CAS 實驗活動的學習環境下極限概念之建構歷程

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(1)CAS 實驗活動的學習環境下極限概念之建構歷程研究生：黃誌偉. Student：Chih-Wei Huang. 指導教授：白啟光. Advisor：Chi-Kaung Pai. 國立交通大學應用數學系碩士論文. A Thesis Submitted to Department of Applied Mathematics College of Science National Chiao Tung University in Partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of Master in Applied Mathematics June 2006. Hsinchu, Taiwan, Republic of China. 中華民國九十五年七月.

(2) CAS 實驗活動的學習環境下極限概念之建構歷程 The Constructive Process of Limit Concept under the CAS Laboratory Learning Environment 研究生：黃誌偉. 指導教授：白啟光國立交通大學應用數學系碩士班摘. 要. 本研究旨在探討 CAS 實驗活動的學習環境下，大學生極限概念之建構歷程及其迷思情形，並進一步說明在此環境下數值與圖形對極限概念之影響。本研究採質性研究方式，針對國立交通大學微積分實驗班 40 名大一學生進行教室觀察及晤談，並以紙筆測驗和問卷等資料作為分析詮釋之參考。研究結果發現：極限概念主要的外在表徵有語意表徵、數值表徵、圖形表徵及代數符號表徵，學生在建構極限概念歷程中，先備知識會影響後續形式概念之發展，在此一學習環境下，學生仍具有傳統模式下之迷思概念。概念視覺化有助於學生極限概念的建立，但先決條件是能夠正確地解讀 CAS 所產生的圖形。. 關鍵字：極限概念、電腦代數系統、多重表徵、視覺化. I.

(3) The Constructive Process of Limit Concept under the CAS Laboratory Learning Environment Student: Chih-Wei Huang. Advisor: Chi-Kaung Pai. Department of Applied Mathematics National Chiao Tung University. Abstract The purpose of this study was to investigate the representation structure of college students’ limit concept, and their misconceptions under the CAS laboratory learning environment. Especially, how the numerical and graphical aspects of CAS help students to develop their limit concept. Upon analysis of 40 freshmen students’ laboratory recording, laboratory reports, questionnaires responses, and interview details, we found that 1. The main external representations of limit concept were verbal, numerical, graphical, and algebraic-symbolic representations. 2. Students’ pre-knowledge affected a great deal on the development of their limit concept. 3. Students in the CAS laboratory learning environment still tended to have the same misconceptions as those of students in traditional classrooms. 4. Under the assumption that the graphs generated by CAS are correctly interpreted, visualization does help in students’ conceptual understanding. Keywords: Limit concept, Computer algebra system (CAS), Multiple representations, Visualization. II.

(4) 誌謝又見鳳凰花開時，轉眼間即將結束兩年的學習生涯，回首來時路，從懵懂無知到略有所悟，百感交集，點滴在心頭。論文在親手一字一斧的雕琢之下終於完成，步出口試會場，讓我兩年來極度緊繃的精神頓時轉為感恩與喜悅，也讓我有邁入人生下一個里程碑的自信與期許。首先，感謝白啟光老師的諄諄教誨，讓我體會到質性研究之美，在遭遇許多挫折的時刻給予關懷與鼓勵，使我更有力量與韌性向前邁進。老師亦師亦友的情誼，實為我人生中最珍貴難得的緣分，讓我心中對老師充滿感激之意。感謝口試委員羅昭強老師、莊重老師及陳明璋老師對論文提供精闢的指導，且不吝提出他們許多的寶貴建議，彌補論文中的缺失使我的碩士論文能更加的完善。最後，感謝一直在背後支持我的家人與朋友。得知於人者多，己付出者卻少，經過研究所的學習與錘鍊，增長的不僅是知識，還有更多的感恩之心，將本論文獻給所有關心我的師長和親友們。. 黃誌偉謹誌民國九十五年夏. III.

(5) 目. 錄. 中文摘要.................................................................................................................... I 英文摘要.................................................................................................................... II 誌謝.......................................................................................................................... III 目錄.......................................................................................................................... IV 圖目錄............................................................................................................................ VI 表目錄...................................................................................................................... VIII. 第壹章緒論....................................................... 1 第一節. 研究動機................................................................................................. 1. 第二節. 研究目的與待答問題............................................................................. 4. 第三節. 研究範圍與限制....................................................................................... 5. 第四節. 名詞釋義................................................................................................. 5. 第貳章文獻探討 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 第一節. 認知學習理論........................................................................................ 11. 第二節. APOS 理論......................................................................................... 18. 第三節. 表徵....…......................................................................................... 22. 第四節. CAS 整合學習環境............................................................................. 29. 第五節. 極限概念相關研究............................................................................... 38. 第叁章研究方法...................................................... 42 第一節. 研究架構與流程.............................................................................. 42. 第二節. 研究樣本.......................................................................................... 44. 第三節. 研究設計.......................................................................................... 48. 第四節. 資料蒐集與處理.............................................................................. 49. IV.

(6) 第肆章研究結果與討論............................................... 50 第一節. 表徵運用與迷思概念......................................................................... 50. 第二節. CAS 使用情形與態度...................................................................... 86. 第伍章研究結論與建議............................................... 94 第一節. 結論....................................................................................................... 94. 第二節. 建議....................................................................................................... 99. 參考文獻............................................................ 100 中文部分.................................................................................................. 100 英文部分.................................................................................................. 101. 附錄................................................................. 105 附錄一. 電腦實驗活動......................................................................... 105. 附錄二. 成效評量試題............................................................................. 112. 附錄三. 成就測驗試題........................................................................... 114. 附錄四. 期中考試題................................................................................ 115. 附錄五. 問卷(極限部分)......................................................................... 116. 附錄六. 活動錄影片段......................................................................... 119. V.

(7) 圖目錄圖 1-1. 圖形表徵直觀概念 Stewart (2003)…............................................................ 7. 圖 1-2. 圖形表徵形式概念 Stewart (2003)............................................................... 7. 圖 1-3. 人工動態 ε − δ 程序之步驟分解................................................................. 8. 圖 1-4. 極限概念表徵系統的轉換模式................................................................. 9. 圖 2-1. 教學活動設計理念...................................................................................... 14. 圖 2-2. 訊息處理心智歷程....................................................................................... 15. 圖 2-3. 基模及其建構物....................................................................................... 20. 圖 2-4. 雙碼理論學習示意圖 Mayer & Sims(1994)................................................ 22. 圖 2-5. 表徵系統的轉換模式 Lesh 等人 (1987).................................................... 27. 圖 2-6. 教學三角模式 Joshua & Dupin (1993).......................................................... 32. 圖 2-7. 教學三角模式 Drouhard (1997).................................................................... 32. 圖 2-8. 直線往右移之錯覺........................................................................................ 35. 圖 2-9. 直線往左移之錯覺........................................................................................ 35. 圖 2-10 兩直線平行之錯覺........................................................................................ 35 圖 2-11 近看與遠看圖形不變.................................................................................. 36 圖 2-12 近看與遠看圖形改變.................................................................................. 36 圖 2-13 拋物線圖形之錯覺........................................................................................ 37 圖 3-1. 研究流程................................................................................................. 43. 圖 3-2. 五項有意義學習的屬性................................................................................... 45. 圖 4-1. 以繪圖視窗描述 ε − δ 視窗............................................................................ 57. 圖 4-2 圖 4-3 圖 4-4. 1 在 [−0.5, 0.5] × [−0.1, 0.1] 圖形........................................................... 58 x 1 x sin 在 [−0.1, 0.1] × [ −0.1, 0.1] 圖形.............................................................. 58 x 1 在 [−1,1] × [−0.5, 0.5] 圖形................................................................ 58 ⎛1⎞ x sin. ⎜ ⎟. 1 − 3⎝ x ⎠. VI.

