國立臺中教育大學數學教育學系
在職進修教學碩士論文
指導教授：林原宏 博士
潛在類別分析在國小五年級學童四
則運算規則之縱貫研究
研究生：張育綾 撰
中華民國九十七年六月
摘 要
本研究旨在應用潛在類別分析 (latent class) ，分別就國小五年級上、下學 期學童，進行四則運算概念的縱貫研究 (longitudinal study) 。 本研究以臺中市、臺中縣及彰化縣國小五年級學童共計 391 人為研究對象， 以自編「四則運算解題測驗」為研究工具，依據四則運算的解題規則「由左到 右依序運算」、「先乘除，後加減」及「使用括號」等三大運算規則所設計而成， 分文字題與非文字題二部份，探究學童在四則運算概念解題表現情形。此外， 根據潛在類別分析的分群結果，探討學童整數四則運算概念認知結構之變化情 形。 研究結果如下： 一、前、後測四則運算中，學童整體的解題表現，以非文字題部分比文字題部 分佳。 二、前、後測學童三大運算規則的解題表現，文字題部分以「使用括號」較不 熟練，非文字題部分以「先乘除，後加減」尚需加強。 三、國小五年級學童前、後測四則運算概念表現上，除了文字題「由左到右依 序運算」前測分數顯著高於後測分數，其餘各項並未達顯著差異。 四、根據潛在類別分析三大運算規則的分群結果，前、後測文字題與非文字題 部分其分群組數不同，且不同群的學童在各規則下之認知結構有所不同。 五、將前、後測的三大運算規則的分群結果進行交叉比對，發現學童對四則運 算概念的認知結構有所轉變。 本研究的結果與發現，可作為教師進行學童補救教學或合作學習分組的依 據，而研究者亦根據研究結果，提出未來進一步研究之建議。 關鍵字：文字題、四則運算、潛在類別、縱貫研究Abstract
The purpose of this study is to apply latent class analysis in analyzing the data of longitudinal study on four fundamental operation of arithmetic concept. The researcher designs pre-test and post-test for fifth graders. This sample includes 391 students, who are from Taichung city, Taichung county and Changhua county. The self-design tool is “the four fundamental operations of arithmetic test” which consists of three components. These components are bracket, rule of operation and rule of left-to-right. Besides, each compomnet includes two parts, which are word problem and calculation problem. According to the results of latent class analysis, it displays the characteristics of changing situation on cognitive structure of four fundamental operations of arithmetic. The research results are as follows.
1. From the results of longitudinal study, it shows that studnets’ performances are better on arithemetic problems than those of word problems.
2. Based on the results of pre-test and post-test, students are not so familiar with using bracket on word problem. It should be also improved on operation rule of computational problems.
3. There are no significant differences between pre-test and post-test, except to rule of left-to-right on world problems.
4. According to the results of latent class, the number groups for pre-test and post-test vary. It also shows that studnets of different groups own different cognitive structures.
5. On comparison with the rule of operation for pre-test and post-test, one can find that students have dissimilar cognitive structures.
The result of this study can provide teachers referencec on remedial teaching and pedagogy for students. Finally, sufggestions and for research are also discussed in this study.
Keywords: the four fundamental operations of arithmetic, latent class, longitudinal study, word problem
目 錄
第一章 緒論... 1
第一節 研究動機... 1 第二節 研究目的... 3 第三節 名詞定義... 4 第四節 研究限制... 5第二章 文獻探討... 7
第一節 四則運算概念及教材設計... 7 第二節 整數四則運算與二步驟文字題相關研究... 14 第三節 潛在類別分析... 21第三章 研究方法... 27
第一節 研究架構... 27 第二節 研究樣本... 28 第三節 研究工具... 29 第四節 資料分析方法... 34第四章 結果與討論... 37
第一節 四則運算解題表現... 37 第二節 前、後測四則運算解題表現之差異... 43 第三節 四則運算解題表現之潛在類別分析... 45 第四節 前、後測四則運算認知結構之變化情形... 66第五章 結論與建議... 75
第一節 結論... 75 第二節 建議... 79參考文獻 ... 81
附錄一 自編四則運算解題測驗甲卷... 89
附錄二 自編四則運算解題測驗乙卷... 93
表目錄
表 2-1 二步驟四則運算題型舉例 ... 8 表 2-2 四則運算的分段能力指標彙整表 (暫行綱要) ... 10 表 2-3 四則運算的能力指標與分年細目彙整表 (正式綱要) ... 11 表 2-4 九十二年、八十九年四則運算的能力指標對照表 ... 13 表 2-5 五年級補強內容 (93.2 至 93.6 適用) (教育部，2004) ... 14 表 2-6 潛在變項分析法的分類 ... 22 表 3-1 預試施測有效樣本分布表 ... 28 表 3-2 正式施測有效樣本分布表 ... 29 表 3-3 四則運算規則題型一覽表 ... 31 表 3-4 預試信度分析表 ... 33 表 4-1 前測文字題的答對率 ... 38 表 4-2 前測非文字題的答對率 ... 40 表 4-3 後測文字題的答對率 ... 41 表 4-4 後測非文字題的答對率 ... 43 表 4-5 「文字題」前測、後測四則運算分數相關表 ... 43 表 4-6 「文字題」前測、後測四則運算分數成對樣本檢定表 ... 44 表 4-7 「非文字題」前測、後測四則運算分數相關表 ... 44 表 4-8 「非文字題」前測、後測四則運算分數成對樣本檢定表 ... 45 表 4-9 前測四則運算概念AIC值比較表 ... 46 表 4-11 前測文字題「由左到右依序運算」分群人數比率及答對機率 ... 