與前人研究之比較與反省

六、「嘗試錯誤」解題策略的個別差異

不同年級的三名個案在面對不知道如何解題的情形時，他們不約而同地都會 以「嘗試錯誤」為策略來設法求解。但是三人在「嘗試錯誤」的內容表現則有所 差異。

其中，小祥的嘗試錯誤策略是「在具體情境中無系統的隨機代入」。小祥在 比較N＋N 及 N＋2 的大小時，會隨機的假設 1 盒巧克力有幾個，而且只代了一 個數字，失敗後就直接放棄，所以不會發現N 愈接近 2 時，N＋N 及 N＋2 的差 會收歛。

小儀的嘗試錯誤策略是「在具體情境中系統性依序代入」。小儀面對無法化 簡的式子例如N÷2＋N÷3=15 時，她可以將 15 拆成 10 和 5，接著用 10－1=9，5

＋1=6，依序來代入，最後順利解題。另外，由於她無法脫離具體情境，所以在 比較2×N＋5 個巧克力及 3×N＋5 個巧克力時，把 N 視為 1 盒巧克力，未考慮盒 中沒有巧克力的情形，故認為兩者不可能相等。

小融的嘗試錯誤策略則是「在抽象情境中系統性依序代入」。在比較兩未知 量大小時，小融他不但可以有系統的觀察到當N 趨近於某個數時，兩未知量的 差會趨近於0，而且在比較 2×N＋5 個巧克力及 3×N＋5 個巧克力時，會脫離「N 一定是自然數」的侷限，進而考慮N 為 0、甚至小於零的情形。

以及Carraher 等人自 1998 年起，在美國大波士頓地區進行的長期教學研究（

Carraher, Schliemann, & Schwartz, in press）暸解並藉此反省本研究不足之處。

一、比較

Kuchemann (1981)於 1976 年發展出 6 個文字符號概念層次，並以該層次設 計了51 道問題，對 3000 名 13 歲到 15 歲的英國中學生進行紙筆測驗，結果發現 能達到第四階段，即能將文字符號視為特定未知數的學生分別只有17%、34%及 40%，然而在本研究卻指出國小二年級的學童只要經由適當的引導也能達到此階 段，國小五年級的學童甚至於可以到達第五階段。是什麼原因造成這樣的差距？

研究者以下分三點說明：

1. Kuchemann 的研究乃是使用傳統紙筆測驗，所以學生無法成功地解題並不 見得是他們不會作答，有可能是他們對題意不了解。另外，僅僅憑藉學生 的紙筆解題記錄來判讀學生的文字符號概念，無法確實掌握學生心中的想 法，因此極有可能低估了學生的未知數概念。

2. Kuchemann 的文字符號概念測驗中的問題，大部分是以抽象的形式顯示，

而未賦予具體的情境，例如：比較2n 和 n＋2 的大小。對於學生來說比較 陌生。而本研究乃是選擇學生在日常生活常遭遇到，而比較熟悉的彈珠或 巧克力增減及分配的情境，可能增加了學生在思考推理上的空間。

3. 本研究訪談在學生遭遇困難或無法繼續解題時，研究者會給予適當的引導

，包括口語提問、圖畫或具體物。相較於學生在紙筆測驗時一遇到困難便 顯得孤立無援，本研究個案在解題時，研究者會在一旁解說題意，研究個 案會有較高的解題動機。除此之外，紙筆測驗無法掌握學生當時的身心狀 態，而本研究在訪談時，則能夠考量學生生理及心理上疲倦或者厭煩而隨 時暫停休息，也可能是表現差異的原因之一。

4. 台灣中小學學生的數學學習成就在國際間一向名列前茅，例如在 2003 年

國際數學與科學成就趨勢調查（TIMSS），在四十九個參與國家之中，台 灣的國二及小四學生的數學總平均成績排名都是第四，英國則僅排名第二 十一。另外，國二學生在「代數」方面及小四在「數型與關係」方面的排 名更高居第三（Martin, Mullis & Chrostowski, 2003）。所以本國學生在代 數方面的成績十分優異，也有可能造成兩者研究結果的差異。

Herscovics & Linchevski (1994)以 50 個一元一次方程式，包括單步驟運算問 題、兩步驟混合運算問題、等號同一邊出現兩次未知數及未知數出現在等號兩邊 的問題，來訪談一個七年級的資優班級，該班共有22 名學生，平均年齡為 12 歲又9 個月，而且他們完全未學習過代數。研究結果發現受試者們不但答對率不 高，而且解題策略多半屬於較低階，包括逆運算、代入與估計等。最後指出算術 與代數的認知間隙（cognitive gap）在於學生未具對未知數進行運算的能力。而 本研究結果發現學生不但可以對未知數進行運算，而且在解題策略方面則曾出現 較高階的「等量公理」。造成本研究與Herscovics & Linchevski 的研究結果之差 異原因可能有如下三點：