(8) 1. 圖 4-5. ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ x⎠. 在 [−1,1] × [0.5,1.5] 圖形..................................................................... 58. 1− 3 圖 4-6. 多面向思索網絡........................................................................................... 60. 圖 4-7. sin. 圖 4-8 圖 4-9 圖 4-10 圖 4-11. π 在 [−0.1, 0.1] × [ −1,1] 圖形..................................................................... 61 x π sin 在 [−0.1, 0.1] × [−0.1, 0.1] 圖形........................................................... 61 x. 選取不可行之 ε − δ 視窗...................................................................... 62 sin x 在 [ −0.1, 0.1] × [0.99,1.01] 圖形........................................................... 67 x sin x 在 [ −0.1, 0.1] × [0,1] 圖形....................................................................... 67 x. 圖 4-12 圖形表徵喚起 ε − δ 視窗 (S 13 ,P-1.b).................................................. 68 圖 4-13 圖形表徵喚起動態逼近程序 (S 19 ,P-1.b)............................................ 68 圖 4-14 選取尺度問題 (S 7 ,P-1.c)....................................................................... 68. 1. 圖 4-15. ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ x⎠. 在 [ −1,1] × [ −0.5,1.5] 圖形............................................................. 71. 1− 3. 圖 4-16 以必要條件說明極限不存在 (S 14 ,P-2.b)............................................... 72 圖 4-17 誤用極限算則 (S 3 ,A-1.a).................................................................. 78 圖 4-18 誤用極限算則 (S 13 ,A-2.c).................................................................. 78 圖 4-19 圖形表徵 (S 2 ,A-1.e)...................................................................... 79 圖 4-20 符號表徵 (S 1 8 ,A-1.e).............................................................. 79 圖 4-21 符號表徵 (S 15 ,A-1.e)............................................................................... 80 圖 4-22 語意表徵 (S 16 ,A-1.e)............................................................................. 80 圖 4-23 符號表徵 (S 11 ,M-II2.b)......................................................................... 80 圖 4-24. sin. π 在 [−1,1] × [−1,1] 圖形......................................................................... 81 x. 圖 4-25 數值表於圖形上之對應關係.................................................................... 82 圖 4-26 動態逼近方式說明極限 (S 4 ,P-3.c)........................................................ 82 圖 4-27 具 ε − δ 視窗輪廓 (S 20 ,P-3.c).................................................................. 82 圖 4-28 數值表於圖形上之對應關係................................................................. 84 圖 4-29 不可微處之微型世界................................................................................ 90. VII.

(9) 圖 4-30 可微處之微型世界.................................................................................... 90 圖 4-31. y = x + 1 函數圖形................................................................................ 91. 圖 4-32 繪圖視窗尺度之影響 (固定 y-range)...................................................... 91 圖 4-33 繪圖視窗尺度之影響 (固定 x-range)..................................................... 91 圖 4-34 繪圖視窗 [a, b] × [c, d ] ................................................................................. 92 tan x − x 之數值表.............................................................................. 92 x3. 圖 4-35. y=. 圖 5-1. 概念定義與概念心像互動情形.................................................................. 97. 表目錄表 1-1. 教科書之數值表 Stewart (2003).................................................................... 7. 表 1-2. 徒手計算之數值表................................................................................... 7. 表 3-1. 樣本基本資料次數分配........................................................................... 44. 表 3-2. 各屬性與實驗活動細節之對應關係....................................................... 46. 表 4-1. 對 Maple 看法問卷................................................................................. 59. VIII.

(10) 第壹章緒論本章共分為四節，主要說明本研究之研究動機、研究目的與待答問題、研究範圍與限制，並對本研究中所提及之重要名詞給予定義與解釋。. 第一節研究動機長久以來，數學就是學生最感困擾的科目之一，不僅在學習興趣方面，在學習成就上都是最受挫折感的科目。而微積分為大專院校的數學基礎課程，極限的概念扮演著重要的角色，它是學習許多重要概念的基礎。在古代中國，《莊子‧天下篇》記載的「一尺之棰，日取其半，萬世不竭」。以及劉徽所創的割圓術，用圓內接正多邊形與圓接近，意謂「割之彌細，所失彌少。割之又割以至於不可割，則與圓合體而無所失矣」，都包含著極限的概念。若學生沒有完整的極限概念，將無法完全地了解微積分課程中連續、微分與積分等概念 (Orton, 1983)。當學生面對極限概念時，常有著認知上的困難，而這個複雜的概念，在教學上亦產生困難 (Cornu, 1992; Li & Tall, 1993; Monaghan, Sun & Tall, 1994; Szydlik, 2000; Tall & Vinner, 1981; Williams, 1991)，特別是從極限的直觀概念進入到 ε − δ 形式概念。 Skemp (1987) 認為概念的形成需要先有實際的經驗，再經過抽象化的歷程，也就是抽取出經驗中的相似性、共通性後才形成概念。Dienes (1960) 根據 Piaget 認知發展階段─具體操作期 (concrete operational stage)，發展能操弄抽象數學概念的物件； Bruner & Kenney (1965) 修改「丹尼斯積木」(Dienes blocks)，發展能教導因式分解的具體教材 (林清山，1997)。Tall (1986) 延續 Dienes 的想法，將電腦視為被操作的物件，提供學習者探索數學上的過程和概念；透過操弄示例，它們共同的特徵可能被抽象化，而給出具體例子的一般性概念。Goldenberg (1998) 指出：數學課程必須含有允許學生實驗的活動並建立模型來幫助解釋數學概念。因此，學習數學應從給學生能操作的實物開始，最後再進步到使用符號表徵方式來表示。. -1-.

(11) 在數學學習中，「表徵」(representation) 可用來具體呈現數學概念與思維；數學概念的表徵方法，在學習者形成概念的理解與使用上，扮演著重要的角色。Vergnaud (1987) 指出：表徵系統不僅是數學概念結構具體呈現的工具，亦是將數學基本結果分類的方法。要有效地學習數學概念，學生不僅要能彈性運用這些特定的表徵，還必須要能做表徵與表徵之間的轉換；表徵轉換的過程及轉換的結果，對學生獲得及使用數學概念具有影響力 (Behr, Lesh & Post, 1987)。因此，對於數學概念學習，有效運用這些表徵是重要的。資訊科技的日新月異，「電腦輔助學習」(Computer-Assisted Learning, CAL) 已能成功地運用到許多教學領域；對數學教學而言，利用電腦設計「多重表徵」(multiple representations) 學習環境為目前教學活動的趨勢。Pierce, R. & Stacey, K. (2001) 研究發現透過表徵之間的轉換有助於知識的概念性發展；而電腦環境所提供的表徵方式，可作為數學概念教學時，呈現多重表徵的一種有力工具 (Kaput, 1987)。學生利用電腦呈現微積分概念的多重表徵，所獲得的知識更是個別化而有意義的 (Rochowicz, 1996)。在科技整合教學環境中，除了能將一般教室中，教師、教科書、板書等文字、語言、圖形、符號等表徵方式呈現出來以外，也可以將課堂教室中無法做到的「外在動態表徵」(dynamic external representation) 方式，利用電腦科技來詮釋抽象的概念 (左台益、蔡志仁，2001)。江紹祥 (1999) 指出：透過電腦動畫的演示，可幫助學生處理抽象的數學概念，亦可運用演示的特別效果加強處理學生常犯錯誤，鞏固學生未能掌握的重要數學概念 (謝哲仁，2003)。傳統講述式教學模式為教師在講台上講述數學概念與解題方法，學生則負責聽講與解題，教師教學的重點在將數學概念與解題技巧進行清晰的描述，學生的責任則是在測驗時複製上課時教師傳授的知識。NCTM (2000) 指出：若學生能快速算出答案並不保證他已經達到高階的數學概念理解。然而，這種上對下單向式的教學常常不易引發學生對數學學習的興趣，數學學習也變得毫無樂趣可言。在未經學生自己探索嘗試之際，即將答案告訴學生的教學方式，不是囫圇吞棗半知半解，就是因知之不詳而迅速遺忘 (Burner, 1964)。學生若未了解數學概念本身的意義，其所學到的知識. -2-.

(12) 是不完整的 (Dubinsky, 1991)。Duffy, Lowyck & Jonassen (1993) 指出：當學習者主動參與各種學習活動時，給予更多探索的空間活動，將使學習者的學習更加具有效果。 Dubinsky (1991) 將 Piaget 的認知發展理論應用在高等數學，並提出 APOS 理論描述大學階段數學概念的認知發展。Dubinsky 認為數學概念的發展，必須透過行動 (action)、過程 (process)、物件 (object) 和反思抽象 (reflective abstraction) 這一連串的認知歷程。而教學的目的是要讓學生能參與有意義的學習，如此才能使學習更有效率，學習後記憶保留得更長久，也才不致於僵化知識而不會運用。Ausubel (1968) 強調「有意義的學習」(meaningful learning) 才是真正的學習，並指出有意義的教學必須以學生的先前知識及經驗作為新的學習起點。依據 Ausubel「意義學習」的觀點探討科技融入教學時，教師須考慮如何藉由科技讓學生主動學習 (active)、建構學習 (constructive)、意圖學習 (intentional)、真實學習 (authentic) 及合作學習 (cooperative) (Jonassen, Howland, Moore & Marra, 2003)；學習活動和教學活動的設計能同時包含上述五個屬性，將比單獨一個屬性出現，更能產生有意義的學習 (沈中偉，2004)。學習者將電腦科技當作認知學習環境的工具，可以提升解決問題能力與擴展思考力，進而提升學習者知識建構與認知的能力 (Jonassen, 1996)。教學科技媒體只是一個做為訊息承載的資訊呈現工具之一，故對教學上並不會產生實質的學習效果；只有符合教學策略與學習活動的設計基礎下，才會對學習者產生學習影響。認知理論學者認為：學生是主動的訊息處理者，而非被動的接受者，亦即學習是學習者建構知識的過程。在已有充分準備的教師引導下，學生可以自行嘗試各種試驗，建構數學基本原理。對數學概念的教學而言，「形式定義」常常讓人無法了解，但若透過電腦科技「形式定義」的數學意義就可以呈現出來。微積分這門學科的許多主題均可藉由圖形來闡明其意義，電腦代數系統相當適合做為這門學科的配套教學。利用此系統繪圖與符號演算的功能，學生得以將思考邏輯轉化成一序列的指令，並經由電腦的運算與圖形的輸出修正先前的推論與思考方向，形成學習上的回饋。因此，學習效果是立即、直接且具思考性的，同時更可增廣學生的思考空間。藉由圖形介面與電腦的高速運算，誘導學生回歸學習微積分的本質. -3-.

