不同年級學童在具體情境中未知數概念及解題歷程之研究

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國立中山大學教育研究所 碩士論文

不同年級學童在具體情境中未知數概念及解題歷程之研究

研究生：莊松潔 撰 指導教授：梁淑坤 博士

中華民國 九十四 年 七 月

誌 謝

攤在椅子上，望著散落桌前的文獻與原案，口考委員那句「恭喜你通 過論文口試！」猶繞耳畔，同學與我握手恭喜的餘溫也仍在手心，激動的 情緒方平復，心底才緩緩升起一個小天使，眨眨眼對我說：「你完成了碩 士論文囉！」。兩年來努力不懈，論文的完成証明了我能夠經過嚴厲的焠 煉，通過學術界的檢視而獲得肯定。當然我相信這不過是一個開始。學術 的道路漫長無涯，往後還有更多的事物，等待著我繼續學習。

論文得以完成，首先要感謝我的指導教授—梁淑坤老師，她不但是一 個很稱職的老闆，扮演學術領域上的標竿，永遠神采奕奕地引領我在做論 文的道路上前進，而且還充當我的「心海羅盤」，關心我的生活起居，教 導我許多立身之道，讓我在數學教育及為人處事方面能同時成長。老師，

我會永遠記得您那句：「凡事做最好的準備，做最壞的打算！」

感謝柳賢老師及甯自強老師，公務及研究繁忙之餘，願意撥冗前來賜 教。因為您們不吝珠玉，使學生茅塞頓開；更因為您們的細心郢正，讓學 生的論文受益良多。

特別感謝我的父母，你們永遠是我最堅強的後盾，兩年來每日從未間 斷的噓寒問暖，在我身邊打點大小生活雜事，使我能心無旁騖完成學業。

還有莊小弟的全力相挺，並適時給我精神上的支持。

感謝我的戰友—怡芳，有人並肩前行、彼此打氣的感覺很好，也因為 這樣，讓我們能相互扶持一起通過這個挑戰。

感謝同門師兄弟姊妹—嘉皇學長、進寶學長、淑珠學姊、家杰學長、

士傑學長、承諄及天慈，你們的提點和鼓勵，讓我遇到困難時能另闢蹊徑

。

感謝文啟，和你一起吃飯打屁，排解作論文的苦悶與挫折，成為我研 究所最難忘的時光。

感謝秀梅、千奇學姊和宗賢，沒有你們的協助，就沒有這本論文。

謝謝子祥、庭儀和政融三位小朋友的配合，你們好乖好棒。

感謝中山教育所的師長及同學們，求學期間的關懷與打氣，讓我感受 到這個大家庭的溫暖。

最後，謝謝我的女友郁涵，體諒我的課業繁重，雖然相聚時光短少，

仍一路上支持相伴左右。

不同年級學童在具體情境中未知數概念及解題 歷程之研究

摘 要

本文旨在研究不同年級學童在具體情境中的未知數概念，以及面對未 知數問題情境之解題歷程。近年來國際間有許多研究 (Carraher, Schliemann,

& Schwartz, in press ; Carraher, Schliemann & Brizuela, 2001 ; Bodanskii, 1991

）發現，經由系統化的教學，國小中低年級學童的代數學習表現，優於同 儕甚至高年級學童。於是研究者以半結構式晤談法（semi-structured interview

）收集個案資料，研究參與對象為國小二年級、國小五年級及國中一年級 學童各乙名，參與本研究時均使用九年一貫課程暫行綱要之現行數學教材

。訪談導引為 20 以下的自然數之改變型加減法問題及等組型乘除法問題

：包括單步驟問題、兩步驟混合問題、兩未知數關係問題以及未知數比大 小問題。研究者從訪談逐字稿、學童紙筆解題記錄以及研究者在現場的觀 察記錄等三方面著手進行資料分析。本研究共有六個主要發現，經由訪談 者的引導，個案都能以代數語言轉譯問題的文字語言；三名個案的方程式 解題策略均以「逆運算」為主；國小個案能在具體情境以數的基本運算性 質化簡未知數的式子；小五及國一個案都能檢驗其解的合理性；等號意義 逐漸由「算出答案的指令」發展到「代表相等同類量」；三名個案在「嘗 試錯誤」解題策略有個別差異。以上部分研究結果與Carraher 等人的研究 結果相一致。最後本文對我國現行國中小代數課程提出建議，國小數學教 材若及早加入讓學童學習或討論如何以代數式描述算術文字問題情境之 單元，將有助於他們在國中正式學習代數時，對文字符號概念的認知提升

。

關鍵字：未知數、半結構式晤談法、代數、解題歷程

A Study on the Concept of Unknown and Problem-Solving Process Among Different Graders in Concrete Situations

Abstract

The aim of this study is to explore different graders’ concept of unknown and performance in solving equations in concrete situations. In recent years of early algebra research in the United States (Carraher, Schliemann, &

Schwartz, in press), it was found that through systematic teaching, low and middle graders’ algebra performance was better than the same or even higher graders without teaching. Therefore, semi-structured interview was adopted to collect data on three cases: a second-grader, a fifth-grader and a seventh-grader who were using textbooks that follow Grade one-nine Integrated Coordinate Curriculum in SY89. The interview questions included addition and subtraction CHANGE problems, as well as multiplication and division EQUAL GROUPS problems; with natural numbers below 20, and given in four types: one-step, two-steps mixed, relating two unknowns and comparing two unknowns. Data analysis was conducted by referring to three sources of data: protocols from interviews, children’s problem-solving records and interviewer’s observation records. Research findings were: all three cases that received guidance could use equations to express problems; “Undoing”

was the most frequently used problem-solving strategy; both second and fifth graders could simplify expressions by number properties in concrete situations;

both fifth and seventh graders could check if answers were reasonable; the meaning of equal sign developed from “finding the results of” to “equality in measures”; and, individual differences in “trial and error substitution” among three cases. Such results were consistent to that of Carraher. It is suggested that, introducing early algebra in the elementary school is helpful to children’s learning of formal algebra in the junior high school.

Key words:

