第六章 結論與建議
6.2 建議
(1) 由於水頭洩降量與地層下陷量變化之尺度差異甚大，而不同土層間地質參數亦 可能具有差異極大之數值，導致不同限制式之係數具有極大之變化範圍，當管 理區域、管理期或控制點增多時，可能造成最佳化演算法求解之困難，建議未 來可嘗試將地質參數以及目標函數與限制式中之變數加以無因次化，以增加限 制式係數尺度之均勻度。
(2) 雖然最佳化演算計算時間很短，但當管理問題趨於複雜時，例如管理期、抽水 井與控制點之增加，最佳化演算可能面臨無法收斂之現象，建議未來可嘗試以 遺傳演算法取代 B&B，亦可增加模式之實用性。
(3) 目前本研究係假設在非侷限含水層中，水頭洩降量遠小於飽和含水層之厚度，
然此假設並不一定符合抽水井附近水頭洩降之實際現象，因此未來在應用時，
可考慮以 Maddock (1974)之研究修正單位響應係數之數值以符合實際情形。
(4) 以 CCP 建立之序率管理模式雖能提供決策者需求可靠度之考量，然其為各別 控制點之需求可靠度，並不代表地下水系統整體之可靠度。建議未來可分析各 控制點間(水頭洩降量與地層下陷量)之相關性，將 CCP 之機率限制式進一步 擴展為所有控制點地層下陷(或水頭洩降)皆不超過最大允許值之機率必須大 於需求可靠度。
(5) 由於一維土體壓密方程式中 G 在原點不可微分，必須將 G 之期望值與變異數 作式(58)與式(59)之假設，導致序率管理模式為 Non-smooth Optimization 或 MINLP(以二進位變數轉換)之問題。由於 G 之真實期望值與變異數僅為水頭洩 降量期望值與變異數之函數，未來可嘗試以類神經網路訓練足以代表式(56)與
第六章 結論與建議
式(57)之方程式，以消除 Error Function 在最佳化演算時之困擾，而類神經網 路訓練之樣本則可以 LHS 對水頭洩降量之期望值與變異數進行取樣，再配合 數值積分加以獲得。
(6) 建議未來可將本研究所發展之地下水管理模式與地表水管理模式加以結合，因 地層下陷之控制或預防除了從地下水抽取管制開始外，亦須地表水聯合支援或 適當補注於地下水系統，始能達到最佳之水資源產出量。
(7) 本研究管理模式於濁水溪沖積扇之應用中，管理方案之研擬係依據 2004 年以 前劃設之地下水管制區與嚴重地層下陷區，建議未來可採用 2004 年以後劃設 之資料重新檢討，如此亦可探討地下水管制區與嚴重地層下陷區之增加對地下 水管理上之影響。
(8) 本研究管理模式於濁水溪沖積扇之案例設定與模擬結果僅為模式應用之示 範，未來於實際應用時，建議可從正向之角度擬定管理策略，例如以水資源供 需之條件，利用管理型態為最小化地層下陷量之管理模式推求最佳抽水分布與 可能之地層下陷量，再進一步分析地層下陷帶來之影響，如此則管理策略亦較 容易為大眾所接受。
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附錄一 Branch and Bound 方法簡介
附錄一 Branch and Bound 方法簡介
無論是 MILP 或 MINLP 之問題，在利用 B&B 方法求解時其觀念與流程皆相 同，因此本文將以 MILP 為例說明 B&B 方法。MILP 之問題可以下列之最佳化模 式表示：
Maximize ctx+dty (附 1) Subject to Ax+By ≤b (附 2)
≥0
x (附 3)
{ }
0,1∈
y (附 4)
其中 x 為包含 n 個連續決策變數組成之向量；y 為包含 q 個 0 或 1 決策變數 組成之向量；c 與 d 為目標函數係數向量；A 與 B 為限制式係數矩陣； b 為常數。
求解上述 MILP 問題最直觀之方法為將 0-1 變數 y 以樹狀圖展開，例如若 q 為 3，
則樹狀圖可展開如附圖 1 所示，接著再以窮舉法(Brute-Force)計算樹狀圖最底層 Level 3 之八個線性規劃問題以找出最佳解。窮舉法之缺點在於相當費時，且計算 時間隨 0-1 變數增多而呈指數之成長，B&B 方法同樣是根據樹狀圖之概念，但經 由分離(Separation)、放寬(Relaxation)與瞭解(Fathoming)等步驟，大幅縮短從樹狀 圖找出最佳解之時間。以下將以附圖 1 為例，簡述此三步驟之意義。
分離
令式(附 1)至式(附 4)之 MILP 問題可表示為(P)，且其可行解可表示為 FS(P)，
若以下二項條件成立，則子問題(Subproblems)(P1)、(P2)、…、(Pn)可定義為(P)之 分離。
(1) 任何子問題之可行解亦為(P)之可行解；