(13) 「從思考與發掘問題著手」。有鑒於此，本研究將使用電腦代數系統 Maple 設計實驗活動，輔助學生學習極限概念，並提供學習極限概念所須具體操作的情境。透過電腦的視窗環境，將教學內容以「多重表徵」(multiple representations) 的方式呈現，提供學生概念性的思考，進而從學生外在表徵的表現情形，建構極限概念的表徵結構，並從中探查學生 CAS 之使用情形與態度。. 第二節研究目的與待答問題依據上述的研究動機，可發現學生在學習極限概念時遇到了許多困難，本研究探討在 CAS 實驗活動的學習環境下，學生如何從極限的直觀概念進入 ε − δ 形式概念，以及 CAS 之使用情形與態度。本研究的研究目的有下列三項： (一). 探討在 CAS 實驗活動的學習環境下，大學生極限概念的表徵結構及其建構歷程。. (二). 暸解在 CAS 實驗活動的學習環境下，大學生處理極限問題的思考方式，以及概念之迷思情形。. (三). 瞭解在 CAS 實驗活動的合作學習 (cooperative learning) 環境中，大學生學習的態度及對於使用 CAS 的看法。. 本研究主要透過分析學生學習模式、習題作業、成就測驗回答方式及晤談資料等，回答下列問題從而達成研究目的。 (一). 在 CAS 實驗活動的學習環境下，學生極限概念之「表徵結構」具有哪些表現內容？極限概念之「學習路徑」又為何？. (二). 在 CAS 實驗活動的學習環境下，學生極限概念之迷思情形為何？. (三). 在學習歷程中，學生如何解讀 CAS 所產生的數值及圖形？此外，所產生之圖形又對學生極限概念有何影響？. -4-.

(14) 第三節研究範圍與限制因考量研究時間、人力及物力，故無法對全國大學生做分層隨機取樣測試，本研究以國立交通大學微積分實驗班的 40 名學生進行分析，樣本可能缺乏母群體的代表性，因此研究結果只能推論到與樣本背景相當的學生，不宜過度加以延伸。此外，研究者對高中生所習得的極限概念並不十分清楚，只能藉由請教現職高中任課教師，透過口述方式進行瞭解；或於晤談中詢問學生高中學習經驗，推敲學生「起點行為」之輪廓。. 第四節名詞釋義 (一) 極限概念 (limit concept) 極限出現在許多不同的數學脈絡 (context)，例如：函數的極限、數列的極限、級數的極限等。此外，連續、微分與積分等概念也涉及到極限。本研究指的極限概念是「函數的極限」(limit of a function)，其中又包含下列三種陳述方式： 1. 直觀概念設 f : D → R 是一實函數，其中 D 為 R 的一個子集。若 a ∈ R ，則 lim f ( x ) = L x→a. 的意義是，當 x ∈ D 且 x ≠ a ，而 x − a 非常小時， f ( x) − L 會隨著 x − a 變小而逐漸變得非常接近零 (余文卿等人，2001)。 2. 非形式定義 (informal definition) We write lim f ( x ) = L and say “the limit of f ( x ) , as x approaches a, equals L”, if x→a. we can make the values of f ( x ) arbitrarily close to L (as close to L as we like) by taking. x to be sufficiently close to a (on either side of a ) but not equal to a (Stewart, 2003). 3. 形式定義 (formal definition) Let f be a function defined on some open interval that contains the number a, expect possibly at a itself. Then we say the limit of f ( x ) as x approaches a is L, and we write lim f ( x ) = L , if for every number ε > 0 there is a number δ > 0 such that f ( x) − L < ε x→a. whenever 0 < x − a < δ (Stewart, 2003).. -5-.

(15) (二) 表徵 (representation) 本研究的「表徵」是指 Behr, Lesh & Post (1987) 所述：外在具體化已內在概念化的知識，即：將「極限概念」視為內在概念化的表徵對象，將所觀察到的呈現方式作為外在具體化之表徵形式。由於外在具體化表徵具多樣的呈現方式，而組成多重表徵之表徵結構。首先，研究者參考諸位研究者 (Lesh et al., 1987; Janvier, 1987; 左台益、蔡志仁, 2001) 所設計的數學概念表徵形式，進行傳統 (不涉及 CAS) 學習模式下，極限概念表徵形式之設計，最後擴增原先設計完成的表徵形式之表現內容，孕育出 CAS 實驗活動的學習環境下之表徵形式。研究者所設計的表徵形式 (不涉及 CAS) 如下： 1. 語意表徵極限概念的語意表徵是指：將概念意涵以口語方式敘述或以文字呈現；以下說明直觀及形式概念之語意表徵內容。 z 直觀概念：學生說出或寫下「當 x 夠靠近 a 時， f ( x ) 會夠靠近極限值 L 」、「當 x 越來越靠近 a 時， f ( x ) 越來越靠近 L 」與「當 x 接近 a 時， f ( x ) 接近 L 」等。 z 形式概念：學生說出或寫下「給定誤差 ε ，找尋x與a的可行距離 δ ，讓所有滿足前者條件x的函數值與極限值，在誤差 ε 範圍之內」等。 2. 數值表徵透過觀察教科書上以「數值表列」(numerical table) 呈現函數的方式，揣測極限的存在性，進而臆測可能的極限值。極限概念之數值表徵是指：學生藉由電算器或徒手計算一些函數值 (數值形式)，揣測極限的存在性，進而臆測可能的極限值；以下說明直觀及形式概念之數值表徵內容。 z 直觀概念：學生只選取「一個」數列並計算函數值，從函數數值之行為，揣測極限的存在性，進而臆測可能的極限值。 z 形式概念：學生選取「多個」數列並計算函數值，從函數數值之行為，揣測極限的存在性，進而臆測可能的極限值。. -6-.

(16) sin x 在 x = 0 附近的數值表列，在此引用指定教科書上之數值表， x 如表 1-1 所示，學生會猜測 lim f ( x) = 1。若學生以徒手方式計算，可能選取表 1-2 之. 例如：觀察 f ( x) =. x →0. x ，計算所對應之函數值，以 π ≈ 3.14 、 2 ≈ 1.414 與 3 ≈ 1.732 估算大略的數值後，觀察這些數值行為並猜測極限值。. 表1-1 教科書之數值表 Stewart (2003). x. π 2. π 3. π 4. π 6. sin x x. 2 ≈ 0.6369 π. 3 3 ≈ 0.8274 2π. 2 2 ≈ 0.9006 π. 3 ≈ 0.9554 π. 表1-2 徒手計算之數值表. 3. 圖形表徵極限概念之圖形表徵是指：以圖形或圖示的方式表達極限概念。極限涉及直觀與形式概念，故引用二張指定教科書上的圖示，如圖 1-1、圖 1-2 所示，分別表示極限的直觀與形式概念。 z 直觀概念：學生以徒手描繪方式，呈現與圖 1-1 相類似之圖形為圖形表徵之表現內容，亦即尋找 lim( x, f ( x)) 。 x→a. -7-.

(17) 圖 1-1 圖形表徵直觀概念 Stewart (2003). 圖 1-2 圖形表徵形式概念 Stewart (2003). z 形式概念：將極限的 ε − δ 程序 (process) 以「人工動態」方式呈現，也隸屬於圖形表徵之內。學生透過操弄繪圖視窗，不斷重複地表現出「畫二條水平線 (給定 ε )，畫二條鉛直線 (尋找 δ )」之行為模式，使得 0 <│x − 2│< δ ⇒│f ( x) − 3│< ε ，步驟分解如圖 1-3 所示。第二步. 第一步. 圖1-3 人工動態 ε − δ 程序之步驟分解. 4. 代數符號表徵在數學教育裡使用代數符號表徵數學概念為終極的目標，從獲得符號初步意義、使符號成為溝通工具後，要逐步提升學生對此表徵的使用，使符號成為解題工具。極限概念的符號表徵是指：以數學語言表達極限概念，包含著一般常用的數學算式、約定俗成的數學符號與記號 (notation) 等。例如：對於所有「 ∀ 」、存在「 ∃ 」、無窮大「 ∞ 」及極限形式定義所使用的不等式等。 z 直觀概念：學生將 ε 視為一固定的數，找尋可行之 δ 並檢驗其正確性。 z 形式概念：學生將 ε 視為可操弄之文字符號，找尋可行之 δ 並檢驗其正確性。. -8-.

