四則運算解題表現之潛在類別分析

由左到右依序運算 -.059 1.250 .063 -.930

先乘除，後加減 .020 1.741 .088 .232 使用括號 .043 .886 .045 .970 四則運算總分 .005 2.645 .134 .038

第三節 四則運算解題表現之潛在類別分析

本自編測驗分文字題與非文字題，依四則運算的處理方式「由最左到右依 序運算」、「先乘除，後加減」、「使用括號」等運算規則下的得分情形，將學童 分群，研究者利用 WINMIRA 2001 軟體檢視了 2 到 7 個不同潛在類別分析下的 AIC、BIC、CAIC 值，由於 AIC 值的目的是複雜與簡捷模式之間的平衡， AIC 值最小表示較有可能找到適合的模式 (吳毓瑩、林原宏，1996) 。其前測與後測 四則運算之 AIC 值比較表如表 4-9 與 4-10 所示。以前測文字題「由左到右依序 運算」為例，其 AIC 最小的群數為 3 群，則為最適當的分群組數，其他的概念 適合的分群組數亦以此類推。

表 4-9 前測四則運算概念 AIC 值比較表

文字題 非文字題

群

數 由左到右 依序運算

先乘除，後

加減 使用括號 由左到右 依序運算

先乘除，後

加減 使用括號 2 2061.99 2558.53 2945.21 1799.70 2414.12 967.21 3 2038.10 2531.00 2861.12 1806.12 2331.16 971.15 4 2047.67 2536.02 2830.54 1802.45 2285.31 977.93 5 2057.85 2534.55 2828.68 1818.56 2295.37 994.74 6 2067.48 2538.70 2830.06 1828.00 2309.64 1012.55 7 2080.32 2554.99 2829.47 1849.15 2297.72 1030.35

為了方便將潛在類別分析分群結果做清楚的描述，特將每一群學童皆編碼 表示之，前、後測試卷為甲、乙兩卷，試卷分文字題與非文字題兩大題，每大 題分第一類「由最左到右依序運算」、第二類「先乘除，後加減」及第三類「使 用括號」三大運算規則，每個運算規則下又分群，所以每群以 4 碼表示之，以

「甲文 11」為例，代表前測文字題由左到右依序運算的第一群；「乙非 23」代 表後測非文字題先乘除，後加減的第三群，其他編碼以此類推。

一、 「前測」四則運算解題規則之潛在類別分析

本部分依學童在四則運算解題測驗題本的解題表現，分為文字題與非文字 題兩大部分，再分別就其運算規則「由左到右依序運算」、「先乘除，後加減」

及「使用括號」等三個類型下，使用 WINMIRA2001 軟體分析，將學童分群，

以下就其所得分別探討之。

(一)前測文字題部分 1. 由左到右依序運算

在前測文字題「由左到右依序運算」的類型下，學童被分為三群，表 4-11 及圖 4-1 呈現出各群學童在「由左到右依序運算」的類型下的人數比率及答對

機率，各群的解題特性分述如下：

前測文字題第一類(由左到右依序運算)

表 4-12 前測文字題「先乘除，後加減」分群人數比率及答對機率

而二 24 (÷＋) 題全部學童皆答對，綜合而言，此群學童在「使用括號」的類

前測文字題第三類(使用括號)

表 4-14 前測非文字題「由左到右依序運算」分群人數比率及答對機率

可以將此群命名為精熟群。

前測非文字題第二類(先乘.除,後加.減)

表 4-16 前測非文字題「使用括號」分群人數比率及答對機率

及「使用括號」等三個類型下，使用 WINMIRA2001 軟體分析，將學童分群，

以下就其所得分別探討之。

(一)後測文字題部分 1. 由左到右依序運算

在後測文字題「由左到右依序運算」的類型下，學童被分為五群，表 4-17

及圖 4-7 呈現出各群學童在「由左到右依序運算」的類型下的人數比率及答對 機率，各群的解題特性分述如下：

(1)在文字題「由左到右依序運算」的類型下，第一群學童人數佔全體人數的.55，

也是學童數最多的一群，此群學童的答對機率都在.94 以上，綜合而言，此 群學童在「由左到右依序運算」的類型下，整體表現均很不錯，所以可以將 此群命名為精熟群。

(2)第二群學童人數佔全體人數的.18，答對機率最高的前三題分別為二 1 (＋

＋) 、二 4 (－＋) 及二 9 (÷×) 題，此群學童對這三題皆有.99 的答對機率，

但對於二 3 (＋－) 題卻只有.19 的答對機率，此現象與一般認為的加減運算 較乘除運算容易的觀點頗不相同，值得未來研究中進一步探討，所以可以將 此群命名為加減運算加強群。

(3)第三群學童人數佔全體人數的.13，此群學童於二 2 (－－) 及二 9 (÷×) 題皆 有.99 的答對機率，但對於二 4 (－＋) 題學童的答對機率卻只有.29，值得進 一步研究與探討，所以可以將此群命名為減加運算加強群。

(4)第四群學童人數佔全體人數的.11，學童對於加、減的試題 (二 1、二 2、二 3、

二 4 題) 的答對機率普遍高於乘、除的試題 (二 8、二 9、二 10、二 11 題) 的 答對機率，綜合而言，此群學童在「由左到右依序運算」的類型下，整體表 現較不理想，所以可以將此群命名為乘除運算加強群。

