第三章 定率模式驗證與應用案例模擬
3.2 應用案例
3.2.1 應用案例一：單侷限含水層
考慮僅含單層侷限含水層，且土層厚度為 80 公尺，面積為 5 公里 × 4 公里 之地下水系統，其區域示意圖如圖 15 所示。該區域可以 11 × 9 個格網點加以表 示，格網點間之距離dx = dy = 500 公尺，左右兩邊之變界條件為定水頭，而上下 兩邊之邊界則為零流量。區域內共包含A、B 與 C 三口完全貫穿之抽水井，且可 依據不同之地質參數將其分為三個子區域 I、II 與 III，各子區域之地質參數設定 如表 5 所列。今欲探討在三年之總管理期間內，當五個控制點 a、b、c、d 與 e (其 中a、b 與 c 分別位於抽水井 A、B 與 C 處)皆不超過最大允許之水頭洩降量與地 層下陷量時，該區域之最大可抽水量。現將三年之總管理期間切割為三個管理 期，且每個管理期為 1 年以考慮動態之管理策略，而在第 1 個管理期開始前，區 域內各點之水頭皆相等，亦即無地下水流動。在水頭洩降量方面其最大允許值於 三個管理期皆為 15 公尺，而為了達到逐步減緩地層下陷之需求，地層下陷量之 最大允許值於第一、第二與第三個管理期分別為 3 公分、1.5 公分與 1.0 公分。上 述管理模式之設定詳列於表 6 中。
由表 6 可知該案例共有 30 條限制式(5 個控制點於 3 個管理期之水頭洩降與 地層下陷量)，表 7 所示則為管理模式之計算結果。該區域之最大可抽水量為 6.69
m3/sec，其中抽水井 A 於三個管理期之抽水量皆為 0，而井 C 則有最大之地下水 產能，造成此現象最主要之原因在於井A 所在之子區域 I 其水力傳導係數較低，
因此定水頭邊界較難補充區域 I 因抽水而造成之水頭洩降；相反的，因區域 III 水力傳導係數最高，因此井C 具有較高之抽水優先權。
表 7 中粗黑字體代表當模式求得最大可抽水量時，該控制點於該時刻之狀態 變數剛好等於限制值(或稱 Active Constraint)，亦即管理模式受限於該限制式而無 法再求得更大之最大可抽水量。觀察表 7 可知，對於水頭洩降量而言，Active Constraint 發生在控制點 b 於三個管理期以及控制點 c 於第一個管理期之限制式；
而地層下陷量之 Active Constraint 則發生在控制點 c 之第二與第三個管理期。因 此若吾人不考慮地層下陷量之限制條件，則所得之最大可抽水量必然大於考慮地 層下陷影響時所計算之 6.69 m3/sec，且會造成控制點 c 於第二與第三個管理期之 地層下陷量分別超過規定之 1.5 公分與 1.0 公分。
3.2.2 應用案例二：多層地下水系統
考慮一有 35 口井之多層地下水系統，其地質分布情形由上而下共分三層，
分別為第一侷限含水層、阻水層以及第二侷限含水層。此外在水平方向由左至右 依地質參數之不同將其分成三個子區域(區域 I、區域 II 與區域 III)，35 口井之分 層抽水比例由上而下依序為 0.5、0.0、0.5，該地下水系統之水平分區、垂直分層 與地質參數條件如圖 16 與圖 17 所示。對此多含水層系統進行為期一年之地下水 抽取管理研究，並針對模擬區域制定二個地下水抽取方案，如表 8 所示。由表 8 比較二個方案可知，方案一可視為模擬區域並無明顯地層下陷危害之發生，因此 水頭洩降以及地層下陷量之限制條件較寬鬆，而方案二則可視為模擬區域目前已 面臨嚴重之地層下陷問題，因此水頭洩降以及地層下陷量相關之限制條件較方案 一為嚴苛。
表 9 所示為二個方案分別在僅考慮水頭洩降以及同時考慮水頭洩降與地層下 陷為限制條件下，利用管理模式所求得之最大可抽水量。由表 9 可知，無論有無 同時考慮水頭洩降與地層下陷，較嚴苛之方案二所獲得之最大可抽水量皆小於方
第三章 定率模式應用與應用案例模擬
地下水系統環境維持間尋找平衡點，在沒有人工補注之情況下，並不存在可同時 增加地下水資源開採與環境維持之抽水策略。
表 10 與表 11 所示為在同時考慮水頭洩降與地層下陷之情況下，兩方案會造 成之地層下陷量。兩方案之 Active Constraint 皆發生在地層下陷之限制式(表 10 與表 11 中之粗黑字體)，而各點於二含水層之水頭洩降皆小於允許值，故在此應 用案例下若忽略地層下陷之影響，則必然會高估最大可抽水量，造成不預期地層 下陷之發生。此一現象亦可由表 9 中在同一方案下，僅考慮水頭洩降所得之最大 可抽水量較大加以驗證，以方案一為例，以僅考慮水頭洩降所得之最大可抽水量 0.221 m3/sec 作為地層下陷數值模式之輸入，則模式模擬結果如表 12 所列，可看 出所有格網點之地層下陷量皆超過設定之允許值。
藉由 3.2.1 小結與本節之案例應用可知，於地下水量管理時，實有必要進一 步考慮地層下陷之影響，以避免高估最大可抽水量之情形。
3.2.3 應用案例三：最佳單井最大抽水能力與設井位置決定