(18) 以上四種形式為傳統模式下所具有的表徵內容，本研究欲探討 CAS 實驗活動的學習環境下，表徵結構之相關議題；有鑒於 CAS 能提供數值、圖形及代數等多種呈現方式，讓學習者能透過 CAS 呈現概念之各種表徵形式。研究者以「CAS 表徵」表示透過 CAS 呈現數學概念之各種表徵形式，以 rep(CAS) = ( N , G , D, A) 表示所呈現之結果，也就是 rep(CAS) 涉及到數值計算 (N)、圖形呈現 (G)、動態展示 (D) 和代數運算 (A)。以下說明「CAS 表徵」的四種模式： z 數值模式 (numerical model)：CAS 提供快速且大量的數值計算，透過 CAS 能立即建立若干函數數值表，提供學習者觀察大量函數數值行為，揣測極限存在性，進而臆測可能的極限值。因此，引進 CAS 後較能體驗「對於所有」之意涵，並增加學生從數值取向探索極限之可能性。 z 圖形模式 (graphical model)：CAS 協助學生處理圖形的描繪，進而改變傳統模式下概念教學的次序。因此，引進 CAS 後增加從函數圖形探索極限之可能性。 z 動態模式 (dynamic model)：透過 CAS 呈現動態 ε − δ 視窗 *，以不斷拉近 (zoom in) 之動作，表現極限存在時「 ∀ε 皆能 ∃δ 」之情境。 z 代數模式 (algebraic model)：透過 CAS 符號計算功能，計算出相對於 ε 之可行 δ 並檢驗其正確性。因此，引進 CAS 後形式概念之數值表徵增加了數值模式、圖形表徵增加了圖形及動態模式、代數符號表徵則增加了代數模式，亦提供學生表徵與表徵之間之轉換情境。研究者參考 Lesh 等人 (1987) 表徵系統的互動模式，以「金字塔」(pyramidal) 模型呈現 CAS 實驗活動的學習環境中，極限概念之表徵轉換關係。CAS 位於金字塔最頂端，若去除此頂點 (CAS) 將形成與 Lesh 等人相類似的平面網絡，亦即傳統學習模式 (不涉及CAS) 的表徵轉換系統，如圖 1-4 所示。. *. 微積分教學網頁 http://xserve.math.nctu.edu.tw/people/cpai/lab91_1/maple/lab_limit2003/lab_limit_intro.html -9-.

(19) CAS. 數值代數符號圖形語意. 圖 1-4 極限概念表徵系統的轉換模式. (三) 迷思概念學生進入學習情境前已有許多先入為主的概念，學生也會利用這些概念來學習知識或解釋教師授課的內容，但這些概念若與專家學者的概念有所不同，這時這個所形成的概念被稱為「迷思概念」(misconceptions)。 (四) 概念心像與概念定義 Vinner (1975) 定義個體概念的「心像」(mental picture)，為關於此概念所有的視覺及符號表徵；Vinner (1980) 定義個體的「概念心像」(concept image)，包括心像及在個體頭腦中所有相關概念的性質 (Tall, 1980)。Tall & Vinner (1981) 延續此一想法將「概念心像」定義為包括心像、性質及概念相關過程的認知結構，也就是本研究所指的「概念心像」。而「概念定義」(concept definition) 是指：用來具體說明此概念的文字形式，也就是數學家所接受的定義。此外，概念定義所產生的概念心像稱為「概念定義心像」(concept definition image)。 (五) 認知衝突 Tall & Vinner (1981) 使用「潛在衝突因子」(potential conflict factor)，表示概念心像的任何部分或概念定義的任何含意，與其它部分或其它的含意相衝突。本研究所提及的「認知衝突」(cognitive conflict) 是指：用以描述心智中喚起相互矛盾概念心像或概念定義心像之情境。. - 10 -.

(20) 第貳章文獻探討本研究旨在探討 CAS 實驗活動的學習環境中，大學生極限概念與表徵二者之間的相關議題。因此，本章文獻探討主要區分為五個部份，第一節介紹認知學習理論；第二節是 APOS 理論相關研究；第三節將表徵相關研究做綜合性的論述；第四節是與 CAS 相關的議題；而第五節則是極限概念相關研究。. 第一節認知學習理論 (一) 學習理論認知取向學習理論主要是探討知識的習得與使用，這牽涉到兩個層面：一是知識在記憶中是如何儲存，亦即知識與記憶的心智結構；一是知識是如何被使用或處理的心智運作歷程。對認知取向的學者而言，所謂學習是將既有的「認知結構」(cognitive structure) 予以重新組織，即：將新知識內化為認知結構的一部份。以下將 Bruner 發現學習論、Ausubel 意義學習論及訊息處理模式做概略性說明。 1.0Bruner 發現學習論在 Bruner (1961)《發現的行動》(The Act of Discovery) 一文中，鼓舞了現代人對發現學習的興趣。Bruner 所指的「發現學習」(discovery learning) 為學生在學習情境中，經由自己主動探索尋找，從而獲得問題答案的一種學習方式。此外，「發現學習」只在具有結構性的學習情境下才會產生。根據 Bruner 的說法，結構是指知識構成的基本架構，在此架構中，包括著某些彼此相關連的概念。Bruner 曾列舉四點說明學習情境結構的重要性，其中一點是學生從結構中學到的原理原則，將有助於以後在類似情境中，產生正向的學習遷移。根據 Burner 的說法，原理原則的發現造成較好的學習效果，因為學習者已將這些教材組織成有用的形式；原理原則的發現也使學生成為較好的學習者和問題解決者，因為學生在處理訊息時得到了實際練習之機會 (林清山，1997)。「回饋」(feedback) 是指學生發現問題答案時，從錯誤調整到正確的認知歷程。在學生發現答案之前，Burner 鼓勵學生根據自己的知識和經驗，對問題情境先作一. - 11 -.

(21) 番直覺思維 (甚至不按邏輯推理方式的思維)。在發現學習論者看來，「發現自己的錯誤」與「發現正確答案」，是同樣的重要。在 1960 年代，有過一陣疾風似的研究，探討在發現學習中教師應給予學生多少指導的問題。雖然這些研究所使用的名詞之意義不同，但仍可界定教學時教師使用引導的三種基本層次 (林清山，1997)： (1) 純發現式 (Pure Discovery)：學生在解決問題時，只獲得教師最少的引導。 (2) 引導式發現 (Guided Discovery)：學生在解決問題時，教師提供暗示和有關如何解題的指導語，使學生的問題解決保持在教師的注意範圍內。 (3) 說明式 (Expository)：教師告知最後的答案或原則給學生，學生不需花太多時間學習，缺點是學生不會分析思考。 Burner 倡導「引導式發現」學習法，希望學生不僅僅只是閱讀或專心傾聽老師的講課或記憶一些由老師呈現的原則而已，而是鼓勵學生去發現問題、蒐集資訊、探索、提出假設、驗證假設、分析、歸納與演繹，以擴展知識與經驗 (沈中偉，2004)。許多研究結果顯示，接受引導式發現學習比傳統教學法有顯著的學習效果。沈中偉 (2004) 指出：發現學習理論適合於科技融入教學環境，若教學目標要培育學生分析、綜合、問題解決與創造力時，發現學習是很適當的教學方法。 2.0Ausubel 意義學習論「有意義的學習」(meaningful learning) 是 Ausubel 理論中的主要核心理念：只要學習者有意識地將新知識與其已經知道的概念或命題 (既有的舊知識和舊經驗) 相連結時，有意義的學習便告誕生 (余民寧，1997)。然而「有意義的學習」，只能產生於學生已有充分的「先備知識」(preknowledge) 基礎上。換言之，只有配合學生能力與經驗的教學，學生們才會產生有意義的學習。Gagne 指出學習者之所以無法學習某教材，可能是因為尚未具備學習此教材的先備知識或技能 (沈中偉，2004)。因此，「有意義的學習」有二個先決條件： (1) 學生表現出一種意義學習的傾向，即：學習者必須為自己的學習負起責任，願意主動嘗試將新知識與既有的概念作聯結。 (2) 學習內容對學生具有潛在意義，即能夠與學生已有的知識結構聯繫起來。. - 12 -.

