和田寧的生平及重要傳人
十八世紀末，和算家安島直圓利用二次綴術，處理了弧背與穿去積問題，442 自此，各種複雜立體幾何圖形的求積與求交周問題，再次成為和算社群感興趣的 主題。這樣的特色與新問題，在幕末和算家和田寧的算學研究中獲得發展。進入 十九世紀之後，和田寧繼承並發揚了安島直圓的方法，從其研究成果來看，可說 是這個時期最具代表性，且最重要的和算家。
和田寧字子永，號算學、圓象、或豁通，443曾奉仕於播洲三日月藩，後入芝 山緣山增上寺。除了曾任京都土御門家的算學顧問之外，他亦教授過書法、易學 等。和田寧拜於關流第五代掌門人日下誠門下，而後成為十九世紀和算發展最重 要的奠基者，也是十九世紀最具影響力的和算家之一。他最主要的貢獻在於發明 圓理豁術，並創製許多圓理表，以用於許多複雜幾何問題的求解過程中。例如小
441 和田寧的重要數學著作於 1836 年(天保七年)的一場大火中亡迭，其主要研究成果，透過他的
學生們加以記錄、整理而流傳，諸如內田五觀《圓理闡微表》、《豁術通解》的等書以及小出兼政
之《圓理算經》都保留了和田寧的許多研究成果。
442 二次綴術包含開方綴術(二項展開式)以及求無窮級數和兩個涉及無限的步驟。
443 從他的名號，不難發現他與算學之淵源，其中，豁通與圓理豁術有關。
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出兼政《圓理算經》自序中特別提到：「凡圓理之法，用表得解術者，皆始自和 田子，無製表之術，稱不得捷徑之術」，444由此可見，和田寧是透過造表得術的 方式，得以較快速地解決各類圓理難題，大大開拓了和算之發展。
和田寧原有許多著作，其中包含了外傳 36 卷與內傳 30 卷等書，羅括和算諸 多圓理研究的精華。目前可知，他的著作共包含了《創制豁術初問》、《方理順逆 法》、《圓理唇口》、《殆將算法》、《圓理順逆小成》、《圓理法線》、《橢圓應周表》、
《圓弧率海》、《求積增約初門》、《截背術》、《煢題解例》、《濡圓求積》及《創制 異圓算法》等。445然而，可惜的是，1836 年（天保七年）發生於三田台町的一 場大火，使得他的重要研究成果付之一炬。而後，和田寧也因病而未能將過去的 研究成果重新編緝。所幸部份圓理方面的研究成果，透過他的學生們加以記錄、
整理而流傳，諸如內田五觀（Uchida Itsumi, 1805~1882）的《圓理闡微表》、《豁 術通解》的等書以及和田寧傳，小出兼政所編著之《圓理算經》，都保留了和田 寧的許多算學研究成果。
圖 2.4.1 小出兼政之墓446
小出兼政，通稱長十郎，字修喜。他在《圓理算經》的序文中提到：「阿府 羽林侯之後小出兼政，字修喜也，少而好算術，壯而通天文曆術焉」，447由此可 知，他早年即對於算學感興趣，到了 1819 年（文政二年），他便以二十二歲的年 紀獲宮城流皆傳，之後，他亦曾學於最上流並獲得許多傳書。他於 1826 年（文 政九年）進入和田寧門下，同年亦學於日下誠，受關流宗統皆傳。到了 1829 年
444 引自小出兼政，《圓理算經》自序。
445 參考徐澤林，《和算中源》，頁 340。
446 本圖引自 http://www.wasan.earth.linkclub.com/tokushima/koide.html
447 引自小出兼政，《圓理算經》自序。
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（文政十二年）隨和田寧學習圓理豁術。在此「四流兼學」的習算背景之下，展 現了他博覽諸流派傳書，廣納各家算學知識的風範。而後，1834 年（天保五年）
