本研究以五年級學童為研究對象，研究者利用潛在類別分析方法，進行四 則運算概念的縱貫研究，分別就五年級上、下學期學童，四則運算概念表現情 形進行分析，根據潛在類別分析的分群結果，探討學童整數四則運算概念認知 結構之變化情形。本章共分四節，第一節研究動機，第二節研究目的，第三節 名詞定義，第四節研究限制，茲分述如下。
第一節 研究動機
數學是人類最重要的資產之一，是科學、技術及思想發展的碁石，是人類 文明演進的指標與推手 (教育部，2003) ，所以數學教育的成敗，關係著國家科 學與技術的發展，因為數學的學習是一種邏輯與推理的過程。因此，培養學童 數學思考的能力，是一個非常重要的課題。
1980 年之後，數學教育人士認為「應將數學視為解題」 (黃敏晃，1994) ， 培養學生數學解題的能力，是數學教育發展的方向 (蘇明水，1993) 。1977 年 美國數學督導學會 (Nation Council of Supervisors Mathematics, NCSM) 指出「學 習數學的主要目的就是在學習解題」；在 2000 年由美國數學教師協會 (National Council of Teacher of Mathematics, NCTM) 公佈的「數學教育原則與標準」
(Principles and Standards for School Mathematics) 中，更指出數學學習的主要中 心部份就在於數學解題；此協會亦於 Agenda for Action 書中提到：「解題 (problem solving) 是學校數學的核心。」 (劉秋木，1996) 。因此數學解題是數 學教育的發展趨勢，而解題活動更是數學教育發展的核心。
我國國民小學的數學教材中，「數與量」在國民教育的數學課程中具有極重 要的地位，其主要概念的形成及演算能力的培養均奠基於國小階段 (教育部，
2003) 。蘇慧娟 (1998) 指出，四則運算 (the four fundamental operations of arithmetic) 在國小、國中及高中階段的數學教材中，皆有舉足輕重的地位。雖
然目前是科技時代，計算機與電腦的應用相當的普及，但對於四則運算的結構 了解與應用依然十分的重要，因為它是每個人生活中的一部分。
四則運算的學習基礎是連續加、減、乘、除及加、減、乘、除兩步驟的運 算學習，九十四學年度正式實施的九年一貫課程中，數學學習領域的五大主題 之一「數與量」，從國民小學一年級就開始學習連續加、減的問題，教學後要求 學童達到的能力指標是：1-n-06 能做一位數之連加、連減及加減混合計算。而 二年級即開始學習兩步驟的問題，教學後要求學童達到的能力指標是 2-n-09：
能在具體情境中，解決兩步驟問題 (加、減、乘，不含倂式) (教育部，2003) 。 而國民小學三年級到六年級亦一再出現四則運算的能力指標，可見得四則運算 對國小學童的數學學習佔有舉足輕重的地位。只要有關於計算的問題都會運用 到四則運算，所以四則運算為所有運算能力的基礎，學童擁有熟練的四則運算 能力，將能減少未來學習數學的挫敗 (蘇聖峰，2005) 。
文字題 (word problem) 在數學學習的研究裡是重要的主題之一 (Levis, 1989) ，在目前的數學課程中，皆以文字題題來培養學童的解題能力，希望學 童能透過課堂上學過的知識，來解決日常生活所遇到的實際問題 (林惠真，
2005) ，而文字題是以語文型態來描述日常生活事件，比一般計算題擁有更複 雜的認知歷程 (Cummins, 1991) ，林碧珍 (1990) 發現學童文字題的解題表現比 非文字題 (computational problem) 的解題表現差，主要原因在於不懂題意，只 是毫無思考的尋找題目中的關鍵字，去選擇加、減、乘、除的符號運算。所以 為了瞭解學童四則運算文字題與非文字題的解題能力，因此本研究試題分文字 題與非文字題，並依據生活化的原則加以設計。
在以往的研究中發現，學童四則運算概念的研究，有些是針對一個個案做 長時間的觀察與研究 (賴麗卿，2003) ，有些是僅施測一次 (陳博文，1996；曹 宗萍，1988；蘇聖峰，2005；陳國雄，2006) ，但針對學童認知結構 (cognitive structure) 跨時間的變化情形，尚待進一步的探討，所以本研究以四則運算複本 測 驗 試 題 施 測 ， 對 同 一 批 學 童 進 行 維 持 一 學 期 的 縱 貫 研 究 (longitudinal
study) ，以瞭解學童於四則運算上認知結構的變化情形。
