數學概念並非在教學的瞬間就能完整地建立，必需要靠時間逐漸累積才能完成。
要瞭解學生極限概念的發展情形，必須先找出一個適合的理論分析此概念，以探測出 學生概念的發展。本節介紹 Dubinsky 等人的 APOS 理論，並利用此理論分析函數 的極限概念。
(一) APOS 理論
Dubinsky (1991) 認為數學知識的本質是人的一種「傾向」(tendency)，這種傾向 反應在一個人能確實瞭解數學問題的描述、以及該如何解答這問題的過程。也就是 說，思考如何將數學問題與社會的脈絡 (social context) 結合，然後建構或重建構出 解決問題的行動 (action)、過程 (process) 和物件 (object)，然後將整個過程組織為 一個解題的基模 (schemas)，最後在使用基模來解決問題。一個人是不可能直接學習 到數學概念的；更確切的說，人們是透過「心智結構」(mental structure) 來使所學習 的數學概念產生意義。如果一個人對於給予的數學概念擁有適當的心智結構，那他 幾乎是自然就學到了這個概念；相反的，如果一個人無法建立起適當的心智結構，
那學習數學概念幾乎是不可能的。因此，教學的目的就在於如何幫助學生建立適當 的心智結構。
在數學教學中，不僅要幫助學生掌握數學知識，更要幫助學生理解和運用數學 思想方法。Dubinsky (1991) 將 Piaget 的認知發展理論應用在高等數學，孕育出用 來處理概念發展的 APOS (Action Process Object Schema, APOS) 理論，用以描述大 學階段數學概念的認知發展。此理論強調用數學的方法組織和建立數學概念，讓學 生透過活動親身經歷、體驗完整的學習過程，這樣建立的數學概念有著豐富的內涵，
其中包含概念的抽象過程、數學思想方法和概念的形式化。這是以建構主義為基礎 的數學教學理論，它的核心是引導學生在探索中學習數學知識，分析數學問題情境，
從而建構他們自己的數學思想。根據上述想法，Dubinsky 成功地幫助大學生們學習 了一系列與微積分、離散數學與抽象代數等學科分支有關的概念。
Piaget 的認知發展理論指出：當個體接受到外界的刺激時，會主動以本身的認 知結構為基礎，經「同化」(assimilation)、「調適」(accommodation) 的過程，內化成 個體認知結構的一部份，使得個體的認知結構達到「新平衡」(equilibrium)。Piaget 稱此思維歷程在新知識的同化及舊知識適應重新整理在一起；若調適不滿意可能是 新知識與舊知識產生衝突 (conflict)，但二者仍同時存在。
Piaget 指出：「反思抽象」(reflective abstraction) 過程，是數學概念在認知建構 上的關鍵。再此，反思抽象的意義與 Piaget 認知理論的所使用的相同，Dubinsky 並將反思抽象的建構歷程再細分如下：
(1) 內化 (Interiorization)：學習者透過低階的數學物件操作逐漸熟悉，最後產生 新的概念。當整個活動過程已被內化時，學習者實際上不需要執行它，而是 透過心智表徵來執行。
(2) 協調 (Coordination)：當個體在不同的情境中使用這樣的過程，並且加以整 合成另外一種過程。
(3) 壓縮 (Encapsulation)：過程被其他活動加以轉換，那麼就說該過程被壓縮成 物件。學習者能將過程視為整體的階段，且並非總是注意在細節上，且能將 一長串的處理流程縮短，看成一個較易處理的單位。
(4) 類推 (Generalization)：個體以現有的基模、概念，推廣到新情境中，並且加 以應用。將一個抽象的數學概念看成一個物件，並進而去操作此物件。
(5) 逆反 (Reversal)：個人反思已經存在的內部過程去建構新的過程。
Dubinsky 的 APOS 理論的運作模型如圖 2-3 所示，行動透過「內化」運作成 過程；物件的產生透過過程的「壓縮」。概念首先要處理的是行動，行動意指學習 者做此動作，但不知道實際上發生什麼事情。行動可能藉由一個關鍵詞觸發，也可能 是個演算法，當學習者已經做此行動若干次且深思熟慮，行動可轉變為過程。此時，
