第四章 序率模式驗證與應用案例模擬
4.2 序率模式驗證
4.2.3 序率模式計算時間討論
序率管理模式於電腦計算時間上主要由兩大部分控制，分別為：
1. 蒙地卡羅模擬計算單位響應係數統計特性：此部分所需時間取決於抽水井、管 理期與參數取樣數目之設定，以本驗證案例而言，在參數取樣次數為 5,000 次，
三個管理期之設定下，以 Intel Core 2 Duo 平台計算單一抽水井對各控制點之 5,000 組單位響應係數樣本所需時間約為 15 分鐘。
2. 最佳化演算法求解：最佳化演算所需時間正比於 B&B 執行分離、放寬與瞭解 等步驟之效率，以本驗證案例而言，求得最佳解所需計算時間約為 20 秒，因 此相比於前項蒙地卡羅模擬，最佳化演算所需時間非常短。
4.2.4 一階變異數分析方法合理性驗證與檢討
本節將探討 FOVE 方法應用於分析水頭洩降量與地層下陷量統計特性之合理 性，本研究分別針對需求可靠度為 50%、60%、70%、80%、90%與 99%等六種 狀況加以分析，由於此六種狀況分析結果均具有相同之趨勢，因此後續將以需求 可靠度 90%為例進行討論。
表 20 所列為在 90%需求可靠度下，分別利用 FOVE 以及蒙地卡羅模擬所計 算之水頭洩降量與地層下陷量之平均值與標準差。表 20 中 FOVE 代表將前節計 算之最佳解代入式(45)、(46)、(60)以及式(61)後求得之平均值與標準差，LHS 則 為以蒙地卡羅模擬所得 5,000 組樣本估計之平均值與標準差(圖 21)。本研究假設 蒙地卡羅模擬所得之結果為正確，並定義相對誤差為
[ (
−) ]
× ，第四章 序率模式驗證與應用案例模擬
以評估 FOVE 之合理性。由相對誤差定義可知，正值與負值分別代表 FOVE 高估 與低估期望值或標準差。圖 26 與圖 27 分別為水頭洩降量與地層下陷量統計特性 之相對誤差。
由圖 26 可知，無論地質參數變異程度為何，水頭洩降量平均值之相對誤差 皆不超過±1.0%，且大多數都小於 0.1%，觀察式(45)可知，水頭洩降量為單位響 應係數平均值之線性組合，而單位響應係數之平均值亦為蒙地卡羅模擬所推求，
因此式(45)所得之水頭洩降平均值即為正解(Exact Solution)。而在水頭洩降量標準 差方面，兩方法計算之結果則有輕微之差異，其原因在於式(46)中，吾人並未考 慮單位響應係數間之共變異數，然以相對誤差而言皆未超過±2.0%，且多數小於
±1.0%，由此亦可驗證本研究假設單位響應係數互為線性獨立之合理性。
相較於水頭洩降量，由圖 27 可知地層下陷量平均值與標準差之相對誤差則 隨著地質參數變異程度增加而變大，在低變異度之方案一中，其相對誤差僅達 -1.43%至-4.0%，然而在高變異度之方案五，尤其在控制點 c 之第二個管理期，平 均值與標準差之相對誤差則分別達到-50%與-45%，其原因在於一維土體壓密方程 式為非線性，且 FOVE 係以泰勒展開式展開方程式後，再忽略高次項以求得一階 近似之輸出變數統計特性，當方程式為非線性且參數變異度高時，被忽略之高次 項對輸出變數統計特性之影響將會增加。
藉由以上討論可知，在地質參數不確定性程度高時，利用 FOVE 計算地層下 陷量之期望值與標準差可能會有明顯低估之現象。
4.2.5 地層下陷量常態分布假設驗證
本小節將探討地層下陷常態分布假設之合理性。依據蒙地卡羅模擬並採用方 案一、方案三與方案五中控制點 c 於第三管理期之 5,000 組地層下陷樣本，吾人 可分別繪製如圖 28、圖 29 與圖 30 之直方圖，圖中之實線代表依據樣本平均值與 標準差(表 20 中之 LHS)所描繪之理論常態分布曲線。比較三圖可知，在方案一參 數不確定性程度低時，地層下陷量之直方圖相當吻合常態分布曲線，僅在左半邊 之趾部(Toe)有較大之偏差，而隨著參數不確定性程度之提高，地層下陷之直方圖