47 表 4-12 前測文字題「先乘除，後加減」分群人數比率及答對機率 ... 49 表 4-13 前測文字題「使用括號」分群人數比率及答對機率 ... 50 表 4-14 前測非文字題「由左到右依序運算」分群人數比率及答對機率 ... 52 表 4-15 前測非文字題「先乘除，後加減」分群人數比率及答對機率 ... 53表 4-16 前測非文字題「使用括號」分群人數比率及答對機率 ... 55 表 4-17 後測文字題「由左到右依序運算」分群人數比率及答對機率 ... 57 表 4-18 後測文字題「先乘除，後加減」分群人數比率及答對機率 ... 59 表 4-19 後測文字題「使用括號」分群人數比率及答對機率 ... 61 表 4-20 後測非文字題「由左到右依序運算」分群人數比率及答對機率 ... 62 表 4-21 後測非文字題「先乘除，後加減」分群人數比率及答對機率 ... 64 表 4-22 後測非文字題「使用括號」分群人數比率及答對機率 ... 65 表 4-23 學童在文字題「由左到右依序運算」之前、後測群別交叉表 ... 67 表 4-24 學童在文字題「先乘除，後加減」之前、後測群別交叉表 ... 68 表 4-25 學童在文字題「使用括號」之前、後測群別交叉表 ... 70 表 4-26 學童在非文字題「由左到右依序運算」之前、後測群別交叉表 ... 71 表 4-27 學童在非文字題「先乘除，後加減」之前、後測群別交叉表 ... 73 表 4-28 學童在非文字題「使用括號」之前、後測群別交叉表 ... 74
圖目錄
圖 3-1 研究架構圖 ... 27 圖 4-1 前測文字題「由左到右依序運算」分群答對機率折線圖 ... 48 圖 4-2 前測文字題「先乘除，後加減」分群答對機率折線圖 ... 49 圖 4-3 前測文字題「使用括號」分群答對機率折線圖 ... 51 圖 4-4 前測非文字題「由左到右依序運算」分群答對機率折線圖 ... 52 圖 4-5 前測非文字題「先乘除，後加減」分群答對機率折線圖 ... 54 圖 4-6 前測非文字題「使用括號」分群答對機率折線圖 ... 55 圖 4-7 後測文字題「由左到右依序運算」分群答對機率折線圖 ... 57 圖 4-8 後測文字題「先乘除，後加減」分群答對機率折線圖 ... 59 圖 4-9 後測文字題「使用括號」分群答對機率折線圖 ... 61 圖 4-10 後測非文字題「由左到右依序運算」分群答對機率折線圖 ... 62 圖 4-11 後測非文字題「先乘除，後加減」分群答對機率折線圖 ... 64 圖 4-12 後測非文字題「使用括號」分群答對機率折線圖 ... 65第一章 緒論
本研究以五年級學童為研究對象，研究者利用潛在類別分析方法，進行四 則運算概念的縱貫研究，分別就五年級上、下學期學童，四則運算概念表現情 形進行分析，根據潛在類別分析的分群結果，探討學童整數四則運算概念認知 結構之變化情形。本章共分四節，第一節研究動機，第二節研究目的，第三節 名詞定義，第四節研究限制，茲分述如下。第一節 研究動機
數學是人類最重要的資產之一，是科學、技術及思想發展的碁石，是人類 文明演進的指標與推手 (教育部，2003) ，所以數學教育的成敗，關係著國家科 學與技術的發展，因為數學的學習是一種邏輯與推理的過程。因此，培養學童 數學思考的能力，是一個非常重要的課題。 1980 年之後，數學教育人士認為「應將數學視為解題」 (黃敏晃，1994) ， 培養學生數學解題的能力，是數學教育發展的方向 (蘇明水，1993) 。1977 年 美國數學督導學會 (Nation Council of Supervisors Mathematics, NCSM) 指出「學 習數學的主要目的就是在學習解題」；在 2000 年由美國數學教師協會 (National Council of Teacher of Mathematics, NCTM) 公佈的「數學教育原則與標準」 (Principles and Standards for School Mathematics) 中，更指出數學學習的主要中 心部份就在於數學解題；此協會亦於 Agenda for Action 書中提到：「解題 (problem solving) 是學校數學的核心。」 (劉秋木，1996) 。因此數學解題是數 學教育的發展趨勢，而解題活動更是數學教育發展的核心。我國國民小學的數學教材中，「數與量」在國民教育的數學課程中具有極重 要的地位，其主要概念的形成及演算能力的培養均奠基於國小階段 (教育部， 2003) 。蘇慧娟 (1998) 指出，四則運算 (the four fundamental operations of arithmetic) 在國小、國中及高中階段的數學教材中，皆有舉足輕重的地位。雖
然目前是科技時代，計算機與電腦的應用相當的普及，但對於四則運算的結構 了解與應用依然十分的重要，因為它是每個人生活中的一部分。 四則運算的學習基礎是連續加、減、乘、除及加、減、乘、除兩步驟的運 算學習，九十四學年度正式實施的九年一貫課程中，數學學習領域的五大主題 之一「數與量」，從國民小學一年級就開始學習連續加、減的問題，教學後要求 學童達到的能力指標是：1-n-06 能做一位數之連加、連減及加減混合計算。而 二年級即開始學習兩步驟的問題，教學後要求學童達到的能力指標是 2-n-09： 能在具體情境中，解決兩步驟問題 (加、減、乘，不含倂式) (教育部，2003) 。 而國民小學三年級到六年級亦一再出現四則運算的能力指標，可見得四則運算 對國小學童的數學學習佔有舉足輕重的地位。只要有關於計算的問題都會運用 到四則運算，所以四則運算為所有運算能力的基礎，學童擁有熟練的四則運算 能力，將能減少未來學習數學的挫敗 (蘇聖峰，2005) 。
文字題 (word problem) 在數學學習的研究裡是重要的主題之一 (Levis, 1989) ，在目前的數學課程中，皆以文字題題來培養學童的解題能力，希望學 童能透過課堂上學過的知識，來解決日常生活所遇到的實際問題 (林惠真， 2005) ，而文字題是以語文型態來描述日常生活事件，比一般計算題擁有更複 雜的認知歷程 (Cummins, 1991) ，林碧珍 (1990) 發現學童文字題的解題表現比 非文字題 (computational problem) 的解題表現差，主要原因在於不懂題意，只 是毫無思考的尋找題目中的關鍵字，去選擇加、減、乘、除的符號運算。所以 為了瞭解學童四則運算文字題與非文字題的解題能力，因此本研究試題分文字 題與非文字題，並依據生活化的原則加以設計。 在以往的研究中發現，學童四則運算概念的研究，有些是針對一個個案做 長時間的觀察與研究 (賴麗卿，2003) ，有些是僅施測一次 (陳博文，1996；曹 宗萍，1988；蘇聖峰，2005；陳國雄，2006) ，但針對學童認知結構 (cognitive structure) 跨時間的變化情形，尚待進一步的探討，所以本研究以四則運算複本 測 驗 試 題 施 測 ， 對 同 一 批 學 童 進 行 維 持 一 學 期 的 縱 貫 研 究 (longitudinal
study) ，以瞭解學童於四則運算上認知結構的變化情形。 在學童的學習過程中，教師時常以評量來檢視學童的學習成果，但這種評 量通常是屬於總結性的評量，而忽略了知識建構過程的形成性的評量 (余民 寧、陳嘉成，1998) 。所以當總分就代表學習成果時，總分相同的學童就被認 為其認知結構必定相同，如以此標準來對學童分組，並進行補救教學，殊不知 學童數學知識上是否存在著程度或結構上的差異。而潛在類別 (latent class analysis, LCA) 分 析 有 其 優 點 ， 是 依 據 受 試 者 答 題 的 反 應 組 型 (response pattern) ，將受試者做出適當的分群，使隸屬同群的受試者有相同的認知結構， 不同潛在類別的群則具有不同的認知結構，在教育上便可以依其特性，做適當 的診斷與學習分組，以提供教學時之參考。 綜合以上所述，本研究以國小五年級學童為研究對象，以自編四則運算測 驗題本為研究工具，探討國小五年級學童在四則運算的解題表現情形，藉由潛 在類別分析，分析受試者隸屬的潛在類別，並以複本測驗對同一受試者施測， 以了解受試者認知結構的變化情形。
第二節 研究目的
本研究的主要目的是藉由探討國小五年級學童對於整數四則運算概念的表 現情形，且基於上述研究動機，本研究提出研究目的如下： 一、探究國小五年級學童在整數四則運算概念解題表現情形。 二、分析國小五年級學童在經過一學期後，整數四則運算概念解題表現之差異 情形。 三、探討國小五年級學童在整數四則運算概念結構之潛在類別。 四、探討國小五年級學童在經過一學期後，整數四則運算概念認知結構之變化 情形。第三節 名詞定義