Unknown, Semi-structured interview, Algebra, Problem-solving process

不同年級學童在具體情境中未知數概念及解題 歷程之個案研究

目 錄

第一章 緒論...1

第一節 研究動機...1

第二節 研究目的...3

第三節 名詞釋義...4

第四節 研究範圍與限制 ...6

第二章 文獻探討...9

第一節 未知數概念的背景...9

第二節 孩童未知數概念的發展情形...12

第三節 未知數學習困難及幼童可學習代數相關研究...16

第四節 代數教材中的未知數概念...26

第三章 研究方法...31

第一節 研究設計與流程...31

第二節 研究對象...34

第三節 研究工具...36

第四節 晤談方法...38

第六節 資料分析...44

第四章 研究結果與分析 ...47

第一節 國小二年級學童個案分析 ...47

第二節 國小五年級學童個案分析...60

第三節 國中一年級學童個案分析 ...76

第四節 訪談問題結構的跨個案比較 ...86

第五節 未知數概念及解題歷程的跨個案比較 ...90

第五章 結論與建議...99

第一節 結論...99

第二節 與前人研究之比較與反省...103

第三節 建議...107

參考書目 ... 111

附錄一：訪談導引 ... 117

附錄二：國小二年級訪談原案 ...125

附錄三：國小五年級訪談原案 ...153

附錄四：國中一年級訪談原案 ...193

附表目次

表 2-1 學生文字符號概念層次表……….14

表 2-2 尚未學習代數的孩童之未知數解題策略……….19

表 3-1 訪談問題類型……….43

表 3-2 原案編碼原則.………45

表 4-1 三名個案之解題策略次數統計……….96

表 4-2 三名個案之未知數概念及未知數解題歷程比較……….94

附圖目次

圖 2-1 「代數」主題之能力指標脈絡圖……….29 圖 3-1 訪談分析設計………...32 圖 3-2 研究流程圖………...33

不同年級學童在具體情境中未知數概念及解題 歷程之個案研究

第一章 緒論

本章一共分為四個小節，依序論述研究動機、研究目的、名詞解釋以及研究 範圍與限制。

第一節 研究動機

代數，乃是數學學習的關鍵點。由算術進入代數，不僅是引入了文字符號來 處理運算，同時也代表著數學的學習要從具體情境進入抽象概念。美國國家數學 教師協會（National Council of Teachers of Mathematics, NCTM）在「學校數學的 準則與標準」（PSSM）一書中揭示了代數在學校數學教學的重要性：代數不但是 學校數學中一個重要的部分，而且有助於整合學校數學。代數對於學生未來的生 活相當重要，不管是工作或是繼續升學，所有的學生都必須學習代數（NCTM, 2000）。我國教育部在 2000 年所提出的《九年一貫課程暫行綱要草案》中，順應 世界的潮流，將代數的主題由國小五年級向下延伸，而為了培養國小學童觀察數 量關係及展現數量關係數學結構之能力，把算式填充題（例如：5＋( )=7）的列 式與解題引入國小二年級的數學教材之中。然而，代數教學的目的不外乎如下四 點：(1)發展學生解方程式的技巧，找出適合特殊條件的數。(2)引導學生利用符 號來幫助處理真實問題。(3) 提供學生數學基礎以學習其他的學科。(4)培養學生 在閱讀大眾化的科學著作時，有充分的能力能了解其中的代數公式（呂玉琴，1989

）。而且，在當今的資訊化及數位化的社會上，每個人對於函數所隱含之輸入與 輸出的概念都應該要有所理解。綜上所述可知，代數是學生在其未來人生繼續學

雖然代數在數學教育上的重要性不言而喻，但是根據過去國內外的調查均發 現，中學生在文字符號概念的學習表現卻普遍差強人意。在英國，CMSM 對於 3000 名英國中學生進行一項文字符號概念的紙筆測驗，發現 13 歲、14 歲及 15 歲的學童，只有 17%、 34%及 40%能將文字符號視為特定未知數或一般數（

Kuchemann, 1981）；在國內，林光賢、郭汾派及林福來（1989）參考英國 CMSM 所設計的題目，再配合國情修改，對全國3609 位相若年齡的國中生施測，結果 亦發現國中一、二、三年級學生分別約僅有3.4%、31%、43%能將文字符號當變 數或一般數使用、處理有括號及數字與符號混合運算的問題，或者使用兩個文字 列關係式等較複雜的問題。由此可見，國內外的學童在未知數概念方面的學習成 效欠佳，學校的代數教學似乎遇到了瓶頸。

那麼，代數教學的問題究竟出在那兒？早年許多研究認為學童的文字符號概 念不佳的原因與其認知層次的發展有關。對於在具體運思期的學童來說，無論在 文字符號概念的理解或代數文字題的列式與解題上，均出現極大的學習困難，由 於多數國中一年級的學生尚未達到形式運思的認知發展階段，自然無法勝任代數 的學習。（林光賢、郭汾派、林福來，1989；袁媛，1993；陳慧珍，2001； Booth, 1984, 1988；Hercovics & Linchevski, 1994；Kieran, 1989；Kuchemann, 1978, 1981

）。那麼學童究竟何時適合開始學習代數？必須等到學童認知發展成熟之後嗎？

近年來，有些學者則提出了不同的看法，他們認為若代數引入教材的方式正確及 時機恰當的話，即使是幼童在文字符號方面亦能有相同的學習效果。例如：

Freudentha1（1974）發現經由適當的引導，8 歲的孩童可以用 3 個未知數來表示 兩個量與其總和的關係。Davis（1985, 1989）認為如果將代數的學習轉移到與生 活經驗的連結，而非數學格式的操弄，在二或三年級的數學課堂中便能引入初步 代數（early algebra）。Booth（1988）則指出中學生某些未知數概念的學習困難 乃是源於小學時過度重視算術過程和運算法則。Bodanskii（1991）更發現，四年

級學童（由一年級便開始導入代數符號）在未知數概念的表現，居然優於六、七 年級學童（六年級才開始導入代數）。所以，這些數學教育研究者均認為，代數 的教學應經由適當的引導，給予中低年級學童討論代數關係或者發展未知數符號 的機會，在正式學習代數的單元時，他們就能夠有更好的學習表現（Brito Lima &

da Rocha Falcao, 1997 ; Brizuela & Schliemann, 2003 ; Carraher, Schliemann &

Brizuela, 2001）。

研究者為了釐清算術與代數之間的認知間隙（cognitive gap），究竟是鴻溝抑 或是罅隙？是否超過教學者所能影響的範圍？又國內尚無針對幼童未知數概念 發展的個案研究。於是嘗試以國小二年級、五年級以及國中一年級的學童為研究 參與對象，探索正在學習算術的國小學童，引入未知數概念，經由研究者在晤談 間給予學童（國小二、五年級）適當引導後的學習表現，並與進入正式代數單元 時的學童（國中一年級下學期，一元一次方程式）之學習表現做一對照比較。一 方面探討中低年級數學課堂中，引入未知數符號討論算術教學的可行性；另一方 面期望能藉此研究結果，對現行九年一貫數學領域教材中的代數主題之內容提出 建議。

第二節 研究目的

本研究所指之「不同年級」乃是以國小二年級、國小五年級與國中一年級為 代表。基於前一小節所論述的研究動機，本研究期望可達成下列五項目的：

一、暸解經研究者引導後，國小二年級學童在具體情境中，面對加法結構問

二、暸解經研究者引導後，國小五年級學童在具體情境中，面對加法與乘法 結構問題所展現的未知數概念及未知數解題歷程。

三、暸解國中一年級學童在具體情境中，面對加法與乘法結構問題所展現的 未知數概念及未知數解題歷程。

四、比較國小二年級、五年級與國中一年級學童在具體情境中，面對加法及 乘法結構問題所展現的未知數解題歷程。

五、比較國小二年級、五年級與國中一年級學童在具體情境中所展現的未知 數概念以及未知數解題歷程。

第三節 名詞釋義

一、不同年級

本研究乃是以「國小二年級、國小五年級與國中一年級」代表不同年級。以 下分別說明之：

1. 國小二年級學童：為民國 92 學年度進入國小就讀，現為國小二年級學童

，該年級的學童尚未接觸代數主題的學習。

2. 國小五年級學童：為民國 89 學年度進入國小就讀，現為國小五年級學童

。該年級的學童已學習過加減乘除的運算法則，及單步驟算式填充題的 列式。

3. 國中一年級學童：為民國 93 學年度進入國中就讀，現為國中一年級學生

。該年級的學童己學習過加減乘除的算式填充題列式與解題及「一元一 次方程式」單元。

以上不同年級的學童目前（93 學年度）在校所使用的數學教科書版本

，均為民間出版社依照教育部在民國89 年頒布的《九年一貫課程暫行綱要

》所編寫的數學教材。

二、具體情境

Freudenthal 認為，數學學習必須連結具體情境，貼近孩童且與社會活動 有關，因為數學不只是個封閉的系統，而且是一種活動，真實情境數學化 的過程往往已經將數學學習抽象化（引自van den Heuvel-Panhuizen, 1996）

。本研究的具體情境乃是指巧克力或彈珠數量的增減、合成、分解及比較 的問題情境。

三、未知數

為待求的值或函數；或是一給定問題之解集合（solution set）的成員（

余文卿、謝暉光譯，1997）。教育部（2003）在《國民中小學九年一貫課程 綱要》裡的定義：「以文字符號列成方程式時，符號即具有未知數的意義。

」；朱建正（1997）認為，可由問題情境推知某一被指稱的數或數量的值確 實存在，而且可以透過算式的事演而能有效求出者，稱為未知數。綜合以上 三者說法，本研究所提到的未知數定義如下：由問題情境推知某一被指稱的 數或數量的值確實存在，且以文字符號列成方程式後，能透過算式的事演而 有效求出者。

