第四章 研究結果與分析
第五節 未知數概念及解題歷程的跨個案比較
N 是－1 才行，如果 N 是－2 的話，阿呆的巧克力（3×N＋5）就變成負的了」。
在另一個問題（比較N＋7 及 2×N＋1 的大小），小儀和小融也都有類似的表現。
相較之下，小融能夠脫離具體情境，把N 當成任何整數來考慮，完整地說出成 立的條件，小儀則侷限在具體情境「N 是代表 1 盒巧克力（彈珠）」，只能把 N 當成自然數。
小時，可以從整個正整數的範圍來考慮N 的範圍。但是未考慮到 N 是 0 或負整 數的情形。
小融則可以完整的考慮所有的整數，正確推估出當三一律成立時，N 的範圍 分別為何。也就是說，小融可以將文字符號視為變數。
從Kuchemann 的文字符號概念層次來看，在本問題情境中，小二的小祥可 達到第四階段－文字符號視為特定未知數，小五的小儀可達到第五階段－文字符 號視為一般數，國一的小融則能夠達到最高的階段－文字符號視為變數。
2. 結合律
在研究者的引導下，小祥在巧克力增減的具體情境中可以自行運用結合律來 化簡像N＋a＋b、N－a－b 兩類的式子，例如他可以算出「原來有 N 個巧克力，
先得到3 個，再得到 4 個，所以總共得到 7 個，即 N＋3＋4 跟 N＋7 的結果是一 樣的」。而N＋a－b、N－a＋b，則必須經研究者引導：「星期二比星期日多還是 少？差幾個？」，小祥才能順利化簡。
小儀在加法結構的兩步驟問題中也有相同的表現。而在乘法結構的問題中，
面對N×a×b、N÷a÷b 及 a×b÷N 都可以順利以結合律化簡，但是在面對 N×a÷b 時
，研究者發現在因為她無法對未知數進行分割，所以她無法將N×a÷b 表示成 N×
b a。
小融則能夠脫離具體的問題情境，直接對未知數以結合律進行代數式的化簡
，例如：x×3÷4=
4 3x，
x 48x 2
24× ÷ = 。
3. 交換律
小祥及小儀都是經由研究者的引導：「如果星期一發生的事情和星期二發生 的事情對調，結果有沒有一樣？」，才能在具體的情境中使用交換律化簡式子，
小融則是能脫離具體情境，指出「因為x 還是未知數，所以先暫時不用理它
，把5 和 14 加起來」順利將 14－N＋5 化簡為 19－N。
4. 分配律
由於小祥尚未學習乘法，所以在分配律的部分僅就小儀和小融的表現進行比 較。
小儀能將N＋3×N 視為 1 盒彈珠數加上 3 盒彈珠數，所以總共是 N×(1＋3)=N
×4，也就是說她能在具體的情境中使用乘法對加法分配律來化簡。但是由於她無 法將等分除的結果轉換成未知數的分割量，也就是說她無法將N÷2 看成是
2 N，
所以無法用分配律來化簡像是N÷3－N÷6 的式子。
小融則可以成功地以分配律化簡N÷3－N÷6 為
6 6 3
N N
N − = ，即小融可以用
分數的型式來表示未知數分割量，並進行運算，得到最後的結果 6 N 。
5.三一律
以比較N＋N 及 N＋2 的大小為例，小祥雖然一開始認為 N＋N > N＋2、N
＋N = N＋2、N＋N < N＋2 三種情形都有可能成立，但是由於小祥是以「亂槍打 鳥」的選擇一個數字代入N 來嘗試錯誤，因為小祥無法將文字符號 N 視為變數
，所以無法由數的次序性質中發現N＋N 與 N＋2 的差之趨勢：N 越接近 2，N
＋N 與 N＋2 的差越小，所以當找不出 N＋N<N＋2 成立的條件時，就否認了 N
＋N<N＋2 成立的可能性。
相較於小祥，小儀可以按照自然數的次序來進行嘗試錯誤，例如在比較N