一、國小五年級學童
本研究之國小五年級學童指九十五學年度之臺中縣、臺中市、彰化縣等三縣 市就讀國小五年級的學童，其中並不包括特殊班學童，這些學童是接受九年一 貫暫行綱要的數學課程。二、四則運算
所謂的四則運算 (the four fundamental operations of arithmetic) 是指在教學 的過程中，強調數的加、減、乘、除運算，而學童在做運算時通常將運算式子 書寫成二步驟 (two-step) 或多步驟 (multi-step) 的運算，而本研究所強調整數 的四則運算，是讓學童二步驟的運算以一個算式表示出來，二步驟或多步驟的 運算則不在本研究範圍之內。
三、潛在類別分析
潛在類別分析 (latent class analysis) 是利用機率概念來對受試者分類，依據 受試者的反應組型，分析受試者隸屬的潛在類別，使得同一類別的受試者具有 相似的認知結構，不同類別的受試者認知結構則不相同。
四、文字題與非文字題
文字題 (word problem) 或稱應用題，是應用文字及數字來敘述題目 (偶爾 有輔助圖表的出現) ，學童必需運用所學的數學知識及計算能力於各種情境之 中，所以學童在解題的過程中，要能閱讀並明白題目的意義，還需明瞭題目中 所指的已知量與未知量的關係，最後還需有計算的能力，才能完成文字題的解 題 (Mayer, 1992) 。在本研究中所指的文字題，其題目的敘述方式包含文字及數字，並不包含輔助圖表；而本研究中所指的非文字題 (computational problem) 則 是指計算題，其題目中只有數字的出現，並無文字及圖表。
五、縱貫研究
縱貫研究 (longitudinal study) 是以相同的受試者為研究對象，在不同 的時間或年齡，連續觀察受試者的發展情形 (郭生玉，2005) 。而本研究的 縱貫研究是以九十五學年度就讀國小五年級學童，在五年級上學期學期末 至五年級下學期學期末，為期一學期的追蹤探討，以了解受試者於四則運 算認知結構上的變化情形。第四節 研究限制
本研究受限於研究者本身的能力與物力，若要將本研究推論到研究範圍以 外的材料與情境時必須謹慎。茲將本研究可能的限制，分述如下：一、研究對象的限制
本研究對象取自臺中縣、臺中市、彰化縣之部分國小五年級學童，但因取 樣並非隨機抽樣，亦未擴及各縣市樣本，樣本數不足，因此在研究結果的推論 上，應採較為謹慎與保留的態度。二、研究工具的限制
本研究所用之數學四則運算問題僅限於二步驟的運算以一個算式表示出 來，並不包含較複雜的三步驟以上的運算問題。此外，所使用的數字型態僅限 於整數，並不包括小數與分數的問題，因此，在解釋不是本研究所指的數學問 題及數字型態時，應有所保留。 本研究的施測工具「自編四則運算試題」，其施測時之主觀因素，而影響受試者作答的情形，此為研究者所無法控制的。
三、研究內容的限制
本研究所使用的工具－自編四則運算試題，其題本內容所涉及的教材，是 以民國八十九年教育部所公布的國民中小學九年一貫課程暫行綱要數學學習領 域為主，並參考民國九十二年公布的國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領 域，主要題本內容則以康軒及南一版本中有關整數四則運算之共同內容為基 準，但不涉及整數四則混合計算－多步驟運算之探討。第二章 文獻探討
本章共分為三部份，主要目的是探討與本研究相關的理論與教材設計，第 一部份為四則運算概念及教材設計，第二部份整數四則運算與二步驟文字題相 關研究，第三部份則為潛在類別分析的理論。第一節 四則運算概念及教材設計
一、四則運算的概念
四則運算混合計算問題，是用來記錄多步驟文字題的題意或解題計畫的， 是另一種形式的文字題；學童將多步驟文字題改用比較方便的算式填充題重新 表徵後，再去求算式填充題 (也就是原文字題) 的答案。四則混合計算問題不是 當我們解題成功後，再將解題過程改用一個算式記錄，並要求重新再算一次答 案。人們先形成由左往右依次運算的共識；但是當步驟愈來愈多或運算次序發 生混淆時，為了要區別先算什麼，後算什麼，才使用括號來標示先算的部份， 形成先算括號部份的共識；當問題更複雜，使用相同或不同的括號愈來愈多時， 為了要減少使用括號的次數與種類，人們發現先乘除後加減的約定可以省略的 括號最多，所以又形成先乘除後加減的共識，來減少括號的使用 (謝堅，2000) 。 由以上的說明研究者歸納出學童解四則運算文字題的三個步驟： (一)學童先了解題意進而形成解題計畫。 (二)把多步驟的算式簡化寫成一個式子的算式。 (三)這一個式子的算式，學童運用四則運算的規則將之解出。 因此，學童在解四則運算文字題時亦有二項要點： (一)學童先了解題意而形成解題計畫，把多步驟的文字題寫成一個式子。 (二)當式子只有加、減、乘、除以及括號的運算時，我們約定括號內的運算先做， 然後乘、除運算比加、減運算先做，最後才是由左到右依序運算。二、四則運算的規則
四則運算是由多步驟運算概念衍生而來，為了使算式更加的簡潔，以便處理 更深入的問題，所以將二個以上的運算問題記成一個式子。其處理規則如下： (康軒文教事業股份有限公司，2005) (一)當一個四則運算式子只有加法和減法 (或只有乘法和除法) 時，我們就由左 邊往右邊算，會形成這樣的約定，是因為我們的書寫習慣是由左往右，所以 約定由左往右運算。 (二)當式子中乘除運算和加減運算混合時，我們約定先算乘除的部份，再算加減 的部份。會有這個約定的原因是因為乘法是連加的概念，除法是連減的概 念，因而乘除法是加減法的上位概念，所以乘除法比加減法有優先權。 (三)當式子中加減運算混合時，但為了想先處理加減運算的問題 (如表2-1，＊ 的題型) ，或是部份加減問題和乘除問題，要先處理後面運算時 (如表2-1， ＊＊的題型) ，這時我們就必須加一個符號以區別之，以打破先乘除後加減 及由左到右運算的限制。所以必須先算的符號，我們以括號表示之。 (四)當式子中，有加減乘除運算及括號時，我們約定括號內的先運算，然後乘除 比加減先算，最後才是由左到右運算。 表 2-1 二步驟四則運算題型舉例 題型 題型 題型 題型 2＋3＋4 ＊＊ 3－2＋4 ＊ 2×3＋4 ＊ 12÷2＋4 2＋4－3 ＊＊ 8－2－3 ＊ 2×4－3 ＊ 12÷4－2 ＊ 2＋3×4 ＊ 8－2×3 2×4×3 ＊＊ 12÷2×3 ＊ 2＋9÷3 ＊ 8－6÷2 2×6÷3 ＊＊ 16÷4÷2三、四則運算的教材設計
本研究的研究目的，主要探討國小五年級學童整數四則運算的概念表現，而研究對象的選取是九十五學年度第一、第二學期就讀國小五年級的學童。雖 然於此時九年一貫數學科正式綱要已公佈施行，但研究對象所接受的數學課 程，仍是教育部於民國八十九年九月所公佈的數學領域暫行綱要，所以研究者 依據八十九年及九十二年教育部所公佈的數學領域能力指標做一分析比較，以 了解課程編排上的差異性。 (一)八十九年九年一貫數學領域暫行綱要 教育部於民國八十九年九月三十日所公佈的國民中小學數學學習領域九年 一貫課程暫行綱要，數學課程期望學童達成下列目標：一、掌握數、量、形的 概念與關係。二、培養日常所需的數學素養。三、發展形成數學問題與解決數 學問題的能力。四、發展以數學作為明確表達、理性溝通工具的能力。五、培 養數學的批判分析能力。六、培養欣賞數學的能力。 數學領域根據學童的學習方式與思考型態兩項特徵，將九年國民教育區分 為四階段：階段一 (1-3 年級) 、階段二 (4-5 年級) 、階段三 (6-7 年級) 和階段 四 (8-9 年級) 。另將數學內容分為數與量、圖形與空間、統計與機率、代數、 連結等五大主題。為了達成這些目標，數學課程的發展應以生活為中心，教育 部亦制定了詳細的分段能力指標。茲將國民小學階段對四則運算的分段能力指 標彙整於表 2-2。