(22) Ausubel 的「意義學習論」(theory of meaningful learning) 對影響學習的重要因素所持的看法，後來也獲得學者們 (Hegarty-Hazel & Prosser, 1991; Prosser, 1987; Prosser & Millar, 1989) 的證實與支持 (余民寧，1997)。依據這些研究結果顯示，先備知識是影響學生學習什麼及如何學習的重要因素；先備知識豐富的學生會傾向採用較為深度且較有意義的學習策略來學習；反之，欠缺先備知識的學生，則傾向採用較為膚淺的策略來學習 (余民寧，1997)。因此，先備知識會影響學生所採取的學習策略，進而間接影響到學生所習得的知識。 Ausubel 將概念視為一個層次性的結構，居於結構上層者為要領 (superordinate) 概念，代表個人對事物的整體認識，居於下層者為附屬 (subordinate) 概念，代表個人對事物特徵的細部記憶。要領概念可持久不忘，但附屬概念則多為短暫性的 (張春興，1996)。Skemp (1987) 將概念分成表面結構 (surface structure) 與深層結構 (deep structure) 兩種。所謂表面結構是指：文辭表面句型的傳達，寫或說出符號等表面的操作。而深層結構則是指這些文辭底下所代表的意涵，也就是概念本身。概念結構重要的部分當然是指深層結構的部分 (陳澤民，1995)。依據 Ausubel 的解釋，要領概念就是個人的先備知識。先備知識就是個人吸收新知識的基礎，在意義上，也就是一般認知心理學家所指的認知結構。在學生學習新概念形成新知識時，首先用自己既有的要領概念去核對新概念，並試圖將其納入自己的認知結構之內，從而同化為自己的知識，即：要領概念具有吸收同化新概念的功能。Ausubel 將此種結合舊新概念而利於學習的教學步驟，稱之為「前導組織」(advance organizer)。學生使用「前導組織」，並不能保證一定能將一般概念抽象化。為了幫助學習者充分地使用系統及形成適當的概念圖像，需要一個外部的組織媒介 (organizing agent)，這些媒介可能從教師的引導、教科書或恰當的電腦教材的形式出現。在學習成果上，亦有許多研究 (Rivard & Yore, 1992) 指出：若所用來測量學習成就的試題傾向於記憶性的題目，則使用有意義學習取向的學生在表現上，比傳統機械式學習法的學生差一點；但所使用的評量工具是用來測量高層次認知能力，則使用有意義學習的學生表現要明顯地高出傳統機械式學習法的學生 (余民寧，1997)。. - 13 -.

(23) 3. 建構主義學習論建構主義者認為學習就是一種學習者建構知識的歷程，透過新經驗與舊知識相融合，學習者不斷修正原本舊有的知識。因此，學習者並非等待注入的空瓶，而是像杯子裡的冰塊 (具先備知識) 與倒進杯子裡的水 (新教材) 融入在一起，是主動尋求意義的有機體 (Driscoll, 2000)。在建構主義的信念中，認為學生應由思考產生學習，思考自己的學習歷程，學習源於思考，而思考也影響學習 (Jonassen, Peck & Wilson, 1999) (引自沈中偉，2004)。換言之，建構教學必須透過學習者主動參與及有意義的去建構新、舊知識的活動，教師應使用適當的教學策略，安排學習情境、激發學生積極參與，使學生重組、整合並建構其知識。複雜的數學概念問題，著重在概念思考與解題過程，結果反而不是那麼的重要，因此建構主義較適合複雜的數學概念問題。將建構主義應用於學習活動時，可知教師的「教」不等於學習者的「學」。因此，教學活動不應該為「教」而設計，而是應該為「學」而設計。沈中偉 (2004) 指出：建構主義學習觀的特點，強調主動性、有意義的學習及合作學習。因此，建構主義學習方式能達成主動、有意義且合作之學習效果。綜合本節所述，可將 Bruner 發現學習論、Ausubel 意義學習論及建構主義學習論視為三個兩兩相交之集合，如圖 2-1 所示，即各個學習理論皆有部分共同特質。本研究之教學活動設計理念涉及：Bruner 所倡導之「引導式發現」學習法、Ausubel 主張新舊知識相結合之「有意義學習」、建構主義之主動積極與合作學習精神。. 發現學習. 意義學習. 建構學習. 圖 2-1 教學活動設計理念. - 14 -.

(24) (二) 訊息處理模式訊息處理論為解釋人類環境中，如何經由感官察覺、注意、辨識、記憶等內在心理活動。數學是處理人類從環境中發現的訊息，尤其是數、量、形的訊息，然而數學教育是研究人類如何思維、傳達、處理或學習這些外來或是外置的訊息。依據此一觀點，數學所運用之訊息處理歷程 (information processing) 和人類日常大部分思維並沒有太大的差異，也就是為何認知學家時常以研究數學思維，瞭解人類一般思維的主要原因。訊息處理為無法直接觀察的內在心理運作歷程，認知學家認為此歷程包括三個心理特徵： (1) 訊息處理具階段性。 (2) 各階段的功能不一，居於前者屬暫時性，居於後者屬永久性。 (3) 訊息處理不是單向直進式，而是前後交互作用的。根據上述三點之假設，一般同意採用類似與下圖的圖解，說明訊息處理的內在心理歷程 (張春興，1996)。. 注意. 輸入環境訊息. 感官收錄. 複習短期記憶. 長期記憶. 遺忘. 遺忘. 圖 2-2 訊息處理心智歷程. 圖 2-2 說明環境中的訊息，經由感覺器官收錄外界刺激，引起短暫的記憶。若個體注意到此一訊息，將給予編碼轉換為另一種形式。否則予以放棄，形成感官收錄過後的遺忘。感官收錄後的訊息再經過注意，訊息將進入短期記憶 (short-term memory, STM)。若個體認為所處理的訊息是重要的，將採用複習 (rehearsal) 的方式，使得能保持較長久的時間，進而輸入至長期記憶 (long-term memory, STM)。. - 15 -.

(25) 在訊息處理時，個人透過心理運作進行編碼 (encoding)，將外在刺激的物理屬性 (例如：聲音、形狀、顏色等) 轉換成另一種抽象的形式，並將它貯存於記憶中，以供日後檢索提取 (張春興，1996)。此抽象的形式就稱為「心理表徵」，它的形式有以聲音為主的「聲碼」(acoustic code)、以形狀為主的「形碼」(visual code)、以意義為主的「意碼」(semantic code) 等。這些心理表徵就被貯存在記憶中，當需要將輸入的訊息輸出時，就需要解碼 (decoding)，而從記憶中解碼的過程稱為提取 (retrieval)。一般而言，提取並非每次都能成功，記憶內容是否能有效地被提取，涉及當初訊息被處理的程度及在回想這些內容時，是否有相關的回憶線索等。 Anderson (1995) 認為訊息處理的研究主旨在於探討個體察覺、組織和記取相關訊息的各種方式，從而描繪出當個體從事認知活動時的心智運作歷程和訊息產物。 Margaret (1986) 認為可以利用訊息處理論來解釋學習之歷程。學生主要是透過感官收錄接觸他們要學習的訊息和知識 (Henson & Eller, 1999)。要保留感官收錄中的訊息其先決條件是要先注意到該訊息的存在，而且個體必須要有足夠的時間才能知覺所有刺激的存在 (Slavin, 1997)。訊息從短期記憶進入長期記憶的過程是整個學習過程的核心階段。Margaret (1986) 認為可藉由編碼的歷程使新的訊息能貯存到長期記憶裡，而影響訊息儲存的兩個主要編碼策略為「維持性覆誦」(maintenance rehearsal) 和「精緻性覆誦」(elaborative rehearsal)。反覆背誦訊息，如名字、電話號碼和定義，就是維持性覆誦，不過它通常只有一時的效果 (Mckeown & Curtis, 1987)。維持性覆誦對概念理解沒有幫助，並且這樣得到的訊息很快就會被遺忘 (吳幸宜，1994)。而精緻性覆誦則是利用某些方式將訊息加以轉換，其方式為： (1) 修改訊息使它能夠與已存在記憶中的訊息產生關聯。 (2) 以符號取代該訊息 (Madigan & Tulving, 1970)。 (3) 添加訊息來幫助回憶。 Margaret (1986) 指出：編碼最重要的功能是使學習的訊息能更容易記憶，以及遷移訊息到學習者以後方便找得到的地方。Tulving (1970) 認為有效的編碼必須提供日後提取的線索，這其中一部份的意義是指編碼策略必須提供突出而顯著的線索，. - 16 -.

(26) 另一部份的意義則是編碼策略必須「深入處理」訊息，如此才能夠建立新訊息與既有知識之間的各種關係，使日後提取相關訊息的過程能更加容易。為了使編碼的工作更有效率，則必須考慮兩個重要的問題 (Mayer, 1979)： (1) 如何由長期記憶中提取出相關知識。 (2) 如何將這些相關知識轉移到短期記憶中以便與新知識相整合。訊息處理論運用在教學上，首先應將學習者的注意力引導到欲學的相關訊息上，並提供學習者喚起相關基模的訊息。換言之，教學首先要回答的問題是：該項訊息是否已被接受到學習者的運作記憶裡？及學習者是否已回想起貯存在長期記憶中的相關訊息？(吳幸宜，1994)。在感官接收訊息方面，視覺資訊能使抽象的觀念變為具體，支援整體的認識與意義，如此也能提高學習者的學習動機 (Hodes, 1992; Meskill, 1996)。短期記憶中的運作功能會對學生的學習產生影響，包括學生使用訊息的內在連結、編碼與解碼的工作，因此如何建立學生能掌握的知識組織，是認知學習上的重點之一 (左台益、蔡志仁，2001)。訊息處理論強調在知識形成的過程中，學習者的先備知識和經驗是吸收新知的重要條件。因此，提供學習者豐富的刺激源或環境，讓新知能與認知結構結合、同化或融入知識記憶中 (Ayserman, 1993)。Resnick & Ford (1981) 表示學生無法適當地運用先備知識，歸咎於學生數學知識的貧乏。Lawson & Chinnappan (1994) 指出：良好的組織與整合知識，不但能幫助學生提取相關訊息，也能在解題過程中，決定如何使用所得到的訊息。. - 17 -.

