建部賢弘生平
建部賢弘，幼名源右衛門，初名賢秀，賢行，源之進，後改名彥次郎，號不 休。他出生於德川幕府的文書世家，在武士世襲制度下，賢雄、賢明、賢弘遂供 職於幕府。105建部賢弘 13 歲時，與其兄賢雄、賢明一道師從關孝和學算學。建 部賢弘於元祿三年(1690 年)被過繼給甲府藩主德川綱豐的家臣北條源五右衛門 做養子，改名源之進，元祿五年受召於德川綱豐，從此也加深了建部賢弘與德川 幕府的關係。1716 年，八代將軍德川吉宗繼位後，建部被列為寄合，得到吉宗 的信任，擔任幕府天文學的顧問。而後，1719 年，奉吉宗之命測繪日本全國地 圖，1723 年，完成全國地圖的測繪工作，並於 1725 年因此受賞。另一方面，由 於改曆的需要，德川吉宗也在建部和其弟子中根元圭建議下頒佈緩禁令，允許西 方天文曆算及測繪方面的書的書籍輸入日本。由上述 不難發現建部賢弘受德川
105 祖父建部昌興為德川家康（1543-1616）的右筆，父親建部直桓為德川家光的右筆。建部直桓 育有四子，分別為長子建部賢雄（1654-1723）、次子建部賢明（1661-1716）、三子建部賢弘、
末子建部賢充（後來成為賢明的養子）。其中「右筆」為武家職名，侍奉貴族與專掌公函之書寫。
參考徐澤林，《和算選粹》，頁 252 以及林美杏，《建部賢弘之研究-以《綴術算經》為例》，2013。
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吉宗之重用，以及他們彼此的密切關係。106
建部賢弘在其早年的數學學習生涯，刊刻了三本書，包含 1683 年著《研幾 算法》（解答《數學乘除往來》當中的遺題），接著，於 1685 年著《發微算法演 段諺解》，以及 1690 年著《算學啟蒙諺解大成》－分別為關孝和的《發微算法》
以及朱世傑《算學啟蒙》作諺解。從 1690 年代開始，建部賢弘投入了《大成算 經》的編著工作，直至 1710 年此書終告完工。上述著作目的主要是為他人著作 諺解，或者完成關流內部數學知識的整理工作，一直到 1722 年成書的《綴術算 經》，才是建部賢弘最重要的代表之作。該書內容承襲先人研究成果，並多有創 新突破性的觀點與想法，影響了往後的和算發展。建部賢弘除了藉此書闡明其數 學學習觀、數學知識分類以及數學研究的方法，他並將此書獻給德川吉宗將軍。
其它諸如《辰刻愚考》(1722)、《歲周考》(1725)、《累約術》（1727-1728，
由中根元壓刪定）等建部賢弘主要的數學著作，皆成書於 1722 年之後。主要是 因為 1721 年任職於本丸與西丸兩城之御留居守，雖為布衣，實為閒職，也因為 這段閒逸時間，得以整理自己的數學研究成果。107以下對《綴術算經》的內容作 一簡單介紹與探討。
《綴術算經》主要內容
《綴術算經》是建部賢弘於五十九歲時的著作，雖被譽為和算史上最傑出的 數學作品之一，然並未刊刻，是以抄本傳世。其內容共包含以下五部份：108
．自序。
．探法則四條：探乘除法，第一；探立元法，第二；探約分法，第三；探招 差術，第四。
．探術理四條：探織工重互換術，第五；探直堡求極積術，第六；探算脫術，
第七；探求球面積術，第八；
．探圓數四條：探碎抹數，第九；探開平方數，第十；探圓數，第十一；探 弧數，第十二。
．自質說一條。
本書一方面展現了建部賢弘對數學與數學研究的觀點，也顯現出其他數學教
106 有關建部賢弘的詳細生平可參考林美杏，《建部賢弘之研究-以《綴術算經》為例》，2013。以 及徐澤林，〈綴術算經提要〉，收錄《和算選粹》，頁 252-255。
107 參考徐澤林，〈綴術算經提要〉，收錄《和算選粹》，頁 252-253。
108 本研究中，主要參考徐澤林，《和算選粹》的翻譯版。其翻譯過程所採用的底本為內閣文
庫本，並參考狩野文庫本《綴術算經》與東大本《建部賢弘綴術真本》，以及現代鉛印本《日本
哲學全書》本。
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育的關懷，同時，他在「探圓數」裡，利用「累遍增約術」求得圓周率準確到小 數點後 40 位的近似值。他也在「探弧數」裡將弧長表示成潛在包含了無窮多項 之和的無窮級數形式，從而使得和算家對於弧長研究上取得重大的突破。而這樣 的「綴術」，無論是研究方法或無窮展開式，都成為往後和算家研究圓、弧、矢、
弦等圓理問題的重要工具與「流行」的風潮。109建部賢弘在《綴術算經》自序中 便開宗明義地點出書名之意義，以及其著作本書之主要旨趣與目的：
綴術者，綴而探索、以會得術理者也。凡探索之法，有據理者，又有據數者。
……故探而可立法則，而可觀察術理、探而可計圓數。仍立法、數、術三等，
別為數理之據。舉一十二條術例，述探索之大意，以為綴術之證。110 同時，他也在自序中，對算學研究活動作了簡單分類：「夫算，以立法則、究術 理、計員數為事。」其中「法則」即程序性的計算法則（包含乘除法、約分之法、
招差之法等）；「術理」一般可視為機械性的演算法或公式；而「員數」即指圓周 長、弧長、體積、開平方等數學問題的數值。因此，本書在問題順序的安排上，
他便依此分類架構，將所提出的十二個問題分成探法則、探術理與探員數三類，
