(一) 雙碼理論
Paivio (1986) 提出解釋人類對訊息表徵和處理的雙碼理論 (Dual-Coding Theory, DCT)，認為人類的心智結構與訊息處理過程中皆包含文字 (verbal) 與圖像二種不同 類型的訊息。當感覺器官接受到文字訊息時，這些文字訊息將經由文字編碼歷程 (verbal encoding process) 在運作記憶* (working memory) 中轉換為文字系統的心智表 徵，此過程為建立文字表徵連結；感覺器官接受到視覺訊息時，這些視覺訊息將經由 視訊編碼歷程 (visual encoding process) 在運作記憶中轉換為視覺系統的心智表徵，
此過程為建立視覺表徵連結；而參照連結 (referential connection) 則是將兩種呈現的 訊息連結在一起，如圖 2-4 所示 (Mayer & Sims, 1994)。
圖 2-4 雙碼理論的學習示意圖 Mayer & Sims (1994) 運作記憶
長期記憶 文字系統的心智表徵
視覺系統的心智表徵 文字呈現
視覺呈現
參照連結 執行
學習者的學習成效則視文字表徵連結、視覺表徵連結及參照連結三種連結建立 的品
質而定。Mayer & Sims (1994) 發現同時呈現文字訊息與視覺訊息比先後呈現更 能有效地幫助建立參照連結。因此，依據雙碼理論，學習者需要同時使用心智文字系 統與心智視覺系統來有效處理訊息，如果能促進這三種連結的建立，就能有效地提昇 學習的成效。
* 訊息處理中短期記憶在有限時間內，除接受從感官收錄輸入進來的訊息，並適時作出反應之外，另 具有運作記憶的功能 (張春興，1996)。
(二) 表徵的意義
在認知心理學上，表徵是指「將外在現實世界的事物，以另外一種較為抽象或 符號化的形式來代表的歷程」；而在訊息處理取向上，則是指「訊息處理過程中，
將訊息經譯碼 (coding) 而轉換成另一種形式，以便貯存或表達的歷程」(張春興，
2006)。廣義言之，表徵乃是指「用以代表某些事物或事件的東西或現象」。例如：
古人結繩記事，乃是用繩結來代表所欲記載之事，因此繩結可當作是所欲記載之事 的表徵；此外，剛從樹上摘下來的三個蘋果，可用筆寫出「三個蘋果」、用圖形畫出
「 」或「3 」來代表這具體的三個蘋果，或者在心中留存一幅三個蘋果的 景象 (黃永和，1997)。當我們使用一個符號代表一組經驗時，我們所使用的符號便 是該組經驗的表徵；所用的符號可以是動作、聲音、圖畫或者是心像 (image)，也可 以是抽象的文字 (劉秋木，1996)。
Mayer (1987) 以認知心理學觀點看「數學解題」的過程，當我們面對一個新的 問題情境時，會將所接收到的訊息轉譯成自己所能理解的形式，這種問題轉譯的過程 也就是一種內化的心理表徵 (mental representation)；接著再經由問題整合、監控解題 計畫、執行解題之四項數學解題成份，將內部思考過程轉譯為外在解題的表徵，作為 溝通數學想法的工具 (林清山，1997)。因此，數學表徵是內部數學思考的歷程，以及 外在數學形式的展現。
就數學領域而言，許多學者 (Kaput, 1987; Lesh et al., 1987; 蔣智邦, 1994) 對表 徵的定義也有著不同的見解。Kaput (1987) 指出：表徵系統有「表徵」(representing) 及「被表徵」(represented) 兩個面向；本研究被表徵面向為極限概念，而表徵面向為 表徵結構之表現內容。Lesh 等人 (1987) 將「表徵」視為模式化 (modelizes) 各種 心智過程 (mental processes) 所使用的符號系統，如圖表、符號及文字等，也就是 外在具體化已經內在概念化的知識。蔣智邦 (1994) 認為「表徵」是用某一種形式 (物理或心理)，將一種事、物或想法，重新表現出來，以達成溝通的目的。由上述可 知，表徵具有運思及溝通的功用。
(三) 表徵的分類方式
1. 外在與內在觀點
Carpenter & Hiebert (1992) 將表徵分為「內在表徵」(internal representation) 及
「外在表徵」(external representation) 兩類：
(1) 內在表徵：指存在個人心中或腦海裡，他人無法直接觀察的「心智表徵」。
Carpenter & Hiebert (1992) 以外在及內在的觀點將表徵區分為兩類；而 Bruner (1966) 由運思的觀點探討表徵的分類；Lesh 等人 (1987) 則以溝通的觀點，重新描
2. 運思觀點
(1) 動作 (enactive) 表徵：利用動作來表徵訊息。例如：兒童用手指數數。
(2) 圖像 (iconic) 表徵：利用視覺影像來表徵訊息。即：個體藉由操作具體物 的經驗，而在腦海中留下了心像，因而在運思的過程當中不需要實際操作 具體物，只要憑著心像即可進行內在運思。例如：比較分數大小時，大腦 所浮現的圖示。
這三類均代表著運思的抽象程度，較抽象的表徵 (圖像表徵、符號表徵) 是在學 習經驗中發展出來的，在活動中先獲得圖像或符號的意義，當其意義穩固後，才可進 一步