1. Herscovics & Linchevski 的訪談問題並未賦予受試者生活化的問題情境，

對於初次見到一元一次方程式的學童來說，沒有具體情境可供思考時，只 能將方程式轉換為「已知答案的算術式，欲求運算過程中的某一項」，其 解題策略自然受限於逆運算。而遇到等號兩邊都有未知數的情形，在無法 求諸於逆運算時則只能使用嘗試錯誤的方法。

2. Herscovics & Linchevski 在訪談中雖然有提供計算機，以減少學生在算術 上發生錯誤，並且在訪談過程中讓學生理解方程式符號的意義，但是未提 供其他具體物來協助學生求解。而本研究除了問題情境是學生在日常生活 經常遭遇的彈珠或巧克力增減及分配的問題，研究者更提供了具體物（巧 克力）讓學生親自操作，所以進而發現學生能在具體情境中使用等量公理

3. 在本研究訪談過程中，由於研究者會適時給予教學引導，所以個案可能在 訪談問題序列中歸納出某些學習心得及經驗；而Herscovics & Linchevski 則提到他們的研究是個別晤談並非教學實驗，則強化了學生在七年級仍無 法運算未知數的說法。換句話說，本研究的個案可能受到一些鷹架作用，

而導致他們有較良好的表現。

Carraher, Schliemann, & Schwartz（in press）的研究團隊從 1998 年起，在美 國大波士頓地區一所公立小學的四個班級進行一項長期的教學實驗研究，每週進 行九十分鐘初步代數的教學活動，一個學期約六到八個單元，從二年級下學期持 續到四年級結束。（http://www.earlyalgebra.terc.edu/）實驗結果發現經由這些教學 活動，孩童能以包含變數的函數關係，來描述各種問題情境，並使用文字符號來 釐清問題情境中的數量關係。也就是說，孩童能以代數符號來表現數學的一般化

。所以Carraher 等人認為算術與代數之間並沒有很大的間隙。

本研究亦發現國小孩童可以成功將彈珠或巧克力的增減情境轉譯成代數式

，在具體情境下能進行等量公理，均支持Carraher 等人的論點。然而本研究與 Carraher 等人的研究範圍及方法差異如下：

1. 本研究僅討論國小孩童的未知數概念及方程式解題策略，其他的代數子概 念（例如：函數）及其他的表徵（例如：圖形、表格）則沒有涉及。

2. 本研究並非教學實驗，研究結果無法推論至其他的問題情境，是故無法如 Carraher 等人的研究成果做出一般化的結論。

3. Carraher 等人的研究未對於不等式進行教學及討論；本研究則在孩童面對 不等式時，發現他們對於文字符號所包含的範圍有不同程度的掌握。

換言之，本研究僅在單一的問題情境及單一的語意結構，支持Carraher 等人 的論點。所以還需以其他的研究成果佐證，方能歸納出比較完整的結論。

二、反省

經由與上述三個知名的國外研究的比較過程中，研究者對於本研究有以下三 點反省與檢討：

1. 由於財力、人力與時間的限制，本研究雖然試圖在三個個案的選擇上力求 具代表性及說服力，但在研究樣本及訪談問題的數量上，均不如以上的三 個國外研究，所以本研究的推論性仍待進一步的研究來釐清。

2. 研究者本身為初窺高深學術殿堂之新手，由於訪談技巧仍相當生澀，加上 理論觸覺（theoretical sensitivity）較為遲鈍，可能在訪談過程中有錯失了 某些重要的概念或影響因素而不自知。例如：算術方面的迷思概念（例如

：括號、分數）亦可能影響受試者的解題表現，在本研究則未納入探討。

3. 研究者應該避免有偏見的介入行為，而導致受試者表現出研究者預期的概 念類型。例如在五年級的個案訪談中，小儀在面對兩步驟加減問題時，直 接以兩步驟逆運算求解，出乎研究者的意料之外，而研究者則欲引導小儀 先化簡，再進行解題的動作，反而讓小儀不知所措，看似簡單的問題答不 出來，只好暫時休息（見加法第7 題）。所幸短暫的休息過後，並未影響 小儀之後的解題表現，故該原案仍被本研究保留。