學習者意識到行動的用意，可透過心智表徵來執行此一行動，而不需要外界刺激。
當學習者將過程視為整體，了解在過程使用的操作而且能遷移時，將可視過程為一個
在基模裡，物件和過程被綑綁在一起，它們像「心智網絡」(mental network) 且 能用許多方式變化。單一基模不同部分之間、不同的基模之間，它們的連結次數可能 改變，這些連結可能是強而有力的、薄弱的甚至有錯誤的；若既有基模裡存有概念 迷思，當新概念和操作 (operations) 添加在基模時可能會產生問題，因此學習者必須 改變心智結構。
圖 2-3 基模及其建構物
協調 (Coordination) 物件 (Object) 過程 (Process)
內化 (Interiorization)
壓縮 (Encapsulation) 行動 (Action)
類推 (Generalization)
逆反 (Reversal)
類推不像抽象化那麼困難，因為抽象化時常意味著個人再度建立「心智表徵」
(mental representation) (Dreyfus, 1991)。物件的性質 (properties) 必需被組織，才具有 在其它情境中應用的可能性。心像能使重要的結構和關係更佳清楚，竟可能地視覺化 (visualization) 將助於組織及建構。抽象化除了類推之外還包括「整合」(synthesis)，
整合是從部份中產生整體的形式，當整合完成時，超出本身的部份將聚集在一起。
許多小且不相干 (disjoint) 的部分連結在一起，許多東西突然地逐漸被理解，這是種 有受益的感觸 (rewarding feeling) 且個體已經越過了此過程。不久之後，所有瑣碎重 要的整合過程片段被遺忘，且個體理解了這個結果，也就是說了解此概念。
(二) 基因分解─函數極限概念
Cottrill 等人 (1996) 以「基因分解」(genetic decomposition) 描述個體如何建構 出行動、過程和物件，用來理解某個數學概念的心智模式。概念的基因分解可作為 教學設計及分析學生學習的架構。某個特定概念的基因分解並非唯一，它只是暫時 性的，可由實徵性的研究加以修改、調整，再作為下回教學實驗的設計架構。
Dubinsky 及其所屬之數學教育研究團體 RUMEC 中的成員，利用 APOS 理論 配合「基因分解」(genetic decomposition)，深入探討學生如何建構微積分課程中的 重要概念。他們指出以 APOS 的理論架構所做出的基因分解，不僅可作為自身理解 數學概念的架構，也可作為分析學生如何建構概念的基礎 (白啟光，2005)。
Cottrill 等人 (1996) 利用 APOS 理論建構極限概念的行動、過程及物件，也就 是將此數學概念用「基因分解」加以描述。在白啟光 (2005) 的教學研究中，修改 Cottrill 等人所提出
lim ( )
x a f x L
→
=
概念的基因分解，修改結果如下，並根據此基因 分解設計探索極限的電腦實驗活動。
1. 選定在某些點，這些點愈來愈靠近 ，計算這些點的函數值。
a
2. 利用步驟 1 中的數值建極限的動態逼近程序 “
x
→a
,f x
( )→L
”。3. 了解極限的非形式定義。即：
We can make the values of f x
( )
arbitrarily close to L by takingx
to be sufficiently close to a (on either side ofa
) but not equal to a.4. 將步驟 3 重新以區間和不等式，即引入0<│
x
−a
│< δ、│f x
( )−L
│< ε 符號的方式加以建構。5. 應用量詞化 (quantification) 基模將步驟 3 重新建構，以獲得一個極限 的形式定義。
6. 將ε − δ形式定義應用到特定的情境。