第一章 緒論
1.2 文獻回顧
1.2.2 序率地下水管理模式
由於天然含水層本身異質性(Heterogeneity)之特質，地質參數存在空間上之變 異性(Spatial Variability)，然而實測地質資料往往極為有限而不足以描述地下水系 統完整之地質分布狀況，於實際案例應用時，這些地質參數之不確定性將造成狀 態變數亦存在不確定性，導致當利用管理模式計算之最佳解進行實際操作時，可 能會發生狀態變數並不滿足限制條件之情形，造成不預期之危害，因此必須將參 數的不確定性納入定率模式中加以考慮，進一步建立序率地下水管理模式。
序率地下水管理模式之建立方法一般而言可分為 CCP (Chance-Constrained Programming)以及 Multiple Realization Method 兩大類。CCP 最早是由 Charnes and Cooper (1959)所提出，其概念為將原本為定率之限制式，轉變為此定率限制式至 少必須滿足可靠度 α 之機率型態。Tung (1986)首先將 CCP 應用於序率地下水管 理問題中，該研究首先利用響應矩陣法建立定率之模式，而單位響應係數則是以 Cooper-Jacob 方程式計算，在假設水力傳導係數與比儲水係數(Specific Storage, Ss) 為具不確定性之地質參數後，以一階變異數分析法(First-Order Variance Estimation, FOVE)推導單位響應係數與水頭洩降量之統計特性，管理模式之目標則為在水頭 洩降量不超過給定值之可靠度至少必須為α 之限制下，求取最大之可抽水量。藉 由蒙地卡羅模擬(Monte Carlo Simulation)之驗證，該研究指出當水力傳導係數之 變異性不大時，水頭洩降量可根據中央極限定理(Central Limit Theorem, CLT)假設 為常態分布。
Wagner and Gorelick (1987)首先應用 CCP 於地下水水質管理問題上，其管理 之策略為利用 Pump-and-Treat 之方式達到降低或清除含水層中之汙染物濃度。該 模式之限制條件為控制點汙染物濃度小於標準值之機率必須大於給定之可靠
度之統計特性方面，該研究假設其為常態分布，而模式中水力傳導係數為唯一具 不確定性之地質參數。與 Tung (1986)相同，待最佳解求出後，其亦利用地下水污 染傳輸數值模式與蒙地卡羅模擬驗證污染物濃度的機率密度函數型態。
利用 CCP 建構序率地下水管理模式之研究為數眾多，且廣泛地應用於不同 之問題型態上，例如 Datta and Dhiman (1996)應用於污染物觀測井網之建置上，
以求取在滿足決策者調查資料需求量之前提下，最小之觀測井網建置成本，惟其 單位響應係數之不確定性定義為定率之單位響應係數加上一常態分配之亂數 項，並未真正考慮各項地質參數之變異性對單位響應係數之影響。相較於上述以 CCP 建立之模式僅將定率限制式轉變為以可靠度為考量之機率型態，Sawyer and Lin (1998)在處理地下水污染整治之問題時，進一步考慮了目標函數中係數值之不 確定性，在此研究中目標函數為最小化抽水操作成本，而其中之係數代表抽一單 位水所需要之成本。上述之各項研究皆應用於虛擬案例，Tiedeman and Gorelick (1993)則利用 Wagner and Gorelick (1987)所發展之模式，實際應用於美國密西根州 之地下水污染整治問題中。
不同於 CCP 將定率限制式轉變為機率型態之方法，Multiple Realization Method 則是利用統計取樣(Sampling)之技巧來考慮地質參數對狀態變數造成之影 響。其概念為首先利用嵌入法或響應矩陣法建立定率之管理模式，依據管理區域 地質參數之統計特性對地質參數進行取樣，因此差分式係數或是單位響應係數在 每次取樣後皆會有所改變而產生新的限制式，最後再將全部之限制式同時考慮並 推求最佳解(即總限制式數目等於原定率模式限制式數目乘以取樣次數)。Wagner and Gorelick (1989)首先將 Multiple Realization Method 應用於序率地下水管理模 式之建置上，並考慮與 Wagner and Gorelick (1987)相同之地下水污染整治問題，
