第四章 研究結果與討論
第三節 答對題數相同但反應組型不同的學童其因數與倍數概念
古典測驗理論認為受試者的測驗總分即代表學習的成果，而忽視受試者作答 的試題反應組型(item response pattern)。然而，即使測驗總分相同的受試者，其認 知的結構也會有所差異。因此，受試者的反應組型可以提供有關試題品質及受試 者的許多重要訊息(林原宏，2005)。而試題反應理論雖能改進古典測驗理論之缺 失，根據受試者作答反應情形真實呈現個別受試者的能力值，卻無法呈現受試者 的概念結構，以瞭解個別受試者之差異所在。因此，本章節以答對試題題數相同 但反應組型不同的六位學童為例，繪製其因數與倍數概念的ISM 圖並比較其試題 內的概念ISM 圖之異同。
壹、答對題數相同但反應組型不同的學童其因數與倍數概念 ISM 圖 之比較
為觀察不同能力值學童間的個別化概念結構之異同，依據本章第一節中之學 童能力值分組方式，從低、中、高三組不同能力值的學童中各隨機選取兩位答對 試題題數相同但其反應組型不同之學童，依序為 D1、D2、E1、E2、F1、F2 等六 位學童，其答題情形如表4-6 所示。並依第本章第一節 SAS/IML 矩陣之演算方法，
以α =.6進行截矩陣運算，此六位學童之概念屬性截矩陣如表4-7 所示。
表4-6 答對題數相同但反應組型不同的學童之答題情形
組別 學 童
代 號 能力值 相似性係數 答對
題數 反應組型
D1 -1.656690 .3364520 12 000101000011011110110000000010001000 低能力
值組 D2 -1.417106 .3509395 12 101011001000000011111100000010000000 E1 -0.590887 .3966155 24 111111111011111111110000000011001011 中能力
值組 E2 -0.443949 .3954996 24 101111111010111111111111110000000001 F1 1.011826 .8608742 35 111111111111111111111111111111110111 高能力
值組 F2 1.226609 .9204841 35 111111111111111111111111111110111111
表 4-7 答對題數相同但反應組型不同的學童之概念屬性截矩陣
表4-7 答對題數相同但反應組型不同的學童之概念屬性截矩陣(續)
表4-7 答對題數相同但反應組型不同的學童之概念屬性截矩陣(續)
F2 生(高能力組)
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16 A17 A18 A19 A20 A21 A22 A23 A24 A25
A9 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0
A10 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
A11 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0
A12 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0
A13 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0
A14 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0
A15 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0
A16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
A17 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1
A18 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0
A19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
A20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
A21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A22 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0
A23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
A24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
A25 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0
