第四章 研究結果與討論
第一節 不同能力值學童的因數與倍數概念 ISM 圖之比較
比較，第四節是不同能力值組的學童間及其和專家的概念ISM 圖之量化比較，其 詳細內容分述如下：
第一節 不同能力值學童的因數與倍數概念 ISM 圖之 比較
為觀察不同能力值學童間的個別化概念結構之異同，本研究將全體學童依其 能力值的平均數之上下一個標準差.9687 做為臨界點，區分為低、中、高三組，
並從這三組學童中，各隨機抽取一位學童，即 A、B、C 三位學生，做為比較不 同能力值學童的因數與倍數概念ISM 圖之實例，表 4-1 為此三位學生的相關答題 訊息。依據SAS/IML 矩陣的運算結果，可獲得 A、B、C 三位學生的模糊關係矩 陣，如附錄二所示。再以
α = . 6
將A、B、C 三位學生的模糊關係矩陣進行截矩陣 後，其概念屬性截矩陣如表 4-2 所示。最後，根據 A、B、C 三位學生之概念屬 性截矩陣，運用 AISM 軟體繪製個別化的因數與倍數概念 ISM 圖，如圖 4-1 至圖 4-3 所示。A、B、C 三位學生的 ISM 圖之特徵與異同，可分別從整體的因數與倍 數概念，以及因數概念、倍數概念、因數與倍數應用題概念，加以分析及比較。表 4-1 不同能力值的學童代表之答題情形
組別 學童代表 能力值 相似性係數 答對題數 低能力值組 A -1.341199 .3526061 15 題 中能力值組 B -0.385167 .4009111 30 題 高能力值組 C 1.042926 .8651390 35 題
表4-2 A、B、C 三位學生之概念屬性截矩陣
(
α= . 6 )
表4-2 A、B、C 三位學生之概念屬性截矩陣
(
α= . 6 )
(續)A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16 A17 A18 A19 A20 A21 A22 A23 A24 A25
A17 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1
A18 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0
A19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
A20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
A21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A22 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0
A23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
A24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
A25 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0
一、整體的因數與倍數概念
此三位學生的個別化因數與倍數概念 ISM 圖，如圖 4-1、圖 4-2 和圖 4-3 所 示，A、B、C 三位學生整體因數與倍數概念 ISM 圖的結構特徵及異同可歸納為 下列四點下：
(一)不同能力值的學童，其概念 ISM 圖的階層數目並不相同，能力值高的學童，
其概念ISM 圖的階層數較少，能力值低的學童，其概念 ISM 圖的階層數較多。
而且在三個不同能力值學童的概念 ISM 圖中，每一個階層所含蓋的概念數 目、內涵及概念之間的關聯結構，亦有所不同。
(二)概念 5(列舉法找出兩數的最大公因數)和概念 17(列舉法找出兩數的最小公倍 數)在 A、B 二生的概念 ISM 圖中，皆是位於最低層級的概念，顯示概念 5 和 概念 17 是 A、B 二生最易達精熟的概念，而此二個概念在 C 生的概念 ISM 圖中則位於第二階層，對C 生而言亦是相較精熟的概念。
(三)概念 9(質因數分解法求兩數最大公因數)、概念 18(質因數分解法求兩數最小 公倍數)在 A、B 二生的概念 ISM 圖中，皆是位於較高階層的概念，代表概念 9 和概念 18 是 A、B 二生較感困難的概念，而 C 生最難達精熟的概念則是概 念21(公因數應用問題)。
通過率
.015 .024 .103 .197~.266 .294~.395 .401~.442 .544~622 .756~.782 圖4-1 A 生之因數與倍數概念 ISM 圖(