在取樣 30 組可能之水力傳導係數並推求符合污染物濃度限制下之最小抽水量 後，該研究再取樣 1000 組可能之水力傳導係數，以最小抽水量配合地下水污染 傳輸模式與蒙地卡羅模擬，計算是否有超過污染物濃度限制之情況發生。經由以 上步驟其發現最佳解具有 90%之可靠度，僅有 10%的機率污染物濃度無法降低到 到給定之要求。其他利用 Multiple Realization Method 建立序率地下水管理模式之
第一章 緒論
研究尚包含 Wagner et al. (1992)，Chan (1994)以及 Mylopoulos et al. (1999)等。
比較上述兩種方法可知，CCP 之優點在於並不因為考慮了參數之不確定性而 造成限制式增加之情形，如此可避免最佳化演算法求解時間加大或無法收斂之現 象，以線性規劃而言，Reklatitis et al. (1983)指出求解時間約與限制條件數目之三 次方成正比。CCP 之另一項優點為加入了可靠度之觀點，提供決策者更彈性之應 用，能夠依據各控制點不同之現況條件及其重要性，給定不同之可靠度需求。
CCP 之主要缺點在於其最佳化模式因包含機率型態之限制式，必須事先知道 狀態變數之機率密度函數(Probability Density Function, PDF)型態，再藉由 PDF 反 函數運算之技巧，將機率型態之限制式轉變為具相同數學意義之定率限制式，如 此才可使用傳統之最佳化演算法搜尋最佳解，然而狀態變數之 PDF 往往難以推 斷，且會隨著地質參數不確定性程度之變化而改變，因此必須以先行假設再事後 驗證之方式加以克服。近年來隨著電腦計算能力之大幅躍進，求解 CCP 已可使 用統計模擬(Stochastic Simulation)結合遺傳演算法(Genetic Algorithm)之方法(Liu, 1999)，來避免 PDF 反函數推求之難處。CCP 另一項缺點為各限制式被滿足之可 靠度係分別考慮，亦即假設各限制式彼此互相獨立，因此在模式應用時並無法考 慮整體系統(此處系統定義為串連式)之可靠度。
Multiple Realization Method 最主要的好處在於僅需知道含不確定參數之統計 特性，而不像 CCP 必須進一步分析(或假設)狀態變數之統計特性。而此方法最主 要之缺點在於模式之健壯性(Robustness)與最佳解搜尋難易度呈現競合之關係，在 此健壯性意指實際利用最佳解進行地下水管理操作時，不會發生違背限制條件之 機率。Chan (1993)以理論推導之方式提出以 Multiple Realization Method 建立之序 率模式，其健壯性可表示為
(
N +1) (
N+2)
或N(
N+1)
，其中N 為取樣次數，即健 壯性僅與參數取樣次數呈正相關，而與參數不確定性等其他因子無關，因此理論 上無論任何地下水管理問題，在相同取樣次數下皆可獲得相同之健壯性。然而 Feyen and Gorelick (2004)利用 Multiple Realization Method 建立以地下水量管理為 目標之序率模式，在分析 36,000 組不同案例之計算結果後，該研究指出模式之健 壯性不僅與參數取樣次數呈正相關，亦與參數之不確定性程度呈反比，且 Chan(1993)之公式可能有過於高估模式健壯性之現象。因此當模式應用於大區域且地 質參數具有高度不確定性時，參數取樣次數之決定將造成模式使用上之困擾。
Multiple Realization Method 之另一項缺點在於並未直接將可靠度的觀念融入 模式中，決策者無法在事前(Priori-Optimization)以可靠度作為管理上之考量，而 須 待 求 出 最 佳 解 後 ， 再 配 合 蒙 地 卡 羅 模 擬 分 析 最 佳 解 之 可 靠 度 (Post-Optimization)。為了解決此問題，Morgan et al. (1993)在模式每一條限制式中 增加一個二進位變數(Binary Variables)，並依據事前給定之可靠度限制二進位變數 之和，模式形成混合整數規劃(Mixed Integer Programming)，以彈性的調整哪些限 制式可不被滿足，然此方法仍會面臨前段提及健壯性之問題，為了滿足健壯性之 要求而增加參數取樣次數將會同時導致二進位變數之增加，而混合整數規劃求解 所需時間約正比於二進位變數數目之指數次方(Floudas, 1995)，造成當參數不確定 性程度高時難以求解之現象。