入土御門家，學習天文曆法，並於 1836 年任職師範代的工作，重要的門徒包含 福田理軒等人。小出兼政歿於 1865 年，享年六十九歲，法號修算院自達居士，
並葬於德島市寺町善學寺（圖 2.4.1 為小出兼政之墓）。而小出兼政也在《圓理算 經》一書的自序中特別提到：
餘多年親炙於和田子，閱所授之遺書，感師恩之深，以成若干卷草稿。…蒙 安部朝臣晴親卿著作之命，幸拔其草稿中三卷而奉命，賜名《圓理算經》。448 從上述自述顯然可知，《圓理算經》的內容，主要是參考了和田寧所傳授之算書 而編，故此書亦可視為和田寧的算學研究成果。
除了小出兼政之外，內田五觀是和田寜的另一個重要弟子，他初名恭，通稱 太郎，後易名觀、五觀，11 歲便入日下誠門下學算，年僅 18 歲即成為關流宗統 傳人，由此可見其算學之天份。他曾跟隨蘭學家高野長英學習蘭學，接受西洋知 識，並自己的私墊命名為「瑪得瑪弟加墊」。449他又自號洋証學士、洋証館主。
幕末曾經受命參與一些港口外來船隻涉、造炮及海岸測量等工作。到了明治時期，
他亦參與了政府的編曆工作，也曾經在文省部、天文局工作，他亦為東京學士會 院會員。除了算學外，內田五觀還精於天文曆學、地理學、航海術及測量學等，
並有很多西學譯著。450
在數學方面，內田五觀於 23 歲時，入和田寧門下學習圓理豁術，而後亦在 自己的私墊中教授算學，並推廣了和田寧圓理豁術。他一生共有數學著作 28 部，
除了出版了《古今算鑑》（1832）之外，並著有《圓理闡微表》、《豁術通解》、《豁 術轉規解》、《豁術草》、《算法側圓入門》及《算法圓理初發》等書，當中有許多 著作皆與圓理豁術有關。451和田寧的圓理表主要記載於《圓理諸表》、《圓理闡微 表》以及小出兼政的《圓理算經》之中。因此，雖然和田寧的主要著作因火災未 能流傳，然而，從內田五觀與小出兼政等人的著述中，亦可瞭解和田寧的研究成 果與貢獻。
內田五觀的弟子很多，較著名者包含劍持章行、法道寺善、桑本正明、竹內 修敬、竹村好博、小松惠龍、志野知鄉、梅圓立介、川北朝鄰等人。其中，法道
448 引自小出兼政，《圓理算經》自序。安部晴親(1787~1842)為幕末公卿，亦為陰陽家，自平安 時代以來，土御門家為世襲的陰陽道士家。負責朝廷的陰陽道與天文曆算之工作。
449 參考徐澤林，《和算選粹》，頁 41~42。此音譯為徐澤林所譯，原為“Mathematics”之意。內田 五觀門下弟子頗多，著名的有劍持章行、法道寺善、桑本正明、竹內修敬、竹村好博、小松惠龍、
川北朝鄰等。其中川北朝鄰後來成為了和算史家。
450 參考徐澤林，《和算選粹》，頁 41~42。
451 參考日本學士院，《明治前日本數學史》，〈第五卷〉，1979，91 頁。
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寺善稱和十郎，號觀山，少年時代從算學家梅圓立介習算，20 多歲時赴江戶入 內田五觀之塾，他於 1848-1860 年間，一邊教授數學一邊遊歷全國各地，後代史 家稱之為遊歷算家，而幕末時代這類遊歷算家並不少。他所創立的「算變法」， 相當於西方幾何學中的反演法，是幕末關流重要數學家。452
圓理豁術－和田寧積分法
和田寧在數學上的重要成就便是圓理豁術的發明。簡單來說，所謂的圓理豁 術是和田寧用以處理各類幾何問題，特別是求長求積的方法，類似於今日的定積 分法。他針對「方理」類問題提出多種分割方法，並且針對「圓理」類問題提出 截徑法、截弦法、截矢法以及截弧法等四種基本分割方法。解決問題的過程中，
依據圖形的特徵採用不同的分割方式，將圖形依的某線段分割或配對分割成 n 分，