(2) 每一個(P)之可行解僅是其中一個子問題之可行解。
由以上定義可知，附圖 1 中除了最上層之節點外，任一節點皆可視為是其上 一層節點之分離。B&B 方法求解 MILP 問題之第一步即在將(P)分離為(P )( y = 0)
與(P2)( y1 = 1)兩個子問題，如附圖 1(○1 與○8 )所示。
放寬
若(P)之可行解屬於另一最佳化問題(RP)可行解之子集合，則(RP)稱為(P)之放 寬，其意義可表示如下：
( )
P FS( )
RPFS ⊆ (附 4)
藉由以上之定義，吾人可知必具有以下之特徵：
(1) 若(RP)無可行解，則(P)亦不存在可行解。
(2) (P)之最佳解必定小於或等於(RP)之最佳解。
(3) 若(RP)之最佳解屬於(P)之可行解，則其亦必為(P)之最佳解。
在對(P)進行分離後，B&B 方法之第二步為將子問題放寬，例如附圖 1 中之 子 問 題 (P1) ， 由 於 已 令 y1 = 0 ， 吾 人 可 將 其 餘 0-1 變 數 之 限 制 式 替 換 為
n i
yi 1, 2,K
0≤ ≤ = ，得到放寬後之子問題(RP1)，且(RP1)可以傳統之線性規劃加以 求解。
B&B 方法主要是依附圖 1 中由上而下再由左至右之分支順序(即附圖 1 中圓 圈內數字)，重複利用前述分離與放寬之行為計算放寬後問題之最佳解，並判別此 最佳解是否符合 y 必須為 0-1 變數之限制，然必須有一邏輯加以分析何種情況下 可停止分支之演算，否則將與窮舉法並無二致。以下介紹此邏輯之意義。
瞭解
定義(CS)為 B&B 求解過程中正在處理之子問題，例如附圖 1 中將(P)分離為 (P1)與(P2)後，接著要對(P1)進行放寬，因此在此階段(P1)可定義為(CS)。若下述二 項條件中任一項被滿足，則吾人定義(CS)被徹底瞭解。
(1) 確定(CS)之所有可行解皆不會大於曾被找到之可行解中最大者。
(2) 找到(CS)之最佳解。
若(CS)被徹底瞭解，則吾人將不必對該(CS)再進行分離之動作。例如附圖 1 中若(P1)為(CS)，且被判定為徹底瞭解，則吾人將不必再進行○2 與○5 之分離(因此
附錄一 Branch and Bound 方法簡介
亦不必處理○3 ○4 ○6 ○7 之分離)，可繼續處理子問題(P2)並定義(P2)為(CS)。
首先定義(RCS)為(CS)放寬後之問題；zRCS 為(RCS)之最佳解；zCS 為(CS)之最 佳解以及 z*為曾被找到之可行解中最大者(若尚無求得可行解則可令 z*為負無限 大)，則一般判定(CS)是否被徹底瞭解之方法有以下三種：
(1) 若(RCS)並無可行解，依據前段放寬之敘述可知(CS)必無可行解，則(CS) 可被視為徹底瞭解。
(2) 若(RCS)之最佳解小於或等於 z*，則(CS)及其分支以下之子問題必不會有 大於 z*之可行解，則(CS)可被視為徹底瞭解。
(3) 若(RCS)之最佳解亦為(CS)之可行解(y 為 0-1 變數)，則其必為(CS)之最佳 解，(CS)可被視為徹底瞭解。
當(RCS)不符合上述任一項條件時，吾人必須繼續對(CS)進行分離，並設定任 一分離後之子問題為(CS)再重複是否被徹底瞭解之判定工作。
總結以上所述，以附圖 1 為例，B&B 方法之流程可表示為：
(1) 對 MILP 問題(P)進行分離，將(P1)與(P2)列於候選子問題名單中，同時設 定 z*為負無限大。
(2) 若候選子問題名單內並無任何子問題，則計算中止，(P)之最佳解為 z*， 若 z*仍為負無限大，則(P)並無可行解。
(3) 從候選子問題名單內選擇任一子問題並令其為(CS)。
(4) 對(CS)進行放寬得到(RCS)，並求取(RCS)之最佳解 zRCS。 (5) 判別(CS)是否被徹底瞭解：
1. 若(RCS)無可行解，則(CS)必無可行解，跳至步驟(2)。
2. 若(RCS)之最佳解小於或等於 z*，跳至步驟(2)。
3. 若(RCS)之最佳解亦為(CS)之可行解，則其必為(CS)之最佳解：
(a) 若 zRCS大於 z*，令 z*等於 zRCS，跳至步驟(2)。
(b) 若 zRCS小於等於 z*，跳至步驟(2)。
(6) 對(CS)進行分離，並增加分離後之子問題至候選子問題名單內，跳至步驟 (2)。
附錄二 一階變異數分析法推導地層下陷量統計特性
附錄二 一階變異數分析法推導地層下陷量統計特性
附錄三 G 動差母函數推導
附錄三 G 動差母函數推導 根據 Liu and Spiegel (1999)，對於指數的二次多項式次方函數之定積分可表 示為：