CAS 使用情形與態度

資訊科技能突破某些層面上的教學，但不適當地使用科技可能會使學生產生學習方法上或概念上的謬誤，這是因為科技上虛擬實體 (virtual reality) 與數學概念實體 (mathematics conceptual reality) 的偏差所導致 (郭禮賢，1999)。研究者從教室觀察、

電腦實驗活動、CAS 習題及問卷，將學生 CAS 之使用情形與態度作以下之探討：

(一) 使用情形與態度

CAS 能提供數值、圖形及符號多種呈現方式，使學習者較能完整的分析數學知識。從 Pierce & Stacey (2001) 研究結果可知，大多數學生也將 CAS 視為數學專家 (expert)，因此不太質疑軟體技術限制下的結果 (outcome)。從問卷統計結果可知，有 54.3% 學生認為「Maple 是個數學專家，因為它能解決許多問題」；有 34.3% 會對執行結果產生質疑。從 Wain (1993) & Thomas (1994) 研究結果可知，數學慣用表示法 (notation) 與 CAS 語法可能產生連結上的障礙 (Pierce & Stacey, 2001)。從問卷統計結果可知，有 25.7% 學生認為在「Maple 語法與數學表示法 (notation)」之間的轉換上有困難。

(二) 圖形視覺化問題

CAS 可做動畫模擬、數值計算及 3D 空間圖形之描繪，因此課堂上無法表達之觀念或無法描述之現象，皆可善加利用電腦「動態」(dynamic) 的功能特性，來呈現某些無法以講授或黑板的靜態表現方式來表達的題材。從文獻探討可知，概念視覺化方法對微積分學習有所助益，但須注意如何充分地解釋圖形所傳達之意涵。CAS 描繪圖形亦有相當多微妙的 (subtle) 技巧，選擇適當的定義域與值域的範圍，才能呈現合適的圖形 (Goldenberg, 1988)。以下說明活動中學生對圖形產生誤解之情形。

電腦實驗活動中，若未仔細觀察思索 CAS 所呈現的圖形，將影響數學概念的學習，甚至產生迷思概念。以探索

( ) ^sin

f x

=

x 之極限問題為例，當給定誤差 0.1，

學生透過 CAS 表徵尋找適切的距離，某生使用的指令及其執行後結果如下：

> plot(f(x),x=-0.5..0.5,view=-0.1..0.1,thickness=2,axes=boxed);

從上圖中發現函數圖形並非與繪圖視窗的兩條「縱向」直線相交，學生誤以為顯示視窗的兩條縱向直線為

x

= −0.5 與

x

=0.5。因此，繼續尋找更小的適切距離，但仍發現無法與顯示方框兩條「縱向」直線相交。由此可知，學生觀察 Maple 呈現的圖形時，未細查顯示視窗之刻度，以至於產生上述問題。此外， f x

( )

在無定義，

學生心智中是否具有下圖之圖像？從 P-1.a 可知，學生大多都知道圖形不通過

(0

，但所回答之 x-range 包含。

x

,1) x

由上述諸多討論可知，CAS 呈現 1 ₁ ( )

1 3 ^x

h x

_{⎛ ⎞}

⎜ ⎟⎝ ⎠

−

圖形對學習影響較大，活動單

上詢問圖形 (圖 4-4) 中的「鉛直線」是否存在；從回答中可見，存在著無意識此一現象之學生，即：學生將此「鉛直線」視為函數圖形的一部分。CAS 呈現的圖形，

可能造成意義上嚴重的誤解，學生必須了解如何解讀 CAS 所呈現的圖形，才能屏除一些不適切的想法 (Goldenberg, 1988)。例如：不是函數圖形、此鉛直線可能有稍微傾斜、為鉛直線上的任意值等。

( )

h x

(0)

研究者分析問卷 Q-4，再次探討學生對 CAS 圖形解讀情形，有 64.7% 學生勾

N09 give an ε and we can find an δ for δ − ≤ ≤ δ + we can find

a x a

可見量詞上的問題。研究者認為：對大一而言，以量詞化 (quantification) 基模完整地表示形式定義是困難的。因此，教學時不宜貿然引入

ε − δ 之極限概念。

研究者認為：CAS 圖形本身沒有對錯可言，它只是個技術限制下的產物。當所呈現的圖形造成觀察者知覺上衝突時，就會產生視錯覺 (visual illusion)，此一現象為觀察者知覺所產生的。Maple 繪圖的方式為：在指定的 x-range 內選取一些點，計算其函數值並連接相鄰

( , )

x y ，使學生誤以為該直線存在，造成部分學生學習上的困擾。因此，使用時須了解軟體的限制性 (limitation) 與呈現方式，且態度上也不能盲

(三) 概念視覺化

在「微型世界」(microword) 裡，學生可利用「圖形」來判別函數之可微分性。

以分析學常見函數

當 x 軸與 y 軸之比例不為 時，圖形將產生不同效果。從 Goldenberg (1988) 研究報告可知：「尺度」(scale) 會產生斜率之視錯覺現象，因此適當地選取繪圖視窗將可呈現函數極限存在之情形，以直線