表 2-2 四則運算的分段能力指標彙整表 (暫行綱要) 階段 分段能力指標 (註) 第一階段 N-1-14 在情境中理解加法和減法的相互關係及加法交換律。 第二階段 N-2-2 延伸加、減、乘、除與情境的意義，使能適用來解決更多 的生活情境問題，並能用計算器械處理大數的計算。 N-2-3 能理解加、減的直式算則。 N-2-14 能在情境中，理解乘法交換律、等號的對稱性、「<、=、 >」的遞移性、加法和乘法的結合律與分配律，以及乘法和除法 的相互關係。 N-2-16 能知道先乘除後加減的約定，並能用來列式及簡化計算 式子。 第三階段 N-3-2 能嘗試理解乘、除的直式算則。 N-3-5 能延伸小數的認識到三位以上 (小數) ，並解決生活中與 小數有關的加、減、乘、除問題。 N-3-21 能在情境中理解等量公理。 A-3-8 能做分數的四則運算。 註：分段能力指標分三碼，第一碼 N 表示數學領域四主題中的「數與量」，A 表 示數學領域四主題中的「代數」；第二碼表示階段；第三碼則是能力指標的流水 號。 (二)九十二年九年一貫數學領域正式綱要 教育部於民國九十二年十二月十四日所公佈的國民中小學數學學習領域九 年一貫課程綱要，數學學習領域的教學總目標為：一、培養學生演算能力、抽 象能力、推論能力及溝通能力。二、學習應用問題的解題方法。三、奠定下一 階段的數學基礎。四、培養欣賞數學的態度及能力。 能力指標係參酌施行有年且有穩定基礎的傳統教材、國際間數學課程必備 的核心題材、數學作為科學工具性的特質、現有學童能夠有效學習數學的一般 能力等原則進行修訂。數學領域將九年國民教育區分為四個階段：階段一為一 至三年級，階段二為四、五年級，階段三為六、七年級，階段四為八、九年級。 另將數學內容分為數與量、幾何、代數、統計與機率、連結等五大主題。為了 達成這些目標，教育部亦制定了詳細的能力指標與分年細目。茲將國民小學階
段對四則運算的能力指標與分年細目彙整於表 2-3。 表 2-3 四則運算的能力指標與分年細目彙整表 (正式綱要) 階段 能力指標 (註一) 與分年細目 (註二) 第一階段 能力指標：N-1-08 能在具體情境中，解決簡單兩步驟問題。 分年細目： 1-n-06 能做一位數之連加、連減及加減混合計算。 2-n-09 能在具體情境中，解決兩步驟問題 (加、減與乘，不含倂 式) 。 第二階段 能力指標：N-2-03 能熟練整數四則混合運算，並解決生活中的 問題。 分年細目： 4-n-03 能在具體情境中，解決兩步驟問題，並學習併式的記法 (包括連乘、連除、乘除混合) 。 4-n-04 能作整數四則混合計算 (兩步驟) 。 5-n-02 能熟練整數四則混合計算。 第三階段 能力指標：N-3-11 能熟練正負數的混合四則運算。 分年細目： 6-n-05 能作分數的兩步驟四則混合計算。 註一：能力指標分三碼，第一碼 N 表示數學領域四主題中的「數與量」；第二碼 表示階段；第三碼則是能力指標的流水號。 註二：分年細目亦以三碼編排，第一碼表示年級；第二碼 n 表示主題「數與量」； 第三碼則是分年細目的流水號。 (三)九年一貫課程數學領域暫行綱要與正式綱要能力指標之比對 九十二年教育部所公佈的課程綱要，與其八十九年所公佈的數學領域暫行 綱要最大的不同在於「分年能力指標」的訂定及教材內容及教學進度上也有相 當的落差 (陳國雄，2006) 。現將關於四則運算之八十九年分段能力指標與九十 二年能力指標與分年細目整理如表 2-4 所示，以作為研究與問題分析的參考。 由表 2-4 可以看出，九十二年數學領域課程綱要，在第一階段就非常強調學童 需學會解決兩步驟問題，但八十九年的暫行綱要，並無出現解決兩步驟問題的 能力指標。第二階段中，九十二年數學領域課程綱要非常明確的列出四則運算
的能力指標與分年細目，八十九年的暫行綱要於四則運算部分卻分散列於多個 分段能力指標之中。而第三階段的九十二年數學領域課程綱要，將分數四則運 算列於五大主題的「數與量」部分，是六年級學童所必須學會的，但八十九年 的暫行綱要將分數四則運算列於五大主題的「代數」部分，而分數四則運算是 七年級學童的能力指標。整體而言，九十二年數學領域課程綱要強調計算能力 的培養，而八十九年的暫行綱要則是較強調計算機的使用。
表 2-4 九十二年、八十九年四則運算的能力指標對照表 九十二年正式綱要 八十九年暫行綱要 階段 能力指標 分年細目 分段能力指標 第一階段 N-1-08 能在 具體情境 中，解決簡 單兩步驟問 題。 1-n-06 能做一位數之連 加、連減及加減混合計 算。 2-n-09 能在具體情境中， 解決兩步驟問題 (加、減 與乘，不含倂式) 。 N-1-14 在情境中理解加法 和減法的相互關係及加法 交換律。 第二階段 N-2-03 能熟 練整數四則 混合運算， 並解決生活 中的問題。 4-n-03 能在具體情境中， 解決兩步驟問題，並學習 併式的記法 (包括連乘、 連除、乘除混合) 。 4-n-04 能作整數四則混合 計算 (兩步驟) 。 5-n-02 能熟練整數四則混 合計算。 N-2-2 延伸加、減、乘、 除 與情境的意義，使能適 用來解決更多的生活情境 問題，並能用計算器械處 理大數的計算。 N-2-3 能理解加、減的直 式算則。 N-2-14 能在情境中，理解 乘法交換律、等號的對稱 性、「<、=、>」的遞移性、 加法和乘法的結合律與分 配律，以及乘法和除法的 相互關係。 N-2-16 能知道先乘除後加 減的約定，並能用來列式 及簡化計算式子。 第三階段 N-3-11 能熟 練正負數的 混合四則運 算。 6-n-05 能作分數的兩步驟 四則混合計算。 N-3-2 能嘗試理解乘、除 的直式算則。 N-3-5 能延伸小數的認識 到三位以上 (小數) ，並 解決生活中與小數有關的 加、減、乘、除問題。 N-3-21 能在情境中理解等 量公理。 A-3-8 能做分數的四則運 算。
九年一貫數學領域之課程綱要於 92 年 11 月 14 日正式發佈，並將於 94 學 年度起自一年級及七年級同步逐年實施。因此 93 學年度一年級至六年級的學 童，皆面臨國小階段與國中階段使用不同課程標準的狀態，為協助學童平順的 銜接這二套課程標準，教育部規劃了銜接與補強計畫進行輔導 (教育部， 2004) ，其中對於五年級學童希望能熟練整數四則混合運算，升至六年級時能 熟練分數四則混合運算。詳細的四則運算補強內容列於表 2-5。 表 2-5 五年級補強內容 (93.2 至 93.6 適用) (教育部，2004) 補強內容 暫行綱要 指 標 新 綱 要 指 標 (1)加強整數的四則直式計算 ○1 加減法原則上不限位數，但至少應包含 4 到 5 位計 算的熟練度，作為乘除計算的基礎。 ○2 乘法直式計算，至少包含 4 位數乘以 1 位數、4 位 數乘以 2 位數的熟練，並能作 3 位數乘以 3 位數的 計算 (不必熟練) 。 ○3 依序增加被除數位數，熟練多位數除以 1 位數 (至 5 位數除以 1 位數) 和多位數除以 2 位數 (至商為 2 位數且個位數不為 0 的情況) ，並能作除數是 3 位數的情況 (不必熟練) 。 N-2-3 N-3-2 N-2-02 (2)加強四則混合計算 (不超過三步驟) ○1 在處理情境問題與理解算式約定之後，提供更多去 情境之練習題，藉以熟練直式計算，計算數字不必 太小，但在 (1) 的限制之內。 N-2-16 N-2-03
第二節 整數四則運算與二步驟文字題相關研究
在國小數學課程中，數學的運算一直佔有極重要的地位，數學的學習亦是 從認識加、減、乘、除中開始的，藉著學童解四則運算試題的過程，可以對學 童的認知發展與認知結構更加的認識與瞭解，以下針對幾位研究者對於四則運 算與二步驟運算的研究加以說明與分析。一、整數四則運算相關研究
江鈞正 (2004) 研究線上多媒體教學系統對國小整數四則運算應用問題解 題能力與興趣，希望使用 Flash 軟體設計 web 上的「多媒體電腦輔助教學系統」 實施教學，來強化其數學應用問題時的解題能力。其研究結果發現使用過線上 多媒體教學系統的學生對用電腦來學習數學的正面評價比傳統教學高，且學生 對線上多媒體教學系統的操作介面、學習動機、學習需求、學習成效滿意度甚 高。 陳博文 (1996) 對國小學童四則運算能力的研究，研究結果發現，學童在整 數加法、整數減法、整數乘法上較無困難，然而在整數除法、小數運算、分數 運算和四則混合運算上，有較多困難。研究也發現，學童先前的錯誤規則會延 續至同類型的運算中，而阻礙往後的學習。 侯鳳秋 (1998) 研究適性 CAI 中個人化文意範例對增進國小四年級學生解 數學文字題成就的可行性。研究結果顯示文意呈現方式與性別之間沒有交互作 用存在，且文意呈現方式與數學解題能力兩因素之間有交互作用存在，而以個 人化文意方式呈現文字題，可增加學習動機。 張蓓莉 (2006) 研究啟動建構學習的教學方式，對聽覺障礙學童四則運算文 字題的教學效果，研究發現啟動建構學習的教學方式，可提升大部分聽覺障礙 學童解四則運算的能力。 許家驊 (2001) 在整合評量與教學結合的「多階段動態評量」模式，對國小 三年級學生在數學「二步驟四則問題」的學習表現，並作系列性的評估及促進。 是結合二步驟四則問題教學的進行將評量的流程分為輸入、處理、輸出三個階 段來實施。