關流算學研究及其歷史脈絡:1722-1852

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(1)國立臺灣師範大學數學系博士論文. 指導教授：. 洪萬生. 博士. 左台益. 博士. 關流算學研究及其歷史脈絡：1722-1852. 研究生：. 中華民國. 103. 黃俊瑋. 年. 7. 月.

(2) 摘要本論文主要以關流重要和算家的著述作為一手文獻，輔以近人研究成果，探討關流和算家的重要算學研究成果與特色。研究中先將十七世紀至十九世紀約莫 250 年間的和算發展分成七個時期，並著重於涵蓋 1722 年《綴術算經》刊刻至 1852 年日本開國前的三個時期，再從社會史以及知識史的角度切入，論述這期間的算學發展與歷史脈絡，以及和算發展過程中所展現的專業化與制度化特色。隨十八世紀中期後關流和算公開、走向普及，期間由於多位掌權者以及時人對於數學這門學問的重視與推崇，彰顯數學學問的重要性－包含實用面向的算用與智性面向的算術。再者，和算家得以因數學才能受聘任職藩校之算學師範，晉升武士提升了社會地位，或者開設算學道場（私塾）維生。藩校、算學道場以及各和算流派為和算家從事數學教學與數學研究的重要機構，和算流派亦是當時最重要的數學研究團體。而設題究術、著述算書以及算額奉納為和算家發表數學研究的重要方式，透過流派內部對數學著作與知識進行整理與選擇，加以免許制的設立，顯現算學成為專門之學，並也負載了知識的保存與傳承的目的。1722-1852 年這 130 年間和算也由武士階層領導的流派祕傳專學漸轉向由農、商、庶民階層引領的普及化和算教育與習算風氣。設題、究術、求數、探法、造表是和算研究的主要核心，研究中透過對文本的考察與分析，著重 1722-1852 年間諸表與開方、綴術、級數和、圓理之間的關連與發展，並以《圓理算經》之圓理八問為架構，對這一時期關於求直線、周、背、面積、體積、穿去積以及極數術等圓理問題之發展，作一系統性地論述。除了豐富多元的圓理問題、精益求精的術文與數值解外，這期間和算研究上有三大突破，首先，和算家以綴術形式表示出代數與幾何（圓、弧、矢、弦、面積、體積、穿去積等）相關展開式。再者，和算家創製諸多涉及無窮和、無窮展開式之表，作為重要解題與認知工具，同時，他們透過「分割－檢表得微元－檢表展開－檢疊表求和－得術」之和田寧積分法，重解各類圓理舊問題並解決新問題。由於和算文本的豐富性，本研究亦從知識論文化的觀點，探討和算文本在「問題、術、數、表及知識價值」所呈現的特色。和算的研究主要以設題、究術與求數為主要核心，藉由遺題繼承、算額奉納等外在之社會文化因素與以及內在知識需求的驅使從事數學研究。和算家藉由舊問題的修改、一般化與推廣、幾何元素的新重組合、新概念的融入以及病題明致，設計多元而豐富的新問題。一方面排除「病題」，並偏好「可解」且其解「存在、合理且唯一」的問題。他們基於「正、真、括(通)、(簡)捷、親(密)」等數學知識價值，透過據理探與據數探的方式，尋求問題的適當答案。在一題多解與舊題新解的文化下，和算家傾向精緻化舊有問題的答案－排除各類邪術或迂遠術。他們追求正確或更精確的數值作為問題的答.

(3) 案，同時以合乎正確性的術文、更加簡捷的術文、易於實作與便於快速計算的術文、求數精確性與收斂性更佳的術文、更具概括性、一般性、抽象性的術文，作為主要數學知識的需求與目標。在此設題、探術與求數的數學知識活動中，相輔相乘地引發新方法、新工具與新概念的誕生與發展。最後回顧關流與最上流間的論戰，改病題、去邪術、迂遠術，乃至精要原則下的術文字數比較，是兩造和算家從事算學論戰所據之重要數學價值與競技標準。這也反應出數學知識的社會性與脈絡性，和算研究與相關知識受當時代社會、文化乃至社群中的規約、知識標準與價值觀所影響，展現出別於西方數學與中算的風格與特色。關鍵詞：數學史、和算、關流、知識論文化、社會史。.

(4) 目錄目錄 .................................................................................................................................................... I 圖目錄 ................................................................................................................................................IV 表目錄 ................................................................................................................................................ IX 第 1 章緒論...................................................................................................................................... 1 第 1.1 節研究動機與研究背景 ......................................................................................................... 1 第 1.2 節文獻探討與研究回顧 ......................................................................................................... 3 1.2.1 和算通史論著........................................................................................................................ 3 1.2.2 和算家與相關著作 ................................................................................................................ 5 1.2.3 和算知識範疇...................................................................................................................... 12 1.2.4 中日數學交流...................................................................................................................... 14 1.2.5 關流與最上流間的數學論戰 .............................................................................................. 18 1.2.6 知識論文化.......................................................................................................................... 19 1.2.7 小結 ..................................................................................................................................... 22 第 1.3 節研究問題 ........................................................................................................................... 23 第 1.4 節研究方法與研究取向 ....................................................................................................... 24 第 2 章 1722－1852 年間關流數學發展與歷史脈絡 ...................................................................... 27 第 2.1 節. 和算之分期.................................................................................................................... 27. 2.1.1 過去專書與研究之分期 ...................................................................................................... 28 2.1.2 江戶時期和算之分期 .......................................................................................................... 30 2.1.3 分期之依據與各時期概述 .................................................................................................. 33 第 2.2 節 1722 – 1766 之關流算學發展與歷史脈絡 ..................................................................... 37 2.2.1 建部賢弘與《綴術算經》 .................................................................................................. 37 2.2.2 此時期重要和算家 .............................................................................................................. 48 2.2.3 圓理研究之發揚.................................................................................................................. 55 2.2.4 垛積術相關發展與研究 ...................................................................................................... 69 2.2.5 關流代數符號的發展－傍書法到點竄 .............................................................................. 77 2.2.6 知識整理與關流免許制的完善 .......................................................................................... 96 第 2.3 節 1767-1806 之關流算學發展與歷史脈絡 ..................................................................... 103 2.3.1 和算之公開與數學知識地位的提升 ................................................................................ 103 2.3.2 藤田貞資《精要算法》與和算之普及 ............................................................................ 110 2.3.3 算額與數學交流................................................................................................................ 114 2.3.4 關流與會田安明之數學論戰 ............................................................................................ 130 2.3.5 安島直圓及其算學成就 .................................................................................................... 151 I.

