第四章 研究結果與分析
第三節 國中一年級學童個案分析
研究者於94 年 3 月間對國中一年級學童—小融進行訪談，每次 35 分鐘，一 共三次。以下由未知數概念及未知數解題歷程兩方面來分析訪談結果：
一、小融的未知數概念：
訪談結果發現，在本研究的問題情境中，國中一年級學童小融的未知數概念 包括：能將文字符號N 視為變數；能直接對未知數使用結合律、交換律及分配 律化簡式子；能指出未知數符合三一律並說出其成立的條件。
1. 將文字符號 N 視為變數
本次訪談中，小融以「x」表示未知量，並可以將 x 視為特定未知數，即小 融能對含有x 的式子進行四則運算，例如乘法第 5 題，他以 x 表示一盒巧克力的 個數，然後用「3x」表示媽媽買了 3 盒巧克力，再用 3x÷4 表示分給 4 個人，得 到最後的答案
4
3x；在乘法第6 題中，以 x
48來表示x 盒巧克力中共有 48 個。另
外，在加法第11 題中，以 x＋6－6＋4 表示「小丸子原有 x 個彈珠，星期一得到 6 個彈珠，星期二輸掉 6 個彈珠，星期三又撿到 4 個彈珠」，並計算出小丸子最 後有x＋4 個。
在加法第14 題中，小融先以代入 0 的方式來決定 N＋2 及 N＋N 的大小。
然後研究者提問「如果N 不是 0 呢？」，小融進一步以5 代入，發現 5＋5 大於 5
＋2，於是指出 N＋N 也可能大於 N＋2。由此過程發現，小融能不斷地以正整數 取代N，推估兩未知數的大小關係。代表他能夠將 N 視為一個非固定的正整數
，即小融能將N 視為一般數。
於是研究者進一步問他：「當小新有2N＋5 個巧克力，阿呆有 3N＋5 個巧克 力，誰的巧克力比較多？」發現小融一開始雖然指出3N＋5 大於或等於 2N＋5
，但是研究者追問他後，他也能指出當N 為負數時，3N＋5 會小於 2N＋5。也 就是說，小融掌握了「N 可以是任何整數」，不會被問題的題意「N 是一盒巧克 力」所限制，而認為N 所代表的巧克力個數不可能是負的。
3108T：那有沒有可能小於？
3109R：小於哦？不可能…
3110T：嗯。
3111R：除非 N 是負的時候。
3112T：嗯，好。
在乘法第16 題：「小新有 1 盒彈珠，2 包單珠和 8 個彈珠，阿呆有 1 盒彈珠
，4 包彈珠和 2 個彈珠，而小新和阿呆有一樣多的彈珠，請問 1 盒彈珠有幾個？
」小融可以指出：無論1 盒裡有幾個彈珠，兩邊都會相等：
3026R：它是幾個應該都可以吧！
3027T：為什麼？
3028R：因為它（指 1 盒）這兩個都是一樣的啊，啊總數幾乎都是一樣的啊，不 管它有幾個，答案都是一樣啊。
由此可知，小融能將N 視為一段合理範圍之內的非特定值，即已具備將文字 符號N 視為變數的概念。換句話說，小融在本問題情境中，已達到 Kuchemann
（1981）的文字符號概念階段的第六層次。
2. 對未知數使用結合律化簡式子
小融在訪談過程中，如果遇到形如x＋a＋b、x＋a－b、x－a＋b、x－a－b
（其中a、b 為常數）均可以直接以結合律化簡成 x＋c（c 為常數）。例如加法第 8 題，小融寫出「x＋5－3 = x＋2」，研究者進一步追問：
0802T：老師問你哦，你這個 x－3＋5 怎麼變成 x＋2？解釋給老師聽。
0803R：因為＋5 跟－3 加起來，－3 加＋5 就等於 2，所以就是 x＋2
不以「得到 5 個巧克力又輸掉 3 個巧克力」來作答。小融在加法第 5 題到第 7 題 均有類似的表現，讀者可參見附錄。
另外，面對乘除混合運算的式子，像是x×a×b、x×a÷b…（a、b 為常數），小 融亦能將其化簡成cx（c 為常數），例如乘法第 3 題，他以 3x×2=6x 代表「2 盒 巧克力，每盒有3 包，每包不知道有幾個」；乘法第4 題，他以
10 10
5 5 5 10 5
x x
x÷ = × =
來代表「老師有一些巧克力，分裝成5 盒後，每 1 盒再分成 2 包，每包有幾個巧 克力？」。
由上述小融的解題表現可知，他已能脫離具體問題情境，抽象地針對未知數 運用結合律來化簡。
3. 對未知數使用交換律化簡式子
當未知數x 出現在式子中間時，小融可以直接使用交換律將未知數 x，移到 式子的最前面或最後面，並以結合律來化簡式子。例如加法第9 題，他寫出
x x+ = −
− 5 19
14 ，研究者進一步追問他：