(27) 第二節 APOS 理論數學概念並非在教學的瞬間就能完整地建立，必需要靠時間逐漸累積才能完成。要瞭解學生極限概念的發展情形，必須先找出一個適合的理論分析此概念，以探測出學生概念的發展。本節介紹 Dubinsky 等人的 APOS 理論，並利用此理論分析函數的極限概念。. (一) APOS 理論 Dubinsky (1991) 認為數學知識的本質是人的一種「傾向」(tendency)，這種傾向反應在一個人能確實瞭解數學問題的描述、以及該如何解答這問題的過程。也就是說，思考如何將數學問題與社會的脈絡 (social context) 結合，然後建構或重建構出解決問題的行動 (action)、過程 (process) 和物件 (object)，然後將整個過程組織為一個解題的基模 (schemas)，最後在使用基模來解決問題。一個人是不可能直接學習到數學概念的；更確切的說，人們是透過「心智結構」(mental structure) 來使所學習的數學概念產生意義。如果一個人對於給予的數學概念擁有適當的心智結構，那他幾乎是自然就學到了這個概念；相反的，如果一個人無法建立起適當的心智結構，那學習數學概念幾乎是不可能的。因此，教學的目的就在於如何幫助學生建立適當的心智結構。在數學教學中，不僅要幫助學生掌握數學知識，更要幫助學生理解和運用數學思想方法。Dubinsky (1991) 將 Piaget 的認知發展理論應用在高等數學，孕育出用來處理概念發展的 APOS (Action Process Object Schema, APOS) 理論，用以描述大學階段數學概念的認知發展。此理論強調用數學的方法組織和建立數學概念，讓學生透過活動親身經歷、體驗完整的學習過程，這樣建立的數學概念有著豐富的內涵，其中包含概念的抽象過程、數學思想方法和概念的形式化。這是以建構主義為基礎的數學教學理論，它的核心是引導學生在探索中學習數學知識，分析數學問題情境，從而建構他們自己的數學思想。根據上述想法，Dubinsky 成功地幫助大學生們學習了一系列與微積分、離散數學與抽象代數等學科分支有關的概念。. - 18 -.

(28) Piaget 的認知發展理論指出：當個體接受到外界的刺激時，會主動以本身的認知結構為基礎，經「同化」(assimilation)、「調適」(accommodation) 的過程，內化成個體認知結構的一部份，使得個體的認知結構達到「新平衡」(equilibrium)。Piaget 稱此思維歷程在新知識的同化及舊知識適應重新整理在一起；若調適不滿意可能是新知識與舊知識產生衝突 (conflict)，但二者仍同時存在。 Piaget 指出：「反思抽象」(reflective abstraction) 過程，是數學概念在認知建構上的關鍵。再此，反思抽象的意義與 Piaget 認知理論的所使用的相同，Dubinsky 並將反思抽象的建構歷程再細分如下： (1) 內化 (Interiorization)：學習者透過低階的數學物件操作逐漸熟悉，最後產生新的概念。當整個活動過程已被內化時，學習者實際上不需要執行它，而是透過心智表徵來執行。 (2) 協調 (Coordination)：當個體在不同的情境中使用這樣的過程，並且加以整合成另外一種過程。 (3) 壓縮 (Encapsulation)：過程被其他活動加以轉換，那麼就說該過程被壓縮成物件。學習者能將過程視為整體的階段，且並非總是注意在細節上，且能將一長串的處理流程縮短，看成一個較易處理的單位。 (4) 類推 (Generalization)：個體以現有的基模、概念，推廣到新情境中，並且加以應用。將一個抽象的數學概念看成一個物件，並進而去操作此物件。 (5) 逆反 (Reversal)：個人反思已經存在的內部過程去建構新的過程。 Dubinsky 的 APOS 理論的運作模型如圖 2-3 所示，行動透過「內化」運作成過程；物件的產生透過過程的「壓縮」。概念首先要處理的是行動，行動意指學習者做此動作，但不知道實際上發生什麼事情。行動可能藉由一個關鍵詞觸發，也可能是個演算法，當學習者已經做此行動若干次且深思熟慮，行動可轉變為過程。此時，學習者意識到行動的用意，可透過心智表徵來執行此一行動，而不需要外界刺激。當學習者將過程視為整體，了解在過程使用的操作而且能遷移時，將可視過程為一個物件。. - 19 -.

(29) 在基模裡，物件和過程被綑綁在一起，它們像「心智網絡」(mental network) 且能用許多方式變化。單一基模不同部分之間、不同的基模之間，它們的連結次數可能改變，這些連結可能是強而有力的、薄弱的甚至有錯誤的；若既有基模裡存有概念迷思，當新概念和操作 (operations) 添加在基模時可能會產生問題，因此學習者必須改變心智結構。. 內化 (Interiorization) 行動 (Action) 物件 (Object). 過程 (Process) 協調 (Coordination) 逆反 (Reversal) 壓縮 (Encapsulation). 類推 (Generalization). 圖 2-3 基模及其建構物. 類推不像抽象化那麼困難，因為抽象化時常意味著個人再度建立「心智表徵」 (mental representation) (Dreyfus, 1991)。物件的性質 (properties) 必需被組織，才具有在其它情境中應用的可能性。心像能使重要的結構和關係更佳清楚，竟可能地視覺化 (visualization) 將助於組織及建構。抽象化除了類推之外還包括「整合」(synthesis)，整合是從部份中產生整體的形式，當整合完成時，超出本身的部份將聚集在一起。許多小且不相干 (disjoint) 的部分連結在一起，許多東西突然地逐漸被理解，這是種有受益的感觸 (rewarding feeling) 且個體已經越過了此過程。不久之後，所有瑣碎重要的整合過程片段被遺忘，且個體理解了這個結果，也就是說了解此概念。. - 20 -.

(30) (二) 基因分解─函數極限概念 Cottrill 等人 (1996) 以「基因分解」(genetic decomposition) 描述個體如何建構出行動、過程和物件，用來理解某個數學概念的心智模式。概念的基因分解可作為教學設計及分析學生學習的架構。某個特定概念的基因分解並非唯一，它只是暫時性的，可由實徵性的研究加以修改、調整，再作為下回教學實驗的設計架構。 Dubinsky 及其所屬之數學教育研究團體 RUMEC 中的成員，利用 APOS 理論配合「基因分解」(genetic decomposition)，深入探討學生如何建構微積分課程中的重要概念。他們指出以 APOS 的理論架構所做出的基因分解，不僅可作為自身理解數學概念的架構，也可作為分析學生如何建構概念的基礎 (白啟光，2005)。 Cottrill 等人 (1996) 利用 APOS 理論建構極限概念的行動、過程及物件，也就是將此數學概念用「基因分解」加以描述。在白啟光 (2005) 的教學研究中，修改 Cottrill 等人所提出 lim f ( x ) = L 概念的基因分解，修改結果如下，並根據此基因 x→a. 分解設計探索極限的電腦實驗活動。 1. 選定在某些點，這些點愈來愈靠近 a ，計算這些點的函數值。 2. 利用步驟 1 中的數值建極限的動態逼近程序 “ x → a , f ( x) → L ”。 3. 了解極限的非形式定義。即： We can make the values of f ( x ) arbitrarily close to L by taking x to be sufficiently close to a (on either side of a ) but not equal to a. 4. 將步驟 3 重新以區間和不等式，即引入 0 <│x − a│< δ 、│f ( x) − L│< ε 符號的方式加以建構。 5. 應用量詞化 (quantification) 基模將步驟 3 重新建構，以獲得一個極限的形式定義。 6. 將 ε − δ 形式定義應用到特定的情境。. - 21 -.