＋7 及 2×N＋1 的大小時，小儀先算出當 N 等於 6 時，N＋7 會等於 2×N＋1，接 下來，她就會用7，8…代入 N 來發現 N＋7 與 2×N＋1 的差愈來愈大。所以她能 順利推估出當N 等於 7 以上時，N＋7 會小於 2×N＋1，以及當 N 等於 5 以下時
，N＋7 會大於 2×N＋1。但由於小儀無法抽離具體情境，一直將 N 視為 1 盒巧
克力的個數，所以當她比較2×N＋5 及 3×N＋5 時，小儀認為 3 盒加上 5 個巧克 力一定比2 盒加上 5 個巧克力多。而無法發現當 N 等於 0 時，兩人會一樣多。
小融則能進一步將N 視為任何可能的整數，不再侷限於自然數，所以在比 較2×N＋5 及 3×N＋5 時，他除了指出當 N 等於 0 時，2×N＋5 會等於 3×N＋5，
而且可以指出當N 為負數時，2×N＋5 會大於 3×N＋5。
二、 未知數解題歷程
以下由未知數的解題歷程，包括列式、等號的意義、解方程式以及對於所求 出的解之合理性依序來比較分析三位學童的表現。
1. 列式
三位學童都可以用文字符號N 或 x 來表示每一題中不同的未知量。其中小 二的小祥曾出現把前一題N 所代表的數字，代入下一題中進行計算。不過經研 究者提示：「上一題的N 和這一題不同」，他就再也沒有出現這種情形。
而小祥面對未知數僅出現在等號左邊的問題，可以正確的列出方程式。但是 在面對等號兩邊均出現未知數的問題時，則無法正確列式，僅能以圖畫或具體物 告訴研究者，「這一堆等於那一堆」。
小五的小儀在面對等號兩邊均出現未知數的問題時，則能以「2 盒 = 1 盒＋
12 個」列式來表示，即使面對等號兩邊均出現兩個未知數的問題亦有相同的表 現，雖然未能將等號兩邊化成同類量，但是她初步的具備方程式的概念，即等號 不具有方向性。
國一的小融則順利的以x 來表示出兩人的彈珠個數相等。不過在需要以兩個 不同未知數的式子中，小融雖然無法順利的列式，但是他能以圖畫來表示兩人的
2. 等號的意義
等號對於小祥來說，相當於「算出答案」的指令，也就是說，等號具有方向 性，乃是「過程」到「結果」的連結符號。他並認為一切帶有運算符號（＋或－
）的式子，例如N＋5 只是過程，必須要寫成 N＋5=( )，才是真正算出答案。所 以他在面對等號兩邊均有未知數的問題時，無法正確的列式。
小儀在等號兩邊均出現未知數的問題中，已能以等號來列式。代表小儀對等 號已有初步的理解，等號具有對稱性，即等號兩邊為相等的同類量。但是在解題 過程中，小儀仍會出現24×2=48÷N =8這種不對稱的式子，研究者認為她尚未 完全脫離等號在算術中的意義。
至於小融，他已完全能夠將等號視為「代表相等的同類量」，在「兩未知量 相等」的問題中，都能正確的列式來表示兩個未知量相等。訪談過程中，也從未 出現像小儀那種不對稱的式子。
3. 解方程式
研究者將三位學童所曾出現的解題策略製表如下：
表 4-1 三名個案之解題策略次數統計
使用數字事實 數數策略 覆蓋 逆運算 嘗試錯誤 等量公理 移項法則
小祥 1 10 1 3
小儀 1 25 4 4
小融 1 20 3 3 8
值得一提的是，三人最常使用的解題策略均為「逆運算」。訪談中顯示出在 國小的算術訓練下，讓他們對於逆運算的策略深具信心。對於小祥和小儀來說，
逆運算可能是「嘗試錯誤」之外，唯一可以使用的策略。但是研究者觀察小融，
發現雖然他已經學習過「等量公理」以及「移項法則」，但他仍偏愛使用逆運算
，即使是在方程式已列出的情形下，他仍不直接以方程式解題，而採用逆運算。
除非他遇到無法使用逆運算的問題，才會改以移項法則來求解。
另外同樣是「逆運算」的策略，三人有不同程度的表現。小祥只能在單步驟 的方程式或研究者引導他將式子已化約成單步驟方程式（N－a = b）後，才能進 行逆運算，而小儀可以在列出兩步驟方程式（N＋a＋b = c）後，直接進行逆運算
