模式建立 - 定率地下水管理模式架構 - 理論基礎與模式建置 - 考量地層下陷之地下水管理模式建立與應用

第二章理論基礎與模式建置

2.2 定率地下水管理模式架構

2.2.1 模式建立

對於複雜系統之規劃或操作而言，由於變數(或子系統)眾多且彼此互相影響，因此工程上常會將問題以最佳化模式之形態表示，用以分析最佳系統成效 (Performance)與系統變數間之關係。一般而言，最佳化模式可以如下之通式表示：

Optimize f

( )

x (11)

Subject to g_j

( )

x ≤b_j；∀j (12)

L x a

a ≤ ≤ (13)

其中 x 為決策變數組成之向量； f

( )

• 為目標函數；g

( )

• 為狀態函數；b 為常數，

代表狀態變數之限制值；而aL與aU則分別代表決策變數上下邊界所組成之向量。

式(12)與式(13)所形成之區域稱為 x 之可行解(Feasible Solution)，因此最佳化模式 之意義即為在可行解區域內，尋找能使目標函數為最佳之決策變數。

在地下水量管理問題中，若以最大地下水資源開採為目標，並且同時考量水頭洩降與地層下陷之影響，則管理模式可以如下之最佳化模式表示：

Maximize

∑∑ ( )

= =

j NT

t j Q

1 1

, (14)

Subject to Δh

( )

k,t ≤Δh^*

( )

k,t t=1,K,NT;k =1,K,NC (15)

( )

k t s

( )

k t s , ≤Δ ^* ,

Δ t=1,K,NT;k =1,K,NC (16)

( )

j t Q

( )

j t

Q , ,

0≤ ≤ ^* t =1,K,NT; j=1,K,NP (17) 其中j 為第 j 口抽水井；NP 為總抽水井數；t 為第 t 個管理期；NT 為總管理期數；

k 為模擬區域內第 k 個控制點；NC 為總控制點數；Δh ,

( )

k t 以及Δh^*

( )

k,t 分別代表t 個管理期末於第k 點之實際與最大允許水頭洩降量，而Δs ,

( )

k t 以及Δs^*

( )

k,t 則分別代表t−1至t 個管理期內之實際與最大允許地層下陷量；Q ,

( )

j t 與Q^*

( )

j,t 分別為第

第二章理論基礎與模式建置

j 口井於第 t 管理期之抽水量及其上限值。式(14)至式(17)所組成之最佳化模式中，

各抽水井之抽水量為決策變數，而水頭洩降量與地層下陷量則為狀態變數，其意義為在各控制點於每個管理期之水頭洩降量與地層下陷量皆不超過最大允許值之情況下，尋找各抽水井抽水量於時空上之分布，以使管理期終了時管理區域內之總抽水量為最大。

除了最大化地下水資源開採外，地下水量管理問題亦可採行最小化水頭洩降量或地層下陷量之概念，其最佳化模式可表示為：

Minimize

_∑∑ { ( ) ( ) }

= =

Δ +

NT Δ

t NC

s t k h

k h k t c s k t

1 1

, , , (18)

Subject to Δh

( )

k,t ≤Δh^*

( )

k,t t=1,K,NT;k =1,K,NC (15)

( )

k t s

( )

k t s , ≤Δ ^* ,

Δ t=1,K,NT;k =1,K,NC (16)

( )

_t^D

Q t j

Q ≥

∑

, t=1,K,NT (19)

( )

j t Q

( )

j t

Q , ,

0≤ ≤ ^* t =1,K,NT; j=1,K,NP (17) 其中c 為權重係數，可均為 1 或依各控制點於管理上不同之重要程度加以調整，

例如若控制點位於嚴重地層下陷區，則可適度調高該控制點之權重係數，因此在最佳解搜尋過程中會盡量避免該控制點發生地層下陷；Q_t^D為第t 個管理期時之地 下水需求量。水頭洩降量與地層下陷量限制式之意義在於避免即使管理區域總下陷量(或總水頭洩降量)為最小，但仍有局部控制點發生過大之下陷量(或水頭洩降量)。

無論是以最大化地下水開採或最小化水頭洩降與地層下陷為目標，於實務應用上，由於季節、氣候與水文條件等變化，地下水位常呈現週期性地升降，因此吾人可依此週期規範每一管理期之水頭洩降量，或僅限制管理期終了時之最終洩降量以降低限制式的數目。然由於地層下陷具有不可逆性，亦即一旦發生地層下陷，將很難回覆原貌，因此地層下陷量必須於每一管理期皆給予限制值。