0901T：那你這裡又怎麼變成 19 的？
0902R：因為這（指 x）還是未知數，所以先暫時不用理它，把 5 和原來的彈珠 加起來。
0903T：那你的意思就是可以先加上 5 再減 x？
0904R：嗯。
小融指出14− x+5可以先換成14+ 5−x，於是等於19−x。而加法第10 題時，
小融亦可以將15+ x−9化簡成6+x。
在上述兩個例子中，研究者要求小融解釋交換律時，他會以數字，而不以巧 克力的增減作說明。因此，研究者推論小融可以抽象地針對未知數進行交換律來 化簡式子。
4. 對未知數使用分配律化簡式子 在乘法第12 題中，小融以
2
x代表小新的彈珠，以 3
x代表小丸子的彈珠，而
且可以由 6
5 6 3 6 2 3 2
x x x x
x+ = + = ，其中
6 3 6
2x + 以分配律化簡為x ⎟×x
⎠
⎜ ⎞
⎝⎛ + 6 3 6
2 ，最後
得到 6
5x，並且知道 6
5x代表六分之五盒的彈珠數。
2601T：我幫你假設好不好？1 盒有 x 個。
（R 寫出
2 2x x÷ = ，
3 3x x÷ = ，
6 5 6 3 6 2 2 3
x x x x
x+ = + = ）
2602T：好，我問你，你的 6
5x代表幾盒的彈珠？
2603R：六分之五盒，小新和小丸子的彈珠。
研究者從小融以 2 x表示
2
1盒巧克力個數，而非 x 2
1 ，推測小融將x 視為一般數，
而非一個單位。因為他如果把x 視為單位（例如：盒）的話，寫法應該是「
2 1盒
」，而非「
2 盒」。
另外，在乘法第11 題（2501T~2503R）、第 13 題（2701T~2702R）及第 14 題（2801T~2805R），小融也都有相同的表現。因此，研究者認為，小融能夠直 接對未知數使用分配律來進行式子的化簡。
5. 指出未知數符合三一律並說出其成立的條件
面對「未知數比大小」的問題，小融不但可以指出未知數的三一律，並且可 以藉由將未知數代入數字，來分別求得在「大於、等於及小於」的情形時，分別 成立的條件。
在加法第13 題中，小融能很清楚的藉由「N 代表相同的數目」，指出 N＋4 比N＋2 多 2：
1301T：再來，我要問你，如果小丸子有 8 個的話，小玉有幾個？
1302R：10 個。
個（N＋4），N 是數目一樣嘛，所以多兩個，就是這個（N＋2）再加 2 就 好了。
他能藉由N＋4 比 N＋2 多 2 來推測出，當小丸子（N＋4）有 8 個時，小玉（N
＋2）有8−2=6個。
然而在加法第14 題中，小融都能明確指出「當 N 在某範圍時，N＋2>N＋N
」「當N 在某範圍時，N＋2=N＋N」及「當 N 在某範圍時，N＋2<N＋N」：
1408T：很好，那你能不能告訴我，什麼時候大，什麼時候小，什麼時候等於？
1409R：大於 2 的時候。
1410T：你幫我寫一下，什麼時候小玉會比較多？
1411R：N 大於 2 的時候。
1412T：那什麼時候，兩個會相等？
（R 寫出 2＋2=4，又在「N＋N」下面寫 2＋2）
1413R：2 的時候，N 是 2 的時候。
1414T：怎麼算出來的？
1415R：因為如果 N 是 2 的時候，小丸子是 N＋2 就等於 4，如果這個 N 是 2，那 這個也是 2，這邊也等於 4。
1416T：所以你是用數字代進去的？
1417R：嗯。
1418T：那這邊 N 大於 2，你也是用數字代的嗎？
1419R：嗯。
1422T：那如果是小丸子比較多的時候呢？
1423R：小丸子比較多就是…N 小於 2 的時候。
在乘法第18 題，比較「N＋7、2N＋1」的大小時（3205T~3214R、3217T~3219R
、3228T~3232R），小融亦有相同的表現。
由此可知，小融已經將N 視為一個變數，具有數的性質，所以三一律會在 不同的條件下成立。而且小融可以掌握N 的範圍是「整數」，包括正整數、零及 負整數。換句話說，他可以把文字符號N 當成任何整數代入式子，來檢驗兩個 未知數的大小。
二、小融的未知數解題歷程
訪談結果發現，小融能列出等號兩邊均有未知數的方程式、等號具備「代表 相等同類量」的概念、使用的解題策略包括回憶數字事實、逆運算、嘗試錯誤等 量公理及移項法則、而且小融能夠掌握未知數所代表的數量之範圍，進而檢視答 案的合理性。
1. 能列出兩邊均有未知數的方程式
