定率地下水管理模式

定率地下水管理模式係指將模式中所需各項參數(包含地質與水文參數等)設 定為已知且確定之數值，而不考慮其不確定性，一般而言，建構定率模式最簡單 之方法為試誤法(Trial-and-Error)。試誤法之精神在事先擬定好(或以亂數選取)數 種不同之決策變數組合(即管理策略)，並利用相關公式或數值模式模擬地下水系 統在不同策略下之反應，以評估何種策略既可符合管理者設定之限制條件(例如水 頭洩降量或地下水需求量)，又可達到最佳之目標函數值，試誤法之應用流程如圖 2 所示。Onta and Gupta (1995)曾以地層下陷為主要考量因子，配合試誤法建立地 下 水 管 理 模 式 ， 其 中 用 以 模 擬 地 層 下 陷 量 之 數 值 模 式 係 以 三 維 地 下 水 流 (MODFLOW)與垂向一維土體壓密方程式耦合之觀念建立。而在抽水量管理上則 依據公用水井、私用水井、水資源需求量與季節變化等條件，研擬了 5 個不同之 管理策略，利用數值模式模擬不同策略下，1991 年至 2010 年間地層下陷量之變 化，以評估泰國中部平原合宜之地下水抽取策略。

試誤法之優點在觀念直接簡單，僅需要一套可模擬地下水系統變化之公式或 數值模式，而缺點則為試誤的過程相當耗費模擬之時間，尤其當系統龐大決策變 數眾多時更為明顯，且求得之最佳策略並無法保證其接近全域(Global)或局部 (Local)最佳解。

為了克服上述試誤法在搜尋最佳策略上之缺點，Deninger (1970)首先採用了 地下水流模擬結合最佳化模式之觀點(Simulation-Optimization Approach)來建立地 下水管理模式，其應用流程如圖 3 所示。一般而言，以此觀點建構地下水管理模 式之方法可概分為嵌入法(Embedding Method)(Aguado and Remson, 1974, 1980)以 及響應矩陣法(Response Matrix Method)(Gorelick, 1983)兩大類，其差別僅在於圖 3 中，將管理策略表示為最佳化模式方法之不同。以管理目的為地下水量而言，嵌 入法係將地下水流控制方程式(Ground Water Flow Equation)以數值方法離散化 後，直接將離散方程式做為最佳化模式中之限制式，再以線性規劃或非線性規劃

第一章 緒論

Remson (1974)首先將嵌入法應用於地下水量管理之問題，其限制式係利用有限差 分法，將一維與二維之穩態(Steady State)、動態(Transient State)地下水流方程式加 以離散化後產生，模式之目的則在尋找當管理區域內各點水頭不超過允許洩降量 下之最大可抽水量。應用嵌入法求解地下水管理問題者甚多，如 Willis and Neuman (1977)、Molz and Bell (1977)、Remson and Gorelick (1980)、Peralta et al. (1991)、

Duckstein et al. (1994)以及 Keshari et al. (1996)等。

由於嵌入法直接將地下水流方程式離散化後做為最佳化模式之限制式，水頭 與抽水量之關係以差分式表示，因此限制式所組成之矩陣可視為具有模擬地下水 流功能之數值模式，故以嵌入法建立之地下水管理模式不僅具有直觀之物理意 義，且理論上可適用於各種水量或水質之管理問題。然亦由於嵌入法之特質，造 成管理區域內之每一數值格網點於每一時刻之狀態變數，不管其是否為管理者所 感興趣之點(即控制點，Control Point)，皆必須納入限制式中考量，因此對於大區 域動態的問題，限制式組成之矩陣將會異常龐大，造成計算耗時甚至蒐尋過程無 法收斂之現象。為了避免矩陣過於龐大之問題，Alley et al., (1976)提出時間拆解 的概念，分別循序求解每一時刻之最佳化模式，但其亦指出以此方法求得之最佳 解僅能代表該時刻，而無法計算全時(Whole Time)之最佳操作策略。