發現提供的中介協助能夠明顯有效地提昇個體在單步驟、二步驟、 三步驟各項作業上的表現狀況，且個體各項作業的協助前表現與協助後表現都 有顯著的正向相關，也就是先備能力與能力成長及新能力的開展都是有著正向 的關聯。劉天民 (1992) 調查國一學生在整數與分數四則運算之錯誤情形，並探討學 生可能犯錯的原因。研究結果顯示學生在進行加減法運算時，會誤用乘法運算 性質；學生在對四則運算的規則上，運用不太恰當，忽略了先乘除後加減的規 則及未考慮括號前後的運算情形；且學生在含零運算式中，誤用任何數乘以零 等於任何數或使用任何數乘以零等於任何數的錯誤運算原則。 郭正仁 (2001) 採取調查與面談方式來探討高雄市國二生在多項式四則運 算之錯誤情形及原因，發現學生常犯的錯誤有：類推、括號、移項、遺漏、定 義認知的錯誤、明顯的計算錯誤、粗心筆誤、運算不完全、隨意寫、空白。而 學生會以最容易或最簡單的方法來解決問題，而不會遵守一些運算法則；學生 也不知括號的使用意義及位置，認為有無括號是一樣的，且對於文字題有語文 知識上的錯誤，看到和就用加法，差就用減法。 賴麗卿 (2003) 經由電腦補救教學的實施過程中，探測研究對象的概念改變 情形，研究顯示：個案學生在係數計算上仍延續著「整數與分數四則運算」的 錯誤，只要題目中的多項式出現負號或減號，就會盲目使用符號法則；而電腦 補救教學改善了個案學生的五大數學學習障礙。 蘇聖峰 (2005) 主要調查屏東地區國一學生在分數四則運算時，所產生的錯 誤情形及探討產生錯誤的原因。研究結果顯示，學生於整數四則運算時，其運 算能力和基礎沒有培養好，導致分數運算時，在分子運算部分常會延續整數的 錯誤發生，而學生沒有確實瞭解四則運算的規則，喜歡從簡單或容易運算的部 分先著手，且計算錯誤是學生在測驗中無法得分的一大原因，而這其中不小心 運算錯誤、看錯題目或筆誤都佔了很大部分。 陳國雄 (2006) 探討國小四年級學童整數四則運算問題解題歷程的表現，以 了解學童的解題能力、策略及錯誤類型與原因。經筆試測驗與晤談後，發現如 下：學童整數四則運算問題的表現，在加、減兩步驟和乘、除兩步驟類型問題 的答題表現較佳；在加 (減) 、乘兩步驟和加 (減) 、除兩步驟類型問題的答題 表現較差。而學童在整數四則運算所使用的解題策略有：使用最擅長或是最近
才教的運算法、由數字大小來決定運算符號、將所有運算都試過再選出最適當 的答案、利用關鍵字、先猜測答案是大 (用乘或加) 或小 (用減或除) 。且解題 時經常犯錯的錯誤類型：加 (減) 法運算錯誤、加 (減) 法進退位的概念不清 楚、乘 (除) 法直式運算不熟練、錯用乘 (除) 法運算符號、缺乏乘法結合律的 基模知識、不會運用併式和除法的結合律來表徵、未依據四則運算的計算約定、 不懂的運用括號區分計算的先後次序、缺乏基本數學知識與概念、錯用資訊及 已知條件、缺乏估算的能力、看錯題目數值、錯誤表徵列式、任意使用運算符 號、算式表徵不完整。 楊淑靜 (2007) 主要是對四則運算文字題有列式 (算式填充題) 困難的三 年級學童，進行補救教學，並探討補救教學實施情形及其成效。研究結果顯示 結合圖示與擬題教學策略的補救教學活動能有效提升學童之列式能力。 陳家弘 (1997) 探討探討數學學習障礙學生的解題策略，研究結果發現數學 學習障礙學生進行數學解題的特徵有：認為自己的答是案對的、認為同學抄襲 他的、表面判斷不重意義、直式運算、等號意義不明、不願多花時間、重答案 輕過程、不願再思考、任意編算式、遺忘規則、遺漏答案、質疑同學能力而非 邏輯問題。 林秋榮 (2001) 在探討電腦化動態評量對增進國小三年級學習障礙學生整 數四則問題解題之可行性，以及學生在電腦化動態評量的解題表現情形。研究 發現電腦化動態評量數學解題系統可以提昇國小學習障礙學生整數四則問題解 題能力；且在整數四則問題解題錯誤題型方面，以兩步驟題文字題、多餘訊息 文字題、除法的預備經驗等題目比例較高。 曹宗萍 (1988) 研究高屏地區國小學童四則運題的解題表現及相關因素， 其研究結果發現，兒童語文或閱讀理解能力的高低與認知發展的快慢會影響其 四則問題的解題過程表現，而多步驟等分除比單一步驟包含除的問題較易為兒 童理解。 楊瑞智 (1990) 探討四則運算的錯誤類型及在教學上的應用，指出學生四則
運算上的錯誤不只受到學生是否有完備的演算法則和原始模式潛在的影響，還 受到問題的語意結構及描述語言的影響。 Page (1969) 在數字的基本運算規則一書中提到，不當的應用四則運算規則 會造成計算錯誤，其錯誤的原因來自於學童受先前所學的運算所影響，也可能 來自於學童沒仔細的辨別所引起的。 Sowder (1988) 訪問了中小學的學童，發現了學童教常用的解題策略是使用 剛敎過的運算法、運算符號的使用是由數字大小決定的、將所有運算都試過再 選出正確的答案、利用關鍵字、瞭解題意後再運算。 Jenck (1981) 在教與學的概念性問題中，指出學生學童在運算符號的操作與 實物操作的連結上，只依照記憶中的規則使用，但有些規則是不能使用在某些 題目中的，但學童並無法區別。
Brown and Van Lehn (1980) 提出「修補理論」 (Repair Theory) ，認為學童 解題錯誤是由於學童的解題算則不完整或無法解出試題時，就會去尋求其他的 規則或是知識來解決困難。雖然最後還是解題錯誤，但至少是做了，也完成了 老師交代的任務。 Cai (1998) 以 181 位美國學生和 223 位中國六年級學生為研究對象，調查 研究美國和中國學生數學解題的能力，發現中國學生的計算方面能力優於美國 學生。
McNeil, and Alibali (2004) 研究四年級學童數學運算式的轉譯能力，發現經 驗可幫助也可以阻礙學童運算式的轉譯能力。 綜合以上研究者的研究，發現研究者們的研究大多以電腦輔助教學為主， 希望能以電腦輔助教學對學童有所助益，另外還有些研究者是研究學童四則運 算的錯誤原因、類型及學童四則運算的解題特徵；以研究對象來說，有些研究 者是針對學習困難或學習障礙的學童進行研究，有些研究者則對三、四年級學 童或六、七年級學童進行研究。其中很少針對五年級學童進行為期一學期的四 則運算縱貫研究，所以本研究擬以五年級學童為研究對象，應用潛在類別分析，
期能更深入的瞭解學童在各解題規則的表現，以提供教師教學時之參考。
二、二步驟文字題相關研究
蔡佳苓 (2005) 探討高雄縣數學低成就學生以不同讀題方式解數學應用題 之差異，題型皆為「多餘訊息」及「二步驟」問題。研究發現造成數學低成就 學生解題表現差的主要原因非因其解題執行有困難，而是在問題轉譯、問題整 合或解題計畫及監控階段就出現了問題。 高嘉苹 (2002) 在研究建構教學對聽覺障礙學生學習數學二步驟文字題的 成效，其研究發現建構教學對四個個案在二步驟文字題意理解的表現、文字題 算式紀錄的表現、文字題計算能力的表現有立即效果及保留效果。 邱佳寧 (2001) 在瞭解國小普通學生和數學學習障礙學生在解題能力、策略 和解題錯誤原因的差異，研究結果為數學學障學生解題的正確率依次為一致語 言、不一致語言、多餘訊息和二步驟問題，而「二步驟題型」的解題策略為關 鍵字、理解題意和拼湊法。 林能傑 (1994) 研究學生二步驟問題的解題表現，發現學生答對情形會因題 型的不同而有顯著差異，在運算方面則顯示出︰＋×最簡單，＋÷與－×次之，－ ÷最困難。 江宜真 (2007) 探討國小二年級學童面對不同步驟加減法文字題時的迷思概 念，並配合徑路搜尋法找出學生知識結構圖之變化。研究發現高分群與中分群 學童的概念在加減法的第一步驟有所差異，故在學習二步驟之前，學童一定要 完全了解第一步驟的類型。 江美娟、周台傑 (2003) 研究後設認知策略教學對國小數學學習障礙學生解 題成效，發現數學學習障礙學生在接受後設認知策略教學後，能顯著增加二步 驟題型的得分。 Corte (1991) 研究學童二步驟問題的解題過程，研究結果發現比較型的二步驟文字題中，解題歷程會受到不同語意結構的影響。
Hocever, Storm, College, Zimmer, and Zarnegar (1987) 研究二步驟問題的組 織與技巧，發現二步驟文字題解題時的第一步驟即使相當簡單，但對學生而言 還是相當困難的。 Quintero (1983) 研究 9-14 歲兒童二步驟問題概念上的了解，其研究發現影 響二步驟解題的主要因素是文字題中的文字概念與語意關係，而且由訪談過程 中發現語意結構是影響解題的最主要因素。 Quintero (1984) 對 71 名五年級學童在二步驟文字題的研究中，發現約有 66.6%的學童無法解出二步驟文字題，原因是對語意概念的不了解及解題策略使 用錯誤。
