第二章 文獻探討
第一節 因數與倍數概念研究
壹、從八十二年版課程標準了解因數與倍數教材的設計原理
八十二年國民小學數學科課程標準教材綱要數與計算部份
，
所介紹的因數與 倍數內容僅僅只有因數、公因數的認識、倍數、公倍數的認識，和六十四年版相 較之下，它少了最大公因數、最小公倍數、質數與合數、因數分解與質因數分解、短除法以及2、3、5、11 等質因數的判斷法這些內容。以下針對八十二年國民小 學數學科課程標準教材綱要數與計算部份，與因數與倍數有關教材予以介紹，以 明瞭因數與倍數相關教材及活動的設計與處理方式。
一、因數問題
在教導因數時，先由乘法的觀點切入，藉由乘法規則，先讓學童知道「被乘 數×乘數＝積」和「因數」關係，接著再讓學童利用除法的技巧來找出並檢驗某 數是否為另一數的因數，並讓學童從解決包含除及等分除的問題中，解決剛好分 完的情況來建立因數的概念(教育部，1993)。
在課程安排上，若直接由數的情境進入因數的意義，學生會出現很大的不適 應，因為數的本身相當抽象，而學生的測量運思尚未發展完全，無法將等分除與 包含除視為相同的問題(黃國勳、劉祥通，2003；謝堅，1995)，故在課程安排上 由情境問題進入，探討因數的意義，待學生累積足夠的經驗後，再正式引入因數
的意義(于國善，2004；謝堅，1995)。
八十二年課程中透過下列三種問題情境(謝堅，1995)，幫助學童逐步形成因 數的概念：(一)在方陣排列問題中，探討給定總量的方陣之可能排法，讓學童經 驗給定總量的方陣可以有不同的排法；(二)在包含除及等分除的情境問題中，給 定總量，要求學童回答可能的等分組方式，幫助學童掌握總量可以由哪些單位量 組成的意義；(三)在倍的問題情境中，給定總數，要求學童解決可能組成單位量 的數值問題，幫助學童掌握哪些單位量可以組成總量的意義。同時亦透過限制使 用除法算式來記錄解決前述問題解題過程的方式，希望學生在各種情境問題中，
都能掌握總量可以由哪些單位量組成的意義，並形成以總量為起點，使用除法算 式記錄解題過程的共識，課程中不希望學生以部分的觀點，透過合成的方式來看 問題，而希望學生由全體的觀點，透過分解的方式來看問題。
二、因數和倍數的關係
因數與倍數的關係，在數上是以除法原理(若有 a、b 兩個正整數，則必可找 到q、r 兩個非負整數，滿足 a＝b×q＋r 的關係，且 b＞r≧0)為基礎，透過判斷 a 是否能整除b(餘數是否為 0)的方式，引入因數與倍數的定義：「設 a、b 是兩個正 整數，若a＝b×q＋r，其中 q 是正整數且 r＝0，則稱 b 是 a 的因數，或稱 a 是 b 的倍數」(教育部，1993)。
若直接透過因數的意義來引入倍數(若 b 是 a 的因數，就等同於 a 是 b 的倍 數)，這時因為成人已發展出測量運思，因此可以彈性地互換單位量與單位數的角 色，並已瞭解乘法、除法互為逆運算的關係，因此成人可以掌握因數與倍數的相 對關係，明白a 是 b 的因數時，b 就是 a 的倍數的意義。但是對測量運思尚未發 展完全的學童而言，並不易掌握因數與倍數的相對關係(黃國勳、劉祥通，2003；
黃耀興、邱易斌，1999)，因此在課程安排上不採用此方式來引入倍數，而分別從 不同的角度引入因數與倍數的意義。
課程中透過下列活動，逐漸培養學童測量運思的發展，幫助學童能察覺因
數、倍數間的相對關係，並經驗數概念的乘法性結構(謝堅，1995)：(一)透過判斷 一個整數是否為其因數的整數倍的方式，讓學童察覺此整數為其所有因數的倍 數；(二)透過先求出某數所有的因數，再判斷該數是否為其所有因數的倍數的方 式，幫助學童察覺一數是其所有因數的公倍數；(三)透過解決兩數相乘問題，幫 助學童察覺兩數相乘的積數為兩數的公倍數，並希望學童能不經過計算的過程，