由於小融目前正在學習的數學單元即為「一元一次方程式」，所以除了有一 題（乘法第16 題）需要以兩個未知數來列方程式，他無法正確的完成列式之外
，其他的問題，小融都可以列出方程式。
值得一提的是，小融已可以掌握問題中量與量之間的關係，因此他可以將不 同的量設成x，然後經由問題的已知條件，來表示其他的量：例如乘法第 4 題中
，小融可以假設把每包有x 個巧克力，然後將全部的巧克力表示成2x×5=10x個
，由題目所給的條件：「每包有4 個巧克力」，以 x=4 代入得到全部有 40 個巧克 力，也可以反過來假設全部有x 個巧克力，然後以
2 10 5
x
x÷ = 來表示每包的巧克 力數（1803T~1808T），然後再計算出全部的巧克力。
2. 等號具備「代表相等同類量」的概念
在本研究三次訪談中，小融未曾出現類似像x−3=5+3=8之類不對稱的等 式，並且在「兩未知量相等」的問題中，小融都可以清楚地寫出「A 的彈珠個數
= B 的彈珠個數」形式之方程式，例如：加法第 12 題，小融可以寫出「2x = x＋
12」來表示「小丸子有 2 盒彈珠，小玉有 1 盒彈珠加上 12 個彈珠，兩人的彈珠 個數一樣多」；乘法第15 題，他亦可以寫出「3x＋9 = 4x＋1」來表示丸尾和小丸 子的彈珠個數一樣多。
研究者認為小融不再由左至右來觀察一個等式，而能夠理解等號的左右對稱
3. 以圖畫表示兩個未知數的方程式
面對乘法第16 題：「小新有 1 盒彈珠，2 包彈珠和 8 個彈珠，阿呆有 1 盒彈 珠，4 包彈珠和 2 個彈珠，而兩人有一樣多的彈珠」，雖然小融無法假設兩個文 字符號以列出正確的方程式，但是他能夠以圖畫來表示兩個未知量相等（如下頁 圖）：
而且讀者若仔細觀察，可以發現上面那堆彈珠與下面那堆彈珠之間，小融還 以「=」來連結，代表兩堆彈珠相等。因此研究者推論，小融無法以方程式來表 示題意是由於他未曾學習過以二個以上的文字符號來列方程式。也就是說，雖然 他不諳正式的代數格式，但是他能以圖畫的方式，來表示等價的概念。
4. 解題策略包括回憶數字事實、逆運算、等量公理、移項法則及嘗試錯誤 在本研究的訪談問題中，小融曾出現的解題策略有共有五種，包括回憶數字 事實（S1）、逆運算（S4）、嘗試錯誤（S5）、移項法則（S6）及等量公理（S7）
，以下分述之：
在面對較簡單的數字關係時，小融會利用回憶數字事實（S1）來求解，例如
：6＋x=8，小融可以利用 6＋2=8，求出 x=2。
而小融最常出現的解題策略是逆運算（S4）。包括單步驟加減混合運算、加 減乘除混合運算等，他都會使用逆運算來解題。例如加法第9 題，當小融化簡成
8
19− x= 時，他接著寫出19−8=11，研究者問他：
0908T：嗯，我的意思是說你怎麼從 19－x=11 推得 19－8 的？
0909R：因為是未知數嘛，因為減完所有東西之後剩下 8，8 之後那想求和風間比 賽輸的那些彈珠，所以就要用原來贏的…所有的彈珠加上鸁的去減掉後 來剩下的彈珠，就是風間贏的。
小融並未以移項法則或是等量公理來回答研究者的問題，也就是說他在處理這類 的問題時，是使用逆運算的策略。
即使他已經將兩步驟運算的式子化簡成單步驟，他偶而還是會直接用逆運算
（S4）解題，例如乘法第 4 題：小融已經將x÷5÷2化簡成 10
x ，但是他在求解時
，卻又利用「每包有4 個」的條件，以 4×2=8，8×5=40 來求解。
除非小融遇到無法順利逆運算的問題時，他才會求助於移項法則（S6），例 如乘法第5 題，小融列出 6
3 =4x
之後，以3x÷4=6，3x=24，求出x=8。 或者等號兩邊均出現未知數時，例如乘法第15 題，小融列出4x+1=3x+9之 後，他會用移項法則（S6）算出 x = 8：
2907T：8，你是怎麼算出來的，你可以跟我講嗎？
2908R：順序搞錯而已
2909T：那你怎麼把 8 算出來的？
（R 寫出
2910R：就是 3x 移過來變負的，1 移過去變減的
為了要確認小融不是因為不會使用等量公理，才一直以逆運算來解題，於是 研究者在乘法第10 題時，要求小融必須以等量公理（S7）來解題：
（R 寫出 3 5 7x− =
， 8 7x =
）
2416T：先停一下，老師問你，你這一步是怎麼到下面那一步的？
2417R：就是把－3 移過來，這個就要變加的。