四、未知數概念

指學童對於未知數符號所賦予的意義，在已習得之算則範圍內（對二年 級學童來說，是定位在二位數以下之加減法，而國小五年級及國中一年級學 童則是定位在二位數以下之加減乘除），他們能否將未知數視同數字來進行

量公理。

若a、b、c∈R，則必符合下列運算性質：

1. 結合律：^a+

(

) (

)

(

) (

)

2. 交換律：a+b=b+a、a×b=b×a 3. 分配律：^a×

(

)

4. 三一律：a>b，a=b，a<b三式必有一式成立 5. 等量公理：若a=b，則a+c=b+c、a−c=b−c

c b c

a× = × 、a÷c=b÷c,

(

)

五、解題歷程

指孩童面對未知數的問題情境時，從設定文字符號所代表的未知量，

列出方程式，化簡方程式到運用各種策略解題，最後檢視解出答案之合理 性的整個過程。

第四節 研究範圍與限制

本小節論述研究的範圍以及可能產生的限制，以下細分為研究方法以及研究 內容兩方面深入闡述：

一、研究方法

本研究欲瞭解不同年級學童在具體情境中未知數概念及未知數解題歷 程。但由於研究參與對象僅有二年級、五年級及國中一年級學童各乙名，故 本研究結果並不預期推論至其他年級之學童。甚至能否推論至同年級其他不 同能力的學童，也應特別謹慎，或需要更進一步的研究來審慎評估。另外，

在進行個案訪談收集資料的同時，研究者不僅是觀察者及訪談者，還必須扮 演適時引導的角色，在研究現場中不斷的與受訪者進行互動。所以雖然研究 者力求客觀，卻難免摻雜個人偏見在內。故往後還需進行更多的個案研究來 強化本研究的論點。

二、研究內容

限於時間及人力的因素，本研究僅以單一問題情境（彈珠或巧克力的增 減情境）及單一語意結構（加法結構問題為改變型問題，乘法結構問題為等 組型問題）來設計訪談問題，並將問題的數字限制於20 以內的自然數。學 童在其他不同的問題情境或不同語意結構下是否有類似的表現，則應繼續進 行其他研究來探討之。

第二章 文獻探討

第一節 未知數概念的背景

由於學習的可能建構區之間的結構，應當是以類似學科的「發生邏輯」而非 學科的「組織邏輯」的方式組織（甯自強，1993）。本節從數學史以及心理學的 角度來探討未知數的背景，理解未知數的歷史發展與孩童建構未知數概念的認知 脈絡關係。對於本研究訪談中，孩童的知覺歷程、研究者與孩童的溝通歷程，以 及孩童如何從中主動產生意義，有更深一層的了解。以下由數學史以及心理學的 角度分述之：

一、未知數的數學史觀點

在中國，曾有人使用「算術」作為代數的名稱，例如：《九章算術》的「算 術」所指的即是代數。《九章算術》是一本數學百科全書，代數問題分見於各章

，特別是第八章方程，主要是論述線性（一次）聯立方程組的解法；南宋秦九韶 的《數書九章》中有「立天元一為某某」的術語，天元就是代表未知數，用現在 的術語來說就是「設x 為某某」。「代數」這個名稱則是一直到 1859 年，晚清數 學家李善蘭在代微積拾級一書中的序中指出“中法之四元，即西法之代數也＂，

才正式被使用。

在西方，「Algebra」一名來自阿拉伯文 al－jabr，al 為冠詞，jabr 之意為恢復 或還原，解方程式時將負項移至另一邊變成正項，也可說是還原，也有接骨術的 意思。而代數的發展歷史，一般認為可區分為如下三個階段，分別是文辭代數階 段、簡辭代數階段以及符號代數階段（Harper, 1987；王懷權，1987；趙文敏，

1985）：

(一) 文辭代數階段（rhetorical algebra stage）：

指希臘數學家Diophantus（Diophantus of Alexandria，250 A.D.）提出文 字符號代表未知量以前。在此階段，人們以口語化的自然語言來描述解特定 方程式的過程，並沒有使用特殊的符號或記號（sign）來表示未知數。

(二) 簡辭代數階段（syncopated algebra stage）：

始於Diophantus 使用文字符號代表未知量，他被譽為「代數之父」，

並將希臘人已完成的代數成果加以匯集編目，寫成《算術》一書，對後來 的數論學者有很深的影響，影響力可比美歐幾里得的《原本》。

三到十六世紀的代數學家主要關注的是文字符號的特定性（identity），

而非一般性（general）的表達。所以在此階段縮寫符號系統並沒有重大的 發展。在七世紀回教統治後，阿拉伯的數學家在希臘及印度相當的活躍，

但是他們的代數還是停留在修辭階段，直到文藝復興時期，阿拉伯的數學 輾轉地傳遞到了歐洲，才開始使用省略的符號代替語言，例如，使用p 代 表加，m 代表減。

(三) 符號代數階段（symbolized algebra stage）：

當Vieta（Francois Vieta，1540－1603）拜讀了 Diophantus 的大作之後

，開始使用字母來假設未知量，便開啟了符號代數的新時代。他是第一位特 意地、系統地引用字母的人。他不只用字母表示未知數和未知數的乘冪，還 使用它們當做一般係數。

至此，數學家們開始以文字符號來表示數學問題的一般解，並以代數為 工具來証明數字間的關係。

二、未知數的心理學觀點

本段以Klausmeier, Ghatala, & Frayer (引自 Sowder, 1980)及 Sfard (1991)等人 的心理學觀點來剖析未知數概念。

Klausmeier, Ghatala, & Frayer 提供了一個數學概念學習和發展的模型來增 進學者之間對於概念發展階段的溝通。他們認為數學概念學習主要分為以下五個 階段（引自 Sowder , 1980）：

層次1，具體期（concrete）：學生能理解一個先前經驗過的例子。

層次2，恒等期（Identity）：學生可以了解一個之前遭遇過的例子，即使這 個例子是由不同時空觀點或是不同形式來觀察。

層次3，分類期（Classificatory）：學生能夠分別正例與反例。

層次3.5，生產期（Production）：學生可以自行舉出關於此概念的例子。

層次4，形式期（Formal）：學生可以說出此概念的定義。

他們並認為若是出現在孩童生活週遭的例子，則不太需要教學就能達到前兩 階段。於是本研究選擇巧克力與彈珠增減及比較問題來訪談孩童，正是他們熟悉 的日常生活情境。

Sfard（1991）認為，抽象數學符號（如：未知數 x）必須基於兩種不同的方 法來思考，一為結構性（視為一個物件「object」），一為操作性（視為一個過程

「process」）。而對於大多數人來說，學習運算概念的第一步就是獲得新的數學符 號，而從「過程」過渡到「物件」是緩慢而問題重重的。在結構性及操作性概念 完全發展之後，兩者均在數學活動中扮演重要的角色。其中，「物件」是指涉其 為存在某一空間的穩定結構，一看到就能理解並且將其視為一個整體來操作；「 過程」則是把抽象數學符號潛在於一系列的活動中。代數的發展就是一個「過程

－物件」的循環，學校代數教學也必須依照「過程－物件」的序列，使學生了解 代數的結構。

根據許多數學概念由過程到物件的歷史演進，Sfard 提出了一個三階段的數 學概念發展模式：由內化（interiorization）、濃縮（condensation）到具體化（reification