1:1

1 = +

x 為例，相同尺度下以為視窗中心之函數圖形如圖 4-31 所示。首先，固定 y 範圍逐漸縮小 x 範圍，圖形之變化情形如圖 4-32 所示；若固定 x 範圍逐漸放大 y 範圍，圖形之變化如圖 4-33 所示。

(0,1)

圖4-31 y

= +

1

函數圖形

圖4-32 繪圖視窗尺度之影響 (固定 y-range)

圖4-33 繪圖視窗尺度之影響 (固定 x-range)

從以上圖形之變化情形可知：不論是「固定 y-range，逐漸縮小 x-rnage」或「固定

x-range，逐漸縮小 y-range」

，皆能讓非水平直線產生「水平」之視錯覺。此一現象能

說明極限在

x

=0存在且極限值為1。

研究者用數學方法說明上述之現象，說明所使用之繪圖視窗如圖 4-34 所示。

所算出之極限值為 0.3333333333。然而，由數值表上猜測極限時，可能會猜測極限值為0。

0.1000000000 10^-5 0.

0.1000000000 10^-6 0.

圖4-35

tan x x

₃

y x

= −

之數值表

然而，不同的理論值可能產生相同的浮點數值，例如：8721 3 與 10681 2 ，在 8 位精確位數下之數值皆為 15105.215。當利用浮點數表示實數時，若該浮點數表示法無法表示，會進行「進位」(rounding) 的動作，進位後難免產生「捨位誤差」

(rounding error)。此外，以有限的計算時間與空間近似理論精確值時，必須引入的截斷問題會造成「截斷誤差」(truncation error)。例如：Taylor 展開之嚴格定義乃一函數之無窮項的級數和，然而實際以計算機來運算時，必須終止於某一有限的項數，

如此便截斷了高階對理論值的精確性。因此，利用 CAS 進行數值運算可能遭遇數值誤差，使用者對於計算結果需作審視與分析。

第伍章研究結論與建議

對於大學生極限概念表徵結構、各表徵之表現情形及 CAS 對極限概念之影響，

根據第肆章研究發現及分析討論之結果，分別於第一節提出本研究之結論，第二節提出相關研究之建議。

第一節結論

本研究旨在探討大學生在 CAS 實驗活動的學習環境下，極限概念與表徵二者之間的相關議題。進而提供教師們極限概念教學時，使用表徵探查學習終點行為之依據。將極限概念表徵結構、概念心像及 CAS 對學習之影響，提出以下四點結論。

(一) 極限概念表徵結構

Cornu (1992) 指出：學習者與電腦互動 (interaction) 學習時，可能涉及到程式 (programming)。在 CAS 實驗活動的學習環境下，表徵方式必涉及相關程式，因此產生數值、圖形、動畫及代數四種模式，以表示實驗活動中學生表現之行為模式。

研究發現學生以 CAS 表徵

lim ( )

x a f x L

→

=

的概念時，各種模式之表現情形如下：

(1) 數值模式：選定某些點讓這些點愈來愈靠近 a，計算這些點的函數值。若函 數值與定值 L 之距離漸漸縮小，學生猜測極限值為 L。程式碼示例如下：

> f:=x->sin(x)/x;

N:=10:

M:=matrix(N+1,2,(Row,Col)->0):

M[1,1]:='x': M[1,2]:='f(x)':

for i from 1 to N do

x1:=1/3^i:

M[i+1,1]:=evalf(x1): M[i+1,2]:=evalf(f(x1)):

od:

eval(M);

(2) 圖形模式：若 limiting point 附近能找到一個明確的位置，則認為極限存在 且極限值為該明確位置點之 y 座標；當給定ε 後，能藉由操弄圖形選取 δ ，判別命題 0< − < δ ⇒

x a f x

( )− < ε 是否成立。程式碼示例如下：

L

> L:=1:

> plot(f(x),x=-1..1,view=L-0.5..L+0.5,axes=boxed);

(3) 動態模式：透過多次操弄ε − δ 視窗，即：不斷拉近 (zoom in) 之動作，表現極限存在時「∀ε 皆能∃δ」之現象。試題文字具引導時學生會考慮多個ε ，藉圖形模式選取；不具引導時學生幾乎不考慮多個δ ε 。程式碼示例如下：

> L:=1:

> plot(f(x),x=-1..1,view=L-0.5..L+0.5,axes=boxed);

> plot(f(x),x=-0.5..0.5,view=L-0.1..L+0.1,axes=boxed);

> plot(f(x),x=-0.1..0.1,view=L-0.01..L+0.01,axes=boxed);