θ= － 1.341199 ,
α= . 6 )
通過率 .200~.274
.303 .484~.575 .617~.714 .700~.800 .825~.870 .899~.917 圖4-2 B 生之因數與倍數概念 ISM 圖
( θ == － 0.385167 , α = . 6 )
通過率 .758 .858~.906
.926~952 .931~.972 .975~.983
.986 圖4-3 C 生之因數與倍數概念 ISM 圖
( θ = 1.042926 , α = . 6 )
(四)不同能力值的學童概念 ISM 圖之階層數有差異，此與學童在概念上的通過率 有關。依據表4-3 中可發現，低能力值組的學童在 25 個因數與倍數概念上的 平均通過率介於.0366 至.6829 間，其通過率中的最大差異值為.6463。中能力 值組的學童在25 個因數與倍數概念上的平均通過率介於.4561 至.9439 間，其
.7445 .3325 .7813 .9537
2 10、11、12、13、14、19、20、
21、22、23、24、25、26、27、
28、29、30、31、32、33、36 .7476 .3268 .7791 .9859
3 5、9、10、13、14、32 .7499 .3428 .7825 .9718
4 10、13、14、32 .7147 .3679 .7289 .9577
5 14 .8970 .6829 .9175 1.000
6 7、8、19、20、21、22、23、24、
25、26、27、28、29、30、33、
36 .7498 .2739 .7914 .9947
7 19、20、21、22、23、24、25、 26、27、28、29、30、33、36 .7352 .2625 .7727 .9940
8 21、22、23、24、25、26、27、 28、29、30、33、36 .7087 .2270 .7418 .9930
9 23、27 .5341 .0447 .5237 1.000
10 29 .8587 .4553 .9140 .9859
11 9、29、30、33、36 .7928 .3138 .8488 .9831
12 10、29、30、33、36 .7526 .2813 .7975 .9803
13 3、4、6、15、16、17、18、34、 35 .8389 .5068 .8754 .9797
14 15、16、17、18、34、35 .8248 .5176 .8541 .9730
15 6、17、18、35 .7964 .4329 .8342 .9595
16 17、18、35 .7964 .4824 .8251 .9531
17 18 .9114 .6829 .9439 .9789
圖4-4 A、B、C 三位學生概念 ISM 圖的概念通過率之比較 二、三個類別的因數與倍數概念
表4-4 為 A、B、C 三生在三個類別的因數與倍數之概念 ISM 圖，其概念結 構特徵與異同可歸納於下：
(一)因數相關概念
與因數相關的11 個概念在 A、B、C 三生的概念 ISM 圖中，皆呈現出五個概 念階層，但其概念結構特徵與概念連結情形則不盡相同，說明如下列幾點：
1. 概念 9(質因數分解法求兩數最大公因數)在 A、B 二位學生的概念 ISM 圖中，
皆是位於最高階層的概念，顯示概念9 是 A、B 二位學生最難達精熟的概念，
教師在教學時應該特別加強學童熟悉從兩數的質因數分解式中找出公因數的 涵意，避免流於演算法的複製。而 C 生最難以精熟的概念則是概念 4(用列舉 法找出兩數的全部公因數)，這與其在計算時易產生遺漏有關。
2. 概念 5(用列舉法找出兩數的最大公因數)和概念 10(用短除法找出兩數的最大 公因數)在 A、B、C 三位學生的概念 ISM 圖中，皆是位於較低的二個階層的 概念，顯示概念 5 和概念 10 是 A、B、C 三位學生較易達精熟的二個概念，
0.
1
1.0
A 受試者
B 受試者
C 受試者
0.5
通過率
也就是學童對於答案只有一個數字的計算題，因較無遺漏的問題產生，因此容 易答對。但是在A 生的概念 ISM 圖中，概念 10 是概念 5 的上位概念，而在 B 生的概念ISM 圖中此二概念間並無連結，相反的，在 C 生的概念 ISM 圖中，
概念10 則是概念 5 的下位概念。
3. 概念 1(因數的意義)和概念 11(互質的意義)在 A、B、C 三位學生的概念 ISM 圖中，皆是位於最第三階層的概念。