就直接能判斷兩數相乘的積數為兩數的公倍數。
三、倍數問題
在引入倍數的意義方面，學生於高年級階段已有足夠的經驗，可以直接引入 倍數的意義，因此課程中透過乘數未知的乘法算式填充題「2×( )＝10」，先要求 學童解題，再經由語言的轉換，2 的 5 倍是 10，所以 10 是 2 的 5 倍，引入倍數 的意義。在數學上，如果a 是 b 的倍數(b 是 a 的因數)，則 a，b 要滿足下列三個 條件：(一)a，b 都是整數；(二)b≠0；(三)存在一個整數 q，滿足 a＝b×q(教育部，
1993)。
四、公因數問題
與因數問題一樣，在課程安排上也透過下列三種問題情境，幫助學童逐步形 成公因數的概念(謝堅，1995)：(一)在方陣排列問題中，探討兩個方陣的可能連接 方式；(二)透過包含除及等分除的情境問題，先要求學童分別找出兩相異量各自 的可能等分組的方式，再透過比較各自的等分組方式，解決等分組的可能數值問 題；(三)在倍的問題情境下，給定兩總量，透過比較各自可能的單位量數值，找 出相同單位量的可能數值。希望學童在各種情境問題中，都能解決兩總量可以有 哪些相同單位量的問題，來為形成公因數的概念舖路。而透過先分別找出兩個數 的所有因數，再從中找出公因數，從求法中來讓學童知道公因數的意義。
五、公倍數問題
以探討一個指定正整數有哪些倍數為基礎，可以探討兩個正整數有哪些共同 的倍數的問題，這些共同的倍數稱為公倍數。當學童已有求出某數在某一數量範
圍內的所有倍數，以及求取兩數公因數的經驗後，應該也能夠掌握公倍數的意義。
貳、九年一貫課程綱要數學領域中的因數與倍數教材
九十二年九年一貫課程綱要數學領域的課程中，因數與倍數知識歸屬於五大 主題之一「數與量」的「整數」子題中。對於因數與倍數教材內容的編輯及相關 基本能力，有明確的說明與規定，其中因數與倍數部分在五年級與六年級的能力 指標包括(教育部，2003)：
N-2-04 能理解因數、倍數、公因數與公倍數。
N-3-01 能認識質數、合數，並做質因數分解。
N-3-02 能理解最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，並用來將分數 約成最簡分數。
進一步分分析在九年一貫數學課程網要能力指標中，分年細目詮釋如表2-1 所示，該表可提供更詳細說明(教育部，2003)：
表2-1 因數與倍數相關九年一貫數學課程網要分年細目詮釋 分年
細目 內容 說明
5-n-03
能 理 解 因 數 、 倍 數、公因數與公倍 數。
(1) 以 1-n-07( 幾 個 一 數 ) ， 2-n-08( 九 九 乘 法 ) ， 3-n-04(除法)為前置經驗，理解因數、倍數的概 念。
(2)用列表的方式，尋找兩數的公因數與公倍數。
學童應知道兩整數的乘積一定是此兩數的公倍 數。
表2-1 因數與倍數相關九年一貫數學課程網要能力指標(續)
15×4＝(3×5)×(2×2)＝2×2×3×5＝2²×3×5 等。
(4)牽涉因數分解的細目(參見 6-n-02)，都應遵循如
表2-2 九年一貫各版本因數與倍數相關單元教學重點摘要表
是有關學生在因數與倍數教材上的學習困難及迷思概念(吳彥廷，2005；周文忠，
2002；林珮如，2002；邱慧珍，2002；施美多，2006；陳清義，1995；陳標松，
2003；黃寶彰，2003；黃國勳、劉祥通，2003；Graeber & Tirosh, 1990; Mayer, 1992;