(5)第五群學童人數佔全體人數的.03，也是人數最少的一群，此群學童除了二 1 (＋＋) 及二 4 (－＋) 兩題有些微的答對機率，其餘的皆沒有答對，可知此 群在「由左到右依序運算」的類型下，整體表現最不理想，所以可以將此群 命名為規則全無群。

表 4-17 後測文字題「由左到右依序運算」分群人數比率及答對機率

也是學童數最多的一群，此群學童的答對機率大部分都在.90 以上，綜合而 言，此群學童在「先乘除，後加減」的類型下，整體表現均很不錯，所以可 以將此群命名為精熟群。

(2)第二群學童人數佔全體人數的.16，此群學童除了二 5 (×＋) 、二 13 (＋×) 兩 題外，其餘各題皆有.95 以上的答對機率，答對機率甚至比第一群還要高，

所以於「先乘除，後加減」的類型下，此群學童對於先乘後加及先加後乘的 理解程度較為不佳，所以可以將此群命名為乘加、加乘運算加強群。

(3)第三群學童人數佔全體人數的.09，此群學童於二 13 (＋×) 及二 18 (×－) 兩題 有.95 以上的答對機率，但對於二 5 (×＋) 、二 19 (÷－) 題，學童的答對機 率卻只有.37、.39，值得進一步研究與探討，所以可以將此群命名為起落較 大群。

(4)第四群學童人數佔全體人數的.08，此群學童除了二 16 (－÷) 題有.70 的答對 機率，其餘各題表現皆不理想，但整體而言，此群學童在「先乘除，後加減」

的類型下，是表現較不理想的，所以可以將此群命名為規則全無群。

(5)第五群學童人數佔全體人數的.08，此群學童於二 5 (×＋) 及二 18 (×－)題有.90 的答對機率，於二 13 (＋×) 題卻沒有學童答對，所以可以將此群命名為乘 加、乘減運算較佳群。

表 4-18 後測文字題「先乘除，後加減」分群人數比率及答對機率

童人數最多的一群，此群學童的答對機率大部分都在.90 以上，唯有二 21 題 (×－) 答對率機較低，所以二 21 題對第一群學童來說較為困難，但綜合而 言，此群學童在「使用括號」的類型下，整體表現是較不錯的，所以可以將 此群命名為精熟群。

(2)第二群學童人數佔全體人數的.14，此群學童的答對機率皆在.20 以下，綜合 而言，此群學童在「使用括號」的類型下整體表現較不理想，所以可以將此 群命名為規則全無群。

(3)第三群學童人數佔全體人數的.13，此群學童於二 6 (－×) 及二 21 (×－) 題表 現較不理想，但對於二 17 (＋×) 題卻有.98 的答對機率，值得進一步研究與 探討，所以可以將此群命名為加乘運算較佳群。

(4)第四群學童人數佔全體人數的.08，此群學童於二 6 (－×) 題有.99 的答對機 率，於二 23 (×＋) 題卻只有.10 的答對機率，此群的學童整體表現起落較 大，所以可以將此群命名為起落較大群。

(5)第五群學童人數佔全體人數的.07，是學童人數最少的一群，此群學童於二 6 (－×) 題沒有學童答對，但於二 22 (÷＋) 、二 24 (÷－) 題卻有.99 的答對機 率，所以可以將此群命名為減乘最需加強群。

表 4-19 後測文字題「使用括號」分群人數比率及答對機率

(1)在非文字題「由左到右依序運算」的類型下，第一群學童佔全體人數的.64，

2. 先乘除，後加減

在後測非文字題「先乘除，後加減」的類型下，學童被分為五群，表 4-21 及圖 4-11 呈現出各群學童在「先乘除，後加減」的類型下的人數比率及答對機 率，各群的解題特性分述如下：

(1)在非文字題「先乘除，後加減」的類型下，第一群學童佔全體人數的.57，是 人數對多的一群，此群學童除了一 24 (－÷) 題的答對機率為.87，其餘各題 的答對機率都在.90 以上，綜合而言，此群學童在非文字題「先乘除，後加 減」的類型下，整體表現均很不錯，所以可以將此群命名為精熟群。

(2)第二群學童人數佔全體人數的.14，此群學童在一 14 (＋÷) 題答對機率較高 為.92，其餘各題的答對機率介於.77 到.54 之間，此群學童在非文字題「先乘 除，後加減」的類型下，整體表現中等，所以可以將此群命名為表現中等群。

(3)第三群學童人數佔全體學童人數的.13，此群學童在一 13 (＋×) 、一 14 (＋÷) 題答對機率較低，分別為.34、.68，此群學童對於「先乘除，後加減」的規 則仍有迷失，尤其於先加後乘及先加後除這二部分，所以可以將此群命名為 加乘、加除運算加強群。

(4)第四群學童人數佔全體學童人數的.12，此群學童在一 13 (＋×) 、一 14 (＋

÷) 、一 23 (－×) 及一 24 (－÷) 題答對機率最低，分別為.04、.14、.14 及.00，

此群學童往往忘記四則運算的「先乘除，後加減」規則，所以於計算時通常 都由左往右依序運算，所以可以將此群命名為只會由左到右運算群。

(5)第五群學童人數佔全體學童人數的.04，是學童人數最少的一群，此群學童的 答對機率皆在.40 以下，一 24 (－÷) 題甚至無人答對，所以此群學童於非文 字題「先乘除，後加減」的類型下，表現最不理想，所以可以將此群命名為 規則全無群。

表 4-21 後測非文字題「先乘除，後加減」分群人數比率及答對機率

(1)在非文字題「使用括號」的類型下，第一群學童佔全體人數的.99，幾乎所有