藉由本節所介紹之應用案例，將說明如何在以最大地下水開採以及最小地層 下陷為目標下，分別求取抽水井設計最大抽水能力以及最佳設井位置。考慮一穩 態條件且與圖 16 相同之地下水系統，唯垂直方向僅包含單層之侷限含水層，模 擬區域面積為 20 km × 16 km，厚度為 200 公尺，模擬區域可大致分為三區域(I、
II、III)，此三區之水力傳導係數由左至右分別為 0.0015 m/sec、0.001 m/sec、0.0005 m/sec，土體拉梅常數皆相同，其值為 μ＝5.0×108 N/m2以及λ＝1.0×109 N/m2，而 區域內皆為等向均質。模擬區域東西兩邊之邊界條件為定水頭，而南北兩邊則為 不透水邊界條件。今欲於此模擬區域開發地下水資源，而可設井的位置共有 35 處(即圖 16 中之粗黑圓點)。
(1) 單井設計最大抽水能力決定
一般而言，水井之最大抽水能力與井之直徑以及抽水機能力有關，若水井之 最大抽水能力提高時，則理論上最大可抽水量亦可能相對提高。例如一管理問題 中地層下陷量不得超過 10.0 公分，而水井之最大抽水能力為 5.0 m3/sec，若抽水
5.0 m3/sec 時將造成地層下陷 8.0 公分，則理論上最大可抽水量會大於 5.0 m3/sec，
唯受限於抽水井本身抽水能力限制，此時最大可抽水量將只有 5.0 m3/sec。若欲 提高抽水井之抽水能力，則可加寬水井之直徑或選用較大且效率較好之抽水機，
唯此舉亦將迫使工程費用的提高，因此如何合理的取捨實為重要之關鍵。圖 18 所示為當模擬區域內各點地層下陷量不得超過 0.5 公分時，利用地下水管理模式 計算之單井最大抽水能力與最大可抽水量(即 35 口井抽水量之和)之關係圖。由圖 中可看出，兩者間之關係為非線性，而圖中曲線上任一點之斜率即代表最大可抽 水量因為單井最大抽水能力增加 1 單位而造成之增加量。最大可抽水量雖然隨著 單井最大抽水能力之增加而增加，但其增加率則逐步遞減，以本案例而言，當單 井最大抽水能力達到 0.9 m3/sec 時，最大可抽水量為 7.95 m3/sec，曲線上之斜率 已趨近於零，因此水井之最大抽水能力可考慮設計為 0.9 m3/sec。
(2) 抽水井最佳設置位置決定
本章目前為止所有的地下水管理案例其目標函數皆為求取最大可抽水量，為 了探討抽水井之最佳設置位置，此處目標函數將改為最小總地層下陷量(模擬區域 各 點 地 層 下 陷 量 之 和 ) ， 而 限 制 條 件 則 為 滿 足 地 下 水 使 用 之 需 求 量 (Water Demand)、各抽水井抽水量不超過最大抽水能力( 0.9 m3/sec )以及區域內各點地層 下陷量不超過 0.5 公分，詳細模式設定如表 13 所列。圖 19 所示為地下水需求量 與最小地層下陷量(目標函數)之關係圖，由圖中可看出隨著地下水需求量之增 加，經由管理模式演算後之最小地層下陷量亦隨之增加，兩者大約呈一線性關 係，但當地下水需求量大於 7.0 m3/sec 時，最小地層下陷量則快速增加。由前段 之案例分析中可知，在地層下陷量限制條件不變之情形下，此地下水系統之最大 可抽水量趨近於 8.0 m3/sec (圖 18)，故在此案例中，地下水需求量大於 7.0 m3/sec 時已逼近地下水出水之極限，額外增加之抽水量將會造成地層下陷量之大幅增 加，因此決策者必須考慮是否足以承受此大幅增加之地層下陷量或另覓其他之水 資源來源。而當地下水需求量大於 8.0 m3/sec 時，管理模式已無法求得可行解，
亦間接驗證了前段案例模式計算之正確性。
第三章 定率模式應用與應用案例模擬
總地層下陷量為最小之 35 口井個別抽水量。比較表 14 至表 16 可發現，當地下 水需求量不大時，有抽水的井皆集中在模擬區域最靠近左邊邊界處，隨著需求量 的增加開始啟動抽水的水井始漸漸往右邊增加。此現象發生的原因與應用案例一 相同，乃是因為左邊之邊界條件為定水頭，當抽水井開始抽水時，為了符合邊界 條件之設定，將會有地下水流從模擬區域外水頭較高之地方經由邊界流入模擬區 域內以平衡壓力。根據達西定律(Darcy’s Law)：
x A h K
Qx x
∂
− ∂
= (83)
式中，Qx為流量，Kx為x 方向之水力傳導係數，A 為斷面積。由式(83)可發現，
補注之地下水流量其大小與水力傳導係數成正比關係，而模擬區域內左邊之區域 其水力傳導係數較其他區域大，因此在此處設井抽水因為邊界補注較多的關係，
水頭洩降量將會較少，亦即地層下陷量也隨之減小。
由以上案例演算可知，在穩態管理問題下，本研究發展之管理模式亦具有決 定最佳抽水井設置位置之功能。在已知地下水需求量下，若能依照模式分析結 果，在有抽水量之格網點上設置抽水井，且依相對應之抽水量(即表 14-16)進行操 作，則必能達到最小總地層下陷量之效益。然若為動態之管理問題，在初始管理
由以上案例演算可知，在穩態管理問題下，本研究發展之管理模式亦具有決 定最佳抽水井設置位置之功能。在已知地下水需求量下，若能依照模式分析結 果，在有抽水量之格網點上設置抽水井，且依相對應之抽水量(即表 14-16)進行操 作，則必能達到最小總地層下陷量之效益。然若為動態之管理問題，在初始管理