(31) 第三節表徵 (一) 雙碼理論 Paivio (1986) 提出解釋人類對訊息表徵和處理的雙碼理論 (Dual-Coding Theory, DCT)，認為人類的心智結構與訊息處理過程中皆包含文字 (verbal) 與圖像二種不同類型的訊息。當感覺器官接受到文字訊息時，這些文字訊息將經由文字編碼歷程 (verbal encoding process) 在運作記憶 * (working memory) 中轉換為文字系統的心智表徵，此過程為建立文字表徵連結；感覺器官接受到視覺訊息時，這些視覺訊息將經由視訊編碼歷程 (visual encoding process) 在運作記憶中轉換為視覺系統的心智表徵，此過程為建立視覺表徵連結；而參照連結 (referential connection) 則是將兩種呈現的訊息連結在一起，如圖 2-4 所示 (Mayer & Sims, 1994)。. 運作記憶文字呈現. 文字系統的心智表徵參照連結. 視覺呈現. 執行. 視覺系統的心智表徵. 長期記憶. 圖 2-4 雙碼理論的學習示意圖 Mayer & Sims (1994). 學習者的學習成效則視文字表徵連結、視覺表徵連結及參照連結三種連結建立的品質而定。Mayer & Sims (1994) 發現同時呈現文字訊息與視覺訊息比先後呈現更能有效地幫助建立參照連結。因此，依據雙碼理論，學習者需要同時使用心智文字系統與心智視覺系統來有效處理訊息，如果能促進這三種連結的建立，就能有效地提昇學習的成效。. *. 訊息處理中短期記憶在有限時間內，除接受從感官收錄輸入進來的訊息，並適時作出反應之外，另具有運作記憶的功能 (張春興，1996)。 - 22 -.

(32) (二) 表徵的意義在認知心理學上，表徵是指「將外在現實世界的事物，以另外一種較為抽象或符號化的形式來代表的歷程」；而在訊息處理取向上，則是指「訊息處理過程中，將訊息經譯碼 (coding) 而轉換成另一種形式，以便貯存或表達的歷程」(張春興， 2006)。廣義言之，表徵乃是指「用以代表某些事物或事件的東西或現象」。例如：古人結繩記事，乃是用繩結來代表所欲記載之事，因此繩結可當作是所欲記載之事的表徵；此外，剛從樹上摘下來的三個蘋果，可用筆寫出「三個蘋果」、用圖形畫出「. 」或「3. 」來代表這具體的三個蘋果，或者在心中留存一幅三個蘋果的. 景象 (黃永和，1997)。當我們使用一個符號代表一組經驗時，我們所使用的符號便是該組經驗的表徵；所用的符號可以是動作、聲音、圖畫或者是心像 (image)，也可以是抽象的文字 (劉秋木，1996)。 Mayer (1987) 以認知心理學觀點看「數學解題」的過程，當我們面對一個新的問題情境時，會將所接收到的訊息轉譯成自己所能理解的形式，這種問題轉譯的過程也就是一種內化的心理表徵 (mental representation)；接著再經由問題整合、監控解題計畫、執行解題之四項數學解題成份，將內部思考過程轉譯為外在解題的表徵，作為溝通數學想法的工具 (林清山，1997)。因此，數學表徵是內部數學思考的歷程，以及外在數學形式的展現。就數學領域而言，許多學者 (Kaput, 1987; Lesh et al., 1987; 蔣智邦, 1994) 對表徵的定義也有著不同的見解。Kaput (1987) 指出：表徵系統有「表徵」(representing) 及「被表徵」(represented) 兩個面向；本研究被表徵面向為極限概念，而表徵面向為表徵結構之表現內容。Lesh 等人 (1987) 將「表徵」視為模式化 (modelizes) 各種心智過程 (mental processes) 所使用的符號系統，如圖表、符號及文字等，也就是外在具體化已經內在概念化的知識。蔣智邦 (1994) 認為「表徵」是用某一種形式 (物理或心理)，將一種事、物或想法，重新表現出來，以達成溝通的目的。由上述可知，表徵具有運思及溝通的功用。. - 23 -.

(33) (三) 表徵的分類方式 Carpenter & Hiebert (1992) 以外在及內在的觀點將表徵區分為兩類；而 Bruner (1966) 由運思的觀點探討表徵的分類；Lesh 等人 (1987) 則以溝通的觀點，重新描述了表徵的類別，以下說明上述各觀點分類的結果。 1. 外在與內在觀點 Carpenter & Hiebert (1992) 將表徵分為「內在表徵」(internal representation) 及「外在表徵」(external representation) 兩類： (1) 內在表徵：指存在個人心中或腦海裡，他人無法直接觀察的「心智表徵」。透過內在表徵，個體可進行想像、構思、推理等思考活動。 (2) 外在表徵：指語言、文字、符號、圖片、具體物、活動或實際情境等形式存在的表徵。透過外在表徵，個體可表達出自己的想法並與他人溝通。羅素真 (1996) 認為解題者會將問題的「內在表徵」，以「外在表徵」形式呈現，藉此達到溝通、解題之目的。以個人反思知識層面來看：個人「外在表徵」的應用，反應出知識的「內在表徵」；以教師教學層面來看：個人知識的「內在表徵」也受到「外在表徵」的影響；亦即：外在的教學情境與表徵形式影響內在的認知結構。黃家鳴 (1997) 指出：「內在表徵」不能直接被觀察，只能從學習者在處理數學概念、解決數學問題時的種種表現推斷其輪廓。因此，當我們要探討學習者對某個數學概念的「內在表徵」時，仍須借助某些「外在表徵」形式才能加以描述。然而，有些「外在表徵」形式並不單純只作為符號或記號，本身亦蘊涵著一些操作的可能性，協助學習者思索相關數學概念。如： f ′( x ) 與的微分記號，若以 lim h →0. d f ( x) 皆表示 f ( x ) dx. f ( x + h) − f ( x) 表示時，較能突顯出微分的意義 (sense)；而 h. d du dv 這樣子的運算方式卻又是這個簡單的符號，在運算上帶來了方便 (u + v) = + dx dx dx. 的可能性。. - 24 -.

(34) 2. 運思觀點 Bruner (1966) 由運思觀點認為人類智慧成長期間，有三種表徵系統在起作用，這三種表徵系統的相互作用，是認知發展與智慧成長的核心，這三種表徵分別為： (林清山，1997) (1) 動作 (enactive) 表徵：利用動作來表徵訊息。例如：兒童用手指數數。 (2) 圖像 (iconic) 表徵：利用視覺影像來表徵訊息。即：個體藉由操作具體物的經驗，而在腦海中留下了心像，因而在運思的過程當中不需要實際操作具體物，只要憑著心像即可進行內在運思。例如：比較分數大小時，大腦所浮現的圖示。. 1 2. 1 3. (3) 符號 (symbolic) 表徵：利用語言或其他符號來表徵訊息。例如：數學上以「 π 」表示圓周率。這三類均代表著運思的抽象程度，較抽象的表徵 (圖像表徵、符號表徵) 是在學習經驗中發展出來的，在活動中先獲得圖像或符號的意義，當其意義穩固後，才可進一步地使用圖像或符號材料，進行運思活動 (楊雅捷，2002)。即：學生從具體活動中了解抽象數學表徵的意義，才能運用符號來進行運思。由於數學思考方式的多樣性，用來呈現數學想法的表徵方式，也會出現多樣的風貌。. 3. 溝通觀點 Lesh 等人 (1987) 以解題溝通的觀點提出：實物情境 (real scripts)、操作具體物 (manipulative models)、圖形影像 (static pictures)、口語符號 (spoken language)、書寫符號 (written symbols)。Lesh 等人認為數學的學習，除了 Bruner 表徵理論強調在深度的提昇外，加強廣度的學習有助於深度的提昇。因此，他們增加了「實物情境」和「口語符號」兩種表徵。這五種表徵分別為 (Behr, Lesh & Post, 1987)：. - 25 -.

(35) (1) 實物情境 (real scripts)：由「真實世界」的情境或知識組織而來，可做為解釋或解決類似問題的情境脈絡。. (2) 可操作模型 (manipulative models) ：使用具體物顯示數學情境的內在關係與操作，這些表徵中的元素本身沒有多少意義，而在這些模型中所加入的關係與操作，可適用於許多日常情境。. (3) 圖形影像 (static pictures)：一種靜態的圖形模式，包括可操作模型所內化成的心像。. (4) 口述語言 (spoken language)：包含數學或其它相關領域 (邏輯) 的用語。 (5) 書寫符號 (written symbols) ：像口述語言一樣，含有專門的用語和語句。例如： x + 3 = 7 、 A′ ∩ B′ = ( A ∪ B )′ 等。這種分法雖與 Bruner 不同，但「可操作模型」與「圖形影像」可歸屬於圖像表徵，「口述語言」與「書寫符號」可視為符號表徵，至於「實物情境」可能含有 Bruner 所謂的三種表徵 (劉秋木，1996)。綜合以上所述，從 Bruner (1966) 與 Lesh 等人 (1987) 對表徵形式的分類，可察覺表徵模式多以「外在表徵」作為分類依據，因為「內在表徵」是心智活動，它無法觀察亦無法表達，必須藉由「外在表徵」才能讓他人理解，因此這些分類的來源都是「外在表徵」。從文獻的探討可知，不同的數學概念具有不同的表徵形式。例如：左台益、蔡志仁 (2001) 以語意、圖形、軌跡、方程、結構五種作為「橢圓概念」之表徵結構；. Janvier (1987) 使用物件、語文描述、表格、圖形、式子五種作為「函數概念」之表徵結構。而某個特定概念也因研究者的不同有著相似的表徵形式，以下列舉兩位學者說明此一現象：Dreyfus & Eisenberg (1982) 指出函數表徵的形式有表格、集合映射圖、圖形、式子、語意敘述等五種；Even (1990) 提出函數表徵的形式有式子、圖形、表格、文氏圖、序對集合及生活情境等。因此，不同研究者區分同一個概念的「外在表徵」形式亦不相同。. - 26 -.

