綜合 分析出學生極限概念之建構歷程。

(二) 研究流程

質性研究在研究過程中與量化研究有所差異，質性研究的歷程並非單向直線式，

而是個循環的歷程。研究期間會不停地回溯與重複，並無一定的研究流程，例如：

資料蒐集、整理與分析並非漸進的過程，而是不停重複校正的歷程。本研究主要分 為三個步驟：第一步驟為探討相關文獻並對實驗活動教材作分析，第二步驟則是蒐 集學習歷程之相關文件資料，並進行分析討論，而第三步驟為選取晤談對象，再由 晤談內容及結果了解學生真實的想法，最後綜合分析與整理資料，並撰寫研究報告。

依據研究架構，將整個研究過程繪成研究流程圖來表示，如圖 3-2 所示。

文獻探討

活動教材分析

選定晤談樣本

撰寫研究報告 成就測驗

資料蒐集

資料分析 CAS 習題

成效評量

綜合分析與整理 教室觀察及錄影

實施晤談 電腦實驗活動

三角效正

同儕效化

晤談資料分析

三角效正

分析歸納 分析歸納

學習者效化

圖3-1 研究流程

在文檔中 CAS 實驗活動的學習環境下極限概念之建構歷程 (頁 47-53)