(5) 第 2.4 節 1807-1852 之關流算學發展與歷史脈絡 ....................................................................... 161 2.4.1 和田寧與圓理豁術 ............................................................................................................ 161 2.4.2 圓理「表」的內容與意義 ................................................................................................ 176 2.4.3 算學道場與和算教科書《算法新書》 ............................................................................ 194 2.4.4 十九世紀初期的題術發展與特色 .................................................................................... 201 2.4.5 和算之終結........................................................................................................................ 208 第 3 章關流算學研究－圓理與表 ............................................................................................... 211 3.1 圓理表....................................................................................................................................... 211 3.1.1 表與方程式之開方求商 .................................................................................................... 212 3.1.2 表與開 n 次方根................................................................................................................ 218 3.1.3 級數表、積分表................................................................................................................ 231 3.1.4 圓理表－截法、矩線表與究疊表 .................................................................................... 242 3.2 極術 ........................................................................................................................................... 249 3.2.1 關孝和與極值概念 ............................................................................................................ 249 3.2.2《綴術算經》中的求極值問題 ......................................................................................... 254 3.2.3 久留島義太與《久留島極數》分析 ................................................................................ 257 3.2.4 和算文化下的極值問題的發展 ........................................................................................ 263 3.2.5 小結 ................................................................................................................................... 267 3.3 周、背與直線 ........................................................................................................................... 268 3.3.1 圓周率與求周之術 ........................................................................................................... 269 3.3.2 橢圓周術 ........................................................................................................................... 286 3.3.3 弧背術 ............................................................................................................................... 296 3.3.4 直線 ................................................................................................................................... 313 3.4 面積、體積與穿去積 ............................................................................................................... 331 3.4.1 面積 ................................................................................................................................... 331 3.4.2 體積 ................................................................................................................................... 336 3.4.3 表面積－立圓與長立圓之表面積 .................................................................................... 344 3.4.4 穿去積 ............................................................................................................................... 347 3.5 本章小結 ................................................................................................................................... 367 第 4 章知識論文化 ...................................................................................................................... 369 4.1 和算文化中的問題與問題設計................................................................................................ 369 4.1.1 和算文本中所要解決的數學問題 ................................................................................... 370 4.1.2 關流和算文本中的題術答體例特色 ................................................................................ 375 4.1.3 新問題的誕生.................................................................................................................... 377 4.2 術、數、法與表 ....................................................................................................................... 403 4.2.1 演算法－術........................................................................................................................ 403 4.2.2 數 ....................................................................................................................................... 415 II.

(6) 4.2.3 法 ....................................................................................................................................... 422 4.2.4 表 ....................................................................................................................................... 426 4.3 知識論價值－適當的問題與答案類型 .................................................................................... 438 4.3.1 病題 ................................................................................................................................... 438 4.3.2 正術與邪術、權術 ............................................................................................................ 439 4.3.3「真」數與「真」術 ......................................................................................................... 442 4.3.4 括（通） ........................................................................................................................... 444 4.3.5 親、密 ............................................................................................................................... 448 4.3.6 簡捷 ................................................................................................................................... 452 4.4 如何獲得知識（答案） ........................................................................................................... 459 4.4.1《綴術算經》與和算家的數學研究方法 ......................................................................... 459 4.4.2 據理探 ............................................................................................................................... 460 4.4.3 據數探 ............................................................................................................................... 464 4.4.4 視形立道條........................................................................................................................ 469 4.5 本章小結－和算家對於數學知識的需求 ................................................................................ 472 第 5 章結論.................................................................................................................................. 475 5.1 江戶時期和算發展之分期 ....................................................................................................... 475 5.2 1722 年至 1852 年間關流算學主要發展與研究成果 ............................................................. 477 5.3 和算之專業化與制度化 ........................................................................................................... 482 5.3.1 和算之專業化.................................................................................................................... 482 5.3.2 學術贊助與算學地位的提升 ............................................................................................ 484 5.3.3 和算制度化面向................................................................................................................ 486 5.3.4 和算教育 ........................................................................................................................... 488 5.4 推動和算發展的重要因素 ....................................................................................................... 489 5.5 關流與最上流之論戰 ............................................................................................................... 495 5.6 知識論文化 ............................................................................................................................... 496 5.7 本研究之限制與建議 ............................................................................................................... 498 參考文獻 ....................................................................................................................................... 501 一、一手文獻 ................................................................................................................................. 501 二、專書 ......................................................................................................................................... 504 三、研究論文 ................................................................................................................................. 505. III.

(7) 圖目錄圖 2.2.1 建部賢弘之算學研究徑路圖 ............................................................................................ 43 圖 2.2.2《數學乘除往來》所引發遺題繼承之相關書籍與關係圖 ................................................. 49 圖 2.2.3《算法天元樵談集》所引發遺題繼承之相關書籍與關係圖 ............................................. 50 圖 2.2.4 關孝和《括要算法》之式圖－二項式係數 ...................................................................... 70 圖 2.2.5 關孝和《括要算法》之式圖－垛積公式.......................................................................... 71 圖 2.2.6 關孝和《解伏題之法》中的天元傍書式.......................................................................... 80 圖 2.2.7 江戶時期用以計算的表面－算盤之圖 ............................................................................. 81 圖 2.2.8 井關知辰《算法發揮》所使用的符號 ............................................................................. 82 圖 2.2.9 松永良弼《立圓率》以實與法來表示分式的分子與分母 ............................................... 83 圖 2.2.10 關孝和《括要算法》衰垛原數圖 ................................................................................... 84 圖 2.2.11 關孝和《括要算法》的方垛式圖 ................................................................................... 85 圖 2.2.12 松永良弼《方圓算經》中出現的分式籌式 .................................................................... 85 圖 2.2.13 久留島義太著作《久氏弧背草》中出的四個分式籌式 ................................................. 86 圖 2.2.14 松永良弼《方圓算經》中出現的分式籌式 .................................................................... 87 圖 2.2.15 松永良弼《方圓雜算》一書中出現的籌式 .................................................................... 88 圖 2.3.1 《神壁算法真術》書影：會田安明評《神壁算法》缺點 ............................................. 119 圖 2.3.2《神壁算法真術》書影－會田評《神壁算法》第十六與十七題.................................... 121 圖 2.3.3 會田安明門人鈴木忠義所懸算額 ................................................................................... 123 圖 2.3.4 《神壁算法真術》書影－鈴木忠義評關流算額 ............................................................ 124 圖 2.3.5 《增刻紳壁算法評林》書影－會田評《續神壁算法》第三題 ..................................... 128 圖 2.3.6 關流與會田安明一系列數學論戰著述之關係圖Ⅰ ........................................................ 139 圖 2.3.7 會田安明《算法廓如》書影一 ....................................................................................... 144 圖 2.3.8 會田安明《算法廓如》書影二 ....................................................................................... 145 圖 2.3.9 《撥亂算法》書影 .......................................................................................................... 145 圖 2.3.10《算法非撥亂》書影 ...................................................................................................... 146 圖 2.3.11 關流與會田安明一系列數學論戰著述之關係圖Ⅱ ....................................................... 149. IV.

