第二章 文獻探討
第一節 四則運算概念及教材設計
一、四則運算的概念
四則運算混合計算問題，是用來記錄多步驟文字題的題意或解題計畫的，
是另一種形式的文字題；學童將多步驟文字題改用比較方便的算式填充題重新 表徵後，再去求算式填充題 (也就是原文字題) 的答案。四則混合計算問題不是 當我們解題成功後，再將解題過程改用一個算式記錄，並要求重新再算一次答 案。人們先形成由左往右依次運算的共識；但是當步驟愈來愈多或運算次序發 生混淆時，為了要區別先算什麼，後算什麼，才使用括號來標示先算的部份，
形成先算括號部份的共識；當問題更複雜，使用相同或不同的括號愈來愈多時，
為了要減少使用括號的次數與種類，人們發現先乘除後加減的約定可以省略的 括號最多，所以又形成先乘除後加減的共識，來減少括號的使用 (謝堅，2000) 。 由以上的說明研究者歸納出學童解四則運算文字題的三個步驟：
(一)學童先了解題意進而形成解題計畫。
(二)把多步驟的算式簡化寫成一個式子的算式。
(三)這一個式子的算式，學童運用四則運算的規則將之解出。
因此，學童在解四則運算文字題時亦有二項要點：
(一)學童先了解題意而形成解題計畫，把多步驟的文字題寫成一個式子。
(二)當式子只有加、減、乘、除以及括號的運算時，我們約定括號內的運算先做，
然後乘、除運算比加、減運算先做，最後才是由左到右依序運算。
二、四則運算的規則
四則運算是由多步驟運算概念衍生而來，為了使算式更加的簡潔，以便處理 更深入的問題，所以將二個以上的運算問題記成一個式子。其處理規則如下：
(康軒文教事業股份有限公司，2005)
(一)當一個四則運算式子只有加法和減法 (或只有乘法和除法) 時，我們就由左 邊往右邊算，會形成這樣的約定，是因為我們的書寫習慣是由左往右，所以 約定由左往右運算。
(二)當式子中乘除運算和加減運算混合時，我們約定先算乘除的部份，再算加減 的部份。會有這個約定的原因是因為乘法是連加的概念，除法是連減的概 念，因而乘除法是加減法的上位概念，所以乘除法比加減法有優先權。
(三)當式子中加減運算混合時，但為了想先處理加減運算的問題 (如表2-1，＊
的題型) ，或是部份加減問題和乘除問題，要先處理後面運算時 (如表2-1，
＊＊的題型) ，這時我們就必須加一個符號以區別之，以打破先乘除後加減 及由左到右運算的限制。所以必須先算的符號，我們以括號表示之。
(四)當式子中，有加減乘除運算及括號時，我們約定括號內的先運算，然後乘除 比加減先算，最後才是由左到右運算。
表 2-1 二步驟四則運算題型舉例
題型 題型 題型 題型
2＋3＋4 ＊＊ 3－2＋4 ＊ 2×3＋4 ＊ 12÷2＋4 2＋4－3 ＊＊ 8－2－3 ＊ 2×4－3 ＊ 12÷4－2
＊ 2＋3×4 ＊ 8－2×3 2×4×3 ＊＊ 12÷2×3
＊ 2＋9÷3 ＊ 8－6÷2 2×6÷3 ＊＊ 16÷4÷2
三、四則運算的教材設計
本研究的研究目的，主要探討國小五年級學童整數四則運算的概念表現，
而研究對象的選取是九十五學年度第一、第二學期就讀國小五年級的學童。雖 然於此時九年一貫數學科正式綱要已公佈施行，但研究對象所接受的數學課 程，仍是教育部於民國八十九年九月所公佈的數學領域暫行綱要，所以研究者 依據八十九年及九十二年教育部所公佈的數學領域能力指標做一分析比較，以 了解課程編排上的差異性。
(一)八十九年九年一貫數學領域暫行綱要
教育部於民國八十九年九月三十日所公佈的國民中小學數學學習領域九年 一貫課程暫行綱要，數學課程期望學童達成下列目標：一、掌握數、量、形的 概念與關係。二、培養日常所需的數學素養。三、發展形成數學問題與解決數 學問題的能力。四、發展以數學作為明確表達、理性溝通工具的能力。五、培 養數學的批判分析能力。六、培養欣賞數學的能力。
數學領域根據學童的學習方式與思考型態兩項特徵，將九年國民教育區分 為四階段：階段一 (1-3 年級) 、階段二 (4-5 年級) 、階段三 (6-7 年級) 和階段 四 (8-9 年級) 。另將數學內容分為數與量、圖形與空間、統計與機率、代數、
連結等五大主題。為了達成這些目標，數學課程的發展應以生活為中心，教育 部亦制定了詳細的分段能力指標。茲將國民小學階段對四則運算的分段能力指 標彙整於表 2-2。
表 2-2 四則運算的分段能力指標彙整表 (暫行綱要) 階段 分段能力指標 (註)
第一階段 N-1-14 在情境中理解加法和減法的相互關係及加法交換律。
第二階段 N-2-2 延伸加、減、乘、除與情境的意義，使能適用來解決更多 的生活情境問題，並能用計算器械處理大數的計算。
N-2-3 能理解加、減的直式算則。
N-2-14 能在情境中，理解乘法交換律、等號的對稱性、「<、=、
>」的遞移性、加法和乘法的結合律與分配律，以及乘法和除法 的相互關係。
N-2-16 能知道先乘除後加減的約定，並能用來列式及簡化計算 式子。
第三階段 N-3-2 能嘗試理解乘、除的直式算則。
N-3-5 能延伸小數的認識到三位以上 (小數) ，並解決生活中與 小數有關的加、減、乘、除問題。