Shalin and Bee (1985) 針對三、四、五年級學童研究二步驟文字題的不同結 構，結果發現不管在任何年級，語意結構都會影響學童的解題表現。
Huinker (1992) 研究教學對部份整體的一步驟和二步驟文字題的解題影 響，其研究對象為四年級的學童，研究結果顯示實驗教學對於中高能力的學童 皆有所助益，另外亦提出一些增進學童解二步驟文字題的建議。
Nesher and Hershkovitz (1994) 分析、研究二步驟文字題系統所扮演的角 色，研究樣本為 3~6 年級學童，研究發現語意結構會讓二步驟文字題的解題變 得較為困難，但這個困難的影響會因為年級的增加而遞減。 二步驟問題是指必須使用二次運算才能解決的問題，使用二步驟運算的運 算符號不僅限於加法或減法，而解決二步驟的問題，要先建立「子」目標，也 就是解決第一步驟的問題 (甯自強，1993) 。而以上研究者的研究多發現學童對 於解決一步驟的文字題較為熟悉，但對於解二步驟問題較為困難，研究者亦探 究其原因發現學童對文字語意的詮釋困難或無法成功的將問題轉譯及整合。 綜合以上研究者的研究，發現有些研究對象是針對低成就或特殊學童進行 研究，有些則是進行跨年級的研究；另外有些研究者則是針對學童的解題表現、 解題歷程進行研究。其中並無針對五年級學童進行為期一學期的縱貫研究，所
以本研究擬以五年級學童為研究對象，以整數四則運算二步驟試題為主，題目 的設計以生活化為原則，希望能藉以瞭解學童整數四則運算概念表現情形。
第三節 潛在類別分析
一、潛在類別分析之意義
(一)潛在類別分析的由來 潛在類別分析是利用機率概念，來對受試者分群，最先是由Lazarsfeld (1950) 所提出的，使用在二元變項的分析模式，其後Goodman (1974) 則是發展了最 大概數估計的概念來求參數解，使得潛在類別分析更具實務上的運用，一般研 究者皆用此法來進行母數估計 (吳毓瑩、林原宏，1996) 。 (二)潛在類別分析的概念 「潛在變項」 (latent variable) 是指在進行研究時，所無法直接觀察與測量 的假設概念 (像智力、動機、態度、社會結構等) ，這些概念也不一定真實的存 在，所以稱為潛在變項 (郭丁熒，2001) 。而Bartholomew (1987) 依照外顯變項 及潛在變項的計量與類別關係，將潛在變項的分析方法分為因素分析 (factor analysis) 、潛在側面圖 (latent profile analysis) 、潛在特質分析 (latent trait analysis) 、潛在類別分析 (latent class analysis) 四種，如表2-6所示。潛在類別 分析即是將受試者的答題資料輸入，經過分析後就可以將受試者分類，而不同 的類別的受試者將有不同的認知結構。表 2-6 潛在變項分析法的分類 外顯變項 (輸入資料) 資料型態 計量 類別 計量 因素分析 潛在特質分析 潛在變項 (輸出資料) 類別 潛在側面圖 潛在類別分析 (摘自Bartholomew, 1987, p.4) 潛在類別分析模式是一種多變量的類別統計方法，其在醫學上的應用很常 見，像是界定疾病的亞型或是診斷的次類別，而在其他領域的應用包含了市場 研究、調查研究、社會學、教育學等 (Uebersax, 2003) 。潛在類別分析中最重 要的假設是「局部獨立 (local independence) 」 (鄭蕙如，2005) ，其潛在特質 是屬於類別狀態，在同一類別中，試題的反應之間是互相獨立的，因此可以根 據事後機率，將受試者分配在所屬的潛在類別，來尋找適合的組數與結構 (吳 毓瑩、林原宏，1996) 。 (三)潛在類別分析的優點 潛在類別分析是利用測驗題型的的反應組合，找出異質的受試群體中，相 同的特質；也就是依受試者答題的反應組型，將受試者做最佳化的異質群體分 類，詮釋受試者的解題規則或內在的認知結構 (吳毓瑩、林原宏，2006；Jansen & Van der Maas, 2002) 。
潛在類別分析的主要作用在於分群，使用潛在類別分析有二個優點，第一 個是可以知道潛在變項中不同類別的比率，第二個是可以估測出落於每一個類 別可能答對的機率 (謝如山，2003) 。 吳毓瑩、呂玉琴 (1997) 亦提到應用潛在類別分析模式，在兒童學習上有可 達成認知診斷的功能、可用在分組合作學習時的參考、可觀察認知結構改變的 歷程等三大益處。
二、潛在類別分析方法
本研究是應用潛在類別分析，將學童的答題資料輸入後，依學童答題的反 應組型，將學童分群以了解學童解題規則的分布情形。潛在類別分析的過程必 須估計參數，包含各類別組佔全體樣本的比例，以及每一題在各類別組內的答 對機率值，將參數估計完成後，便可以依各潛在類別在題目上的答對機率及解 題規則做各個類別認知結構的描述。接下來，根據受試者的反應組型，來計算 受試者的事後機率並將其歸類，由此可以看出受試者的反應特性並得知其認知 結構，以做為教育上之診斷與學習分組之用 (吳毓瑩、林原宏，1996) 。 以下說明潛在類別分析所使用之符號，解釋如下： (引自吳毓瑩、林原宏， 1996) (一)受試有效人數共N人，以 為受試者代號，則i i=1,2,L,N。 (二)分析的題數共有K 題，以 為各題之代號，則k k=1,2,L,K。 (三)受試者對各題之反應組型，以x表示。計分方式為二分法 (dichotomous) ， 答對為 1，答錯為 0。受試者i對題目 的反應為 ，而對全部題目的反應向 量則為 。 k xik i X (四)根據研究所得之反應資料，可將受試者分為C個類別，以 表示各類別，則 。 c C c=1,2,L, (五)試題 在類別 的條件下，其條件機率 (conditional probability) ，或稱通過 率為 k c kc θ 。 (六)類別c人數佔全體受試人數比例為αc。 了解各符號意義後，我們可以依照下列步驟估計出各參數之值。潛在類別 分析的估計方法一般都採用最大可能估計法 (maximum likelihood estimation, MLE) ， 輔 以 由 Dempster, Laird, and Rubin (1977) 所 提 出 的 EM 迭 代 法 (expectation and maximization) 估計。(一)最大可能估計法 首先令 表示受試者 的反應向量 在類別 c 中對於各題反應的 條件機率函數，則： ) (X c pi i； i Xi ) ; (X c p i =
∏
= − − K k x kc x kc ki ki 1 ) 1 ( ) 1 ( θ θ 此反應向量在全部組別中的機率則為上式的條件機率與各類別的比重乘積之 和： ) (Xi p =∑
∏
= − = − × K k x kc x kc C c c ki ki 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( θ θ α 任ㄧ組反應向量Xi ，屬於特定潛在類別的事後機率為： ) (cXi p = ) ( p ) 1 ( 1 ) 1 ( i K k x kc x kc c X ki ki∏
= − − × θ θ α 令最大概似函數為： L=∏
∑
∏
= − = = − K k x kc x kc C c c N i ki ki 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( ( α θ θ 取 log 之後則為 log L=∑
= N i i X p 1 ) ( log 針對各參數進行偏微分，可得各參數估計值。 N X c p N i i c∑
= = 1 ) ( ˆ α (1) c N i i ki kc N X c p x α θ ˆ ) ( ˆ 1 × × =∑
= (2)此外，由貝氏事後機率 (Bayes’ posteriori probability) 可知
) ( ) ; ( ˆ ) ( i i X p c X p X c p i c × =α (3) 由以上 (1) (2) (3) 式的關係，可以進行 EM 法的迭代估計。
(二) EM 迭代法 1.首先在估計步驟 (estimation) 中 ，將 (3) 式中的αˆc和 給定初始值 (initial value) ，並得到事後機率 kc θˆ ) (cXi p 。 2.在最佳化步驟 (maximization) 中將p(cXi)代入 (1) (2) 式的右端，並在左端 得到新的αˆc和θˆkc。 3.將得到的兩個值代入 (3) ，再進入估計步驟，以獲得新的事後機率，取代原 先的初始值。 4.將新的事後機率估計值代入 (1) (2) 式的右端，回到 2 的最佳化步驟，如此步 驟 2、3、4，不停的重複重複和迭代 (iteration) ，進行估計與最佳化的工作， 直到估計值達到收斂 (convergence) 。 EM 估計法利用方程式之間不斷地迭代，此計算不複雜卻相當的冗長，現今 可借用電腦強大的運算能力，使得 EM 估計法相關的程序，能在短時間內完成。