(8) 圖 2.3.13《不朽算法》書影－〈下卷〉指數表 ........................................................................... 156 圖 2.3.14《不朽算法》圓柱穿空圓側視圖與圓柱穿空圓正視圖 ................................................. 157 圖 2.3.15《圓柱穿空圓術》橫切圖 .............................................................................................. 158 圖 2.3.16《圓柱穿空圓術起源》直切圖 ....................................................................................... 158 圖 2.4.1 小出兼政之墓 .................................................................................................................. 162 圖 2.4.2《圓理算經》上卷 1-1 問、1-2 問與 1-3 問之圖形.......................................................... 167 圖 2.4.3《圓理算經》上卷 5-1 問、5-2 問、5-4 問與 5-5 問之圖形 ............................................ 171 圖 2.4.4《圓理算經》上卷 5-3 問求橢圓周長與橢球圖 ............................................................... 171 圖 2.4.5《圓理算經》中卷 1-1 問與 1-2 問之圖形 ....................................................................... 173 圖 2.4.6《圓理算經》中卷 2-1 問與 2-2 問之圖形 ....................................................................... 174 圖 2.4.7《圓理算經》中卷 3-2 問、3-4 問與 3-5 問之圖形.......................................................... 175 圖 2.4.8《圓理算經》書影－圭象正割順法及相關「矩線表」 ................................................... 179 圖 2.4.9《圓理算經》－圭象正割逆法 ......................................................................................... 180 圖 2.4.10《圓理算經》－梯象正割順法 ....................................................................................... 180 圖 2.4.11《圓理算經》－梯象正割逆法 ....................................................................................... 180 圖 2.4.12《圓理算經》－圭形角割順法 ....................................................................................... 180 圖 2.4.13《圓理算經》書影－截徑順法圖 ................................................................................... 182 圖 2.4.14 利用截徑順法求圓面積 ................................................................................................. 184 圖 2.4.15 截徑順法之究疊表所對應的圖形 .................................................................................. 184 圖 2.4.16 截弦順法之究疊表所對應的圖形 .................................................................................. 185 圖 2.4.17《圓理算經》書影－陽式出商表與陰式出商表 ............................................................ 189 圖 2.4.18《圓理算經》書影－見商表 .......................................................................................... 193 圖 2.4.19 江戶時期用以計算的表面－算盤之圖 .......................................................................... 197 圖 2.4.20《圓理算經》書影－原題矮立圓以及勾股弦內畫弧背 ................................................. 203 圖 2.4.21 截題例 ............................................................................................................................ 204 圖 2.4.22 畫題例 ............................................................................................................................ 204 圖 2.4.23 穿題例 ............................................................................................................................ 205 圖 2.4.24 受題例 ............................................................................................................................ 205 圖 2.4.25 回題例 ............................................................................................................................ 206 V.

(9) 圖 2.4.26 釣題例 ............................................................................................................................ 206 圖 2.4.27 轉題例 ............................................................................................................................ 206 圖 3.1.1《圓理算經》書影－陽式出商表與陰式出商表 ...............................錯誤! 尚未定義書籤。圖 3.1.2 《圓理算經》書影－圓弧積線表 ................................................................................... 215 圖 3.1.3《圓理算經》書影－疊率四成表之疊元表 ...................................................................... 233 圖 3.1.4 截徑順法之原圓 ............................................................................................................. 242 圖 3.1.5 截徑順法之貫通之圖 ...................................................................................................... 243 圖 3.1.6 截弦順法之原圖與貫通之圖 .......................................................................................... 245 圖 3.2.1 梯形全形圖 ..................................................................................................................... 251 圖 3.2.2 梯形之變形極圖 ............................................................................................................. 251 圖 3.2.3 方台全形圖與其變形極圖 .............................................................................................. 252 圖 3.2.4 梯形之全形圖與變形極圖 .............................................................................................. 253 圖 3.2.5 方台之全形圖與變形極 ................................................................................................... 253 圖 3.2.6《久留島極數》問題 1 ..................................................................................................... 258 圖 3.2.7《久留島極數》問題 3 ..................................................................................................... 258 圖 3.2.8《久留島極數》問題 3 參考圖......................................................................................... 258 圖 3.3.1《算爼》之割圓圖............................................................................................................ 271 圖 3.3.2 內接正 32768 邊形的某一角 .......................................................................................... 271 圖 3.3.3 關孝和《括要算法》之割圓圖 ....................................................................................... 273 圖 3.3.4 截弦順法截橢圓之長軸 ................................................................................................... 288 圖 3.3.5《圓理算經》求橢圓周術參照圖 ..................................................................................... 289 圖 3.3.6《綴術算經》探弧數參考圖形 ......................................................................................... 300 圖 3.3. 8《弧背術解》示意圖 ....................................................................................................... 308 圖 3.3. 9 以帶直弧積與其近似面積 .............................................................................................. 309 圖 3.4.1 安島直圓以矩形面積和逼近帶直弧積 ............................................................................ 334 圖 3.4.2《圓理算經》直錐圖 ........................................................................................................ 337 圖 3.4.3 直楔參考圖 ...................................................................................................................... 338 圖 3.4.4 直楔分割示意圖 .............................................................................................................. 338 圖 3.4.5 外切形成的圓柱示意圖 ................................................................................................... 339 VI.

(10) 圖 3.4.6 內接形成的圓柱示意圖 ................................................................................................... 339 圖 3.4.7《立圓率》依半徑截成四片之參考圖 ............................................................................. 341 圖 3.4.8 安島直圓對穿圓徑分割示意圖 ........................................................................................ 349 圖 3.4.9 各帶直台形之底面：帶直弧形 ........................................................................................ 349 圖 3.4.10 圓柱穿空圓橫截圖 ......................................................................................................... 351 圖 3.4.11 圓柱穿空圓縱截圖 ......................................................................................................... 351 圖 3.4.12 截水平直徑側視圖 ......................................................................................................... 352 圖 3.4.13 截水平直徑由上往下視圖 ............................................................................................. 352 圖 3.4.14 (A)《圓理算經》上卷 5-1 之圖形 (B)《圓理算經》上卷 5-2 之圖形 ........................... 355 圖 3.4.15 (A)《圓理算經》上卷 5-4 之圖形. (B)《圓理算經》中卷 1-2 之圖形 ......................... 356. 圖 3.4.16 (A)《圓理算經》中卷 1-1 之圖形. (B)《圓理算經》(中) 問題 2-1 之圖形 ................. 358. 圖 3.4.17 (A)《圓理算經》中卷 2-2 之圖形. (B)《圓理算經》中卷 3-2 之圖形 ......................... 358. 圖 3.4.18 (A)《圓理算經》上卷 5-5 問之圖形. (B)《圓理算經》中卷 3-5 問之圖形 ................. 359. 圖 3.4.19 圓壔穿去橢圓示意圖 .................................................................................................... 359 圖 3.4.20《算法圓理鑑》第十九問、第二十問、第二十一問、第二十二問 .............................. 360 圖 4.1.1 《發微算法》第七問之圖形 .......................................................................................... 379 圖 4.1.2 《發微算法》第六問與第八問之圖形 ........................................................................... 380 圖 4.1.3 安島直圓《不朽算法》第十二問書影 ........................................................................... 386 圖 4.1.4 圓柱穿空圓之圖 ............................................................................................................. 389 圖 4.1.5 《圓理算經》上卷 5-1 問、上卷 5-2 問、中卷 3-2 問之圖形........................................ 389 圖 4.1.6 《圓理算經》中卷 1-2 問與中卷 2-2 問之圖形.............................................................. 389 圖 4.1.7 《圓理算經》上卷 5-4 問與中卷 1-1 問之圖形.............................................................. 390 圖 4.1.8 《算法原理鑑》第 18 問與第 19 問之圖形 .................................................................... 390 圖 4.1.9 《算法原理鑑》第 20 問、第 21 問與第 22 問之圖形................................................... 391 圖 4.1.10《算法原理鑑》第 24 問與《算法原理鑑》第 25 問之圖形 ......................................... 391 圖 4.1.11《不朽算法》第 26 問與第 27 問之圖形 ....................................................................... 391 圖 4.1.12《算法原理鑑》第 16 問與第 17 問之圖形 .................................................................... 392 圖 4.1.13《圓理算經》中卷問題 2-1 之圖形 ................................................................................ 393 圖 4.1.14《不朽算法》第 30 問與第 32 問之圖形 ....................................................................... 393 VII.