根據六位學生之概念屬性截矩陣，運用 AISM 軟體繪製其個別化的因數與倍 數概念 ISM 圖並加以簡化及區分為三個類別概念後如表 4-8 至表 4-10 所示。以 下則依照不同能力值組別中的兩位答對試題題數相同但反應組型不同的學生之 概念ISM 圖，進行兩者之間概念結構的特徵與異同之比較。
表4-8 低能力組之 D1、D2 學生之概念 ISM 圖
因數相關概念 倍數相關概念 因數與倍數的應用
D1 生 (低能力值組)
D2 生 (低能力值組)
表4-9 中能力組之 E1、E2 學生之概念 ISM 圖
因數相關概念 倍數相關概念 因數與倍數的應用
E1 生 (中能力值組)
E2 生 (中能力值組)
表4-10 高能力組之 F1、F2 學生之概念 ISM 圖
因數相關概念 倍數相關概念 因數與倍數的應用
F1 生 (高能力值組)
F2 生 (高能力值組)
一、低能力值組的學童 (一)因數相關概念
由表4-8 中顯示出，D1 生與 D2 生在因數相關概念 ISM 圖中之概念階層結構 共同之處有二：一為概念9(質因數分解法求兩數最大公因數)皆為 D1 和 D2 兩位 學生之最高層級概念，顯示概念9 是其最難達精熟的概念；二為概念 5(列舉法求
兩數最大公因數)皆為 D1 和 D2 學生之最低層級概念，顯示概念 5 是其最易達精 熟的概念。
相異之處有三：一為概念12(判斷兩數是否互質)位於 D1 生概念 ISM 圖中之 第三層級，在D2 生之概念 ISM 圖中則位於第四層級，判斷兩數是否互質的概念，
是造成二生因數相關概念 ISM 圖不同的主要概念；二為在 D1 生之概念 ISM 圖 中，概念 5(列舉法求兩數最大公因)同時為概念 3(公因數的意義)和概念 10(短除 法找兩數最大公因數)的下位概念，在 D2 生之概念 ISM 圖中，則為「概念 5→概 念10→概念 3」的連結指向關係；三為 D1 生的概念 ISM 圖中多了「概念 1→概 念7」、「概念 4→概念 6」、「概念 4→概念 7」三個連結指向關係。
(二)倍數相關概念
依據表4-8 顯示，D1 生與 D2 生的倍數相關概念 ISM 圖中之概念階層結構完 全相同，不僅各概念所在的階層位置皆相同，各概念間的連結指向關係也完全一 樣。概念18(質因數分解法求兩數最小公倍數)同為 D1 和 D2 兩位學生最高層級概 念，顯示概念 18 是其最難達精熟的概念；概念 17(列舉法求兩數最最小公倍數) 同為D1 和 D2 學生之最低層級概念，顯示概念 17 是其最易達精熟的概念。
(三)因數與倍數應用題概念
從表4-8 中可知，D1 生與 D2 兩位學生的因數與倍數的應用題之概念結構不 盡相同。共同之處為概念 21(公因數應用問題)為兩位學生最高層級概念，顯示概 念21 是其最難達精熟的概念；概念 22(最大公因數應用問題)和概念 25(最小公倍 數應用問題)是兩生同共的最低層級概念，為其最易達精熟的概念。
相異之處為概念 20(因數應用問題)為 D2 生之次低層級概念，其概念的連結 指向為「概念22→概念 20→概念 21」，D1 生之概念 20 位於最低層級，其概念的 連結指向為「概念 20→概念 23→念 21」，顯示 D1 和 D2 學生對在這幾個概念的 學習上有些差異，除此之外，其他概念間的連結指向皆相同。
二、中能力值組的學童 (一)因數相關概念
依據表4-9 所示，E1 生與 E2 生的因數相關概念 ISM 圖頗為相似。共同之處 有三：一為概念 9(質因數分解法求兩數最大公因數)皆為 E1 和 E2 兩位學生之最 高層級概念，顯示概念9 是其最難達精熟的概念；二為概念 5(列舉法求兩數最大 公因數)和概念 10(短除法求兩數最大公因數)皆為 E1 和 E2 學生之最低層級概念，
顯示概念 5 和概念 10 是其最易達精熟的概念；三為除了概念 8(將某數做質因數 分解)所在階層不同且與其它概念間的連結有異外，其餘概念間的連結指向皆相 同。
相異之處為E1 的因數概念 ISM 圖為五個階層，而Ｅ2 生為四個階層；E1 生 中，概念 8(將某數做質因數分解)與其它概念的連結指向為「概念 8→概念 9」，
在E2 生中則為「概念 11→概念 8→概念 9」，顯示 E1 和 E2 學生對這幾個概念的 學習情形有些許差異。
(二)倍數相關概念
依據表4-9 中可知，E1 與 E2 生的倍數相關概念之 ISM 圖非常相似，不僅概 念結構階層數皆為四層，各概念所在的相對階層位置也都相同，概念間的連結指 向關係一樣。概念18(質因數分解法求兩數最小公倍數)同為 E1 和 E2 兩位學生最 高層級概念，顯示概念18 是其最難達精熟的概念；概念 17(列舉法求兩數最最小 公倍數)同為 E1 和 E2 學生之最低層級概念，顯示概念 17 是其最易達精熟的概念。
(三)因數與倍數應用題概念
從表4-9 顯示，E1 生的因數與倍數的應用題概念結構為三個階層，而Ｅ2 生 為四個階層，概念 22(最大公因數應用問題)和概念 25(最小公倍數應用問題)位於 E1 生 ISM 圖位中之相同層級，而在 E2 生中為不同的兩個層級，除了這兩概念所 在層級有差異外，所有概念間的連結指向皆相同。概念21(公因數應用問題)為兩 位學生最高層級概念，顯示概念21 是其最難達精熟的概念；概念 22(最大公因數