三、潛在類別分析在認知學習上的相關研究
潛在類別分析在認知學習上的探討，有Haertel (1989) 探討測驗試題所含有 作答所需的知識結構與技能；Macready and Dayton (1992) 用潛在類別模式分析 適性測驗；Rindskopf (1983，1984) 將此模式用來探討教育領域中的學習模式； Notenboom and Reitsma (2007) 應用潛在類別分析學童的拼音規則與型態；Yang,Shaftel, Glasnapp and Poggio (2005) 運用潛在類別分析方法，分析特殊教育學生 的數學能力；葉光輝、劉長萱 (1995) 應用此模式討論李克特式的生活感受量表 中的潛在類別；吳毓瑩、林原宏 (1996) 將此模式應用於除法的概念結構；吳毓 瑩、呂玉琴 (1996) 應用此模式於等值分數概念；謝如山 (2003) 則將此模式應 用在在括號概念方面；莊嘉坤 (1995) 對學生的科學態度之潛在特質，進行類別 的分析；溫美玲 (2004) 應用潛在類別分析測驗結果，建立潛在類別模型，應用 於2003年第一次國中基本學力測驗上；陳惠萍 (2007) 以此模式探討高年級學生
相關性問題之解題規則；劉家惠 (2006) 應用潛在類別分析國小數學領域錯誤類 型；鄭蕙如 (2005) 用於研究國中生數學內容知識與認知能力。而潛在類別分析 在教學上用途，可針對具有相同的概念結構的學生分群，據以瞭解各群學生認 知結構的特徵 (陳惠萍，2007) 。
第三章 研究方法
本研究係採調查研究法，透過文獻的探討，以國小五年級學童為研究 對象，進行一學期縱貫研究。本章將就整個研究架構、研究樣本、研究工 具、資料分析方法加以討論。第一節 研究流程
本研究在確立研究主題與目的後，並隨即開始進行相關的文獻閱讀與 收集。接下來進行試題的編修，分別於五年級上學期與下學期各施測一次， 最後即進行資料的分析與整理。根據本研究的研究目的，提出研究流程圖， 如圖 3-1 所示。 確定研究目的與主題 確定研究目的與主題 評閱潛在類別的相關文獻 評閱潛在類別的相關文獻 評閱四則運算的相關文獻評閱四則運算的相關文獻 編製試題 編製試題 資料分析與整理 資料分析與整理 對五年級學童進行第一次施測 對五年級學童進行第一次施測 資料分析與整理 資料分析與整理 潛在類別分析潛在類別分析 對五年級學童進行第二次施測 對五年級學童進行第二次施測 修正題目內容及敘述方式 進行預試 進行預試 研究結論與建議 研究結論與建議 資料分析與整理 資料分析與整理 潛在類別分析潛在類別分析 一學期 一學期 圖 3-1 研究流程圖第二節 研究樣本
本研究主要的目的是在探討「國小五年級學童四則運算的概念能力」， 故選擇國小五年級學童為研究的樣本。但礙於研究者的時間、人力與物力 的限制，本研究採取立意取樣。以下分述預試樣本及正式施測樣本。一、預試樣本
為了獲知學童對於本四則運算試題內容設計是否熟悉及對試題的題意 是否了解等訊息，以便使研究者能進一步修正試題，故於正式施測前先進 行預試。本研究預試樣本來自臺中縣的某國民小學，由於預試時並無五年 級下學期學童，而六年級上學期開學初的學童，與五年級下學期末的學童 解題規則較為類似，故於九十五學年度開學初分別以甲、乙兩卷對國小五、 六年級學童進行預試，五年級施測的樣本數為 98 人，六年級施測樣本數為 88 人，有效樣本共計 186 名學童。預試施測有效樣本分布如表 3-1。 表 3-1 預試施測有效樣本分布表 縣市名稱 學校代號 年級 施測班級 代號 有效樣本 (人) 合計 五 1 35 五 2 35 98 A 校 五 3 28 六 4 30 六 5 30 88 臺中縣 B 校 六 6 28 合計 186 186二、正式施測樣本
本研究在完成預試分析與修正試題後，分別在九十五學年度第一學期學期 末及第二學期學期末各施測一次，對同一群五年級學童以複本試題「自編四則 運算解題測驗甲卷」 (見附錄一) 及「自編四則運算解題測驗乙卷」進行正式施 測 (見附錄二) 。研究樣本取自臺中市、臺中縣及彰化縣三縣市，共 4 所學校總 計 12 個班級，刪除上下學期轉出、轉入的學童及視障、學障等無效樣本人數， 共計 391 人為有效的施測樣本。茲將正式施測有效樣本分布情形，列於表 3-2。 表 3-2 正式施測有效樣本分布表 縣市名稱 學校代號 施測班級代號 有效樣本 (人) 合計 1 32 2 34 臺中市 甲校 3 32 98 4 31 5 30 乙校 6 33 94 7 33 8 35 9 34 臺中縣 丙校 10 33 135 11 31 彰化縣 丁校 12 33 64 合計 391 391第三節 研究工具
本研究所使用的工具包括自編四則運算解題測驗，以及相關的統計軟體 等。本研究工具說明如下：一、自編四則運算解題測驗
本自編測驗分為兩大題，第一部分為計算題或非文字題，第二部分為應用 題或文字題。 (一) 自編試題內容 本研究工具前、後測試題分別為「自編四則運算解題測驗甲卷」 (見附錄 一) 及「自編四則運算解題測驗乙卷」施測 (見附錄二) ，其編製原則主要根據 四則運算的處理方式「由最左到右依序運算」、「先乘除，後加減」、「使用括號」 等運算規則所設計而成，所以本研究以此三大四則運算規則，共二十四種概念 能力為依據，分文字題與非文字題，編製試題四十八題，以此對國小五年級學 童進行施測，作答時間以完成為原則，由於本研究乃針對國小五年級學童四則 運算解題規則進行研究，並不涉及學童的計算能力，所以本研究試題的數值較 小，其四則運算規則題型，列於表 3-3。表 3-3 四則運算規則題型一覽表 運算規則 文字題題號 非文字題題號 由左到右運算 ＋ ＋ 二、1 一、1 － － 二、2 一、2 ＋ － 二、3 一、11 － ＋ 二、4 一、12 × ÷ 二、8 一、3 ÷ × 二、9 一、4 × × 二、10 一、19 ÷ ÷ 二、11 一、20 先乘除後加減 × － 二、18 一、5 ÷ － 二、19 一、6 × ＋ 二、5 一、21 ÷ ＋ 二、12 一、22 ＋ × 二、13 一、13 ＋ ÷ 二、14 一、14 － × 二、15 一、23 － ÷ 二、16 一、24 使用括號 括號位於前二個數字 ＋ × 二、17 一、7 － × 二、6 一、8 ＋ ÷ 二、7 一、15 － ÷ 二、20 一、16 括號位於後二個數字 × ＋ 二、23 一、9 × － 二、21 一、10 ÷ ＋ 二、22 一、17 ÷ － 二、24 一、18 (二)自編試題計分方式 本測驗委由班級級任導師參閱「施測指導說明」來進行施測，施測時間以
完成為原則。「自編四則運算解題測驗」試題中，包含文字題 24 題及非文字題 24 題，依學童答題情形分別給予 1 或 0 分，完全正確給 1 分，答錯給 0 分。文 字題共 24 分，非文字題共 24 分，二者共計 48 分。 (三)預試試題品質分析 1.信度分析 信度 (reliability) 是指測量結果的一致性或穩定性，測量的結果一致性愈 高，表示測驗分數愈穩定 (郭生玉，1989) 。在預試信度方面，本測驗以 Cronbach α係數來分析受試者對每一試題反應的一致性情形，本研究工具自編四則運算解 題測驗題本甲卷其 Cronbach α值為.93，而自編四則運算解題測驗題本乙卷其 Cronbach α值為.95，代表本測驗具有相當的信度。再從信度分析情形 (如表 3-4) 來看，預試試題 Cronbach α係數值並沒有因為刪除某題後變得非常的高，所以 無需刪除試題。