(11) 圖 4.1.15 勾股形 ............................................................................................................................ 396 圖 4.1.16 直錐形 ............................................................................................................................ 396 圖 4.1.17 平方 ............................................................................................................................... 396 圖 4.1.18 梯形全形圖 .................................................................................................................... 398 圖 4.1.19 梯形之變形極圖............................................................................................................ 398 圖 4.1.20 方台全形圖 ................................................................................................................... 399 圖 4.1.21 方台變形極圖 ................................................................................................................ 399 圖 4.1.22 梯形全形圖與變形極圖 ................................................................................................ 400 圖 4.1.23 方台全形圖與變形極圖 ................................................................................................ 400 圖 4.1.24 關孝和判斷病題與解決病題之流程圖 ......................................................................... 402 圖 4.2.1《不朽算法》第七問之施術流程圖 ................................................................................. 406 圖 4.2.2. 關孝和《解隱題之法》書中的小數籌式 ...................................................................... 419. 圖 4.2.3 江戶時期用以計算的表面－算盤之圖 ........................................................................... 419 圖 4.2.4 和田寧積分的典型流程圖 ............................................................................................... 427 圖 4.3.1 關孝和墨寶 ......................................................................................錯誤! 尚未定義書籤。圖 4.4.1 古法參考圖 ..................................................................................................................... 462 圖 4.4.2 建部賢弘之算學研究徑路圖 .......................................................................................... 470. VIII.

(12) 表目錄表 1.2.1 本研究中所參考的關流重要和算著作 ............................................................................... 8 表 2.1.1 城地茂和算分期表 ............................................................................................................ 29 表 2.1.2 和算分期之關鍵事件 ........................................................................................................ 31 表 2.1.3 和算各時期知識發展與社會文化互動 ............................................................................. 32 表 2.2.1 建部賢弘之「數學知識活動」與「探索方法」架構表 ................................................... 42 表 2.2.2 建部賢弘《綴術算經》各問題研究方法.......................................................................... 44 表 2.2.3 建部賢弘與關孝和之比較表 ............................................................................................. 46 表 2.2.4 《拾璣算法》〈點竄〉定則整理 ....................................................................................... 90 表 2.2.5 《大成算經》章卷與主要內容 ......................................................................................... 98 表 2.3.1 日本各時期現存算額數量 .............................................................................................. 115 表 2.3.2 《神壁算法真術》所列術文字數比較表（一） ............................................................ 120 表 2.3.3 《神壁算法真術》所列術文字數比較表（二） ............................................................ 121 表 2.3.4 會田安明評《神壁算法》諸缺點 ................................................................................... 125 表 2.3.5 《增刻神壁算法評林》〈上〉字數比較與評論 .............................................................. 126 表 2.3.6 《增刻神壁算法評林》〈上〉之追加評論 ...................................................................... 127 表 2.3.7 《增刻神壁算法評林》〈下〉之評論 ............................................................................. 129 表 2.3.8 關流與最上流論戰主線相關書籍整理 ........................................................................... 133 表 2.3.9 論戰支線：會田安明評論關流著述之相關書籍 ............................................................ 134 表 2.3.10 會田安明《改精算法》對於《精要算法》之評論與改進 ............................................ 137 表 2.3.11 日下城《當世塵劫記解》對《當世塵劫記》主要評論 ................................................ 148 表 2.4.1 圓理八問與《圓理算經》各問題之比較表 .................................................................... 175 表 2.4.2 截徑順法之矩線表 .......................................................................................................... 182 表 2.4.3 《圓理算經》書影－截徑順法之究疊表........................................................................ 183 表 2.4.4 《圓理算經》圓弧積線表 .............................................................................................. 186 表 2.4.5 各類較表相關內容 .......................................................................................................... 190 表 2.4.6 疊率見飛表相關內容 ...................................................................................................... 191. IX.

(13) 表 3.1.1 《綴術括法》諸差乘率除率表 ....................................................................................... 222 表 3.1.2 和田寧《截背術》中的伏衰垛系列 ............................................................................... 232 表 3.1.3 和田寧《截背術》之滑表 .............................................................................................. 233 表 3.1.4 《圓理算經》疊率見飛表之見表 ................................................................................... 236 表 3.1.5 疊率見飛表各表所列相關級數與積分關係 .................................................................... 236 表 3.1.6 切極比例表 ..................................................................................................................... 243 表 3.1.7 截徑順法之矩線表 .......................................................................................................... 243 表 3.1.8 截徑順法之究疊表 .......................................................................................................... 244 表 3.1.9 截弦順法之究疊表 .......................................................................................................... 245 表 3.1.10 截矢順法之究疊表 ......................................................................................................... 246 表 3.1.11 截徑貫法之究疊表 ........................................................................................................ 247 表 3.1.12 截矢順貫法之究疊表 .................................................................................................... 248 表 3.2.1《久留島極數》十五個問題之分類 ................................................................................. 262 表 3.3.1《算俎》之前和算著作中的圓周率記載（一） .............................................................. 269 表 3.3.2 和算著作中的圓周率記載（二） .................................................................................... 271 表 3.3.3《方圓雜算》圓周率相關數據表 ..................................................................................... 280 表 3.3.4《方圓雜算》圓周率零約術表 ....................................................................................... 281 表 3.3.5 關流和算家圓周率公式與相關展開式 ............................................................................ 283 表 3.3.6 關孝和之前和算著作中的弧長公式 ............................................................................... 297 表 3.3.7《發微算法》各問題所求幾何線段 ................................................................................. 314 表 3.3.8《不朽算法》各問題對所求幾何線段 ............................................................................. 314 表 3.3.9《算法圓理鑑》各問題與所問幾何量 ............................................................................. 316 表 3.3.10《括要算法》〈利卷〉平中徑與角中徑之關係式（一） ............................................... 317 表 3.3.11《括要算法》〈利卷〉平中徑與角中徑之關係式（二） ............................................... 317 表 3.3.12《方圓雜算》之角中徑與平中徑術 ............................................................................... 319 表 3.3.13《方圓雜算》角中徑、平中徑與邊長比值之近似分數 ................................................. 321 表 3.3.14《立圓率》求角中徑與平中徑術各差係數 .................................................................... 322 表 3.3.15《精要算法》〈下卷〉所列正三角形至正二十邊形之角中徑長.................................... 322 表 3.4.1 圓弧積線表中有關圓面積與弧積之公式 ........................................................................ 335 X.

(14) 表 3.4.2《圓理算經》三類穿去題之整理 ..................................................................................... 353 表 4.1.1 關流和算文本問題分類方式 .......................................................................................... 371 表 4.2.1 《不朽算法》第二十問之術文與演算法........................................................................ 407 表 4.2.2 得周術之術文與演算法 .................................................................................................. 408 表 4.2.3 「應率八態表」中的陽除表 .......................................................................................... 429 表 4.2.4 《圓理算經》應率八象表中的陽商乘表........................................................................ 430 表 4.2.5 表與術的比較 ................................................................................................................. 433 表 4.2.6 《綴術括法》諸差乘率除率表 ....................................................................................... 435 表 4.2.7 「應率八象表」中的陽除表 .......................................................................................... 436 表 4.2.8 圓弧積線表與此求圓周長術有關的部份........................................................................ 437 表 4.3.1 《算法圓理鑑》與邪術有關之評論 ............................................................................... 440 表 4.3.2 各類邪術與權術所關切的重要意義 ............................................................................... 441 表 4.3.3 松永良弼評弧背之偽術 .................................................................................................. 443 表 4.3.4 《算法圓理鑑》與迂遠術有關之評論 ........................................................................... 453 表 4.4.1 建部賢弘《綴術算經》各問題研究方法........................................................................ 459 表 4.4.2 建部賢弘探弧數第一術各差乘除係數表........................................................................ 468 表 5.1.1 1722 年至 1852 年和算重要贊助者、受贊助者與相關作為 ........................................... 485. XI.

