(一) 學習理論
認知取向學習理論主要是探討知識的習得與使用，這牽涉到兩個層面：一是知識 在記憶中是如何儲存，亦即知識與記憶的心智結構；一是知識是如何被使用或處理的 心智運作歷程。對認知取向的學者而言，所謂學習是將既有的「認知結構」(cognitive structure) 予以重新組織，即：將新知識內化為認知結構的一部份。以下將 Bruner 發 現學習論、Ausubel 意義學習論及訊息處理模式做概略性說明。
1.0Bruner 發現學習論
在 Bruner (1961)《發現的行動》(The Act of Discovery) 一文中，鼓舞了現代人 對發現學習的興趣。Bruner 所指的「發現學習」(discovery learning) 為學生在學習 情境中，經由自己主動探索尋找，從而獲得問題答案的一種學習方式。此外，「發現 學習」只在具有結構性的學習情境下才會產生。根據 Bruner 的說法，結構是指知識 構成的基本架構，在此架構中，包括著某些彼此相關連的概念。Bruner 曾列舉四點 說明學習情境結構的重要性，其中一點是學生從結構中學到的原理原則，將有助於 以後在類似情境中，產生正向的學習遷移。根據 Burner 的說法，原理原則的發現造 成較好的學習效果，因為學習者已將這些教材組織成有用的形式；原理原則的發現也 使學生成為較好的學習者和問題解決者，因為學生在處理訊息時得到了實際練習之 機會 (林清山，1997)。
「回饋」(feedback) 是指學生發現問題答案時，從錯誤調整到正確的認知歷程。
番直覺思維 (甚至不按邏輯推理方式的思維)。在發現學習論者看來，「發現自己的 錯誤」與「發現正確答案」，是同樣的重要。在 1960 年代，有過一陣疾風似的研究，
探討在發現學習中教師應給予學生多少指導的問題。雖然這些研究所使用的名詞之 意義不同，但仍可界定教學時教師使用引導的三種基本層次 (林清山，1997)：
(1) 純發現式 (Pure Discovery)：學生在解決問題時，只獲得教師最少的引導。
(2) 引導式發現 (Guided Discovery)：學生在解決問題時，教師提供暗示和有關 如何解題的指導語，使學生的問題解決保持在教師的注意範圍內。
(3) 說明式 (Expository)：教師告知最後的答案或原則給學生，學生不需花太多 時間學習，缺點是學生不會分析思考。
Burner 倡導「引導式發現」學習法，希望學生不僅僅只是閱讀或專心傾聽老師 的講課或記憶一些由老師呈現的原則而已，而是鼓勵學生去發現問題、蒐集資訊、探 索、提出假設、驗證假設、分析、歸納與演繹，以擴展知識與經驗 (沈中偉，2004)。
許多研究結果顯示，接受引導式發現學習比傳統教學法有顯著的學習效果。沈中偉 (2004) 指出：發現學習理論適合於科技融入教學環境，若教學目標要培育學生分析、
綜合、問題解決與創造力時，發現學習是很適當的教學方法。
2.0Ausubel 意義學習論
「有意義的學習」(meaningful learning) 是 Ausubel 理論中的主要核心理念：
只要學習者有意識地將新知識與其已經知道的概念或命題 (既有的舊知識和舊經驗) 相連結時，有意義的學習便告誕生 (余民寧，1997)。然而「有意義的學習」，只能 產生於學生已有充分的「先備知識」(preknowledge) 基礎上。換言之，只有配合學生 能力與經驗的教學，學生們才會產生有意義的學習。Gagne 指出學習者之所以無法 學習某教材，可能是因為尚未具備學習此教材的先備知識或技能 (沈中偉，2004)。
因此，「有意義的學習」有二個先決條件：
(1) 學生表現出一種意義學習的傾向，即：學習者必須為自己的學習負起責任，
願意主動嘗試將新知識與既有的概念作聯結。
(2) 學習內容對學生具有潛在意義，即能夠與學生已有的知識結構聯繫起來。
Ausubel 的「意義學習論」(theory of meaningful learning) 對影響學習的重要因素 所持的看法，後來也獲得學者們 (Hegarty-Hazel & Prosser, 1991; Prosser, 1987; Prosser
& Millar, 1989) 的證實與支持 (余民寧，1997)。依據這些研究結果顯示，先備知識是 影響學生學習什麼及如何學習的重要因素；先備知識豐富的學生會傾向採用較為深度 且較有意義的學習策略來學習；反之，欠缺先備知識的學生，則傾向採用較為膚淺的 策略來學習 (余民寧，1997)。因此，先備知識會影響學生所採取的學習策略，進而 間接影響到學生所習得的知識。
Ausubel 將概念視為一個層次性的結構，居於結構上層者為要領 (superordinate) 概念，代表個人對事物的整體認識，居於下層者為附屬 (subordinate) 概念，代表個 人對事物特徵的細部記憶。要領概念可持久不忘，但附屬概念則多為短暫性的 (張春 興，1996)。Skemp (1987) 將概念分成表面結構 (surface structure) 與深層結構 (deep structure) 兩種。所謂表面結構是指：文辭表面句型的傳達，寫或說出符號等表面的 操作。而深層結構則是指這些文辭底下所代表的意涵，也就是概念本身。概念結構 重要的部分當然是指深層結構的部分 (陳澤民，1995)。依據 Ausubel 的解釋，要領 概念就是個人的先備知識。先備知識就是個人吸收新知識的基礎，在意義上，也就是 一般認知心理學家所指的認知結構。在學生學習新概念形成新知識時，首先用自己 既有的要領概念去核對新概念，並試圖將其納入自己的認知結構之內，從而同化為 自己的知識，即：要領概念具有吸收同化新概念的功能。Ausubel 將此種結合舊新 概念而利於學習的教學步驟，稱之為「前導組織」(advance organizer)。學生使用「前 導組織」，並不能保證一定能將一般概念抽象化。為了幫助學習者充分地使用系統 及形成適當的概念圖像，需要一個外部的組織媒介 (organizing agent)，這些媒介可能 從教師的引導、教科書或恰當的電腦教材的形式出現。