）。由內化到濃縮是連續的、量的變化；而由濃縮到具體化則是跳躍的、質的變 化。以代數而言，她認為學生除了必須要能十分熟練的解方程式之外，還要了解

到具體化的階段。

以上所述之心理學觀點看來，在學習代數時，學生的思維有兩點必須要調整

：第一、學生不能將代數式視為數字的運算，必須要將其視為物件，進行更高層 次的運算。換句話說，必須以化簡、分解、分母有理化及解方程式，代替加、減

、乘、除等運算。第二、學生必須學習如何處理代數的結構，特別是數字關係的 符號表徵，像是如何將文字題轉換成方程式（Kieran, 1992）。所以代數學習的認 知需求包含把缺乏語意內涵的符號表徵當做數學物件，並且運算這些符號與數字 混合的物件；還有，消除孩童之前對於某些符號特定的解釋，或者一開始就不該 建立這些特定解釋（例如：「=」即是要寫出答案），並讓孩童開始試著以算術解 法的逆運算來表徵代數文字題。例如：大寶有2 枝鉛筆，媽媽給大寶一些鉛筆之 後，大寶有5 枝鉛筆，問媽媽給了大寶幾枝鉛筆？在算術中，孩童會以5−2=3 解題，但是在學習代數時，則須訓練他們算術解法的逆運算，即以2+ x=5來表 徵題意並解題。

第二節 孩童未知數概念的發展情形

本小節主要以Kuchemann (1981)及林光賢、郭汾派及林福來（1989）等國內 外兩個大型調查研究來暸解孩童未知數概念的發展情形。

Collis (1975)以代數式方向的問題調查學生對於文字所代表之未知數的理解

。發現孩童之未知數概念可分為以下三個層次：

低層次（Lowest level）的孩童（10 歲－11 歲）：會使用一個特定的數來代替 字母，但如果第一次嘗試失敗，孩童就會放棄。例如：問他比x 大 5 的數是什麼

，他會說 x = 3，所以是答案是 8。

中層次（Middle level）的孩童（12 歲－13 歲）：則能以「嘗試錯誤」（trial

－and－error）的方式，來獲得答案。

高層次（Top level）的孩童（14 歲－15 歲）：可以將 x 視為一般數，而此未 知數x 擁有孩童過去所學關於數的所有性質。

Kuchemann 在 1976 年根據 Collis 的文字符號發展階段，發展出六個文字符 號概念的層次，並由此六個層次設計了51 道題目，以 3000 名 13 至 15 歲的英國 中學生為研究對象，進行紙筆測驗調查學生代數方面的學習成就，其區分的六個 文字符號概念層次如下（Kuchemann, 1981）：

1. 文字符號視為可計算出的值（letter evaluated）：孩童會給予文字符號一 個特定值，而不直接以文字符號做計算。例如問孩童 x ＋ 3 =11，x 值為 何？孩童會藉由回憶 8 ＋ 3 = 11 而說出 x 是 8。

2. 文字符號視為可不使用的（letter not used）：孩童會忽略文字符號，或 者雖然看見，但不賦予任何意義。例如當 a ＋ b = 27 時，a ＋ b ＋ 2 =

？孩童可以未經思考a、b 或 a ＋ b，就回答 29。

3. 文字符號視為一個物體（letter used as an object）：孩童認為文字符號是 指涉某個物體，如3a 表示 3 個蘋果（apple）。

4. 文字符號視為一特定未知數（letter used as a specific unknown ）：孩童 可以將文字符號視為一特定但未知的數來進行運算。例如：比 n ＋ 5 多 4 的數是什麼？孩童能回答 n ＋ 9。

5. 文字符號視為一般數（letter used as a generalized number）：此層次的孩 童可以意識到文字符號代表的是一組數。例如當x ＋ y = 12，要求孩童 列出可能的x 值，他們可以舉出一個 x 值以上，但是他們還無法完整的列 出解集合。

6. 文字符號視為變數（letter used as a variable）：在此最高層次，孩童將文

定義的。例如：2n 和 n ＋ 2，那一個數比較大？孩童可以說出當 n > 2 時，2n > n ＋ 2。

由Kuchemann 所區分的六個階段我們可以得知，孩童要真正暸解未知數的 意義必須先將文字符號視為可計算出的值，不使用它或視其為一個物體，才能達 到將文字符號視為特定未知數的階段；且孩童必須經過將未知數視為一般數的階 段，則可以提升至將未知數視為變數階段。

Kuchemann 將學生的表現分為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 共四個層次如下表 2-1。而 調查的結果發現13 歲、14 歲及 15 歲的學生，達到層次Ⅲ只有 17%、 34%及 40%

；達到層次Ⅳ的百分比分別只有 2 %、 6 % 及 9 %。即使經由研究者對問題的 解釋，大部分學生的表現仍無法到達層次Ⅳ，即無法靈活的將文字符號視為特定 未知數使用，更遑論將文字符號視為一般數或變數。

表 2-1 學生文字符號概念層次表 層次 學 生 的 表 現

Ⅰ

學生能將文字符號當成可計算的值，或視其為一物體來解只有數字或 單一文字符號的運算的題目。

Ⅱ

學生能將文字符號當成可計算的值，不使用或視其為一物體來解二個 文字符號的運算的題目。

Ⅲ 學生能將文字符號當特定未知數使用，但只能解決結構簡單的題目。

Ⅳ

學生能將文字符號當特定未知數、變數或一般數使用，解決結構複雜 有干擾性的題目。

我國林光賢等人（1989）參考 Kuchemann 的試題，配合國情加以修改，在 民國77 年間對大台北地區 806 個國中生，及台灣省 2863 個國中生進行紙筆測驗

與訪談。研究結果發現台灣地區國中一、二、三年級學生約有86%、50%以及 40%屬於層次Ⅰ，顯示他們只會作單一文字符號運算或處理文字符號只當特定數 或只有數字計算等結構簡單的題目。能達到層次Ⅲ的學生僅有 3.4%、 31%、

43%，而達到層次Ⅳ的學生更分別只有 0.5 %、 6.1 %、 13.1 %。

由上述過去國內外的兩個大型調查報告中不難發現，中學生在代數方面的學 習效果不彰，而導致學習成就低落。另外值得注意的是，不論是英國或者我國，

國二與國三的學生達到層次Ⅲ的百分比分別為：英國的34%、40%及我國的 31%

、43%，國二學生與國三學生達層次Ⅲ的百分比差異並不大，可以看出中學生的 未知數概念在國二到國三多半未明顯提升，即學生雖然達到形式運思期，其未知 數概念卻未見成長，似乎意味著學校的代數教學成效有限。

有鑑於目前國中小數學課程的安排下，國中學童在代數方面的學習成效一直 不佳，於是教育部在民國93 年 11 月所發佈的《國民中小學九年一貫課程綱要》

加重了代數主題在國小數學中的角色，國小學童能否接受未知數概念則成為了此 教材成敗與否的重要關鍵。然而自民國82 年實施《國民小學數學課程標準》以 來，關於國小學童未知數概念發展情形，除了陳維民（1997）曾針對一位國小六 年級的兒童進行晤談，發現該生的未知數概念具有十項性質。此外，國內尚無其 他針對國小六年級以下的學童未知數概念之個案研究。由此可知，在國民中小學 九年一貫課程綱要即將於明年度（民國94 年度）施行之際，亟需此類的研究來 支持新綱要對於代數主題的安排，所以進行探討國小學童的未知數概念的相關研 究實在是刻不容緩的。

第三節 未知數學習困難及幼童學習代數之相關研究

許多學者提出，學童在中學進入代數單元的學習時，之所以會遭遇到許多困 難，乃是因為小學的過份注重算術規則及運算法則，一直到中學突然引入代數符 號，讓學童難以適應。Kieran（1992）肯定這樣的說法，他認為學童學習代數往 往是很膚淺的，不了解其數學結構。而且為了掩蓋此一情形，只得訴諸於記憶數 學規則與程序，久而久之影響其信念系統，認為代數就是記憶規則與程序。而近 年來，國外有一些學者將代數符號的討論引入中低年級學童的數學學習中，評估 讓幼童以代數思維探究算術問題的可行性，期望能因此減少在中學時正式代數學 習的困難。

本節分為二部分，首先探討國內外對於學童未知數概念學習困難的相關研究 進行歸納瞭解，再對於支持幼童進行代數教學的可行性研究，做一整理。

一、未知數學習困難之相關研究

代數被視為「一般化的算術」，所謂「一般化」乃是指算術與代數有相同的 數學運算法則。雖然使用相同的符號和記號，但解釋的角度卻全然不同。例如：

「等號」在算術中，代表問題與答案，或者同義的式子的連結。例如：

(

)