(15) 第 1 章緒論. 第 1.1 節研究動機與研究背景從東亞歷史與東亞數學史的脈絡來看，傳統中國數學（中算）、韓國數學（東算）與日本數學（和算）的發展，具有緊密的關係。誠然，東算與和算受傳統中算之影響，乃至它們之間的關係與差異，是過去東亞數學史研究者的焦點之一。但這三者各自發展出的特有算學文化以及在地性的數學知識活動特色，亦是史家們關切的重點。這二十年來，洪萬生老師持續帶領著 HPM 公館團隊，對明清兩代的中算數學文本逐一進行深入的解讀與分析，成果非常豐碩。1另一方面，與東算相關的研究也頗具規模。2然而，台灣學者們對於江戶時期日本數學史的研究，卻一直等到 2010 年之後才踏出第一步。由於《楊輝算法》、《算學啟蒙》以及《算法統宗》等中算書的傳入，影響了江戶時期的日本數學發展。以《算法統宗》為藍本所編的《塵劫記》成為江戶時期流傳最廣泛的數學書，遺題版的《塵劫記》更引發了和算家之間的算學競技風氣。解前人遺題，並在書末提出新問題的文化，加上算額奉納這種獨特的數學知識活動與數學發表形式，促進了和算知識的成熟與發展。也由於問題內在困難度與複雜度的提高，和算家對於新方法與新數學工具的研究已是必然之勢。江戶時期日本數學家關孝和在中算天元術的基礎上，引入其發明的傍書法代數符號系統，用以處理含有多個未知數的問題，並在解方程方面多有發展。找尋新方法、解決舊問題、總結成果並提出新問題的過程中，關孝和開創了許多和算研究新方向，並建立了最大的和算流派 – 關流。於是，江戶時期的日本數學，在歷代關流數學家與其它非關流學派數學家的努力之下蓬勃發展，並形成獨特的數學文化風貌。回顧和算史的發展，早在一百多年前，一些日本數學史家便已對江戶時期的和算發展，提出了「通史」式的論著。3這些著作旨在介紹重要和算家、重要文 1. 蘇俊鴻的研究中搜集了許多有關明清數學家或是數學文本研究的碩士論文，出自洪萬生教授指導至少有近 40 本。參考蘇俊鴻《中國近代數學發展 1607-1905：一個數學社會史的進路》，2013 年。此論文對於《幾何原本》（1607）傳入中國之後，中算與西算的對話，進行了長達三百年之久的大幅度論述，為我們述說了一個有趣的故事。 2 英家銘的研究中指出，東算史有關的研究包含了洪萬生之期刊論文 5 篇以及其指導的碩士論文 18 篇。參考英家銘，《南秉吉(1802-1869)對古算學的重新詮釋》，2008 年。2009 年之後，HPM 公館團隊中的英家銘，亦陸續完成多篇有關東算史的研究。 3 例如遠藤利貞（1843-1915）之《大日本數學史》與藤原松三郎（1881-1946）之《明治前日本 1.

(16) 本乃至重要數學成就，也關心和算與中算間的關係，另一方面，也有三上義夫從外史的角度，討論和算發展的藝道化模式。在中國數學史家這一邊，早期李儼、杜石然等人亦對江戶時期的和算研究多有著墨。而近十數年來，益發有更多的中國學者加入了和算研究的行列。4 在史料方面，隨著徐澤林所編著的《和算選粹》（2008）與《和算選粹補編》（2009）選譯、收錄了從今村知商《豎亥錄》（1639）至小出兼政《圓理算經》（1842）約 200 年間，多本關流與非關流數學家的重要和算著作；再加上日本東北大學所提供的電子資料庫，5提供非常豐富的和算文本圖檔，使得和算研究的一手資料不再遙不可及。洪萬生老師所指導的 HPM 公館團隊，也開始把重心放在和算相關研究上。2009 年以來，筆者和陸續加入研究的十數位研究生，共組讀書會解讀和算文本，並進行深入研究與討論。時至目前為止，本團隊共完成了八篇與和算有關的碩士論文，6另外尚有兩篇碩士論文的撰寫持續進行中。另外，由於台灣高等學校期時的數學教師，7兼具和算史家身份，且其著述與研究多與和算密切相關，從當時學生所遺留下來的一本上課筆記中也發現，當中不少內容與和算有所關連。因此，若想更完整地了解台灣早期的數學教育，特別是高等學校時期的數學教材與數學教學現況，那麼，對和算有基礎性的認識恐怕是不可或缺的一環。綜觀近年來國際上與和算有關的研究，無論是期刋論文或學位論文，主要都是針對單一算題、特定主題或者和算家的單本著作居多。研究的進路，除了部份學者探討了與和算藝道化有關的議題外，8多數研究皆是以內史的角度切入，他們感興趣的是和算有哪些重要的數學成就，並以現代符號重新翻譯重要的和算文數學史》是和算編史學上的兩個里程碑。 4 例如徐澤林、馮立昇、烏雲其其格、周暢等學者，陸續完成了許多與和算有關的研究與著作。 5 日本東北大學所提供的電子資料庫，所收藏的和算文本相當豐富： http://dbr.library.tohoku.ac.jp/infolib/meta_pub/G9200001CROSS 6 這八篇碩士論文包含了：劉雅茵，《關孝和《括要算法》之內容分析》，國立台灣師範大學碩士論文未出版，2011 年。林典蔚，《關孝和《三部抄》之內容分析》，國立台灣師範大學碩士論文未出版，2012 年。林美杏，《建部賢弘之研究-以《綴術算經》為例》，國立台灣師範大學碩士論文未出版，2013 年。王燕華，《松永良弼《方圓算經》之內容分析》，國立台灣師範大學碩士論文未出版，2012 年。林建宏，《松永良弼《方圓雜算》之內容分析》，國立台灣師範大學碩士論文未出版，2013 年。莊耀仁，《《久留島極數》與《平方零約術》之探究》，國立台灣師範大學碩士論文未出版，2013 年。廖傑成，《《算爼》之內容分析》，國立台灣師範大學碩士論文未出版，2013 年。王裕仁，《安直直圓《不朽算法》之內容分析》，國立台灣師範大學碩士論文未出版，2013 年。 7 台灣高等學校即為現今台灣師範大學的前身。黃美倫（2013）的研究中分析了當時學生所遺留下來的一本數學筆記，該筆記除了作為當時數學教材的第一手資料外，也有助於我們還原當時數學教育現況，而當時的數學教師為加藤平左衛門。有興趣的讀者可參考黃美倫，《臺北高等學校數學教育初探 ─以學生筆記為例》，2013。 8 例如早期三上義夫的諸多研究，以及近人烏雲其其格所著《和算的發生:東方學術的藝道化發展模式》等著作，主要探討江戶時期的社會文化與和算發展間的關連。 2.