應用問題)和概念 25(最小公倍數應用問題)是 E1 生最低層級概念，為其最易達精 熟的概念，而對E2 生而言其最易達精熟的概念是概念 22。
三、高能力值組的學童 (一)因數相關概念
依據表4-10 所示，F1、F2 兩位學生的因數相關概念 ISM 圖不盡相同。共同 之處有三：一為概念 4(列舉法求兩數全部公因數)皆為 E1 和 E2 兩位學生之最高 層級概念，顯示概念 4 是其最難達精熟的概念；二為概念 10(短除法求兩數最大 公因數)是其最低層級概念，顯示概念 10 是其最易達精熟的概念；三為 F1、F2 兩位學生的因數相關概念ISM 圖皆為五個階層。
不同之處則有三點：一為概念 6(質數和合數的意義)和概念 7(判斷質數和合 數)位於 F1 生概念 ISM 圖中之第三層級，在 F2 生之概念 ISM 圖中則位於第二層 級，因此造成與概念6 相關的連結指向有所差異，在 F1 生中多了「概念 10→概 念 6」的連結，在 F2 生中則多了「概念 6→概念 2」的連結。二為 F1 的生概念 ISM 圖中，概念 8(將某數做質因數分解)和概念 9(質因數分解法求兩數最大公因 數)直接連結指向概向 4(列舉法找兩數全部公因數)，而在 F2 生中，概念 8、概念 9 兩概念與概念 4 的連結中間尚有概念 12(判斷兩數是否互質)的連結，即「概念 8→概念 12→概念 4」、「概念 9→概念 12→概念 4」。三、在 F2 生的概念 ISM 圖 中尚多了「概念10→概念 5」、「概念 9→概念 3」的連結指向。
(二)倍數相關概念
從表4-10 中可知，F1 生與 F2 兩位學生倍數的相關概念結構不盡相同。共同 之處為概念階層數皆為三層，且概念17(列舉法求兩數最小公倍數)是兩位學生同 共的最低層級概念，表示概念17 為其較易達精熟的概念。另其概念 ISM 圖皆呈 倒三角形，顯示對 F1、F2 兩位學生而言，在倍數相關概念中，其較難達精熟的 概念頗多。相異之處為概念 18(質因數分解法求兩數最小公倍數)為 F1 生之最高 層級概念，但概念18 為 F2 生之中間層級概念，且多了「概念 18→概念 16」、「概
念14→概念 16」的連結指，除此之外，其他概念間的連結指向則相同 (三)因數與倍數應用題概念
依據表 4-10 可知，F1 與 F2 生的因數與倍數的應用題之概念 ISM 圖完全相 同，不僅概念結構階層數皆為五個，各概念所在的階層位置也都相同，概念間的 連結指向關係一樣。概念21(公因數應用問題)同為 F1 和 F2 兩位學生最高層級概 念，顯示概念 21 是其最難達精熟的概念；概念 22(最大公因數應用問題)同為 F1 和F2 學生之最低層級概念，顯示概念 22 是其最易達精熟的概念。
綜合以上各點可知，答對題數相同但反應組型不同的學童，除其能力值有差 異外，其因數與倍數概念階層結構亦有所異同，對低、中能力值組學童而言，其 在倍數相關概念ISM 圖較為相似，而高能力值組的學童在因數與倍數的應用題概 念ISM 圖完全相同，其餘的概念 ISM 圖則有較多的相異之處。
貳、答對題數相同但反應組型不同的學童其試題內概念 ISM 圖之 比較
依據六位學生之概念ISM 圖，並參酌表 3-4 試題與概念屬性之關係矩陣，可 繪製出這六位學生在每一試題內的概念ISM 圖，以下將針對因數與倍數測驗中含 有兩個概念以上的試題之試題內概念 ISM 圖，如表 4-11 所示，分析答對題數相 同但反應組型不同的學童其試題內概念ISM 圖之異同。
表4-11 答對題數相同但反應組型不同的學童其試題內概念 ISM 圖之比較
低能力值組 中能力值組 高能力值組
D1
生D2
生E1
生E2
生F1
生F2
生試題 5
表4-11 答對題數相同但反應組型不同的學童其試題內概念 ISM 圖之比較(續)
低能力值組 中能力值組 高能力值組
D1
生D2
生E1
生E2
生F1
生F2
生試題 6
試題 7 試題 8
試題 9
試題10
試題11 試題12
試題13
試題14
表4-11 答對題數相同但反應組型不同的學童其試題內概念 ISM 圖之比較(續)
低能力值組 中能力值組 高能力值組
D1
生D2
生E1
生E2
生F1
生F2
生試題15 試題16
試題17
試題18
試題19 試題20
試題21 試題22 試題25 試題26
試題23 試題27
試題24
試題28
表4-11 答對題數相同但反應組型不同的學童其試題內概念 ISM 圖之比較(續)
低能力值組 中能力值組 高能力值組
D1
生D2
生E1
生E2
生F1
生F2
生試題29
試題30
試題31
試題32
試題33
試題34
試題35
表4-11 答對題數相同但反應組型不同的學童其試題內概念 ISM 圖之比較(續)
低能力值組 中能力值組 高能力值組
D1
生D2
生E1
生E2
生F1
生F2
生試題36
將表 4-11 答對題數相同但反應組型不同學童的試題內概念 ISM 圖加以分析 與比較後，其異同可歸納說明如下列幾點：
一、位於低能力值組的D1 生和 D2 生
在含有二個概念以上的試題中，與概念 12(判斷兩數是否互質)有關係的試
在含有二個概念以上的試題中，與概念 12(判斷兩數是否互質)有關係的試