相同，地層下陷常態分布之假設在參數不確定性程度高時將有可能產生極大之偏 差。
4.2.6 真實可靠度驗證
由前兩小節之驗證結果可知，FOVE 與地層下陷常態分布之假設在參數變異 度高時可能並不適用，本節將進一步驗證真實可靠度。真實可靠度之評估為本研 究序率模式驗證最重要之項目，因其代表序率模式之計算結果是否能滿足決策者 之需求，若其與需求可靠度差異過大，則模式將不具實用之價值，反之則吾人可 忽略 FOVE 與地層下陷常態分布假設之不適用性，因模式最終仍能在滿足需求可 靠度下求得最大可抽水量。依據蒙地卡羅模擬之 5,000 組水頭洩降與地層下陷樣 本，吾人可計量超過最大允許值之樣本數，據此計算真實之可靠度。表 21 所列 為 Active Constraint 於各方案下之真實可靠度以及與需求可靠度(皆為 90%)之相 對誤差，其中相對誤差定義為
[ (
真實可靠度-需求可靠度)
需求可靠度]
×100。圖 31 則為相對誤差與參數變異程度之關係圖。由圖 31 可知，隨著參數不確定性程度 提高，可靠度相對誤差亦隨之增加，然即使在不確定性程度最大之方案五，例如 控制點 c 第三管理期地層下陷量平均值與標準差之相對誤差已分別達-50%與 -45%，其真實可靠度之相對誤差亦僅有-4.44%。由 4.2.4 節之討論吾人可歸納隨著參數不確定性之增加，FOVE 會加劇地低估 地層下陷量之平均值與標準差，若在此情況下地層下陷之機率密度函數仍保持為 常態分布(即符合本研究之假設)，則低估之平均值與標準差將會導致模式高估最 大可抽水量，因此真實可靠度將遠小於需求可靠度(如圖 32(a))；相反地，當地層 下陷機率密度函數隨著參數不確定性提高而由常態分布變為正斜之形態時，若 FOVE 仍能維持計算之正確性，則模式將會低估最大可抽水量，導致真實可靠度 遠大於需求可靠度(如圖 32(b))。綜合以上說明可知，FOVE 低估平均值標準差以 及地層下陷偏離常態分布假設對真實可靠度具有相反之影響，因此表 21 中真實 與需求可靠度間之差異相當微小(如圖 32(c))。
藉由以上之驗證結果，本研究所發展之序率管理模式其正確性與參數不確定
第四章 序率模式驗證與應用案例模擬
沖積土層可能之最大變異程度與範圍，且五個方案在真實可靠度之驗證結果皆能 提供相當良好之精確度，由此可加以驗證本研究所發展之序率管理模式能在符合 決策者需求可靠度之考量下，提供正確之最大可抽水量以及各抽水井最佳抽水量 之時空分布。
4.3 可靠度進階考量
在 4.2 節中本研究藉由虛擬之案例已驗證序率管理模式之正確性，而由驗證 過程亦可發現到，不同之地質參數設定下最大可抽水量皆不相同，因此吾人亦可 將其視為一隨機變數，且其不確定性來自於地質參數之變化性(不同於地質參數之 不確定性係來自於完整調查資料之不足)。本節將繼續利用 4.2 節之案例，分析最 大可抽水量之機率分布特性，以探討其與控制點需求可靠度之關係。
在序率模式驗證步驟(1)中，本研究藉由蒙地卡羅模擬製造出 5,000 組單位響 應係數以推求其統計特性，而任一組之單位響應係數皆可代入定率管理模式中推 求最大可抽水量(即等同於第三章應用案例一)，因此在前節所設定之五個方案中 吾人皆可獲得 5,000 個最大可抽水量，圖 33 所示為不同方案下，由 5,000 個由小 到大排列之定率最大可抽水量所繪製之累積百分率。由圖中可看出，方案一之 5,000 個定率最大可抽水量分布較為集中，而隨著地質參數不確定性程度提高，
5,000 個定率抽水量之分布則愈為分散，此現象肇因於當地質參數變異度大時，