(17) 本。又部份中國學者也關注於中日數學關係之比較，特別是比較中國與日本在特定算題或某一主題（例如演段、方程、招差、垛積、諸約等）的發展與數學成就。就目前和算相關研究成果來看，又以關孝和之前的《塵劫記》以及關孝和與建部賢弘等早期關流先驅的算學成就為大宗。儘管近年的研究慢慢開始關注於十八世紀中期之後的和算家，但由於十八世紀之後和算流派的快速發展與普及化，此時期之後的和算家、和算著述、算額以及當中所涉算題之多，已使得史家們難以遍及。有關江戶時期日本數學史的著作，針對十七世紀至十八世紀初期和算發展相關篇幅所占的比重，亦甚於十八世紀中期乃至十九世紀。在與洪老師討論後，認為和算相關研究仍有許多發展空間。在其鼓勵之下，筆者期望從知識與社會文化的角度切入，藉此論文對十八世紀至十九世紀的和算發展，作一系統性的論述，並對於整個東亞數學史，特別是中算、東算與和算各自的定位與在地化的數學特色，乃至彼此之間關係，能有更深刻、更宏觀的認識。. 第 1.2 節文獻探討與研究回顧關於江戶時期和算史相關研究，主要可分成下列幾類，其一是視為日本數學史的一部份，並以通史方式著述，其二是以江戶時期為背景，針對單一和算家、單一文本或單一數學主題、數學問題進行研究。此外，還包含了中日數學交流以及和算的文化史與社會史層面。本節裡，將針對 1.和算通史論著；2.和算家與相關著作；3.和算知識範疇；4.中日數學交流 5.關流與最上流間的數學論戰以及 6. 知識論文化等方面，作一簡單探討與回顧。. 1.2.1 和算通史論著烏雲其其格的〈和算史學史述略〉以及徐澤林的〈民族主義與東西數學編史問題〉兩篇論文，9對和算史學史、早期和算史家以及早期和算史的研究作了槪要性的介紹。本小節參考這兩篇論文，簡單回顧早期和算通史著作及和算研究。日本是東亞最早建立的民族國家，西方現代化的學術亦最早在日本獲得傳播與移植，因而以日本民族為主題的傳統數學編史，也最早出現於日本。明治維新全面西化也導致了保護民族文化、宣揚國粹的思潮湧起，進而誘發了和算編史的. 9. 參考烏雲其其格，〈和算史學史述略〉，《自然辯證法研究》，第 16 卷，第 7 期，2000 年，頁 49-53。以及徐澤林，〈民族主義與東西數學編史問題〉，《自然科學史研究》，第 26 卷，第 1 期，2007 年，頁 12-29。 3.

(18) 工作。10早在十八世紀末與十九世紀初期，日本學者便展開了江戶時期日本數學史的研究。首先，1879 年福田理軒（1815-1889）的《和算普通算法玉手箱》所附《本朝算學小傳》、《算學人名補遺》、《關先生研幾算法跋》、《著名曆算家墓誌銘》以及《本朝算學書名志》，是和算史最早的著述，該書對數學家人名、數學著述及刊行書目一一作了介紹。11隨後，和算家川北朝鄰（1841-1919）於 1884 年撰《和算家小傳》，又於 1892 年在《數學協會雜誌》上發表了《本朝數學史料》。 12. 而後，遠藤利貞（1843-1915）之《大日本數學史》與藤原松三郎（1881-1946）之《明治前日本數學史》是和算編史學上兩個重要里程碑。13遠藤利貞幼年受到良好的傳統數學教育，具有深厚的和算基礎，明治初期，在西、和兩派數學的對立格局中轉而學習西算。然而，他在學習過程中卻念念不忘和算，於是開始多方搜集資料，歷時 16 年完成了《大日本數學史》，並於明治二十九年出版。該書主要以編年史形式，依時間先後順序並以和算人物為中心，系統地敘述了日本民族上古至明治時期的重要人物、典籍、事件以天文曆算之成就。14他將和算發展分成下列幾個階段：1.上古的數學（神代至宣化天皇時期）；2.中國數學的採用時期（欽明天皇至慶長、元和年間）；3.日本數學再興時期（慶長、元和年間至延寶年間）；4.日本數學新發時期（延寶年間至明和年間）；5.日本數學高進時期（明和年間至明治 10 年）。此著作也激發了日本對於和算史研究的興趣與熱情。譬如，菊池大麓（1855-1917）在學士院設調查和算史專職，並委託遠藤本人、三上義夫專事和算史調查，為該書作增補修訂，於 1918 年以《增修日本數學史》出版。 15. 另外，藤原松三郎（1881-1946）之《明治前日本數學史》是和算史研究的集大成著作，16該書從日本民族主義立場出發，將和算發展分為三個階段：1.從飛鳥奈良時期到江戶初期，約 1000 年的時間，稱作中國數學攝取時期；2.從延寶天和時期到寶曆初年，約 100 年的時間，稱做日本數學的創建時期；3.從寶曆以後至明治維新，稱做日本數學發展普及時期。本著作以豐富的史料為基礎，以具有代表性的和算家及其著作為中心，著眼和算內容及獨創性的描述，堪稱今日. 10. 參考徐澤林，〈民族主義與東西數學編史問題〉，頁 16。參考烏雲其其格，〈和算史學史述略〉，頁 49。 12 參考徐澤林，〈民族主義與東亞數學編史問題〉，頁 16。徐澤林也認為，雖然這些著述是和算編史的先聲，但還不是現代史學意義的數學編史。 13 徐澤林認為遠藤在編史上雖然做了不少歷史調查，但書中存在大量主觀臆斷性描述，沒有做史料的考證，並且僅聚焦在日本本土數學，而忽視了中國數學。 14 參考烏雲其其格，〈和算史學史述略〉，頁 49。 15 參考徐澤林，〈民族主義與東亞數學編史問題〉，頁 16~17。 16 當時，日本委託帝國學士院，擏學科編纂《明治前日本科學史》，以彰顯日本民族科學發展的軌跡，而《明治前日本數學史》是其中一部。 4 11.