3× + = × = 。然而在代數中，等號不僅連接著同義的式子，並且給予 等號兩邊的式子某些限制。例如：6x−4=3x+5，只有當x=3時才成立（English

& Halford, 1995）。因此，學童在開始學習代數時，往往會受到之前學習算術的 經驗影響而遭遇到許多瓶頸。而Herscovics 與 Kieran（1980）針對兒童心中的 方程式概念（equation）進行探討，發現：(1)學生對符號的解釋與成人不同；(2) 學生將等號視為運算後的結果；(3)學生從算術中的舊經驗來建立方程式概念。

由上述可知，孩童在學習代數時深受算術的影響，包括文字符號、化簡代數式、

方程式列式與解題、解代數文字題共四方面，均有不同程度的迷思概念，以下依

序呈現孩童未知數學習困難之相關研究。

1.文字符號

以文字代表數值是算術與代數之間最顯著的衝突之一，文字在算術中只代表 單位（例如：m 表示「公尺」）然而在代數中，卻必須表示「公尺的量」）。這樣 的轉變造成學生在沒有數字參照的問題中產生困擾，例如：3＋5a 的 a 對於學生 來說，代表apple（蘋果）。再者，每一個文字都被當成特定的數值。例如：學生 認為x＋y＋z 不會等於 x＋p＋z，因為他們認為 y 和 p 分別代表了不同的數（Booth, 1988）。

此外，大部份的學童都不了解算術之下的運算結構。Booth（1984）研究 6 至12 歲的國小學童，指出如果他們無法了解 13 可以寫成 5＋8 的話，就不可能 將a ＋ b 視為一個物件。 Chaiklin 及 Lesgold（1984）發現六年級的學生無法 直接判斷658−542+947、947−658+542、658+947−542等式子是否等值，而 必須使用各種方法合併或計算出結果。而Collis（1975）則發現孩童無法判斷多 種運算之間的關係，尤其是包含未知數時，例如：( 235＋□ )＋( 679–122 ) = 235

＋679。Booth（1984）在 CSMS 的調查中，給 13 歲的孩童觀察一個長為 13＋ f

、寬為7 的長方形，然後問他們面積為何？有 42%的孩童回答像是 7f3、f21、f

＋21 的答案，顯然他們並不了解代數符號的意義。從國內的許多研究也發現，

大部分的國一學童都無法將文字符號視為特定未知數（袁媛，1992；陳慧珍，2001

；謝和秀、謝哲仁，2002），而文化不利的原住民學生甚至於到高一仍無法達到 此階段（黃志賢，2001）。

2.化簡代數式

Booth（1988）、黃寶彰（2002）指出初學代數的學童在代數式化簡時常出現

7ab 這種答案。這關係到學生對於運算符號的解釋，算術中的「＋」代表執行運 算，「=」則代表寫出答案。Kieran（1992）認為對於 12 歲到 14 歲的學生來說「

=」是單向的。至於 7ab 則是來自於帶分數（

2 2 1 2

21 = + ）或者位值系統（43 = 40

＋3）的影響。另外，以兩位數字來代入一個文字符號，也會使學生產生認知衝 突。

戴文賓、邱守榕（1998）則指出孩童在代數式化簡時，只處理含有 x 的同類 項，常數項則不合併、不接受含有加號的式子當作答案，如3x＋4 = 7x。另外，

會將x 的係數忽略不計，3x＋x = 3x。另外，在解決含括號的化簡問題時，括號 外的數字只和括號內的第一項相乘，忽略第二項以後，或者括號外為負號時未變 號；不知道括號內的算式要和括號外的那一項作運算。例如在列式時，孩童也會 把4( x–1)寫成 4x–1。Kieran（1992）認為這是因為初學代數的學生傾向由左 向右閱讀一個代數式，而未發現括號的必要性。陳盈言（2001）的研究中更指出

，就算是已學習過一元一次方程式的國二學生，在變數概念的測驗中，仍然出現 了許多文字符號與數字混合運算上的錯誤。

總之，由於算術活動的焦點在於發現一個特定的數為答案，但是代數的焦點 則是在過程與關係的推導以及式子的化簡。許多學生無法了解，他們受到算術答 案形式的影響，總是想要求出一個特定數做為答案，他們雖然可以列出一個正確 的代數式，但不知道那是正確答案。另外，在學生的眼中，「=」是具有方向性的

，代表要他們做某個動作，所以無法接受等號右邊有未知數的式子。

3.方程式列式與解題

解方程式的策略方面，Kieran（1992）提出了七種學生常使用的代數解題策 略，列舉如下（strategy, S1－S7）：

S1.使用數字（use of number facts）：解 5＋□ = 8，會回憶 5＋3 = 8 的事實

S2.使用數數策略（use of counting techniques）：解4＋□ = 8 時，孩童會把 5

、6、7、8 數出來而得到答案為 8。

S3.覆蓋（cover－up）：解 2x＋9 = 5x；孩童知道 5x = 2x＋3x，所以 3x = 9 S4.逆運算（undoing）：解 2x＋4 = 18，先將 18 減 4，再除以 2。

S5.嘗試錯誤（trial and error substitution）：解2x＋5 = 13，會嘗試以不同的數 值代入，例如2、6 等等…

S6.移項法則（transposing）；換邊就變號（change side, change sign）

S7.等量公理（performing the same operation on both sides）。

以上Kieran 提出的七種解題策略（S1~S7）提供了研究者分析研究參與對 象之未知數解題策略的向度。

Herscovics & Linchevski（1994）設計了 50 題一元一次方程式來訪談一個七 年級的資優班學生22 人，平均年齡是 12 歲又 9 個月，每人進行個別訪談兩次各 45 分鐘。而 50 個方程式包括單步驟加減問題、單步驟乘除問題、兩步驟加減問 題、兩步驟乘加混合問題，及未知數在左邊出現兩次、等號兩邊均有未知數等六 種類型。結果發現學童最常使用的解題策略列表如下頁表2-2：

Herscovics 及 Linchevski 認為學童並沒有對未知數進行運算的能力，所以他 們所使用的解題策略是屬於比較低階的，包括逆運算（S4）及嘗試錯誤（S5）。

並認為「是否對未知數的運算能力」即為算術與代數之間的認知間隙。

表 2-2 尚未學習代數的孩童之未知數解題策略

方程式類型 使 用 比 例 最 高 之 解 題 策 略 單步驟加減、乘除問題 1. 逆運算

2. 減數與除數的互補

兩步驟加減問題

（未知數在最左邊） 合併數字項後，再進行逆運算 兩步驟加減問題

（未知數在式子中間）

1. 代入並估計

2. 合併數字項後有系統的代入 兩步驟乘加混合問題 1. 兩次逆運算

2. 減數與除數的互補＋運用數字事實

未知數在左邊出現兩次

1. 除以二

2. 逆運算後再除以二 3. 有系統的代入

4. 代入，第一次就成功 未知數出現在等號兩邊 1. 有系統的代入

2. 代入，第一次就成功

方程式是一個對稱而過渡的等式，即等號的左右邊是等價的。然而「等號」

對於初學代數的孩童來說，卻是一個「行動的訊號」，他們認為等號的左邊是問 題，而等號的右邊是答案，而在解方程式的過程當中，等號也不過是一個「分隔 的記號」（Kieran, 1992）。所以學生往往能接受5x+3=6，但無法接受

5 4 3

5x+ = x− 。還有，Kieran（1984）發現 12 歲孩童在判斷等式的加減會發生 兩種錯誤，第一種為「轉換加數」（Switching Addends）例如：x+37=150，

