結論

數學教育家過去對於代數學習的看法是孩童必須達到形式運思的階段才能 學好代數；但近來許多國際間的研究結果在在顯示，若教學方法及教材安排得宜 的話，國小學童就可以開始接觸代數。本研究結果支持後者的看法，認為代數與 算術之間的認知間隙是罅隙而非鴻溝，若能根據孩童的日常生活經驗編製初步代 數的教材，學童是可以接受學習的，以下根據研究結果做成六點結論：

一、個案都能以代數語言轉譯問題的文字語言

國小二年級的小祥、五年級的小儀及國中一年級的小融在面對已學習過的算 術問題，均能夠成功的以代數語言轉譯問題的文字語言，將問題情境的數量關係 寫成代數方程式。

Malara（2000）認為，從描述問題的詞彙語言間之數量關係轉譯成正式的代 數語言乃是最重要的代數概念之一。而本研究發現二年級的小祥及五年級的小儀

，在本研究彈珠（巧克力）增減的問題情境，即改變型的加減法問題語意結構及 等組的乘除法問題語意結構，兩人在單步驟運算問題及兩步驟混合運算問題兩個 類型中，當研究者指定某一量為未知數N 時，小祥和小儀都能夠成功的將該未 知數與問題中的其他數量之關係以代數式表示。顯示若是問題情境之下的運算法

。至於前人研究中所提到「從 □ 轉換成文字符號（N、x、甲、乙等…）」的認 知障礙，在本研究的問題情境中則未曾出現。

國中一年級的小融由於在學校已學習「一元一次方程式」的單元，已能進行 抽象的代數思考。而且他認為，本研究的問題情境相較於學校數學課程是比較容 易的，所以列式對他來說毫無困難。

二、個案的方程式解題策略均以「逆運算」為主

本研究的三位個案，在面對方程式時，最常使用的解題策略均為逆運算。

二年級學童小祥只能進行單步驟的逆運算，面對兩步驟以上的問題，必須由 研究者引導他化簡成單步驟之後才能進行解題。五年級學童小儀則能夠熟練的運 用兩步驟以上的逆運算，所以她不用進行化簡就可以解答。而且研究者發現化簡 對她而言，反而比較困難。另外，列出方程式有助於小儀以逆運算求解。

小祥及小儀由於未學習過正式的代數課程，所以總是使用算術來解決代數方 程式。但是國中一年級的小融則出乎研究者的意料之外，他在面對方程式時，最 常用的解題策略仍為「化簡式子，然後進行逆運算」，並未根據自己所列出的方 程式，以移項法則或等量公理來解題。例如：加法第8 題，他的解題過程為「x

－3＋5 = x＋2，x＋2=7，7－2 = 5」，而不以「x＋2 = 7，x = 7－2，x = 5」來解 題。此時，研究者原本猜想他有可能不會等量公理或移項法則，但是當研究者要 求他以等量公理解題，他則可以順利完成。例如：乘法第10 題，當他列出 3 5

7x− = 時，他可以先兩邊同時加3，再同時乘以 7 來求出x=56，於是推翻了研究者的 假設。所以研究者認為，逆運算還是小融最具信心，且最熟悉的解題策略。

三、國小個案能在具體情境以數的基本運算性質化簡未知數的式子 在彈珠或巧克力的具體情境中，如果經由研究者適當的引導，小祥和小儀可 以利用包括結合律、交換律及分配律等來化簡含有未知數的式子。其中由於小祥 尚未學習九九乘法表，所以他的訪談問題只含有加法結構。小儀的訪談問題則包 含了加法與乘法結構。以下就加法與乘法結構分述之：

在加法結構問題情境方面。小祥和小儀在面對連加與連減的問題情境，都能 直覺以「得a 又得 b，即得 a＋b」或「輸 a 又輸 b，即輸 a＋b」來化簡式子。而 他們面對兩步驟的加減混合問題時，則以具體情境中的想法操作加法結合律簡化 未知數的式子，例如：人家給我2 個再輸掉 6 個就是比原來少 4 個，所以 N＋2

－6 與 N－4 的結果會相同。另外，在研究者引導下，小祥和小儀可以把加法交 換律想成是「星期一做的事和星期二做的事調換，結果不會改變」。例如：他利 用「星期一先得到N 個彈珠，星期二再輸掉 9 個，跟星期一輸掉 9 個，星期二 再得到N 個的結果是一樣的。」將 15＋N－9 轉換成 15－9＋N，進而化簡成 6