4. 概念 2(找出某數的全部因數)、概念 3(公因數的意義)、概念 4(用列舉法找出兩 數的全部公因數)此三個概念位於 A 生概念 ISM 圖中的第三階層、但在 B 生 的概念ISM 圖中是位於第四階層，而在 C 生的概念 ISM 圖中則是位於三個個 不同的階層。
5. 概念 6(質數和合數的意義)、概念 7(能判斷質數和合數)、概念 8(將某數做質因 數分解)、概念 12(判斷兩數是否互質)此四個概念在 A、B 二位學生的概念 ISM 圖中，皆是位於第四階層，顯示質數、合數及思考二數的關係的概念對學童而 言仍皆是較困難的。而在C 生的概念 ISM 圖中則是分散於三個不同的階層，
顯示思考二數的關係(概念 12)比思考一個數的特性，對高對能力值學童而言是 較困難的。
綜合以上幾點，在因數相關的 11 個概念中，A、B 二位學生之概念 ISM 圖之 概念結構特徵與概念連結情形有較多相似之處，而C 生則有明顯的不同。
(二)倍數相關概念
與倍數相關的7 個概念在 A、B、C 三生的概念 ISM 圖中，所呈現出的概念 階層數皆不同，分別為四、五、三個階層，且其概念結構特徵與概念連結情形也 有所異同，說明如下列幾點：
1. 概念 18(質因數分解法求兩數最小公倍數)在 A、B、C 三位學生的概念 ISM 圖 中，皆是位於最高階層的概念，顯示概念18 是這三位學生最難以精熟的概念，
教師在教學時應該特別加強學童熟悉從兩數的質因數分解式中找出公倍數的
涵意，避免流於演算法的複製。。
2. 概念 17(用列舉法找出兩數的最小公倍數)在 A、B、C 三生的概念 ISM 圖中，
皆位在第一階層，顯示概念17 是這三位學生最易達精熟的概念，學童對於答 案只有一個數字的計算題，因較無遺漏的問題產生，因此容易答對。而概念 19(用短除法找出兩數的最小公倍數)則位於三生中較高階層，此與因數概念 中，概念10(用短除法找出兩數的最大公因數)皆位於其較低階層有異，顯示用 短除法的方式求最小公倍數較求最大公因數困難，因此仍有概念混淆的問題，
教學時應該特別加強學童熟悉短除法的涵意，避免流於演算法的複製。
3. 概念 14(找出某數的數個倍數)、概念 15(公倍數的意義)、概念 16(用列舉法找 出兩數的數個公倍數)此三個概念在 A 生的概念 ISM 圖中皆是位於第二階層的 概念，且都是概念17(用列舉法找出兩數的最小公倍數)的上位概念，但是此三 個概念在B 生的概念 ISM 圖中是位於第三階層，且與概念 17 並無連結關係。
而在C 生的概念 ISM 圖中此三個概念則是分散在二個不同的階層，且概念 14 和概念16 是概念 17 的上位概念。
4. 概念 13(倍數的意義)在 A、B、C 三位學生的概念 ISM 圖中，皆是位於第二階 層，且皆是概念17(用列舉法找出兩數的最小公倍數)的上位概念。
(三)因數與倍數應用題概念
因數與倍數應用問題的六個概念所呈現出的概念階層數在A、B 二位學生的 概念 ISM 圖中皆為三個階層，而在 C 生的的概念 ISM 圖中則為五個階層，且其 概念結構特徵與概念連結情形也不盡相同，說明如下列幾點：
1. 概念 21(公因數應用問題)在 A、B、C 三位學生的概念 ISM 圖中，皆是位於 最高階層的概念，顯示概念21 是這三位學生最難以精熟的概念。究其原因，
發現學生在找出因數、倍數、公因數、公倍數時常有闕漏情形，因此教師在 教學時應該特別注意運用生活實例，加強學生對於題意的理解，並讓學生透 過實際操作具體物(方瓦、數學積木)的方式體會及建構出周延的解題策略，
以幫助學童減少闕漏情形的發生。
2. 概念 22(最大公因數應用問題)和概念 25(最小公倍數應用問題)在 A、B、C 三 位學生的概念ISM 圖中，皆是位於較低的二個階層的概念，顯示概念 22 和 概念25 是答案只有一個的應用題，因此較無遺漏的問題產生，是 A、B、C 三位學生較易達精熟的二個概念。
3. 因數與倍數應用問題的六個概念在 A、B 二位學生的概念 ISM 圖中，其概念 間之連結方向大致相同，差異之處是在B 生的概念 ISM 圖中，概念 20(因數 應用問題)是概念 25(最小公倍數應用問題)的上位概念，但在 A 生的概念 ISM 圖中，概念20 和概念 25 間則無連結關係。
表4-4 A、B、C 三生在三個類別的因數與倍數概念階層結構
A 生(低能力組) B 生(中能力組) C 生(高能力組)
因數相關概念
倍數相關概念
因數與倍數 的應用題概念
綜合 A、B、C 三生在三個類別的因數與倍數概念階層結構的分析，可知學 童的概念階層結構與概念間的連結關係，與其能力值高低的不同而有所差異。