150 37+

=

x 。第二種錯誤為「重分配」（Redistribution）例如：x+37=150， 19

150 19

37− = + +

x 。也就是說，孩童不了解加減法的結構關係，尤其包含文字 符號時。

另外，在算術的學習過程中，有些迷思概念亦會造成代數學習的困難。例如 學生不會使用括弧，他們認為式子的順序決定運算的順序，而且計算的順序不會 影響結果。像是18×27+19，孩童則認為先做27＋19 或先做 18×27，都不會影 響此算式的答案。孩童在學習算術時，所使用的非正式方法（informal method）

亦會影響代數的學習。例如：Ekenstam 和 Nilsson（1979）以 200 個 16 歲的中學 生為研究對象，發現有82%的人可以解出30 =6

x ，但是只有48%的人可以解出

4 =3

x ，原因在於：第一題學生可以利用嘗試錯誤的方法求出解，但第二題不行

。像這種非正式方法的使用，在學習代數時就會遭遇障礙（引自Kieran, 1992）

。

Wagner（1981）研究改變方程式及函數中的文字符號對中學生的影響，發現 只有38%的中學生知道 7× w+22 = 109 與 7× v+22= 109 中的 w 和 v 是一 樣大的，大部分的學生都認為必須要解出答案才能知道，也就是說學生認為替換 不同的文字符號，便改變了整個題意。而 Greeno（1982）指出孩童不知道把答 案代入等號的左邊與右邊來驗算，只能重新解方程式。或者，他們會使用不正確 的策略以求得某數做為答案，例如：隨意用一個數字代替未知數來求解。

4.解代數文字題

學校代數的課程教導學生解代數文字題的步驟如下：設未知數，列出方程式

，經由代數處理化簡，最後把未知數都放在某一邊之後就可以找到答案。而在小 學階段，要求孩童將文字題轉譯成方程式是十分困難的，因為對孩童來說，等式 只是代表運算而獲得解答的過程（Freudenthal, 1974）。

Mayer（1982）要求大學生解以下類型的代數文字題，例如：一幅長方形的 圖畫，其面積比加了 2 吋寬的畫框後的面積少 64 平方吋。設這幅圖畫的長比寬 多 4 吋，問此圖畫的面積為多少？問題包括了三種陳述句：(1)指定句：指定某 一變數一個數值，如「畫框為2 吋寬」；(2)關係句：表示兩個變數間的數量關係

，如「長比寬多4 吋」；(3)疑問句：求未知數的值，如「圖畫的面積為多少？」

。研究結果發現大學生解題時，仍容易出現以下的錯誤包括：(1)遺漏的錯誤（

omission error）：對命題不能完整回憶。(2)細節的錯誤（specification error）：指 在陳述句中，一個變數轉換到另一個變數的能力不足。(3)轉換的錯誤（conversion

MacGregor & Stacey (1993)以開放式問卷訪談 9 年級的學生 281 人，並以多 重選擇題問卷調查8、9、10 年級 1048 人，發現學生將文字問題轉譯成代數式可 能發生以下的錯誤：(1)語法直譯（syntactic translation）；(2)文字符號的迷思（

misinterpretation of algebra letters）；(3)來自自然語言的衝突（interference from natural language）。針對上述的現象，MacGregor & Stacey 認為應該對於學生的解 題行為提出新的解釋，他們觀察學生的錯誤解題表現來提出學生的認知模型，他 認為學生試圖從自然語言的建構中表徵被比較的不等量（compared unequal quantities），但是此模型卻只適用於一般語言，而不適用於數學語言。對於教學 的啟示在於學生可能從文字中了解數學關係的認知模型。

經由上述的探討，學童在學習代數時的迷思概念一共有以下四點：(1)對於 等號的狹義解讀（Booth, 1984, 1988; Kieran, 1992; 1984）。(2)文字符號意義的迷 思概念，例如不同文字代表不同數字（Booth, 1988; Collis, 1975; Kieran, 1992;

Kuchemann, 1981）。(3)拒絕接受像「3a ＋ 7」這種含有未知數的答案並出現許 多文字與數字混合化簡的錯誤（黃寶彰，2002；陳盈言，2001；戴文賓、邱守榕

，1998；Booth, 1988; Sfard & Linchevski, 1994）。(4)解等號兩邊均有未知數的方 程式出現困難（Herscovics & Linchevski, 1994; Kieran, 1992）。(5)代數文字題轉譯 成方程式的失敗（MacGregor & Stacey, 1993; Mayer, 1982）。

二、幼童可學習代數的相關研究

本段以蘇聯的 Bodanskii 在1991年就曾進行一項長期的教學實驗來証實初 步代數（early algebra）的可行性。另外，美國的TERC (2003) 報告從1998年開 始進行一連串由David Carraher所主持，關於初步代數的研究計畫。他們均認為

幼童能夠以文字符號來描述他們正在學習的算術中所隱含的數量關係，並已有成 熟的研究成果（Kaput, Carraher, & Blanton, in press; Schliemann, Carraher, &

Brizuela, 2005）。以下分述其研究成果：

Carraher, Schliemann & Brizuela (2001) 指出算術的意義乃來自代數。例如：

「＋3」可以代表對一個特定數運算，也可以代表一個輸入的集合與一個輸出的 集合之間的關係，例如我們使用函數「n→ n＋3」來描述兩個變數 n 及 n＋3 之間的關係。所以算術的物件可以視為特定的（如果n = 5，則 n＋3會等於8），

或者一般化的（n→n＋3）。算術雖然圍繞在數字上討論，但是其數字底下的意義 卻是一般化的。而算術也包含未知數的表徵和運算。典型的算術問題總是希望學 童可以使用運算符號來表示已知的關係，未知數總是被放在等號右邊的空位（

3＋4 = x）。但是如果算術問題太過複雜，學生無法直接列出算式，若以代數符號 來解題則是比較容易的。所以 Carraher 等人主張在幼童數學教育初期就可以將 算術注入代數意義。

首先，Bodanskii (1991)針對六個國小一年級的班級設計一套為期四年的代數 教學實驗課程，其中有一個班級接受四年的教學實驗，有一個班級接受前三年的 教學實驗，有二個班級接受前兩年的實驗，有二個班級則接受第一年的教學實驗

。其課程共分成 5 個階段來教導孩童利用列方程式來解題：

階段Ⅰ：教導孩童某些重要數學概念（包括：量、量的比較、等式及不等式

）；解簡單題目來培養等號的概念及問題的符號表徵（一年級）。 階段Ⅱ：培養分析問題情境的能力（已知量與未知量的分別）及用簡單的符

號來表示問題情境（二年級）。

階段Ⅲ：培養理解情境中資料的關係，分辨等式所需的量、以及表徵圖形關 係的結構之能力（二年級）。

階段Ⅳ：培養以等式表徵問題呈現的關係之能力（二年級）。

每個教學階段結束後的測驗調查結果均發現，經由合適的系統教學，大部分 中低年級的學生在代數測驗的表現，都優於同年級，甚至更高年級的學生。

Carraher & Schliemann（2000）首先在美國波士頓某公立小學三年級班級進 行未知數概念的研究，發現一開始孩童無法使用未知數來表示問題中的數量關係

，例如：Maria 比 Leslie 矮六英吋，Tom 比 Maria 高四英吋，學童會利用問題中 所給的數字來作答，有一半以上的學生認為Maria 的身高是六英吋。經過雙週一 次，每次2 小時的教學後，在第六週和第七週的訪談發現，孩童便可以正確的以 x 來表示問題中的加法差異。

接下來 Carraher 等人（2001）的研究團隊（包含一位教師、二位攝影師及 班級導師）對大波士頓地區（Greater Boston）的公立小學三年級學生一班共16 人，進行每週90分鐘的教學活動共8次，討論一個需要多步驟一元一次方程式的 代數文字題。結果發現許多學生一開始以圖像表徵問題或是以特定值代入未知數