(4) 代數模式：能推演出與δ ε 關係式，並利用 CAS 解此代數方程式，但未深入了解應如何選取才能達成目的。此外，有少部分學生在使用 CAS 作代數運算能力上較弱。程式碼示例如下：

> with(RealDomain):

> assume(epsilon>0):

> f:=x->x^3+x+1:

> a=1: L=3:

> sols R:={solve(f(x)=L+epsilon,x)};

> sols L:={solve(f(x)=L-epsilon,x)};

> convert(min(abs(sols R[1]-a),abs(sols L[1]-a)),piecewise);

而以 CAS 表徵

lim ( )

> h:=x->1/(1-3^(1/x));

> N:=10:

> M:=matrix(N+1,4,(Row,Col)->0):

> M[1,1]:='x': M[1,2]:='h(x)': M[1,3]:='x': M[1,4]:='h(x)':

> for i from 1 to N

> do

> x1:=1/2^i: x2:=-1/2^i

> M[i+1,1]:=evalf(x1): M[i+1,2]:=evalf(h(x1)):

> M[i+1,3]:=evalf(x2): M[i+1,4]:=evalf(h(x2)):

> od:

> plot(h(x),x=-1..1,view=L-0.5..L+0.5,axes=boxed);

從「圖形模式」可發現學生遇到撲朔迷離圖形，會以心智中較穩固之概念心像思考問題，進而影響非形式定義之學習。從「動態模式」可發現以動態逼近方式思索問題之學生，將目光聚焦在尋找 limiting point 附近的一個明確位置；而以非形式定義思索之學生，將目光聚焦在所操作的行動上。

Posner, Strike, Hewson & Gertzog (1982) 指出：利用各種方式 (如：口語、數字、

圖畫等) 幫助學生將知識由某種形式轉變成另一種形式，可有效地產生概念的改變 (余民寧，1997)。對大一學生而言，以量詞化 (quantification) 基模完整地表示形式定義是困難的，即缺乏符號表徵與各表徵之間的連結。

(二) 概念心像對學習之影響

本研究指出：學生的極限概念受「先備知識」之影響，也就是學生易喚起既有概念心像 (concept image)；若所提供的示例無法打破非相關屬性所建立的基模，反而有機會讓學生穩固這個錯誤的基模。研究發現學生解題時，常常使用既有概念心像：

「動態逼近」及「左右極限不相等則極限不存在」。例如：以動態逼近說明 L-4 之函數極限；以左右極限不相等說明 L-3 等。這些都將有礙於非形式定義及後續形式定義之學習。

研究者參考 Vinner (1991) 所使用之圖示，說明 CAS 學習環境下學生概念定義與概念心像互動情形，如圖 5-1 所示。學生以既有「動態逼近」之概念心像啟蒙，

若以「直覺思維」輸出之學生，即：路徑 1→2→5→7，經常產生不自覺地迷思概念；

實驗活動讓學生透過「視窗」建構非形式定義，將既有概念心像轉化成非形式概念定義，即：路徑 1→2→3→6→7；若學生對非形式概念定義產生心像時，將以非形式概念定義心像輸出，即：路徑 1→2→3→4→5→7；引進形式定義後，透過非形式概念定義心像產生形式定義而輸出，即：路徑 1→2→3→4→3→6→7。

ε − δ

概念定義概念心像

智力行為 (intellectual behaviour)

(三) 學生極限概念之迷思

從 Monaghan (1991) 與 Cornu (1992) 研究結果可知，學生以「直覺思維」極限概念或將數學上「極限」一詞與生活上「限制」之義相混淆，產生極限無法達到及 Mayer (1985) 在數學解題錯誤類型之分類可知，此種錯誤類型屬於「遺漏的錯誤」

(omission error)，即：對命題不能完整地回憶。此外，形式定義中「 0< − < δ 」

x a

大於零部份也是學生常犯錯的地方。學生以口語表達「x 趨近於 a，x 不等於 a」，

但書寫時常常寫成「 x a− < δ 」，此種屬於「轉換的錯誤」(conversion error)，此類學生在語意與符號表徵轉換能力較弱；從整體樣本看來，學生普遍都缺乏以符號表徵概念之能力。

(四) 電腦代數系統對學習之影響

概念視覺化的方法幫助學生獲得更多的概念性理解，而不需要以所對應的符號表示 (symbolization) (Heid, 1988)。CAS 整合教學環境中，透過「視窗」使學生在「給定ε ，存在」之多次操弄上，意識到非形式定義，即：藉由 CAS 外在動態

在文檔中 CAS 實驗活動的學習環境下極限概念之建構歷程 (頁 95-108)

( ) sin

=

x

x

( )

(0

x

,1) x

h x

( )

(0)

a x a

( , )

1

= +

(0,1)

= +

1

x-range，逐漸縮小 y-range」

x

tan x x

= −

第伍章 研究結論與建議

第一節 結論

lim ( )

=

x a f x

L

lim ( )

x a

( ) ^sin

第伍章研究結論與建議

第一節結論