(19) 和算史研究與著述的重要參考文獻。17除了這兩本早期日本數學通史著作的代表著作外，以和算藝道化以及文化層面切研究和算的三上義夫在他與 Smith 於 1914 年完成英文版的日本數學史著作《日本數學史》，使得西方學者有機會了解和算的發展和相關文化。18不過，此書主要側重江戶前期的數學史，對於 19 世紀之後的和算發展，特別是和田寧積分法與表的研究著墨並不深。平山諦等人則在史料整理及內史方面立足於前人基礎取得了進一步的進展。繼藤原松三郎的《明治前日本數學史》之後，平山諦對和算典籍進行了再整理，對《增修日本數學史》、《明治前日本數學史》進行了修訂，並在關孝和的研究上頗有成就，著有多本與關孝和相關的書籍。晚年，平山諦亦對傳教士與早期和算之關係進行了研究，並著《和算的誕生》。19近年來，西方學者針對江戶時期數學史所提出的相關論著，比較有名為 Annick Horiuchi 於 19994 年的著作《江戶時期的日本數學（1600 – 1868）》，20對整個江戶時的和算發展作了較全面性的論述。而後，她又於 2010 年出版了另以本以關孝和、建部賢弘為主的荖作《江戶時期的日本數學（1600 – 1868）：關孝和與建部賢弘的數學研究》，此書標題的跨度涵蓋了整個江戶時期的 1600-1868 年，然就該書內容來看，主要篇幅乃著重於江戶早期關流先驅關孝和與建部賢弘之相關數學成就。21 除了上述和算通史式的著作之外，針對單一和算家、單一著作或單一數學主題的研究，亦是過去和算史研究之大宗，接著，我們繼續回顧相關研究成果。. 1.2.2 和算家與相關著作除了前述和算史研究先輩之外，當時數學家菊池大麓對早期和算史研究產生很大影響。他早年留學英國學習數學，並於 1909 年起任帝國學士院院長直至 1917 年逝世為止。他一方面全面調查、搜集和算資料，並以文部大臣及帝國學士院院長的名義呼籲全社會，特別是和算家，收集和算史籍寄贈學士院或各地圖書館。從明治二十八（1895）年起，菊池大麓陸續發表了關於圓面積、圓弧、圓周率的級數、π 的級數等五篇英文文章，並於 1908 年「東京數學物理學會」召開了「關孝和先生二百年忌年會」。菊池大麓使用現代數學語言翻譯、闡釋和算內容的「理性重建」進行。而史料搜集、考證與向西方介紹日本數學，遂構成了這一時期和算史研究的主要任務。22 17. 參考徐澤林，〈民族主義與東亞數學編史問題〉，頁 18~19。 D. E. Smith, M. Yoshio, A History of Japanese Mathematics. Chicago: Open Court. 1914. 19 參考烏雲其其格，〈和算史學史述略〉，頁 51。 20 Annick Horiuchi, Japanese Mathematics in the Edo Period (1600-1868). Paris, Librairie Philosophique J. VRIN, 1994. 21 Annick Horiuchi, Japanese Mathematics in the Edo Period 1600-1868: A study of the works of Seki Takakazu (?-1708) and Takebe Katahiro (1664-1739). Springer Verlag. 2010. 22 參考烏雲其其格，〈和算史學史述略〉，頁 49~50。 5 18.

(20) 二十世紀 20 至 50 年代是日本和算史研究的鼎盛時期，主要學者包含了林鶴一（1873-1935）、三上義夫（1875-1950）、小倉金之助（1885-1962）、藤原松三郎（1881-1946）、細井淙( 1902- 1961) 、加藤平左衛門（1892-1962）、平山諦( 19041998)等人。其中，林鶴一( 1873- 1935) 是日本東北大學數學系的創始人，是一位數學家出身的和算史家，他主要研究方法是用現代語言闡釋和算成就，他是傳統和算史研究方法的典型代表。他認為和算許多傑多成就均出於「算聖」關孝和，並以內史研究作為主要取向，以純數學家的角度考察了關孝和的研究。繼林鶴一之後，細井淙的和算史研究以思想史見長，著有《岩波數學講座》（1934）、《和算思想的特質》（1942）、《東西數學思想史》（1953）。在這些著作中，細井淙分析、比較了東西方數學的概念體系、思維方法和思想源頭，並在日本特定的文化背景中，探討日本數學思想的特徵與發展過程。藤原松三郎、加藤平左衛門、平山諦等人在前人基礎上取得了進一步的進展，特別是史料整理及內史方面。藤原對中國、朝鮮數學方面作了一些研究，主要表現在《明治前日本數學史》及系列論文《支那數學史研究》中。此外，加藤平左衛門完成了《行列式及圓理》（1941）、《和算研究雜論》（1956）等諸多單一主題的和算研究。如前所述，早期學者在和算史的研究上，主要偏重「內史」的研究，和算史家們廣泛地針對當時重要和算家及相關著述進行分析並翻譯成現代的語言，並利用現代數學語言說明、解釋和算的數學內容與方法。因此，諸如關孝和、建部賢弘、久留島義太、松永良弼、安島直圓等重要和算家的相關算書和重要數學成就，便為早期和算史研究的焦點。23另一方面，三上義夫和小倉金之助則採取外史的觀點，探討文化與社會因素對於和算發展之影響。換言之，早期和算史研究主要包含了兩種價值取向與兩種不同的編史方法。一者是類似數學家的方式看待數學史，參照現代數學觀界定其研究物件、選擇或制定相應的研究方法和編史進路，呼應數學知識的進步史觀。再者旨在揭示和算在社會文化氛圍中的整體發展圖景，主張以日本特有的社會－文化結構作為主要參照系進行研究。其中，三上義夫認為日本社會、政治、經濟等諸因素對和算的發展確實有重要作用，但是，日本民族所具有的大和民族精神和文化特徵，則是造成和算發展模式的因素。由於，當時盛行的數學史工作大都是從數學內部考察的結果，而忽視了它所具有的歷史面向，因此他強調要從文化而非純數學角度理解和算的價值、意義以及和算史研究的方法論問題，並且提出和算藝道發展的論 23. 就目前相關研究成果來看，為數頗豐的日文研究，主要針對江戶時期和算文本中的單一問題作討論，倘若一手文本中留下了該問題的詳細演段與解法，則日本學者傾向以現代的符號來表示、翻譯或解讀該問題的術文與演段過程。然許多和算文本中的問題，皆僅列題、答與術，而未留下想法或解題的過程，此時，有些學者一方面猜測和算家可能的作法，並傾向以現代的數學方法重新解決和算家所提出的問題，或作進一步的推廣與連結。類似的論文相當多，筆者在此不一一列舉。這樣的研究徑路雖然有助於現代讀者快速地瞭解過去和算家提出的問題與解法，除了流於「宣告」和算家的數學成就之外，許多時候，研究中所提供的「現代解」並未完全貼近原文本的內容，或發生過度詮譯與以今觀古、時代誤置的情況。 6.

(21) 述。24三上義夫從和算文化的角度切入，對於關流免許制的發展與變遷多有研究，諸如〈藝術、數學、科學〉、〈關流數學の免許段階の制定と變遷(上)〉、〈關流數學の免許段階の制定と變遷(下)〉、〈關流數學の免許段階の制定と變遷に就いて : 長澤規矩也氏に答ふ〉等論文，都是他的重要究就成果。25 另一方面，有別於三上義夫所重視的文化層面，小倉金之助則更看重社會經濟與數學的聯繫。小倉注重馬克思主義編史學傳統，他力圖將數學的社會性體現於歷史研究中，他討論了社會的意識形態、經濟基礎與數學發展的關係。大矢真一繼承了相關研究。26他的主要研究領域是《塵劫記》以前的日本數學史。他主持覆刻了《塵劫記》並著有《和算以前》。該書鮮明地刻畫出了《塵劫記》之前數學與文學、哲學的關聯及當時數學的發展狀況，深入地討論了和算作為一種學問，在當時的市場性及社會性。27 此外，有關算額的研究亦是和算研究的重點之一。例如著名的網站「算額の館」，28收集了可及的算額，並整理提供許多與和算、算額相關的連結，同時也整理了許多相關研究成果。日本學者 Nobuya Nakamura 等九人著 Japanese Temple Mathematical problems 一書，針對長野縣內所存之算額，運用現代數學術語一一對其內容加以解說。29另外，Fukagawa and Rothman 著 Sacred mathematics 一書， 30 便討論許多日本寺廟中的算額問題，除了用現代符號解說之外，也針對東西方相關問題有所連結。除了日本本土學者，中國學者李儼曾就中算與和算之同的承繼關係進行了論述，其曾計畫對和算史進行全面考察，並搜集了一批和算史文獻。而後，杜石然、沈康身等人也曾涉及到和算史研究。此外，李迪先生收藏了豐富的和算史資料，並指導了徐澤林、馮立昇分別於 1997 年以及 1998 年完成了《和算的中算基礎及與清代數學比較》以及《中日數學關係史》兩篇博士學位論文，近十年來， 31. 24. 參考烏雲其其格的〈和算史學史述略〉與徐澤林的〈民族主義與東西數學編史問題〉。除此之外，他亦與 Smith 完成英文版日本數學史著作：D. E. Smith, M. Yoshio, A History of Japanese Mathematics. Chicago: Open Court. 1914. 26 大矢真一是小倉金之助的助手和學生，並曾聽過三上義夫的課程。 27 參考烏雲其其格的〈和算史學史述略〉與徐澤林的〈民族主義與東西數學編史問題〉。 28 有興趣的讀者可參考下述網站：http://www.wasan.jp/。 29 參考蘇意雯，〈日本寺廟的算額介紹〉，《HPM 通訊》，第 6 卷，第 5 期，2003 年。 30 Fukagawa and Rothman, Sacred mathematics：Japanese temple geometry, New Jersey, Princeton University Press, 2008. 31 例如李儼，〈從中算家的割圓術看和算家的圓理和角術〉，《科學史集刊》，1959(2)，頁 80-125。李儼，〈中算輸入日本的經過〉，《李儼、錢寶琮科學史全集》第八卷，1998，頁 539～558。李儼，〈日算累圓術〉，《李儼、錢寶琮科學史全集》第十卷，1998，頁 254～269。李儼，〈和算家增約術應用的諿明〉，《李儼、錢寶琮科學史全集》第十卷，1998，頁 492～498。李儼，〈附：日算橢圓周術〉，《李儼、錢寶琮科學史全集》第七卷，1998，頁 509～514。李儼，〈從中算家的割圓術看和算家的圓理和角術〉，《李儼、錢寶琮科學史全集》第十卷， 1998，頁 254～269。李儼，〈從中算家的割圓術看和算家的圓理和角術〉，《科學史集刊》，1959 (2) ，頁 80～125。 7 25.