(36) (三) 表徵轉換與數學概念數學概念本身有許多的表徵方式，而這些表徵之間不完全是獨立的，而是相互有關連且可以加以轉換。NCTM (2000) 強調數學表徵的重要性，並期望學生具有數學表徵轉換的能力。根據文獻探討，許多學者 (Davis, 1984; Lesh, Post & Behr, 1987) 認為：能夠利用多種表徵來表達同一個概念，並在表徵之間順利的做轉換，甚至懂得選擇適合的表徵來協助解題，皆表示具有穩固的概念理解。. Even (1990) 認為：在某種表徵形式中理解某個概念，並不意味著在其它的表徵形式中也理解此一概念。數學概念的理解包括兩個面向：一個是能夠以一套符號或系統來表徵數學概念，另一個是能夠以「多重表徵」呈現某一概念，並在不同的表徵系統之間作「轉換」 (Davis, 1984) 。 Lesh 等人 (1987) 認為學生必須具有下列條件才具有概念理解：. (1) 能將此概念放入各種不同的表徵系統之中； (2) 在給定的表徵系統內，必須能很有彈性地處理這個概念； (3) 能精確地將此概念從一個表徵系統轉換到另一個表徵系統。他們研究發現學生僅用單一表徵學習數學，很少使用多重表徵，因此強調區分不同表徵系統的重要性，而表徵之間的轉換與整合對學習者更重要。Lesh 等人以平面網狀圖形呈現表徵系統的轉換關係，如圖 2-5 所示。. 圖形影像. 書寫符號. 具體操作. 實物情境. 口述語言. 圖 2-5 表徵系統的轉換模式 Lesh 等人 (1987). - 27 -.

(37) (四) 多重表徵與教學 Bruner 將人類認知表徵發展分為三個階段，但在實際教學時，他並不主張按年齡或年級，而是採取三種表徵方式去教學生求知。原因是即使是同年級學生，在知識經驗上尤其是求知方式上，彼此間也存有很大的個別差異 (張春興，1996)。從訊息處理論可知，所有的學習都與訊息呈現的多樣化形式有關。因此，教學時常以各種不同的表徵方式呈現，以利學生在訊息處理的過程中，能對教材建立概念性結構。. Lesh 等人 (1987) 提到「多重表徵系統」(multiple representation system) 對學習的重要性，並指出系統與系統之間的「轉譯」(translations)、系統本身內部的「轉換」. (transformations) 同等重要。因此，在表徵系統中必須要做到單一表徵的完整建構，也要做到表徵之間互相連結的工作。. Janvier (1987) 以「星形冰山」描述數學概念的多重表徵，冰山中心蘊含著此一概念，每個尖端代表著一種表徵形式；數學學習的理想方式是能在同一概念上運用數個表徵形式。在教學上使用多重表徵所具有的動機與目的如下：. (1) 教學時會期望學生察覺固有的慣用數學表徵，並能在問題情境中選擇適當的表徵；獲得表徵的同時也知道它的限制和效果。. (2) 可局部地用來降低特定的困難。 (3) 使數學學習變得更具吸引力，進而使用多重表徵發展不同的解題方式。然而，研究中發現多重表徵若只是單獨地與概念作對應，學生可能會將相同題目以不同表徵方式解決的情形，視為不同題目解決的情形，因而喪失在不同情境下轉換概念的機會。多重表徵與概念學習關係相當密切，單一表徵只能強調出觀念或概念結構特定的部分，而其它部分可能無法完全顯現出來。教學時期望學生對問題的情境或概念，形成多種化表徵並給予連結，以增進對於問題的理解與解題能力。因此，多重表徵的引進彌補單一表徵的缺陷，以多重表徵呈現同一個概念，並注重表徵間互相的連結及轉換，乃學習數學最理想的方法。. - 28 -.

(38) 第四節 CAS 整合學習環境電腦科技讓學生在學習的過程中，經由猜想的探索與檢測達到主動學習，實踐透過概念衝突來建構知識，不僅增加學生的學習興趣亦增進學習之參與感。然而，任何的工具皆有它的使用方式，使用電腦科技也必須要注意到此問題，才能得到最佳的學習效果。本節簡介電腦代數系統及其教學上的應用與限制性。. (一) 電腦代數系統電腦代數系統 (Computer Algebra System, CAS) 為一套能提供學習者操弄符號及觀察圖形和表格的軟體。此系統最讓人稱道的是「符號運算」，也就是我們在數學課室所演算的方式，不像一般的計算機系統只能做數值上的計算。現今較為普遍的. CAS 有 Maple、Mathematica 及 Mathcad 等。CAS 能提供「數值的」(numerical)、「圖形的」(graphical) 及「符號的」(symbolic) 多種呈現方式，能使學習者較完整地分析數學知識。即：提供學生迅速地試驗大量的例子，並得到軟體技術限制下的結果. (outcome) 。因此， CAS 在學習上是個理想的工具，它能同時呈現各種表徵並提供連結之機會。也就是說，CAS 提供學生從不同的角度思考相同的問題，扮演著數學學習上多重表徵之間轉換的媒介。此外，有大多數地學生將 CAS 視為「數學專家」. (Pierce & Stacey, 2001)。 (二) 使用 CAS 的微積分教學在傳統的微積分課程，學生必須先學會微分法則 (rules) 才能進一步解決最佳化. (optimization) 問題，以至於他們必須在發展微分技巧後，才能學習其它相關的應用問題 (極值問題、繪圖、線性近似等)。Orton (1983) 指出：複雜的「代數運算」會影響數學概念的學習。Davis 等人 (1992) 指出： CAS 在數學學習上能減緩艱辛的符號 (symbol) 操弄過程，將學生的心思花費在解決問題上 (Pierce & Stacey, 2001)。因此， CAS 能協助學生處理微分的運算，只要將鍵入正確地指令，微分後的結果將顯示出來，進而改變傳統微分概念教學的次序。. - 29 -.

(39) 在「黎曼和」(Riemann sums) 的單元裡，更能突顯 CAS 符號運算之強大功能。傳統的微積分課程，學生使用紙筆計算黎曼和，花費相當多的時間在處理數值計算或符號運算，因而喪失對積分的「概念性理解」。因此，引進 CAS 不僅能提供學生在技巧操作前，概念的學習與應用的機會，還能將目光聚焦在「概念性理解」上。. Orton (1983) 指出：許多學生能熟練地應用積分與微分的技巧，但缺乏「概念性理解」。他提到極限概念會影響微分與積分的學習，但一般傳統的微積分教學沒有較多的時間讓學生仔細思考極限的概念。而在使用 CAS 的教學環境中，學生不僅擁有對知識的「概念性理解」，亦保有傳統學習下的「操作技巧」(manipulative skills). (Heid, 1988; Dubinsky & Schwingendorf, 1991)。 Heid (1988) 將 CAS 使用在微積分的教學，主張在學習操作技巧前，先學習微積分的概念與應用。Heid 認為一但有穩固的概念理解，學生能迅速地學會必要的操作技巧。依據上述觀點，Heid 使用「概念性理解」教微積分，他的學生使用微分、積分及 muMATH 所產生的圖形，回答問題並解決相關的應用問題，只於學期末最後三週教授微積分的操作技巧。學生參與以技巧導向 (skills-oriented) 命題的期末測驗 (傳統教學模式教師命題)，測驗結果發現在二種不同教學模式下成績無顯著差異，但對於 Heid 的學生而言，顯示出較優越的「概念性理解」。. Dubinsky & Schwingendorf (1991) 使用與 Heid 相似的方法在微積分教學上，其研究結果與 Heid 相同。Rochowicz (1996) 微積分學習的研究報告指出：電腦教學環境能夠減少強調計算技巧與計算方法記憶的學習；學生也可以在此環境中，從圖形取向思索問題而非僅從代數計算的方法去學習微積分。因此，使用 CAS 整合微積分教學環境，不僅增添學生概念理解與應用能力，亦保有傳統學習下的操作技巧。. (三) 圖形視覺化在 80 年代初期，高解析度 (high-resolution) 圖形的誕生，帶給學習者使用圖形的方法學習微積分，幫助學生將數學概念視覺化。Heid (1988) 指出：圖形視覺化的方法幫助學生獲得更多的概念理解，而不需要以所對應的符號表示 (symbolization)。. - 30 -.