，經過教學後，都能以代數符號來表示題目中的情境，並且運算包含數字和未知 數的式子而不以特定值代入未知數。另外，學生也能夠了解未知數代表的是「任 何可能的值」。

Brizuela & Schliemann（2003）研究四年級學生是否能基於量的連結概念，

來了解及使用代數語法規則。他們以70名四年級的學生（其中75%是拉丁美洲人

）為研究對象，經由6次初步代數的教學，每次約90分鐘，教學結束後，訪談一 個班級18位學生面對以下的問題：

Harold 有一些錢，Sally 的錢是他的4倍，Harold 賺了18元之後，

他的錢變的和 Sally 一樣多，請問 Harold 原來有多少錢？

其中有10位學生能用N、X或H來代表 Harold 的錢，而 Sally 的錢為N×4，

8個學生能寫出 Harold 賺了18元之後，有N＋18元，有4位學生可以列出N＋18=N

×4，有8位學生能正確解出答案。

Brizuela & Schliemann認為這些解題活動對學生並不容易，但學生卻能夠解

決他們提出的挑戰。在整個實驗過程中，不但有許多學生可以討論及分析等號兩 邊都包括未知數的問題，而且有三分之一的學生更可以將問題表示成等式，解題 並解釋他們如何處理等式兩邊的項（item）。教學實驗結束後的訪談結果發現，

有超過一半的四年級學生可以用未知數來表達問題中的量，並且理解處理方程式 的意義。所以Brizuela & Schliemann認為，如果類似的活動變成日常數學課的一 部分，大部分的學生都能以文字符號來表現問題中的數量關係。

上述四個國外的研究結果都一致肯定國小學童可以提早學習未知數概念，並 將未知數的學習困難原因指向教材引入的時機與方式。但是這並不代表這些研究 否定了學童認知發展與代數學習的關係，更不是認為任何數學概念對任何年齡的 孩童都能夠勝任學習。而是代數的學習可能經由多年長期的課程導引，逐漸發展 孩童的未知數概念，讓孩童習慣以代數的思考模式來解題，而不需要等到中學時 才「突然」開始使用文字符號，容易造成孩童學習的障礙。

除了前一小節提到國內尚缺乏對於中低年級幼童未知數概念的研究，本節探 討許多在國小數學教材中引入未知數概念的國外研究，正是目前世界的潮流，顯 示本研究有進行之必要性。基於上述理由，本研究從九年一貫課程綱要所區分的 四個學習階段之前三個學習階段，分別選擇：開始引入算式填充題的國小二年級

、開始使用( )與□之外的文字符號列式的國小五年級及正式學習代數課程的國中 一年級，來試探討國小二年級、五年級學童經由研究者引導後所展現的未知數概 念及解題歷程，並與進入正式代數單元的國中一年級學童進行比較，藉以瞭解國 小學童未知數概念的發展潛能。

第四節 代數教材中的未知數概念

本小節先分析九年一貫數學課程中代數教材的安排及特色，再探究未知數在 代數主題之能力指標的脈絡。

一、代數課程的安排

在民國82 年版發佈的「國小數學課程標準」中，代數的題材比較少，並集 中於六年級，一方面讓學生習慣以算術思考問題，另一方面造成進入國中後突然 引入文字符號的不適應。鑑於此，教育部在民國89 年發佈的《九年一貫課程暫 行綱要》就提出代數的學習應從學生生活經驗中的數量關係出發討論，於是在國 小的部分加入了一些代數題材，包括強調透過具體情境，算式填充題的列式與解 題、察覺生活情境中的數量關係，運用文字符號列出等式或不等式，認識變數的 概念等（教育部，2000）。而預定於民國 94 年度開始實施的《九年一貫課程綱要

》更加重代數主題在國小數學教材的地位，其國小代數教材安排的特色如下：

(一) 能理解常用算術符號的使用方式，並用來列出日常問題的算式，以進 行解題。

(二) 從整數到分數、小數，在具體情境中，了解各基本運算之性質，並用 來簡化計算。

(三) 從最基本的加減問題開始，到四則混合計算，讓學生最後能獨立於生 活與具體情境，在形式與程序上，流暢進行整數計算。

(四) 協助發展對數學問題之解題策略。

此外，由國內現行版本國小數學教科書中，我們可以了解國小一到六年級 學童在代數主題已完成的能力包括：

(一) 在具體情境中，認識加法的結合律、交換律（1 年級）。

(二) 能理解加減互逆，並運用於驗算與解題（1 年級－2 年級）。

(三) 用<、>與=表示數量大小關係，並在具體情境中認識遞移律（2 年級）

(四) 將生活情境中單步驟的加減乘除問題列成算式填充題，並能透過具體 操作解決問題（2 年級－5 年級）。

(五) 在具體情境中，認識乘法交換律（2 年級）、乘法結合律、先乘再除與 先除再乘結果相同，也理解連除兩數相當於除以此兩數之積（4 年級

），及乘法對加法的分配律（5 年級）

(六) 能理解乘除互逆，並運用於驗算與解題（3 年級－4 年級）。

(七) 能將具體情境中所列出的單步驟算式填充題類化至使用未知數符號的 算式，並能解釋式子與原問題情境的關係（4 年級）。

(八) 逶過將生活情境中數量關係表徵為等式的活動，經驗等號兩邊等量的 觀念（4－5 年級）。

(九) 能用文字或△、□、甲、乙…等表示各種簡單幾何圖形的面積公式 與 周長公式（4 年級－6 年級）。

(十) 能使用 x、y…的式子表徵生活情境中的未知量及變量，形成等式或不 等式，透過生活經驗判斷其解（6 年級）。

(十一) 將需要用到多步驟運算解題的情境表徵成式子，並進行解題（6 年 級）。

(十二) 能察覺簡易數量模式與數量模式之間的關係（6 年級）。

雖然算術的學習仍是國小數學學習的主體，但是為了銜接國中的代數教學

，九年一貫課程綱要中代數主題在國小部分有顯著的加重。例如：在國小二年級 上學期就出現加法算式填充題，並要求孩童透過具體操作嘗試找答案；國小四年 級將算式填充題類化成使用未知數符號（△、□、甲、乙…）的算式，然後透過 具體表徵來嘗試解題，並且開始培養等號兩邊等量的觀念，在國小六年級更加深

經由上述的探討，發現代數課程在國小中低年級的部分，多以「算式填充 題」表達代數問題情境，即使在算式填充題引入文字符號，也未給予學童經驗或 討論未知數概念的機會。也就是說，對於國小學童而言，算式填充題中的符號（

△、□、甲、乙…）代表的是一個可計算出的值，而不是一個未知數。

二、代數主題之能力指標脈絡

由於本研究的研究對象包含國小二年級、五年級及國中一年級的學生。為了 釐清從第一階段（1~3 年級）、第二階段（4~5 年級）到第三階段（6~7 年級）關 於代數主題能力指標之間的關係，以及與其他主題的連結，本段列出九年一貫暫 行綱要的第一至第三學習階段所有的代數能力指標，並試描繪出能力指標脈絡圖

，灰底部分則是國小代數教材中與未知數概念相關的能力指標（如下圖2－1）：

第一階段︵一∣三年級︶ 第二階段︵四∣五年級︶

圖2－1：「代數」主題之能力指標脈絡圖 A-1-1能透過具體

操作，解決來自生 活情境問題中已列 出的算式填充題

N-2-18能用時間

，描述物體在固定 距離內的運動速率

；能用距離，描述 物體在固定時間內 的運動速率

幾何之代數量 數量的樣式

列方程式、不等式

A-2-1能將生活情境 中簡單問題表徵為有

△、□、？、…等的式 子，並能解釋式子與 原問題情境的關係。

A-2-4能使用中文 簡記式描述長方形

、長方體之長度、面 積、體積等幾何量

A-2-2能透過具體 表徵，解決從生活情 境問題中列出的算 式填充題

A-2-3能透過具 體觀察及探索，察 覺簡易數量模式

，並能描述模式的 一些特性

第三階段

第三階段︵六∣七年級︶

第四階段（八－九年級）

圖2-1 「代數」主題之能力指標脈絡圖(續)

