圓積率 7. 853981633974 有奇
2.3.5 安島直圓及其算學成就
十八世紀末期，關流與最上流的這場論戰，主要針對舊有問題以及問題之解 術進行討論，會田安明主要依據當時和算社群對於數學知識（題與術）之價值判 準，評論《精要算法》以及關流一系列書籍中的病題、邪術、迂遠術等缺失。然 而，藤田貞資著《精要算法》乃至十九世紀初期這段時間裡，除了關流與最上流 這場長達 20 年的數學論戰之外，在算學研究上最重要且最具代表性的人物要屬 安島直圓（Ajima Naonobum, 1732 - 1789）。
安島直圓通稱萬藏，字伯規，號南山，生於江戶森元町新莊藩，父親是羽前 新莊藩戶澤家武士，父親歿後，安島世襲為該藩勘定吟味，工作內容與幕藩財政 預算有關。而後於天明五年（1785 年）晉為郡奉行。423在算學的學習經歷上，
423 參考學士院編，《明治前日本數學史》，第四卷，頁 199。郡奉行相當於一縣之長。
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1 1
0 1 2 3 4
( n ) ...
n n
A a r a a a a a
= 1 1 2 2 3 3 4
1 2 3 4
( )( r p ) ( )( r p ) ( )( r p ) ( )( r p )...
a a a a a
A q A q A q A q
= 1 2 1 2 3 1 2 3
1 1 2 1 2 3
( )( r p ) ( ) ( r p )( p ) ( ) ( r p )( p )( p ) ...
a a a a
A q A q q A q q q
同樣地，針對 n = 2、3、…、8 的情況，他以表的方式整理了各差乘率與除 率－上述公式中的
p 與
kq －其中
kq
k k n
、p
k kn
(n
1)。上述包含無窮多項的二項展開式即為「開方綴術」，一方面據此可求任意實 數開 n 次方之近似值n A，另一方面，安島直圓等和算家也將展開式用於處理圓 弧長、穿去積等圓理問題過程中。十九世紀之後，和田寧亦透過表的方式將此開 方綴術作進一步的推廣，並同樣用於各類圓理問題的求解過程中。
《弧背術解》中的分割求和積分法
圓與弧形相關研究一直是關流和算家關切的重點，繼十八世紀中期松永良弼 與久留島義太之後，安島直圓在弧長公式的研究上提出了新方法，並取得重要的 突破。安島直圓所著的《弧背術解》一書，主要處理了求弧長問題，書中處理方 式是先將帶直弧形分割成若干長方形，藉以求出帶直弧形的面積（如圖 2.3.12 之右圖），再利用「面積與弧長間的關係」從面積推出弧長。428
圖 2.3.12 安島直圓以矩形面積和」逼近帶直弧積
428 此徑路同於劉徽先證明圓面積公式後，再割圓求圓周長。
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除了第 10 問與第 13 問之外，皆為平面上多邊形容圓或容橢圓問題，第 30 問至 第 34 問則為平面上圓內、圓外容累圓相關問題。其它第 17 問至第 21 問、第 24 問至第 27 問第 27 問之後皆為空間中的幾何問題，其中，第 24 問與第 25 問為大 球容若干小球之容累球問題，第 26 問與第 27 問為內弧錐與外弧錐容累球問題。
最後的第 35 個問題為「圓柱穿去空圓」求其穿去積，書中僅給出此問題的術文，
但未提出解此問題的方法。而相關解法安島直圓另外列於《圓柱穿空圓術》與《圓 柱穿空圓術起源》兩本書中，容後討論。
綜合來看，上卷 34 問中除了第 1 問與第 2 問之外都與幾何有關，同時，容 圓或容球類問題是《不朽算法》一書最關心的問題。書中安島直圓也偏好提出「一 般性」的問題，例如第 12 問的三角形容圓問題以探求「求等圓徑通術」為目標，
第 19 問則是奇角柱截積問題，第 23 問「問側圓數起於三個、至於數十百個，求 短徑術」也可看出他追求的是一般性的術文。此外，第 33 問與第 34 問容累圓問 題，皆是求「容圓術若干，求各圓徑通術」，同樣為了解決一般性的問題。此外，
即使問題中提供了具體的數字或單位，但安島直圓也傾向提出抽象性的術文。
《不朽算法》〈上卷〉的內容主要是問題與答術集的形式，該書〈下卷〉則 與開方有關。下卷開宗明義提到：「或曰：十二問三斜內容等圓術，界斜數十，
則開方乘數亦數十乘方，得商數不易，可謂無用之術乎。433」亦即在不滿意舊有 開方術的驅使之下，安島直圓進一步探求新的開方法。而他的新方法，主要先造 出一個指數表（如圖 2.3.13 所示為《不朽算法》〈下〉數表的一部份），該表包含 了10n101、10n102、…10n1012的近似值，其中 n 為 1 至 9 的自然數。利用此表搭 配與指對數有關的性質，可較快速地求得實數開高次方之值。
圖 2.3.13《不朽算法》書影－〈下卷〉指數表 本段術文的最後，安島進一步對此方法評論道：「別雖有依綴術得開方商數，
乘數多者，則諸數亦及繁多，故不載之。」而這裡的綴術即為開方綴術，即是利 用二項展開式之冪級數公式進行開方，然安島認為以查表開方比起利用開方綴術
433 安島直圓，《不朽算法》下卷，引自徐澤林，《和算選粹補編》，頁 416。
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