以 Simulation-Optimization 概念建構地下水管理模式之第二種方法為響應矩 陣法。響應矩陣法係利用單位響應係數(Unit Response Coefficients)的概念，先求 出管理區域內某一控制點因為任一口井抽取一單位地下水造成之水頭洩降量(此 洩降量即為單位響應係數)，再根據疊加法(Superposition)與線性系統理論(Linear System Theory)來建構抽水量與水頭洩降量之線性關係式，以作為最佳化模式中 之限制式。響應矩陣法最早是利用於石油工業中，用以模擬油井壓力變化對油田 內壓力分佈之影響，由於油井對油田壓力變化與抽水井對含水層水頭變化之物理 現象相似，因此 Deninger (1970)首先將響應矩陣法的概念應用於地下水管理模式 中，其利用希斯方程式(Theis equation)求解單位響應係數。此外，利用響應矩陣 法以求解地下水優化問題者甚多，如 Maddock and Haimes (1975)、Haimes and Dreizin (1977)、Heidari (1982)、Colarullo et al. (1984)、Reichard (1987)、Peralta et

al. (1988, 1990)以及李振誥(2000)等。

由於響應矩陣法引用線性疊加概念，其優點在於僅需要先行計算控制點之單 位響應係數，最佳化模式中僅包含控制點之限制條件，因此相較於嵌入法，其限 制式所組成之矩陣較小，特別適合應用於大區域且動態之問題，然其原則上只能 適用於當地下水流控制方程式符合線性系統之情況，例如侷限含水層(Confined Aquifer)，而在非侷限含水層(Unconfined Aquifer)由於抽水造成地下水位之降低，

流通係數(Transmissivity)為時間之函數，導致其水流控制方程式形成非線性系 統。為了克服響應矩陣法在非侷限含水層之限制，Maddock (1974)由 Boussinesq 方程式出發，藉由擾動理論(Perturbation Theory)之分析求出單位響應係數在非侷 限含水層可表示為一無窮之冪級數(Power Series)，而當飽和含水層厚度遠大於水 位洩降時，可忽略級數中之高次項。Danskin and Gorelick (1985)則採用疊代求解 步驟，重複修正單位響應係數之值，並與地下水模式模擬之結果比較直到收斂。

無論是嵌入法或是響應矩陣法，此種結合數值模擬與最佳化模式之觀念，不 僅克服了試誤法最佳解求得不易之缺點，且已廣泛地應用於地下水管理模式之建 置與發展上，相關研究可參考 Gorelick (1983)所做之完整回顧，然在眾多之研究 中，僅極少數有將地層下陷之影響納入考量。Larson et al. (2001)利用響應矩陣法 建立以最大可抽水量為目標函數，地下水位為限制條件之地下水管理模式，並將 其應用於美國加州聖喬昆谷(The San Joaquin Valley)。不同於以往之研究，其在地 下水位之限制條件中加入了地層下陷之考量，即限制水頭在地下水抽取過程中，

不 可 低 於 預 壓 密 水 頭 (Preconsolidation Head) ， 以 避 免 土 體 發 生 非 彈 性 壓 密 (Inelastic Compaction)之現象。Phillips et al. (2003)亦曾利用響應矩陣法建立地下水 管理模式，並將其應用於加州安特洛普谷地(The Antelope Valley)。其模式之目標 函數為最大化管理期間內，各控制點在整個抽水過程中產生之最低水位值，而限 制條件則為該地區之需水量。在此設定下，若某一控制點之初始地下水位遠高於 其他控制點，則求解過程中將會過量的抽取此控制點之地下水，如此將可能造成 地層下陷之危害。為了避免此現象之發生，該研究中對位在地層下陷敏感地區之 控制點另外增加水位洩降之限制條件，首先限制其水位不得低於初始值，以避免

第一章 緒論

地層下陷發生，而隨著管理時間之前進則逐步降低水位最低限制值，以避免無法 滿足最小需水量之情形。因此，無論是 Larson et al. (2001)或是 Phillips et al.

(2003)，皆僅將地層下陷之影響以定性之方式納入水位之限制條件中考量，並非 真正地以定量之方式，將地層下陷量作為狀態變數納入管理模式中考量。