R 其中，原數 c、k 差
2.4.2 圓理「表」的內容與意義
早期和算家主要關心的數學知識活動為設題與施術，但是到了十九世紀時，
造「表」成為和算家關心的新知識活動，這些表的內容往往跳脫單純的數值表，
一方面呈現出許多與代數、幾何關係或性質，同時，也成為當時和算家用以解決 圓理問題的重要工具。因此，到了十九世紀初期，和算家的數學研究成果不再只 局限於題與術的形式，許多方理表與圓理表皆可視為和算家的數學研究成果。
如同前述小出兼政《圓理算經》自序所云：「凡圓理之法，用表得解術者，
皆始自和田子，無製錶之術，稱不得捷徑之術。」490雖然和田寧製作了許多表，
490 引自小出兼政，《圓理算經》，自序。
177
178
179
圖 2.4.9 所示）。494
圖 2.4.8《圓理算經》書影－圭象正割順法及相關「矩線表」
其它的梯象正割順法與逆法則是針對「梯形」，分別由上往下的順序以及由 下往上的順序，來對其高進行分割（如圖 2.4.10 與圖 2.4.11 所示）。最後的圭形 角割順法則是將角度分割成 n 等分，而非依三角形的高（如圖 2.4.12 所示）作分 割。各種分割法所對應的「矩線表」皆是利用相關已知條件與「應」和「初」，
表示出分割後所得之各線段長。
494 以下方理相關各圖引自徐澤林，《和算選粹》，頁 606-610
180
圖 2.4.9《圓理算經》－圭象正割逆法 圖 2.4.10《圓理算經》－梯象正割順法
圖 2.4.11《圓理算經》－梯象正割逆法 圖 2.4.12《圓理算經》－圭形角割順法 疊率四成表
181
496《圓理算經》中僅列 l=-3、-2、-1、0、1、2、3 以及 m=0、2、4、6、8、10、12 的情況。
497《圓理算經》中僅列 l=-3、-2、-1、0、1、2、3 以及 m=1、3、5、7、9、11、13 的情況。
182
疊率四成表之後是「圓理」的部份，這個部份主要與圓理問題有關。書中總 共介紹了：(1)截徑順法（題圓徑）；498(2)截弦順法（題圓徑、弦）；(3)截矢順法
（題圓徑、矢，矢者以半徑為多極）；(4)截徑貫法（題圓徑），以及(5)截矢順貫 法（題圓徑通矢）等五種對圖形的分割方式。透過圖例說明各分種割方式與相關 圖形之後（如圖 2.4.13 所示，為截徑順法相關分割方式與圖形），499再「依原貫 兩圖，求得諸線以為表，謂之矩線表。」這裡同樣是依據不同分割方式以及相關 圖形，列出這些分割方法所參照的「矩線表」，這些矩線表的內容，主要是利用 和算家的符號系統，表示出將原圖形作分割後，所得之各個線段長（如表 2.4.2 所示，為截徑順法所對應的矩線表）。500
表 2.4.2 截徑順法之矩線表
圖 2.4.13《圓理算經》書影－截徑順法圖 獲得了矩線表之後，相當於可利用代數符號表示出圖形中各線段長。接著，
再「依矩線表得諸象積以為表，謂之究疊表」，而所謂的究疊表，是將所欲求長 或求積之圖形，分割成若干弧長、面積與體積微元，然後，利用矩線表所表示出 的線段長，進一步表示出這些弧長、面積與體積微元。最後，和算家便是將這些 弧長或體積微元加總，求得所求之弧長、面積與體積。舉例來說，欲以截徑順法
498 括號中的題圓徑，指的是圓徑為問題的給定條件，後亦同之。
499 此圖引自徐澤林，《和算選粹》，頁 616。
500 此矩線表引自徐澤林，《和算選粹》，頁 617。
183
求圓面積（如圖 2.4.13 所示），將圓依直徑作分割，對圖 2.4.14 任一個「某正直 積」而言，501其面積皆為「某餘弦差．某正弦」，而「某正直積」與「某餘弦差．
某正弦」分別列於表 2.4.3 究疊表的「某象極」與「原級」（參見表 2.4.3 的第三 列第一與第二行）。接著，利用矩線表可得某正直積為「初．應冪．徑冪」（即表 2.4.3 的第三列第三行），再將所有的某正直積加總即可得「圓積」（即表 2.4.3 的 第三列第五行）。
一般而言，表 2.4.3 為截徑順法所對應之究疊表，第二列的「某象級」，是將 原圖形分割後所得的弧長、面積與體積微元，而第一列的「原級」，則表示該微 元可看成哪線段或哪些線段之乘積，第三列的「解原級」則是利用究疊表，將上 述「原級」當中的諸線段長以點竄符號表來表示，最後的「疊成級」指的是將「解 原級」中微元加總可得哪一個幾何量。例如，將圖 2.4.14 的某正直積加總即可得 圓積。
表 2.4.3 《圓理算經》書影－截徑順法之究疊表
501 圖當中的上下對稱兩矩形的面積和為某正直積。此圖引自徐澤林，《和算選粹》，頁 619。
184
圖 2.4.14 利用截徑順法求圓面積
圖 2.4.15 截徑順法之究疊表所對應的圖形
185
圖 2.4.15 是以不同的分割方式求圓面積與弧積，502不同的分割方式適用不同 的矩線表，並且對應於究疊表中的不同行。例如，圖 2.4.15 右上的「某正直積之 圖」，可對應到表 2.4.3 究疊表的第三行；右中的「某餘直積之圖」，可對應到表 2.4.3 究疊表的第二行；右下的「某圓子積之圖」，可對應到表 2.4.3 究疊表的第 四行；左上的「某正偏積之圖」，可對應到表 2.4.3 究疊表的第五行；左中的「某 餘偏積之圖」，可對應到表 2.4.3 究疊表的第六行。依據不同的圖形以及相對應的 究疊表，進一步作加總，便可得到所求幾何量的不同展開式。例如，究疊表中的 第二、三、四行提供了三種求圓面積的方法，而第五、六行則提供了兩種求象弧 積的方法。換言之，此表並非羅列數值或結果，而是濃縮了求各幾何量的一般性 程序方法。透過不同圖形的分割方式可得 n 個「某象級」，接著求得「原級」，再
「解原級」以得點竄式，最後作「加總取極限」的動作，503便可得「疊成級」， 即求得所求幾何量的（級數）公式。當然，求和與化簡的過程中，尚需要引入其 它「表」，而各類截法與究疊表的內容，以及上述「加總取極限」的過程，恰濃 縮了和田寧圓理豁術的主要精華。
圖 2.4.16 截弦順法之究疊表所對應的圖形
除了筆者上述介紹的截徑順法之外，《圓理算經》尚針對截弦順法、截矢順
502 此圖引自徐澤林，《和算選粹》，頁 619。
503 事實上，雖然小出並未明言取極限的動作，但其所利用的檢表方式，實則隱含了取極限所得
的結果。
186