。小融則是必定將式子化簡之後，才會進行求解。
在「使用數字事實」的策略方面，三人各僅出現一次。研究者認為該策略只 有在學童十分熟悉該算式，甚至於已牢記該算式時才可能發生。
在具體情境中，小祥和小儀都能用等量公理來解題，但只限於兩堆物品中同 時加上某物或拿掉某物，小融則能夠直接從在方程式中，對於等號兩邊的未知量 同時進行加減乘除四則運算。
當學童們無法以他們所熟知的策略來解題時，就會以「嘗試錯誤」的方法來 找出未知數所代表的值。像是在未知數比大小的問題中，三名學童都會以嘗試錯 誤的策略來推估N 的範圍。不同的是，小祥只代入一個數字，答案不合就直接 放棄，而小儀和小融能夠不斷的以不同數字代入求得答案。
4. 檢查解之合理性
小儀與小融在面對乘法第8 題：「求出一盒巧克力的個數，卻少於掉出來的 個數時」都能發現所得的解是對於問題情境是不合理的。小融更在比較3×N＋5 及2×N＋5 時，更能成功地指出，N 不可以小於－1，因為這樣巧克力就會變成 負的。研究者認為他們在計算答案的同時，可以針對整個命題完整的回憶，評估
表 4-2 三名個案之未知數概念及未知數解題歷程比較
小二的小祥 小五的小儀 國一的小融
文字符號 概念層次
在本研究問題情境 中，將文字符號視為 特定未知數
在本研究問題情境中
，將文字符號視為一 般數
在 本 研 究 問 題 情 境中，將文字符號 視為變數
結合律
1.連加、連減可自行 完成
2.加減混合則需研 究者引導至具體 情境中，方可使用 結合律化簡式子 3.有時需操作具體
物來進行化簡
1.連加、連減、連乘及 連除可自行完成 2.加減混合則需研究
者引導至具體情境 中，方可使用結合 律化簡式子 3.乘除混合則由於她
無法分割未知量，
無法完成化簡。
直接對文字符號 使用結合律化簡 式子
未 知 數 概 念
交換律
1.經研究者以問題 引導（先輸後贏or 先贏後輸 有沒有 差？），可以使用分 配律化簡式子 2.有時需操作具體
物來進行化簡
1.經研究者以問題引 導（先輸後贏or 先贏 後輸有沒有差？）， 可以使用分配律化 簡式子
直接對文字符號 使用交換律化簡 式子
分配律
面對N×a+N×b 可以順 利化簡。但N÷a+N÷b 則無法化簡。
直接對文字符號 使用分配律化簡 式子
個 案 概 念
三一律
1.可指出兩未知量 的關係可能是「大 於、小於或等於」
2.以「在具體情境中 無系統的隨機代 入一個數字」來決 定成立條件 3.嘗試代入一個數
字，發現不合，就 馬上否定了成立的 可能性
1.可指出兩未知量的 關係可能是「大於
、小於或等於」
2.以「在具體情境中有 系統的依序代入數 字」來決定成立條 件
3.無法脫離具體情境
，N 當作自然數（
一盒巧克力的數目
）
1.可指出兩未知量 的關係可能是
「大於、小於或 等於」
2.以「在抽象情境 中有系統的依 序代入數字」來 決定成立條件 3.可以將 N 當成任
何整數
列式
1.可列出等號左邊 有未知數的式子 2.面對兩邊都有未
知數的式子則只 能以「這堆等於那 堆」表示。
1.可列出等號左邊有 未知數的式子 2.面對兩邊都有未知
數的式子則能以「2 盒=1 盒+12 個」表 示。
1.可以列出兩邊都 有未知數的式 子
2.遇到需要以兩個 未知數來列式 時，則用圖畫表 示。
未 知 數 解 題 歷 程
等號
等號代表「算出答案
」
Ex：N+3=( )
已有「等號兩邊代表 相等同類量」的概念
，但尚未脫離「算出 答案」。
偶爾會出現不合邏輯 的等式，ex：
N-4=12+4=16
等號兩邊代表相 等同類量