NCTM, 2000; Nevin, 2002; Vergnaud, 1983)，另外亦有研究者分別針對補救教學之 策略與原則(于國善，2004；王詩惠，2004；蕭正洋，2004；謝哲仁、林榮貴，2006)、
因數與倍數學習表現差異(何欣玫，2004；施美多，2006；陳標松，2003；蕭金土，
1995)、因數倍數教材的編製與創新(黃培甄、葉啟村，2005；黃國勳、劉祥通，
2003；Bassarear, 1997; Kennedy, Tipps, & Johnson, 2004)等方面進行探討，茲將這 些研究，分述如下：
一、因數與倍數學習困難與迷思概念之研究
Vergnaud (1983) 在其所提出的乘法概念域(multiplicative conceptual field, MCF)中認為乘法、除法與因數概念的關係是密不可分的，若學生因乘、除法等 概念理解不清楚，則會因先備知識的不足、造成因數概念的解題因難。
Graeber and Tirosh (1990) 研究以色列及美國地區四、五六年級學童的乘除法 表現，發現學童仍有乘法會變大，而除法會變小的錯誤概念存在。NCTM (2000) 美國數學教師協會在其所發表之「數學課程之原則與標準」(The Principles and Standards for School Mathematics)中亦提到：由於學生受到整數經驗的影響，學生 有乘法會變大，而除法會變小的錯誤概念。因此當學生在解題中，需要使用乘法 或除法時，此錯誤概念影響了其判斷，導致學習因數概念時會有迷思概念存在，
例如學生認為因數就是小的數，所以求因數要用除的方式。
Mayer (1992) 認為語意轉譯能力的不足，對數學名詞意義理解不清，使得學 生在問題的閱讀理解及解釋上產生困難，而造成因數解題上的錯誤。
Nevin (2002) 分析38名土耳其小學六年級學生對於因數與倍數的解題策略，
結果顯示學生對於問題中的語意、字彙無法完全瞭解，因此不能理解問題；且學 生在解決問題的過程，最大的困難是題意理解及符號形式的轉譯，原因為學生在
問題解決的過程中，使用不正確的錯誤概念。
陳清義(1995)運用知識結構分析技術，分析國小五年級數學科因數、倍數兩 單元教材的內容概念，據以編製紙筆測驗，並運用無參數試題反應理論所發展出 的ICCNP軟體探索試題與受試者的量化特性，然後藉由晤談的方法探討國小五年 級學生在因數與倍數這兩個單元的學習瓶頸。研究的結果發現：(一)學生對質數、
奇數、合數、偶數等概念的定義、相互之間的關係混淆不清，經常誤用、混用；
(二)學生會使用短除法來解決問題，但卻不會使用試除法或是因數分解來解決問 題，因此當題目規定不能使用短除法時，學生就發生了學習瓶頸。其原因可能是 平時學生練習都只注重短除法，且未能了解此法的真正涵意；(三)在解決文字應 用題方面，學生缺乏判斷題意是要求最大公因數或最小公倍數的能力，而當告知 學生短除法與除法各數的相互關係後，學生便能判斷要求最大公因數或最小公倍 數。
林珮如(2002)依據R. E. Mayer與R. Brainbridge的解題理論(problem solving theory)和直觀法則(intuitive rules)，自編因數迷思概念診斷工具，探討145位五年 級學童在因數問題的解題策略、迷思概念及可能成因。其研究發現：(一)國小學
林珮如(2002)依據R. E. Mayer與R. Brainbridge的解題理論(problem solving theory)和直觀法則(intuitive rules)，自編因數迷思概念診斷工具，探討145位五年 級學童在因數問題的解題策略、迷思概念及可能成因。其研究發現：(一)國小學