＋N。

另外，在乘法結構問題情境方面，小儀能利用乘法對加法的分配律來化簡式 子，例如：「1 盒是 N 個，所以 N 個加上 3×N 個，就是 4×N 個」將 N＋3×N 化簡 成4×N。但是 N÷a＋N÷b 的形式則無法化簡。

四、小五及國一個案都能檢驗其解的合理性

小儀與小融能將所求的解，置於原問題情境中所代表的未知量來檢驗合理性

。例如乘法第6 題，小儀與小融均能夠發現題目敘述有一包掉出 5 個，但是最後 計算出的答案卻是一包有4 個，所以求出的解是不合理的。另外，小融在「未知 數比大小」的問題（比較2N＋5 及 3N＋5 的大小），不但考慮到 N 是負數的情

五、等號意義逐漸由「算出答案的指令」發展到「代表相等同類量」

在本研究的三個個案中可以發現，等號的意義會隨著年級升高而逐漸成熟。

在小祥的訪談中，可以從訪談的過程中發現，「=」代表「算出答案」的動作

。而問題答案的一定是在等號的左邊，也就是說小祥的「=」是由左至右，有方 向性的。所以他不僅無法接受含有運算符號的式子（例如：N＋4）為最後的答 案，一定要在後面加上「= ( )」，而且由於他剛接受算術的訓練不久，所以偶爾 會出現不合邏輯的算式。例如：N＋2－6 = 4 或是( )－7 = ( )。是故，而他面 對等號兩邊都有未知數的問題情境時，則無法列出等式來表示。

小儀的等號意義則是介於「算出答案的指令」及「代表相等同類量」之間。

她雖然可以接受含有運算符號的式子當作答案，但是在面對未知量分割的情境時

，她卻會覺得將「N÷6」視為一個數，感覺怪怪的。另外，小儀已經有「等號兩 邊是相等的同類量」的概念。她在面對等號兩邊均有未知數的問題情境時，可以 用例如「2 盒=1 盒＋12 個」的形式，即等號右邊出現運算符號，來表達問題情 境。但是她偶爾也會將等號狹義地視為算出答案的指令，而未考慮等號兩邊的對 稱性。例如：她以24×2=48÷N=8 代表 24 先乘以 2 再除以 N 的算式。

小融不但在面對等號兩邊均有未知數的問題情境時，可以順利的列出等式，

並且能夠使用等量公理來解題。在本研究中也未出現不對稱的等式，也就是說小 融已可以將等號廣義的視為「代表相等的同類量」。不過研究者發現，在訪談過 程除非研究者要求，否則小融並不會將等量公理視為解題策略的第一選擇。研究 者推想，可能是由於小學六年級算術的訓練，讓小融仍較習慣於狹義的「算出答 案」來看待等號。所以解題時會自然而然的使用其他的解題策略。

六、「嘗試錯誤」解題策略的個別差異

不同年級的三名個案在面對不知道如何解題的情形時，他們不約而同地都會 以「嘗試錯誤」為策略來設法求解。但是三人在「嘗試錯誤」的內容表現則有所 差異。

其中，小祥的嘗試錯誤策略是「在具體情境中無系統的隨機代入」。小祥在 比較N＋N 及 N＋2 的大小時，會隨機的假設 1 盒巧克力有幾個，而且只代了一 個數字，失敗後就直接放棄，所以不會發現N 愈接近 2 時，N＋N 及 N＋2 的差 會收歛。

小儀的嘗試錯誤策略是「在具體情境中系統性依序代入」。小儀面對無法化 簡的式子例如N÷2＋N÷3=15 時，她可以將 15 拆成 10 和 5，接著用 10－1=9，5

＋1=6，依序來代入，最後順利解題。另外，由於她無法脫離具體情境，所以在 比較2×N＋5 個巧克力及 3×N＋5 個巧克力時，把 N 視為 1 盒巧克力，未考慮盒 中沒有巧克力的情形，故認為兩者不可能相等。

小融的嘗試錯誤策略則是「在抽象情境中系統性依序代入」。在比較兩未知 量大小時，小融他不但可以有系統的觀察到當N 趨近於某個數時，兩未知量的 差會趨近於0，而且在比較 2×N＋5 個巧克力及 3×N＋5 個巧克力時，會脫離「N 一定是自然數」的侷限，進而考慮N 為 0、甚至小於零的情形。