表 3-4 預試信度分析表 項目刪除時的 Cronbach α係數值 項目刪除時的 Cronbach α係數值 題號 甲卷 乙卷 題號 甲卷 乙卷 ㄧ、1 .93 .95 二、1 .93 .95 ㄧ、2 .93 .95 二、2 .93 .95 ㄧ、3 .93 .95 二、3 .93 .95 ㄧ、4 .93 .95 二、4 .93 .95 ㄧ、5 .93 .95 二、5 .92 .95 ㄧ、6 .93 .95 二、6 .92 .94 ㄧ、7 .93 .94 二、7 .92 .94 ㄧ、8 .93 .94 二、8 .93 .94 ㄧ、9 .93 .94 二、9 .92 .94 ㄧ、10 .93 .94 二、1 .92 .94 ㄧ、11 .93 .95 二、11 .92 .94 ㄧ、12 .93 .95 二、12 .93 .94 ㄧ、13 .93 .94 二、13 .92 .94 ㄧ、14 .93 .94 二、14 .93 .94 ㄧ、15 .93 .94 二、15 .92 .94 ㄧ、16 .93 .95 二、16 .92 .94 ㄧ、17 .92 .94 二、17 .92 .94 ㄧ、18 .93 .94 二、18 .92 .94 ㄧ、19 .93 .94 二、19 .92 .94 ㄧ、20 .92 .94 二、2 .92 .94 ㄧ、21 .93 .95 二、21 .92 .95 ㄧ、22 .92 .94 二、22 .92 .94 ㄧ、23 .93 .95 二、23 .92 .94 ㄧ、24 .92 .94 二、24 .92 .94 2.效度分析 效度 (validity)係指此測驗能否準確的測出所要的能力或是其潛在特質的程 度，或者說測驗能測出其編製所要測出的目的。在此說明本研究之內容效度及 專家效度。
(1)內容效度 (content validity) 內容效度是指測驗題目內容是否符合所預期的目標。依據表 3-3 四則運算 規則題型一覽表，可檢查到欲測量的目標與測驗的題目相符，所以本研究之自 編四則運算解題測驗題本具有內容效度。 (2)專家效度 本研究的工具自編四則運算解題測驗題本，經一位數學數學教育專家及五 位擔任國小高年級數學科教師審閱、提供意見，研究者整合各專家意見加以修 正，使得本自編之四則運算測驗題本具有較良好的專家效度。
二、相關的統計軟體
本研究所使用的電腦軟體包含： (一) EXCEL 2000 (2000) ：以此軟體建立受試者的基本資料及答題資料。 (二) SPSS 12.0 中文版 (2000) ：此為統計套裝軟體，以此軟體分析資料的信度 等基本描述性統計量。 (三) WINMIRA 2001：以此軟體進行潛在類別分析，探究國小五年級學童在四 則運算概念認知結構之潛在類別。第四節 資料分析方法
本研究在預試與正試測驗試卷回收後，加以整理淘汰無效樣本後，先以 EXCEL 軟體進行原始資料的輸入與整理，其後將原始資料轉入 SPSS 軟體，進 行試題描述性統計分析，另外再使用 WINMIRA 2001 軟體進行潛在類別分析， 探究國小五年級學童在四則運算概念認知結構之潛在類別。資料分析項目如下：一、描述性分析
(一)分析「自編四則運算解題測驗」甲卷及乙卷，每個題目的信度。(二)分析受試者在前、後測於四則運算各規則的解題表現情形。 (三)分析受試者於四則運算前、後測的解題表現差異情形。
二、潛在類別分析
(一)分析受試者在前、後測的四則運算測驗於各規則的潛在類別。 (二)探討受試者經過一學期後，其認知結構的變化情形。
第四章 結果與討論
本研究探討國小五年級學童四則運算規則的概念表現情形，針對研究目的 進行探究，過程中透過紙筆測驗，以測驗結果蒐集資料，最後以 SPSS 統計軟 體分析及潛在類別分析施測的結果，本章將針對分析的結果加以說明與討論。第一節 四則運算解題表現
本節主要探討五年級學童對四則運算運算規則「由左到右依序運算」、「先 乘除，後加減」及「使用括號」的解題表現情形。以下就五年級學童前測和後 測的解題表現情形加以說明。一、
「前測」整數四則運算規則之解題表現情形
針對國小五年級上學期 391 位學童整體答題情形來看，滿分 48 分，平均答 對題數為 40.31 題，標準差為 7.21。整體而言，文字題部分滿分 24 分，平均答 對題數為 18.91 題，答對率為.79；非文字題部分滿分 24 分，平均答對題數為 21.39 題，答對率為.89，學童的四則運算解題表現，非文字題部分比文字題部分表現 佳。以下針對本研究試題，分為文字題與非文字題兩大部分，再分別就其運算 規則「由左到右依序運算」、「先乘除，後加減」及「使用括號」探討之。 (一)前測文字題部分 依據此測驗試題於文字題的三大運算規則之概念表現分析，發現學童在「由 左到右依序運算」概念的試題試題總分 8 分，平均分數為 7.01，「先乘除，後加 減」概念的試題試題總分 8 分，平均分數為 6.46，「使用括號」概念的試題試題 總分 8 分，平均分數為 5.44，顯示出「使用括號」運算規則對學童來說最為困 難、錯誤率亦較高；而「由左到右依序運算」及「先乘除，後加減」運算規則 對學童來說則較為簡單，平均分數相差不大，以下對各個不同的運算規則表現，以表 4-1 來做數據呈現與分別說明之。 1. 由左到右運算 學童文字題部分「由左到右依序運算」運算規則答對率皆在.70 以上，於二 1 及二 2 題學童答對率甚至高於.90，顯示四則運算中的連加及連減問題，對學童 來說是較容易理解的。 2. 先乘除，後加減 學童文字題部分「先乘除，後加減」運算規則答對率皆在.65 以上，但其中 二 12 題的答對率最低，顯示出於先除後加的問題，對學童來說是較為困難的。 3. 使用括號 學童文字題部分「使用括號」運算規則答對率皆在.60 到.80 之間，而二 17 題答對率在.80 以上，所以括號於前二個數字先加後乘的部份對學童來說較為容 易，而其餘各題的答對率皆在.60 到.70 之間。 表 4-1 前測文字題的答對率 由左到右依序運算 先乘除，後加減 使用括號 題號 答對率 題號 答對率 題號 答對率 二 1(＋＋) .92 二 18(×－) .88 二 17(＋×) .80 二 2(－－) .94 二 19(÷－) .79 二 6(－×) .62 二 3(＋－) .86 二 5(×＋) .86 二 7(＋÷) .71 二 4(－＋) .86 二 12(÷＋) .68 二 20(－÷) .65 二 8(×÷) .88 二 13(＋×) .84 二 21(×＋) .65 二 9(÷×) .86 二 14(＋÷) .72 二 22(×－) .64 二 10(××) .88 二 15(－×) .86 二 23(÷＋) .63 二 11(÷÷) .77 二 16(－÷) .84 二 24(÷－) .74
(二) 前測非文字題部分 依據此測驗試題於非文字題的三大運算規則之概念表現分析，發現學童在 「由左到右依序運算」概念的試題試題總分 8 分，平均分數為 7.20、「先乘除， 後加減」概念的試題試題總分 8 分，平均分數為 6.53、「使用括號」概念的試題 試題總分 8 分，平均分數為 7.66，可看出「先乘除，後加減」運算規則對學童 來說最為困難、錯誤率亦較高；而「由左到右依序運算」及「使用括號」運算 規則對學童來說則較為簡單，平均分數高達 7 分以上，顯示所有學童幾乎皆已 經了解了由左到右依序運算及括號先行運算的運算規則，以下對各個不同的運 算規則表現，以表 4-2 來做數據呈現與分別說明之。 1. 由左到右依序運算 學童於非文字題部分「由左到右依序運算」運算規則上答對率皆在.70 以 上，尤其以一 1 題答對率高達.95，答對率幾乎是百分之百，顯示連加問題對學 童來說是簡單容易且易懂的；而以一 4 題先減後加依序運算答對率最低。 2. 先乘除，後加減 學童非文字題部分「先乘除，後加減」運算規則上答對率在.90 到.60 之間， 答對率相差較大，對於非文字題一 21 題，先出現乘號再出現加號部分，學童答 對率在九成以上，顯示這部份對學童來說是較容易的；而一 13 及一 14 題對學 童來說是較困難的，顯示先加後乘號及先加後除，對學童來說較為困難，而學 童通常是忘了要先算乘或除號再算加或減號的運算規則。 3. 使用括號 學童非文字題部分「使用括號」運算規則上答對率幾乎皆在.90 以上，有的 題目的答對率甚至高達.95 以上，顯示於使用括號這一運算規則，於非文字題部 分，學童皆有一定程度的瞭解。
表 4-2 前測非文字題的答對率 由左到右依序運算 先乘除，後加減 使用括號 題號 答對率 題號 答對率 題號 答對率 一 1(＋＋) .95 一 5(×－) .88 一 7(＋×) .96 一 2(－－) .92 一 6(÷－) .88 一 8(－×) .97 一 11(＋－) .92 一 21(×＋) .96 一 15(＋÷) .98 一 12(－＋) .85 一 22(÷＋) .89 一 16(－÷) .94 一 3(×÷) .98 一 13(＋×) .62 一 9(×＋) .97 一 4(÷×) .77 一 14(＋÷) .68 一 10(×－) .89 一 19(××) .96 一 23(－×) .82 一 17(÷＋) .97 一 20(÷÷) .86 一 24(－÷) .80 一 18(÷－) .97