453再依據幾何性質表示出所求的弧長、面積及體積之「微元」，最後再求這些微 元的疊加之和，此分割的過程中，則必需使用到各類圓理表。454和田寧的圓理豁 術便是在此基礎下，求出各類幾何圖形之弧長、面積與體積等，455因此，筆者將 圓理豁術稱為「和田寧積分法」。
上述圓理豁術無疑是十九世紀和算家處理圓理問題的重要方法，而此方法也 具有一定的一般性，經統計共包含《異圓算法》（和田寧，1825）、《濡圓求積》
（和田寧，年代不詳）、《杜盟算譜》（白石長忠，1826）、《五明算法後木》（家崎 善之，1826）、《方圓究理》（家崎善之，1828）、《算法雜俎》（岩井重遠，1830）、
《算法圓理鑑》（齋藤宜義，1834）、《算法瑚璉》（小林忠良，1836）、《揭楣算法》
（崌池久道，1836）、《豁機算法》（志野知□，1837）、《圓理冰釋》（岩井重遠，
1837）、《探賾算法》（劍持章行，1840）、《算法圓理新?》（齋藤宜義，1840）、《求 積通考》（內田久命，1844）、《圓理三台》（佐藤雪山，1846）、《順天堂算譜》（福 田理軒，1847）、《算法圓理括發》（竹內修敬，1851）、《算法圓理括囊》（加稅俊 興，1852）、《尖圓豁通鑑》（桑本正明，1855）、《數理神篇》（齋藤宜義，1860）、
《方圓鑑》（萩原信芳，1862）、《算法圓理私論》（萩原信芳，1866）、《圓理算要》
（萩原信芳，1878）等書，皆使用了圓理豁術解決問題。456
「圓理豁術（和田寧積分學）」的發明以及諸表的創製，是和田寧最主要貢
452 參考徐澤林，《和算選粹》，頁 42。
453 徐澤林，《和算中源》，頁 345 中提到和田寧將圖形中的狀線段分割 n 等分，然據文本的考察，
和田寧等和算家並非全都是將圖形中的徑或弦作 n 等分，多數場合的分割方式是將徑或弦分成 2n-1 段，並且以左右對稱式的方式形成配對 n 等分。
454 相當於弧長分割成 n 個線段長、將面積分割成 n 個長方形、將體積分割成 n 個薄片，以線段 和、長方形面積和、薄片體積和分別作為所求弧長、面積與體積的近似值，再透過查表的方式，
相當於求得這些近似幾何量的極限值，便為所求的弧長、面積與體積。
455 和算家所求之幾何量，鋌要包含弧長、面積、體積、穿去積、表面積、交周長等。
456 上述書目主要參考徐澤林，《和算中源》，頁 346-347。
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獻。然而，十九世紀與圓理豁術相關的和算著作非常豐富，本研究中並無法盡覽。
又如前一節所述，從內田五觀與小出兼政的著述可看出和田寧的數學成就，以及 相當於積分學的圓理豁術。因此，接下來筆者主要以小出兼政《圓理算經》的內 容為例，說明和田寧的算學成就。457首先，利用本節的篇幅，以《圓理算經》〈上 卷〉和〈中卷〉為例，探討「圓理豁術」－和田寧積分學的重要意義，以及在和 田寧的圓理豁術基礎下，十九世紀和算家所感興趣和他們所解決的和算難題。接 著，並利用 2.4.2 節針對「圓理表」的部份作進一步的探討，說明各類圓理表的
又如前一節所述，從內田五觀與小出兼政的著述可看出和田寧的數學成就，以及 相當於積分學的圓理豁術。因此，接下來筆者主要以小出兼政《圓理算經》的內 容為例，說明和田寧的算學成就。457首先，利用本節的篇幅，以《圓理算經》〈上 卷〉和〈中卷〉為例，探討「圓理豁術」－和田寧積分學的重要意義，以及在和 田寧的圓理豁術基礎下，十九世紀和算家所感興趣和他們所解決的和算難題。接 著，並利用 2.4.2 節針對「圓理表」的部份作進一步的探討，說明各類圓理表的