LHS 會增加取樣出差異極大之地質參數隨機場之機會，因此最大可抽水量差異極 大之現象也會更明顯。
為了探討最大可抽水量與需求可靠度(本案例針對 90%)之關係，吾人定義 5,000 個最大可抽水量中最小者為 Q100，而累積百分率為 10%者則為 Q90，圖 34 所示為 Q100、Q90以及前節序率模式所計算之最大可抽水量在不同方案下之比較，
其中在相同方案下，Q90皆較序率模式計算之抽水量為大，因此 Q90必定無法滿足 需求可靠度大於 90%之限制，其原因在於雖然僅有 10%之抽水量小於 Q90，但 Q90 係僅依據一種地質參數隨機場所推求，並未完整考慮參數之統計特性；因此相同 的情況，雖然 Q100皆小於序率模式計算結果，但亦不保證其必定滿足所有控制點
需求可靠度大於 90%之要求，因此必須藉由蒙地卡羅模擬以探討其真正之可靠 度。
將 Q90與 Q100利用前節驗證步驟(4)與(5)之方法代入地層下陷數值模式中模擬 5,000 次，表 22 與表 23 所示分別為在各控制點與各管理期水頭洩降與地層下陷 小於最大允許值之真實可靠度。表中定率與序率分別代表抽水量係採用第三章驗 證案例一與前節序率模式之計算結果。由表中可看出，定率模式計算之最大可抽 水量若加入參數不確定性之考量則有明顯高估之現象，觀察 Active Constraint 所 在之控制點與管理期可發現真實可靠度最高不超過 50%，且大部分低於 30%。而 在 Q100部分，雖然大部分控制點各管理期之真實可靠度皆大於 90%，但在方案一 與方案四控制點 a 之水頭洩降真實可靠度則僅為 82%至 85%，由於區域 I 水力傳 導係數較低，控制點 a 之水頭洩降對抽水最為敏感，因此管理模式計算時井 A 抽 水之優先度最低(這也是控制點 a 不為 Active Constraint 之原因)，故若計算 Q100 所用之單位響應係數係在區域 I 水力傳導係數偏大(LHS 取出較大之樣本)之地質 參數隨機場計算而得，則即使其為 5,000 組抽水量中最小者，當用在其他 4,999 組地質參數隨機場中模擬時亦會造成控制點 a 水頭洩降偏大之情形。此亦驗證了 前段所述 Q100 僅依據一種地質參數隨機場所推求，並未完整考慮參數之統計特 性，因此無法保證滿足所有控制點需求可靠度大於 90%之要求。
將 Q90與 Q100利用前節驗證步驟(4)與(5)之方法代入地層下陷數值模式中模擬 5,000 次，表 22 與表 23 所示分別為在各控制點與各管理期水頭洩降與地層下陷 小於最大允許值之真實可靠度。表中定率與序率分別代表抽水量係採用第三章驗 證案例一與前節序率模式之計算結果。由表中可看出，定率模式計算之最大可抽 水量若加入參數不確定性之考量則有明顯高估之現象，觀察 Active Constraint 所 在之控制點與管理期可發現真實可靠度最高不超過 50%，且大部分低於 30%。而 在 Q100部分，雖然大部分控制點各管理期之真實可靠度皆大於 90%，但在方案一 與方案四控制點 a 之水頭洩降真實可靠度則僅為 82%至 85%，由於區域 I 水力傳 導係數較低，控制點 a 之水頭洩降對抽水最為敏感，因此管理模式計算時井 A 抽 水之優先度最低(這也是控制點 a 不為 Active Constraint 之原因)，故若計算 Q100 所用之單位響應係數係在區域 I 水力傳導係數偏大(LHS 取出較大之樣本)之地質 參數隨機場計算而得，則即使其為 5,000 組抽水量中最小者，當用在其他 4,999 組地質參數隨機場中模擬時亦會造成控制點 a 水頭洩降偏大之情形。此亦驗證了 前段所述 Q100 僅依據一種地質參數隨機場所推求，並未完整考慮參數之統計特 性，因此無法保證滿足所有控制點需求可靠度大於 90%之要求。