在學習成果上，亦有許多研究 (Rivard & Yore, 1992) 指出：若所用來測量學習 成就的試題傾向於記憶性的題目，則使用有意義學習取向的學生在表現上，比傳統機 械式學習法的學生差一點；但所使用的評量工具是用來測量高層次認知能力，則使用
3. 建構主義學習論
建構主義者認為學習就是一種學習者建構知識的歷程，透過新經驗與舊知識相 融合，學習者不斷修正原本舊有的知識。因此，學習者並非等待注入的空瓶，而是像 杯子裡的冰塊 (具先備知識) 與倒進杯子裡的水 (新教材) 融入在一起，是主動尋求 意義的有機體 (Driscoll, 2000)。在建構主義的信念中，認為學生應由思考產生學習，
思考自己的學習歷程，學習源於思考，而思考也影響學習 (Jonassen, Peck & Wilson, 1999) (引自沈中偉，2004)。換言之，建構教學必須透過學習者主動參與及有意義的 去建構新、舊知識的活動，教師應使用適當的教學策略，安排學習情境、激發學生 積極參與，使學生重組、整合並建構其知識。
複雜的數學概念問題，著重在概念思考與解題過程，結果反而不是那麼的重要，
因此建構主義較適合複雜的數學概念問題。將建構主義應用於學習活動時，可知教 師的「教」不等於學習者的「學」。因此，教學活動不應該為「教」而設計，而是應
該為「學」而設計。沈中偉 (2004) 指出：建構主義學習觀的特點，強調主動性、
有意義的學習及合作學習。因此，建構主義學習方式能達成主動、有意義且合作之 學習效果。
綜合本節所述，可將 Bruner 發現學習論、Ausubel 意義學習論及建構主義學習 論視為三個兩兩相交之集合，如圖 2-1 所示，即各個學習理論皆有部分共同特質。
本研究之教學活動設計理念涉及：Bruner 所倡導之「引導式發現」學習法、Ausubel 主張新舊知識相結合之「有意義學習」、建構主義之主動積極與合作學習精神。
發現學習
意義學習 建構學習
圖 2-1 教學活動設計理念
(二) 訊息處理模式
訊息處理論為解釋人類環境中，如何經由感官察覺、注意、辨識、記憶等內在 心理活動。數學是處理人類從環境中發現的訊息，尤其是數、量、形的訊息，然而 數學教育是研究人類如何思維、傳達、處理或學習這些外來或是外置的訊息。依據 此一觀點，數學所運用之訊息處理歷程 (information processing) 和人類日常大部分 思維並沒有太大的差異，也就是為何認知學家時常以研究數學思維，瞭解人類一般 思維的主要原因。
訊息處理為無法直接觀察的內在心理運作歷程，認知學家認為此歷程包括三個 心理特徵：
(1) 訊息處理具階段性。
(2) 各階段的功能不一，居於前者屬暫時性，居於後者屬永久性。
(3) 訊息處理不是單向直進式，而是前後交互作用的。
根據上述三點之假設，一般同意採用類似與下圖的圖解，說明訊息處理的內在心理 歷程 (張春興，1996)。
注意 複習
圖 2-2 說明環境中的訊息，經由感覺器官收錄外界刺激，引起短暫的記憶。若個體 注意到此一訊息，將給予編碼轉換為另一種形式。否則予以放棄，形成感官收錄過後 的遺忘。感官收錄後的訊息再經過注意，訊息將進入短期記憶 (short-term memory, STM)。若個體認為所處理的訊息是重要的，將採用複習 (rehearsal) 的方式，使得能 保持較長久的時間，進而輸入至長期記憶 (long-term memory, STM)。
長期記憶 感官收錄
遺忘
短期記憶
遺忘 環境訊息
輸入
圖 2-2 訊息處理心智歷程
在訊息處理時，個人透過心理運作進行編碼 (encoding)，將外在刺激的物理屬性 (例如：聲音、形狀、顏色等) 轉換成另一種抽象的形式，並將它貯存於記憶中，以供 日後檢索提取 (張春興，1996)。此抽象的形式就稱為「心理表徵」，它的形式有以 聲音為主的「聲碼」(acoustic code)、以形狀為主的「形碼」(visual code)、以意義為 主的「意碼」(semantic code) 等。這些心理表徵就被貯存在記憶中，當需要將輸入的 訊息輸出時，就需要解碼 (decoding)，而從記憶中解碼的過程稱為提取 (retrieval)。
一般而言，提取並非每次都能成功，記憶內容是否能有效地被提取，涉及當初訊息被 處理的程度及在回想這些內容時，是否有相關的回憶線索等。
Anderson (1995) 認為訊息處理的研究主旨在於探討個體察覺、組織和記取相關 訊息的各種方式，從而描繪出當個體從事認知活動時的心智運作歷程和訊息產物。
Margaret (1986) 認為可以利用訊息處理論來解釋學習之歷程。學生主要是透過感官
Margaret (1986) 認為可以利用訊息處理論來解釋學習之歷程。學生主要是透過感官