以下就書中所列十二個問題與所對應的研究方法，作一算單介紹與整理。
(1) 探法則四條
首先，探乘除法包含因乘與歸除，與整數的乘法與除法有關，建部賢弘採取 的方式為先「碎探而得真數，後探括術」，其中也提到了「九九乘法」與「九歸 除法」相關記憶法則。接著，探立元之法，則討論了以立元、列方程式的解題方 法，並讚揚了立元之法的妙用。探約分術討論了分數的約分化簡，他先介紹「每 增一算，至分子之數迄，逐一為約法，約之而驗」的方式，逐一檢查各自然數是 否為公因數，建立分數約分之方法。而後，又引入輾轉相除法，「以分母分子互 相去」來探索等數的方式來解決約分問題，111此外，他也提出約分之術的重要性：
凡萬題萬術，皆言員數之際，或不離約分之事，乃至擴充其術，依題問之趣 意，諸約之去，課分之屬，雖其等甚多，皆本約分，不云不兼互去之術。112 最後，他也以「右約分法互去之術最簡易也」表達他對「輾轉相除法」的推崇。
至於探招差術，則以四角尖垛的求和問題為例，透過「碎設同類而求數，據
109 自建部賢弘之後，包含松永良弼、久留島義太、蜂屋定章等人繼承了其研究成果，將許多圓
理問題的術文，表示成無窮級數和的形式，同時松永良弼也發展出開方綴術(指數為有理數的二 項展開式)。往後包含圓、弧、矢、弦以及各類穿去積相關問題的術文，也多表示成無窮級數和 的形式。
110 建部賢弘，《綴術算經》，自序。引自徐澤林，《和算選粹》，頁 264。
111 等數即最大公因數。
112 建部賢弘，《綴術算經》。引自徐澤林，《和算選粹》，頁 269。
40 別為 1.001 尺、1.00001 尺、1.000001 尺的球體積，再求這三個球體積與直徑 1 尺之球體積之差，計算出「球皮」的體積，除以厚度球表面積近似值，並提出「隨
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9 674308 1696
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14 26176293 1419
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逆順皆貫於綴術。故探而可立法則，探而可察術理，探而可計員數。119 意即算學研究的過程中，若依據「理」求得術文（演算法），再依此術文計算求 得所求數值，這是屬於順向的研究方法。另一方面，若依據對數值的探索求得術 文（演算法），再根據術文（演算法）來研究背後的「理」，則是屬於逆向的研究 方法。這兩種方法均能貫徹綴術的本質精神。綜合上述三類數學知識活動以及順 逆兩種研究方法，可得到圖 2.2.1 的關係，其中，由上而下的研究過程屬於順向 的思路，而由下而上的研究過程則屬於逆向的思路。
理 法 術 員 則 理 數
數
圖 2.2.1 建部賢弘之算學研究徑路圖
對算學研究與探索方式分類之後，建部賢弘進一步表明著作本書的意旨，他 依據立法則、究術理以及計員數三類數學知識活動，共舉出十二個例子，一方面 說明這三類數學知識活動之意，並且說明如何「綴而探索、以會得術理」。建部 也在「探乘除法」的評論中，討論到依術之順逆進行研究的重要性：
凡算法，止於察理求數。求數，本於碎抹；施術，以察理為要，二者本相因 而成法，然以理不極盡不可得，必有滯於事；以數不究盡不可得，必有惑於 理。何者，如不料術之順逆，而萬術皆碎抹求，則於算之法則無功，於順術，
停滯而不得；又，若不探而悉從理直得，於逆術無理之據而難會。故料術之 順逆，詳理之據，順形質、察法數之盡與不盡而玄探者，無不可會之法， 無 不可得之數乎。120
這也表示，建部賢弘在算學研究的過程中，強調掌握適當的探索方法。面對問題 時，首先，考量術理之根據，並且必須依據圖形的性質，瞭解方法或數值之本質 為盡或不盡，121從而找尋適合的思路，並據此採取順向或逆向的探索方式，才不
119 建部賢弘，《綴術算經》，自序。引自徐澤林，《和算選粹》，頁 264。
120 建部賢弘，《綴術算經》。引自徐澤林，《和算選粹》，頁 266-267。
121 在探弧數之中，建部賢弘提到：「蓋數有盡、有不盡；術有盡、有不盡；質有盡、有不盡。如 所謂四之一、五之一，數之盡也；三之一、七之一，數之不盡也。如加減因乘，術之盡也；如歸 除開方，術之不盡也。如方圖直積，質之盡也；如圓周弧積，質之不盡也。」由此來看，盡者多 為有限步驟、有限計算，而不盡者則涉及了無限。
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會無功或停滯而不得，方能事半功倍，萬法萬數皆可得。如表 2.2.2 所示，筆者 考察並整理了建部賢弘《綴術算經》各個問題以及相對應的研究方法，他針對立 法則、究術理、計員數三類問題，各舉據數探和據理探之實例，說明如何從數學 研究。122
表 2.2.2 建部賢弘《綴術算經》各問題研究方法
問題 解題方法 探究方式
1 探乘除法 因乘、歸除 碎而求術，據理探法 2 探立元之法 立元法則 據理探法
1 探乘除法 因乘、歸除 碎而求術，據理探法 2 探立元之法 立元法則 據理探法