(22) 許多中國學者加入和算研究的行列。特別是徐澤林選譯了十數篇和算重要著作，出版了《和算選粹》與《和算選粹補編》，32除了文本的選譯之外，也簡單地概述了江戶時期和算發展，以及這些和算文本的相關研究成果。近年來，徐澤林進一步整理、收錄了過去研究成果，出版了《和算中源－和算算法及其中算源流》以及《建部賢弘的數學思想》兩本和算著作。33同時，部份中國學者亦從社會文化史的角度考察和算發展，例如烏雲其其格，《和算的發生:東方學術的藝道化發展模式》一書同樣從藝道化的角度，以及從社會文化的動因，探討和算的發展。一方面討論和算的建制化，包含中算的傳入、相關數學基礎與基本問題、和算與其它領域的關係、學術互動的方式、免許制的確立與和算流派的形成，最後也針對關流免許制作一較深刻的探討。另外，中國學者徐澤林在算額上的研究，乃至張建偉對於〈關孝和與關流學派〉的考察與研究，皆有所貢獻。34 除了前人的研究成果外，和算家遺留的重要一手文獻當然是本研究關切的重點。如表 1.2.1 所示，筆者整理了目前可及的三十餘本關流重要一手文本，35這些一手文獻的相關版本，主要包含來自於《和算選粹》與《和算選粹補編》的徐譯版，以及來自東北大學圖書館電子資料庫中的電子化版本。36 表 1.2.1 本研究中所參考的關流重要和算著作和算家. 著作. 刊刻年代. 版本. 關孝和. 《發微算法》. 1674 年. 徐譯版. 《三部抄》：《解見題之法》《解隱題之法》《解伏題之法》《七部書》：《開方翻變之法》《題術辨議之法》 32. 徐譯版 1683 年 1685 年 1683 年東北版 1685 年 1685 年. 徐澤林，《和算選粹》一書，選譯了關孝和的《發微算法》、《三部抄》、《括要算法》，建部弘，《綴術算經》、…、小出兼政的《圓理算經》等十多本重要和算著作。而徐澤林，《和算選粹補編》一書補前書之遺株，選譯了包含今村知商的《豎亥錄》、村松茂清的《算俎》、…、齋藤宜義的《算法圓理鑑》等十多本和算著作。 33 徐澤林的《和算中源-和算算法及其中算源流》一書系統性地收錄、整理了他過去在和算方面的研究成果，而《建部賢弘的數學思想》一書則為徐澤林、周暢與夏青共同著作。 34 例如徐澤林，〈江戶時代的算額與日本中學數學教育〉，《數學傳播》，第 31 卷 3 期，頁 70-78。張建偉，〈關孝和與關流學派〉，《內蒙古師範大學學報(自然科學漢文版) 》，第 35 卷，第 1 期，頁 123-126，2006 年 35 另外 30 餘本與十八世末期關流與最上流論戰相關文本於第 1.2.5 節中再作介紹。 36 東北大學圖書館狩野文庫是和算史資料最集中的地方，所收錄的電子化和算文本相當豐富而完整，其中包含了狩野亨吉(1865~1942)、林鶴一、藤原松三郎等人的收藏，占日本全國和算資料約 2/3。參考徐澤林，《和算選粹》，頁 66。以下簡稱此版為東北版，相關電子資料庫可參考:http://dbr.library.tohoku.ac.jp/infolib/meta_pub/G9200001CROSS。 8.

(23) 《病題明致之法》. 1685 年. 《方陣之法‧圓攢之法》《算脫之法‧驗符之法》《求積》《球闕變形草》. 1683 年 1683 年時間不詳時間不詳. 《括要算法》. 1712 年. 徐譯版. 關孝和、建部賢弘、建部賢明. 《大成算經》. 1711 年. 東北版. 建部賢弘. 《綴術算經》. 1722 年. 徐譯版. 蜂屋定章. 《圓理發起》. 1728 年. 東北版. 久留島義太. 《久氏弧背草》. 時間不詳. 徐譯版. 《久氏遺稿天之卷》. 時間不詳. 徐譯版. 《平方零約術》. 1726 年. 徐譯版. 《久留島極數》. 時間不詳. 徐譯版. 《立圓率》. 1726 年. 徐譯版. 《太陰率》. 1738 年. 徐譯版. 《方圓算經》. 1739 年. 徐譯版. 《算法綴術草》. 1740 年. 徐譯版. 《方圓雜算》. 時間不詳. 徐譯版. 《圓周率》. 時間不詳. 徐譯版. 有馬賴徸. 《拾璣算法》. 1767 年. 東北版. 藤田貞資. 《精要算法》. 1781 年. 東北版. 藤田貞資與藤田嘉言父子. 《神壁算法》. 1789 年. 東北版. 《續神壁算法》. 1797 年. 東北版. 《增刻神壁算法》. 1806 年. 東北版. 《綴術括法》. 1785 年. 徐譯版. 《圓柱穿空圓術》. 1794 年. 徐譯版. 松永良弼. 安島直圓. 《圓柱穿空圓術起源》. 徐譯版. 《不朽算法》. 1799 年. 徐譯版. 《弧背術解》. 1828 年. 徐譯版. 千葉胤秀. 《算法新書》. 1830 年. 東北版. 齋藤宜義. 《算法圓理鑑》. 1834 年. 徐譯版. 小出兼政. 《圓理算經》. 1842 年. 徐譯版. 從過去學者們對和算家與相關著作的研究來看，主要以關流奠基者關孝和與建部賢弘為大宗。這些研究主要著重於此二人的生平、傳記以及算學成就，例如. 9.