N-3-21 能在情境中理解等量公理。
A-3-8 能做分數的四則運算。
註：分段能力指標分三碼，第一碼 N 表示數學領域四主題中的「數與量」，A 表 示數學領域四主題中的「代數」；第二碼表示階段；第三碼則是能力指標的流水 號。
(二)九十二年九年一貫數學領域正式綱要
教育部於民國九十二年十二月十四日所公佈的國民中小學數學學習領域九 年一貫課程綱要，數學學習領域的教學總目標為：一、培養學生演算能力、抽 象能力、推論能力及溝通能力。二、學習應用問題的解題方法。三、奠定下一 階段的數學基礎。四、培養欣賞數學的態度及能力。
能力指標係參酌施行有年且有穩定基礎的傳統教材、國際間數學課程必備 的核心題材、數學作為科學工具性的特質、現有學童能夠有效學習數學的一般 能力等原則進行修訂。數學領域將九年國民教育區分為四個階段：階段一為一 至三年級，階段二為四、五年級，階段三為六、七年級，階段四為八、九年級。
另將數學內容分為數與量、幾何、代數、統計與機率、連結等五大主題。為了 達成這些目標，教育部亦制定了詳細的能力指標與分年細目。茲將國民小學階
段對四則運算的能力指標與分年細目彙整於表 2-3。
表 2-3 四則運算的能力指標與分年細目彙整表 (正式綱要) 階段 能力指標 (註一) 與分年細目 (註二)
第一階段 能力指標：N-1-08 能在具體情境中，解決簡單兩步驟問題。
分年細目：
1-n-06 能做一位數之連加、連減及加減混合計算。
2-n-09 能在具體情境中，解決兩步驟問題 (加、減與乘，不含倂 式) 。
第二階段 能力指標：N-2-03 能熟練整數四則混合運算，並解決生活中的 問題。
分年細目：
4-n-03 能在具體情境中，解決兩步驟問題，並學習併式的記法 (包括連乘、連除、乘除混合) 。
4-n-04 能作整數四則混合計算 (兩步驟) 。 5-n-02 能熟練整數四則混合計算。
第三階段 能力指標：N-3-11 能熟練正負數的混合四則運算。
分年細目：
6-n-05 能作分數的兩步驟四則混合計算。
註一：能力指標分三碼，第一碼 N 表示數學領域四主題中的「數與量」；第二碼 表示階段；第三碼則是能力指標的流水號。
註二：分年細目亦以三碼編排，第一碼表示年級；第二碼 n 表示主題「數與量」；
第三碼則是分年細目的流水號。
(三)九年一貫課程數學領域暫行綱要與正式綱要能力指標之比對
九十二年教育部所公佈的課程綱要，與其八十九年所公佈的數學領域暫行 綱要最大的不同在於「分年能力指標」的訂定及教材內容及教學進度上也有相 當的落差 (陳國雄，2006) 。現將關於四則運算之八十九年分段能力指標與九十 二年能力指標與分年細目整理如表 2-4 所示，以作為研究與問題分析的參考。
由表 2-4 可以看出，九十二年數學領域課程綱要，在第一階段就非常強調學童 需學會解決兩步驟問題，但八十九年的暫行綱要，並無出現解決兩步驟問題的 能力指標。第二階段中，九十二年數學領域課程綱要非常明確的列出四則運算
的能力指標與分年細目，八十九年的暫行綱要於四則運算部分卻分散列於多個 分段能力指標之中。而第三階段的九十二年數學領域課程綱要，將分數四則運 算列於五大主題的「數與量」部分，是六年級學童所必須學會的，但八十九年 的暫行綱要將分數四則運算列於五大主題的「代數」部分，而分數四則運算是 七年級學童的能力指標。整體而言，九十二年數學領域課程綱要強調計算能力 的培養，而八十九年的暫行綱要則是較強調計算機的使用。
表 2-4 九十二年、八十九年四則運算的能力指標對照表
九年一貫數學領域之課程綱要於 92 年 11 月 14 日正式發佈，並將於 94 學 年度起自一年級及七年級同步逐年實施。因此 93 學年度一年級至六年級的學 童，皆面臨國小階段與國中階段使用不同課程標準的狀態，為協助學童平順的 銜接這二套課程標準，教育部規劃了銜接與補強計畫進行輔導 (教育部，
2004) ，其中對於五年級學童希望能熟練整數四則混合運算，升至六年級時能 熟練分數四則混合運算。詳細的四則運算補強內容列於表 2-5。
表 2-5 五年級補強內容 (93.2 至 93.6 適用) (教育部，2004)
補強內容 暫行綱要
指 標
新 綱 要 指 標 (1)加強整數的四則直式計算
○1 加減法原則上不限位數，但至少應包含 4 到 5 位計 算的熟練度，作為乘除計算的基礎。
○2 乘法直式計算，至少包含 4 位數乘以 1 位數、4 位 數乘以 2 位數的熟練，並能作 3 位數乘以 3 位數的 計算 (不必熟練) 。
○3 依序增加被除數位數，熟練多位數除以 1 位數 (至 5 位數除以 1 位數) 和多位數除以 2 位數 (至商為 2 位數且個位數不為 0 的情況) ，並能作除數是 3 位數的情況 (不必熟練) 。
N-2-3 N-3-2
N-2-02
(2)加強四則混合計算 (不超過三步驟)
○1 在處理情境問題與理解算式約定之後，提供更多去
○1 在處理情境問題與理解算式約定之後，提供更多去