函數 解方程式、不等式

N-3-16能用平均 速率的概念描述一 個物體運動狀態，

並認識速率的單位 米/秒、千米/時等，

應用在生活中

N-3-2能嘗 試理解乘除 的直式算則

A-2-3 N-2-18

A-3-1能用 x、y…

的式子表徵生活情 境的未知量及變量

A-3-2能將生活情境 中的問題表徵為含有 x、y、…的等式或不等 式，透過生活經驗檢驗

、判斷其解，並能解釋 式子及解與原問題情 境的關係

A-3-3能利用數 的合成分解或逆 向思考解決從生 活情境中列出的 等式

A-3-5能察覺簡 易數量模式與數 量模式間的關係

A-3-6能瞭 解幾何量的 各種表徵模 式。

N-3-7 能用分數 倍的概念，整個 以分數為除數的 包含除和等分除 的運算格式

A-3-9能瞭解 幾何量不同表 徵模式之間的 關係

A-3-8能做 分數的四則 運算

A-3-11能以正負 表徵生活中相對 的量，並能操作負 整數的合成分解

A-3-4能比較生 活情境中數量關 係的異同及其表 徵式的異同與使 用時機

A-3-7能察覺 數量模式與數 量模式之間的 關係

A-3-10能瞭解 幾何圖形及形體 變動時，其幾何 量對應變動情形

N-3-21能 在情境中理 解等量公理

A-2-2 A-2-4

第三章 研究方法

本章共分為研究設計與流程、研究對象、研究工具、訪談實施、晤談方法及 資料分析等六節，以下依序陳述。

第一節 研究設計與流程

本研究採取個案研究為研究方法。個案研究是從一個完整的情境脈絡下掌握 所欲研究的現象，對研究參與對象進行全面的了解（Stake, 1995），並採用各種 方法搜集有效的完整資料，對一個人或一個有組織的單位做深入而縝密的研究（

陳李綢，1996）。而本研究欲深入暸解學童的未知數概念及解未知數文字題的解 題歷程，所以選用個案研究，期能蒐集豐富完整的資料。

一、 訪談分析設計

本研究的訪談分析設計為跨個案比較分析。由於現行九年一貫課程暫行綱要 將國民教育的九個年級區分四個學習階段，研究者在第一階段選取二年級，第二 階段選取五年級，加上正式進入代數課程的國中一年級，一共三個年級，每個年 級乙名學童，來進行個案研究，以暸解幼童學習代數的可行性。本研究所設計的 訪談導引之問題型態包括加法結構問題14 題，及乘法結構問題 18 題。加法結構 問題的訪談對象為國小二年級、五年級以及國中一年級學童，即所有的研究參與 對象；乘法結構問題的訪談對象則為國小五年級以及國中一年級學童。除了分別 進行三個個案的未知數概念探討之外，待訪談全部結束後，再分別進行國小二年 級、國小五年級與國中一年級學童之跨個案比較分析。 訪談分析設計如下頁圖

圖3-1 訪談分析設計

二、 研究流程

研究者首先蒐集並閱讀相關文獻，再依據研究目的來編製訪談導引，選擇研 究參與對象，採用半結構式晤談法（semi-structured interview）訪談個案，完整 地蒐集個案資料。本研究以國小二年級、五年級及國中一年級的學童分別進行訪 談，訪談時，為求確實了解個案的未知數概念，每種型態的問題都設計多個題型 相同，數據不同的問題，以便進行交叉檢定（cross checking），並引導個案於解 題過程中，自行說出解題策略及作答時心中的想法。研究者在每次訪談結束後，

會將該次訪談錄音資料以及現場觀察記錄轉譯為逐字稿，每次訪談的結果與指導 教授討論並與相關文獻對照，仔細分析原案，再依各次訪談分析做歸納整理，然 後跨個案進行比較，形成研究結果，最後提出結論與建議。如下頁圖3-2 所示：

乘法結構

國中一年級 學童 國小五年級

學童 國小二年級

學童

跨個案比較 1.問題語意結構 2.未知數概念與解題歷程

訪談導引

加法結構

撰寫個別 研究報告

撰寫個別 研究報告

撰寫個別 研究報告

結 論 與 建 議 跨個案研究結果與分析

閱讀相關文獻 決定研究方向

選擇研究參與對象 確定研究問題

設計研究方法與 研究工具

進行二年級 個案研究

進行五年級 個案研究

進行七年級 個案研究

文 獻 探 討

第二節 研究參與對象

在交代研究參與對象的選取原則之前，研究者首先反省研究場所的屬性。在 質性研究的過程中，研究問題和研究場所之間的關係可分為「從問題到現場」與

「從現場到問題」兩種取向：「從問題到現場」－指研究者進入現場之前，對於 想要研究的問題多少有些一般性的概念或想法，這個問題可能來自研究者個人的 興趣、某個抽象的知識或理論、或是其他研究尚未發現的主題；「從現場到問題

」，指研究者不先界定一個研究問題，再去找一個適當的研究場所，而是從每日 的生活或工作當中、曾經參與的某個現場，發展學術研究的興趣和問題（

Jorgensen, 1989，引自黃瑞琴，1991）。就本研究而言，研究場所與對象的決定屬 於前者。由於研究者本身目前是一位全職的研究生，在攻讀研究所之前曾於台北 市立某國中實習，教學實習及導師實習的對象是國一的班級，教學中發現他們在 一元一次方程式的單元中有許多的學習困難，為了深究其因，於是針對中小學課 程的代數主題部分進行探討，形成研究問題。所以研究者是在研究之前先形成研 究問題，再依照研究設計找尋合適的研究對象。

以下接著說明研究過程中研究參與對象的選擇，包括先導研究對象與正式研 究對象的選擇，以下分述之。

一、 先導研究對象的選擇

在正式研究之前最後的準備是進行先導（Pilot）個案研究。先導個案研究能 夠幫忙調查者將資料收集計畫中，不論是所要收集資料的內容，以及所遵循的資 料收集程序都修正得更完美（尚榮安譯，2001）。由於先導研究對象的選擇以方 便性、容易接觸為主要標準，故研究者商請研究所的兩位在職同學，目前分別在 高雄市某公立國小任職，推薦其任教的二年級及五年級的班級中，口語表達能力

，及配合度都不錯的同學各1 位，以及指導教授的小孩，目前就讀高雄市某公立

國中一年級等共3 名，來進行本研究之晤談問題先導研究。

二、 正式研究對象的選擇：

為了使本研究的設計能夠有效實施，研究者在受試者的選擇上考慮了以下兩 個原則：第一、由於九年一貫數學教材在七年級才開始安排正式的代數課程，所 以為了確定研究參與對象應以已達成數學領域能力指標，也就是算術的學習已達 成階段能力指標，於是選擇數學學習成就中上的學生。第二、由於本研究的設計 為半結構式晤談，研究成果十分倚重研究參與對象對於自身想法的描述，研究參 與對象與研究者的互動是研究成敗之關鍵，所以研究對象的意願及口語表達能力 也必須納入考量。綜合以上兩點，本研究選取的研究參與對象為在班上數學成績 在第 8 名到第 15 名間，參與意願及口語表達能力佳的學生。

以下簡略描述 3 位研究參與對象的背景資料：

1.國小二年級個案

小祥，男生，就讀高雄市苓雅區某國民小學二年級，從國小一年級開始就使 用以九年一貫課程暫行綱要編寫的數學教科書審定本。上學期的月考數學成績平 均約九十分，但從未考過一百分，該生十分活潑，在班上人緣不錯。他的表達意 願強烈且口齒清晰。

2.國小五年級個案

小儀，女生，就讀高雄市苓雅區某國民小學五年級，在國小一年級至三年級 時使用由國立編譯館依民國82 年國民小學課程標準所編寫的數學教科書。上學 期數學月考成績平均約八十五分左右，月考偶爾會考六十幾分。該生因個性文靜