3. 溝通觀點
Lesh 等人 (1987) 以解題溝通的觀點提出：實物情境 (real scripts)、操作具體物 )、圖形影像 (stati
符號 (written symb
，加強廣度的學習有助於深度的提昇。因此，他們增加了「實物情境」
和「口語符號」兩種表徵。這五種表徵分別為 (Behr, Lesh & Post, 1987)：
Bruner (1966) 由運思觀點認為人類智慧成長期間，有三種表徵系統在起作用，
這三種表徵系統的相互作用，是認知發展與智慧成長的核心，這三種表徵分別為：
(林清山，1997)
1
(3) 符號 (symbolic) 表徵：利用語言或其他符號來表徵訊息。例如：數學上以
「π」表示圓周率。
地使用圖像或符號材料，進行運思活動 (楊雅捷，2002)。即：學生從具體活動中 了解抽象數學表徵的意義，才能運用符號來進行運思。由於數學思考方式的多樣性，
用來呈現數學想法的表徵方式，也會出現多樣的風貌。
(manipulative models c pictures)、口語符號 (spoken language)、書寫 ols)。Lesh 等人認為數學的學習，除了 Bruner 表徵理論強調在 深度的提昇外
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(1) 實物情境 (real scripts)：由「真實世界」的情境或知識組織而來，可做為解
(3) 圖形影像 (static pictures)：一種靜態的圖形模式，包括可操作模型所內化成 的心像。
(三)
數學 這些表徵之間不完全是獨立的，而是相互
有關 學表徵轉
認為：能 表徵之間順利的做轉換，甚至懂得
選擇
Even (1990) 認為：在某種表徵形式中理解某個概念，並不意味著在其它的表徵 形式中也理解此一概念。數學概念的理解包括兩個面向：一個是能夠以一套符號或 系統來表徵數學概念，另一個是能夠以「多重表徵」呈現某一概念，並在不同的表徵
統之間作「轉換」(Davis, 1984)。Lesh 等人 (1987) 認為學生必須具有下列條件
能很有彈性地處理這個概念；
(3) 能精確地將此概念從一個表徵系統轉換到另一個表徵系統。
他們研究發現學生僅用單一表徵學習數學，很少使用多重表徵，因此強調區分不同表 徵系統的重要性，而表徵之間的轉換與整合對學習者更重要。Lesh 等人以平面網狀 圖形呈現表徵系統的轉換關係，如圖 2-5 所示。
表徵轉換與數學概念
概念本身有許多的表徵方式，而
連且可以加以轉換。NCTM (2000) 強調數學表徵的重要性，並期望學生具有數 換的能力。根據文獻探討，許多學者 (Davis, 1984; Lesh, Post & Behr, 1987) 夠利用多種表徵來表達同一個概念，並在
適合的表徵來協助解題，皆表示具有穩固的概念理解。
系
才具有概念理解：
(1) 能將此概念放入各種不同的表徵系統之中；
(2) 在給定的表徵系統內，必須
圖 2-5 表徵系統的轉換模式 Lesh 等人 (1987)
實物情境 口述語言
書寫符號 圖形影像
具體操作
(四) 多重表徵與教學
Bruner 將人類認知表徵發展分為三個階段，但在實際教學時，他並不主張按年 齡或年級，而是採取三種表徵方式去教學生求知。原因是即使是同年級學生，在知識 經驗上尤其是求知方式上，彼此間也存有很大的個別差異 (張春興，1996)。從訊息 處理論可知，所有的學習都與訊息呈現的多樣化形式有關。因此，教學時常以各種 不同的表徵方式呈現，以利學生在訊息處理的過程中，能對教
材建立概念性結構。
Janvier (1987) 以「星形冰山」描述數學概念的多重表徵，冰山中心蘊含著此一 概念，每個尖端代表著一種表徵形式；數學學習的理想方式是能在同一概念上運用 數個表徵形式。在教學上使用多重表徵所具有的動機與目的如下：
(1) 教學時會期望學生察覺固有的慣用數學表徵，並能在問題情境中選擇適當 的表徵；獲得表徵的同時也知道它的限制和效果。
(2) 可局部地用來降低特定的困難。
(3) 使數學學習變得更具吸引力，進而使用多重表徵發展不同的解題方式。
然而，研究中發現多重表徵若只是單獨地與概念作對應，學生可能會將相同題目以 不同表徵方式解決的情形，視為不同題目解決的情形，因而喪失在不同情境下轉換 概念的機會。
多重表徵與概念學習關係相當密切，單一表徵只能強調出觀念或概念結構特定 的部分，而其它部分可能無法完全顯現出來。教學時期望學生對問題的情境或概念，
形成多種化表徵並給予連結，以增進對於問題的理解與解題能力。因此，多重表徵的 引進彌補單一表徵的缺陷，以多重表徵呈現同一個概念，並注重表徵間互相的連結及 轉換，乃學習數學最理想的方法。
Lesh 等人 (1987) 提到「多重表徵系統」(multiple representation system) 對學習 的重要性，並指出系統與系統之間的「轉譯」(translations)、系統本身內部的「轉換」
(transformations) 同等重要。因此，在表徵系統中必須要做到單一表徵的完整建構，
也要做到表徵之間互相連結的工作。