在學童的學習過程中，教師時常以評量來檢視學童的學習成果，但這種評 量通常是屬於總結性的評量，而忽略了知識建構過程的形成性的評量 (余民 寧、陳嘉成，1998) 。所以當總分就代表學習成果時，總分相同的學童就被認 為其認知結構必定相同，如以此標準來對學童分組，並進行補救教學，殊不知 學童數學知識上是否存在著程度或結構上的差異。而潛在類別 (latent class analysis, LCA) 分 析 有 其 優 點 ， 是 依 據 受 試 者 答 題 的 反 應 組 型 (response pattern) ，將受試者做出適當的分群，使隸屬同群的受試者有相同的認知結構，
不同潛在類別的群則具有不同的認知結構，在教育上便可以依其特性，做適當 的診斷與學習分組，以提供教學時之參考。
綜合以上所述，本研究以國小五年級學童為研究對象，以自編四則運算測 驗題本為研究工具，探討國小五年級學童在四則運算的解題表現情形，藉由潛 在類別分析，分析受試者隸屬的潛在類別，並以複本測驗對同一受試者施測，
以了解受試者認知結構的變化情形。
第二節 研究目的
本研究的主要目的是藉由探討國小五年級學童對於整數四則運算概念的表 現情形，且基於上述研究動機，本研究提出研究目的如下：
一、探究國小五年級學童在整數四則運算概念解題表現情形。
二、分析國小五年級學童在經過一學期後，整數四則運算概念解題表現之差異 情形。
三、探討國小五年級學童在整數四則運算概念結構之潛在類別。
四、探討國小五年級學童在經過一學期後，整數四則運算概念認知結構之變化 情形。
第三節 名詞定義
一、
國小五年級學童
本研究之國小五年級學童指九十五學年度之臺中縣、臺中市、彰化縣等三縣 市就讀國小五年級的學童，其中並不包括特殊班學童，這些學童是接受九年一 貫暫行綱要的數學課程。
二、四則運算
所謂的四則運算 (the four fundamental operations of arithmetic) 是指在教學 的過程中，強調數的加、減、乘、除運算，而學童在做運算時通常將運算式子 書寫成二步驟 (two-step) 或多步驟 (multi-step) 的運算，而本研究所強調整數 的四則運算，是讓學童二步驟的運算以一個算式表示出來，二步驟或多步驟的 運算則不在本研究範圍之內。
三、潛在類別分析
潛在類別分析 (latent class analysis) 是利用機率概念來對受試者分類，依據 受試者的反應組型，分析受試者隸屬的潛在類別，使得同一類別的受試者具有 相似的認知結構，不同類別的受試者認知結構則不相同。
四、文字題與非文字題
文字題 (word problem) 或稱應用題，是應用文字及數字來敘述題目 (偶爾 有輔助圖表的出現) ，學童必需運用所學的數學知識及計算能力於各種情境之 中，所以學童在解題的過程中，要能閱讀並明白題目的意義，還需明瞭題目中 所指的已知量與未知量的關係，最後還需有計算的能力，才能完成文字題的解 題 (Mayer, 1992) 。在本研究中所指的文字題，其題目的敘述方式包含文字及數
字，並不包含輔助圖表；而本研究中所指的非文字題 (computational problem) 則 是指計算題，其題目中只有數字的出現，並無文字及圖表。
五、縱貫研究
縱貫研究 (longitudinal study) 是以相同的受試者為研究對象，在不同 的時間或年齡，連續觀察受試者的發展情形 (郭生玉，2005) 。而本研究的 縱貫研究是以九十五學年度就讀國小五年級學童，在五年級上學期學期末 至五年級下學期學期末，為期一學期的追蹤探討，以了解受試者於四則運 算認知結構上的變化情形。
第四節 研究限制
本研究受限於研究者本身的能力與物力，若要將本研究推論到研究範圍以 外的材料與情境時必須謹慎。茲將本研究可能的限制，分述如下：
一、研究對象的限制
本研究對象取自臺中縣、臺中市、彰化縣之部分國小五年級學童，但因取 樣並非隨機抽樣，亦未擴及各縣市樣本，樣本數不足，因此在研究結果的推論 上，應採較為謹慎與保留的態度。
二、研究工具的限制
本研究所用之數學四則運算問題僅限於二步驟的運算以一個算式表示出 來，並不包含較複雜的三步驟以上的運算問題。此外，所使用的數字型態僅限 於整數，並不包括小數與分數的問題，因此，在解釋不是本研究所指的數學問 題及數字型態時，應有所保留。
本研究的施測工具「自編四則運算試題」，其施測時之主觀因素，而影響受
試者作答的情形，此為研究者所無法控制的。
三、研究內容的限制
本研究所使用的工具－自編四則運算試題，其題本內容所涉及的教材，是 以民國八十九年教育部所公布的國民中小學九年一貫課程暫行綱要數學學習領 域為主，並參考民國九十二年公布的國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領 域，主要題本內容則以康軒及南一版本中有關整數四則運算之共同內容為基 準，但不涉及整數四則混合計算－多步驟運算之探討。