欲求解上述之地下水管理問題，必須建立抽水量與水頭洩降量以及地層下陷

量間之關係，以下將由單層含水層開始並擴展到多層地下水系統，詳述其關係式

結合式(20)、(21)與式(22)，則式(18)之目標函數可轉換為抽水量之函數，即：

Minimize

∑∑ ∑∑ ( ) ( ) ( )

第二章理論基礎與模式建置

進一步考慮多層之地下水系統，假設含水層與阻水層中之地下水流分別為水平流及垂直流(Anderson and Woessner, 1991)，且在非侷限含水層中，因抽水而導致之水位洩降遠小於飽和含水層厚度，則各層之水頭(水位)洩降可依據式(20)加以

Minimize

( ) ( )

生之水壓沿深度方向隨時間之變化可以圖 5 表示，Bredehoeft and Pinder (1970)提出當無因次化時間t^* =Kt S_sB² 大於 0.5 時，阻水層貯蓄效應之影響可加以忽略(即

所發展可適用於多層地下水系統、考慮地層下陷量影響，且分別可應用於最大化

Minimize

( ) ( )

第二章理論基礎與模式建置

(1) 單一含水層系統

當地下水系統僅為單一含水層時，由於拉梅常數( μ 與 λ )、土層厚度(B)以及 最大允許地層下陷量Δs^*

( )

k,t 為已知，因此藉由式(21)之運算可求出在t−1至 t 管 理期內，造成Δs^*

( )

k,t 之水頭洩降量Δh^*^*

( )

k,t ，則式(16)可忽略並將式(15)之水頭最大允許洩降量Δh^*

( )

k,t 修正為^min

[

^Δ^h^*

( )

^k^,^t ^,^Δ^h^*

(

^k^,^t⁻¹

)

⁺^Δ^h^*^*

( )

^k^,^t

]

^{，因此模式可簡化}

為傳統僅包含水頭洩降量為限制式之管理模式，且可將地層下陷量自目標函數式 (18)中移除。

(2) 多層地下水系統

由於分層水頭洩降量並不像分層地層下陷量一樣，可藉由加總來表示為控制點之總下陷量，因此在多層地下水系統中必須給定分層之最大允許水頭洩降量

(

l k t

)

h^* , ,

Δ ，然此一數值往往難以給定且將造成管理問題過於複雜化，鑑於地下水量管理最重要之目標即在控制地層下陷(因地下水位即使回復地層亦無法復原)，

因此在實務應用上可忽略式(24)而僅考慮式(25)，且分層水頭洩降量可自目標函數式 (26) 中移除。而若因管理策略需求必須考慮 Δh^*

(

l,k,t

)

之情況下，可將

(

, ,

)

(

, , 1

)

* −Δ −

Δh l k t h l k t 代入式(25)中推求當分層水頭洩降等於Δh^*

(

l,k,t

)

時所造成之總下陷量^Δ^s^*^*

( )

^k^,^t ，並分別考慮如下兩種情況：

(a) 若Δs^*^*

( )

k,t ≤Δs^*

( )

k,t ，則利用管理模式計算出之最佳抽水量分布不會造成地層下陷量超過其最大允許值之情形，因此式(25)可忽略，模式簡化為傳統僅包含水頭洩降量為限制式之管理模式，且可將地層下陷量自目標函數式(26)中移除。。

(b) 若Δs^*^*

( )

k,t >Δs^*

( )

k,t ，則忽略式(25)所求得之最佳抽水量分布將會使總地層下陷量超過其最大允許值；而因為模式會在滿足Δs^*

( )

k,t 之情況下，自動調整分層地層下陷量之值以使總抽水量為最大(或使總下陷量為最小)，吾人並不需要也無法規範分層地層下陷量之最大允許值，因此亦無法利用前段所述單一含水層之模式簡化技巧來替換Δh^*

(

l,k,t

)

，故模式之限制條件必須完整考慮。

在文檔中考量地層下陷之地下水管理模式建立與應用 (頁 33-39)

模式建立

第二章 理論基礎與模式建置

2.2 定率地下水管理模式架構

2.2.1 模式建立

( )

( )

( )

( )

∑∑ ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

∑∑ { ( ) ( ) }

( )

( )

( )

( )

( )

∑

( )

( )

∑∑ ∑∑ ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

[

( )

(

)

( )

]

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

第二章理論基礎與模式建置

_∑∑ { ( ) ( ) }