訪談問題結構的跨個案比較

在本小節裡，研究者首先由訪談導引的問題結構，分別單步驟問題、兩步驟 問題、未知數關係問題以及未知數比大小問題。以跨個案分析的方式，比較三個 不同年級的學童：小祥、小儀及小融。研究者先從加法結構問題來比較三名個案 的解題表現，再由乘法結構問題來比較國小五年級的小儀與國中一年級的小融之 解題表現。希望藉此探索不同年級的學童之未知數解題歷程有何差異，並且能比 較國小二年級及國小五年級的學童在研究者進行教學引導之後，與國中一年級學 童正式學習代數後的表現：

一、加法結構問題：

在「單步驟加減問題」中，三人都能以文字符號列式表達問題情境，不過小 祥是先以「( )」列式，小儀則是先以「一些」來列式。這兩位國小學童個案二 人是經由研究者引導之後，方改為以文字符號N 列式；而國中一年級的小融則 一開始就能以文字符號x 來列式。其中，由於小儀在一到三年級的時候，使用的 課本是依八十二年課程標準所編，代數方面的主題比較缺乏，導致她對於算式填 充題較不熟悉，所以未以 ( ) 或 □ 列式。在解題策略方面，三人都以逆運算 來求得答案，其中小祥初學二位數的加減法，所以他偶而會使用數數的方式計算

，例如：小祥計算8＋3 時，會以 9、10、11 得到答案。

在「兩步驟混合問題」中，兩名國小個案小祥和小儀均能夠自己化簡連加與 連減的問題，但面對加減混合的問題時，小祥會忽略數字前面的減號，例如N

－3＋5 會化簡成 N－(3＋5)=N－8。不過經由研究者引導：「先輸掉 3 個再買 5 個，與原來差了幾個？」，小祥就能回答：「比原來多兩個」而列出正確的式子N

＋2。另外，當未知數出現在式子中間的時候，小祥與小儀均無法自行化簡式子

，必須由研究者以「先輸後贏和先贏後輸有無差異」提示，他們才能在彈珠增減 的具體情境中將式子化簡，其中小祥更須倚靠具體操作的方式，才能正確的將式 子化簡。國中一年級的小融則能從已列出的代數式直接進行化簡。解題策略方面

，小祥只能進行單步驟逆運算，所以他必須要先將在式子化簡，才能求答；小儀 則會於使用連續兩次的逆運算來解題，即使她已經將式子化簡成單步驟的問題；

而小融則均將式子化簡後以逆運算解題。

在「兩未知數關係」問題中，即使遇到三步驟算式，國小二年級的小祥依然 可以在具體的情境下化簡，最後可以判斷出兩個未知數（N＋3 與 N＋4）之間是 相差1。值得一提的是，雖然三名個案雖然都能指出小新（N＋3）比小丸子（N

＋4）少 1 個，但他們已知小丸子有 11 個彈珠，欲求小新星期四的彈珠數時，卻 均未利用此一關係（見加法第11 題）。另外，在「等號兩邊都有未知數」的問題 中，小祥能使用具體物來表示兩堆巧克力相等（2 盒及 1 盒＋12 個），小儀可以 用「2 盒=1 盒＋12 個」來列式，小融則直接列出「2N=N＋12」。解題策略方面

，兩名國小個案小祥與小儀由左邊1 盒和右邊 1 盒相等，求出一盒是 12 個；國 一的小融則直接用移項法則將x 移到等號左邊，然後得到答案。另外，研究者再 以另一個類題（3 盒及 1 盒＋8 個）測試，小祥也能用同樣的方法來得知 2 盒是 8 個，然後告訴我 4＋4=8，所以一盒是 4 個。

最後，在「未知數比大小」的問題中，三人都能指出N＋4 比 N＋2 多，但 是作法略有不同，小二的小祥以具體物巧克力來解釋：「1 包加 4 個」比「一包 加2 個」多了 2 個；小四的小儀則以 N＋4－N＋2=2 的式子說明，從這裡可以看 出小儀仍傾向於由左向右閱讀一個等式。國一的小融則以N＋4 就是「N＋2 再 加2 個」，來解釋兩者的差異。而在另外一題，比較 N＋N 及 N＋2 的大小時，

三人一開始都認為大於、小於及等於三種情形都有可能發生。不過由於小祥無法

放棄。小儀和小融都能以較有系統的方法來嘗試錯誤，發現N 愈接近 2 時，N＋

N 與 N＋2 的差愈小的事實，進而提出成立的條件，但是小儀未脫離具體表徵，

她將N 視為一盒彈珠，而未考慮 N 是 0 的情形，所以在 N＋N<N＋2 的情形，

小儀會說成立的條件是「N=1」，而小融可以更清楚地指出是「N<2」。

二、乘法結構問題

在「單步驟乘除、連乘及連除」的問題中，小五的小儀雖然無法直接對代數 式進行化簡，但是在具體情境的協助下，例如：分成5 盒再分成 2 包，就可以看 作分成10 包。小儀就能以結合律化簡成 N÷10。國一的小融則能直接以代數式

10 x

表示結果。解題策略方面，兩人多以化簡後再進行逆運算為主，或者不化簡直接 依照題意進行連續兩次逆運算。

在「兩步驟乘除混合」的問題中，小儀則無法運用結合律來化簡，例如乘法 第5 題，她知道三盒分給四個人，每個人得到四分之三盒，但是仍然無法指出每 個人得到幾個（1926T~1938F）。她未具備分割未知量的能力。小融則能夠寫出

4 4 3

3 x

x÷ = 。解題策略方面，小儀無法化簡式子，所以就連續逆運算來解題；小 融則先用逆運算消去分母，再用等量公理兩邊同除得到答案。

在「兩步驟加減乘除混合」的問題中，小儀和小融均可以正確的列出方程式

，不同的是，小儀在表現除法的時候，會寫成「N÷某數」的形式，小融則能寫 成「某數

N 」。例如乘法第9 題，小儀會將題意表成「N÷5＋4」，小融則會表成「

5 +4

N 」。解題策略方面，小融雖已學過一元一次方程式，可是他的解法與小儀 並無太大差異，兩人都以連續逆運算來解題。例如乘法第8 題，小融寫出 7x－

5=23 之後，接著就寫 23＋5=28，28÷7=4。而非合邏輯的推導：7x=23＋5，7x=28

，x=4。研究者原先以為小融不會等量公理，但在乘法第 10 題要求他使用並說出 等量公理的運算步驟（2409T~2426R）時，他卻又能完成。另外，在研究者設計 的問題情境：「小新有7 盒彈珠，打破了 1 盒，掉出 5 個，最後算一算發現剩 23 個，問1 盒彈珠有幾個？」，小儀能指出答案不合理之處：「答案是每盒 4 個，但 是小新打破1 盒卻掉出 5 個」。小融雖然在第 1 次時沒反應，但是在研究者下一 次訪談進行第2 次測試（乘法第 8 題類題）時，他不但提出來而且還指出前一次 訪談也有類似問題，可見得小融在第1 次就有注意到。

在「兩未知數關係」問題中，無論是未知單位合成問題或未知單位比較問題

，當小儀遇到「N×某數」時，她可以使用分配律將兩個未知量合併，但是遇到

「N÷某數」時，她則無法把「N÷某數」當成一個量，所以無法用分配律來化簡

。小融面對「未知數乘以某數」或「未知數除以某數」，都可以使用分配律。解 題策略方面，小儀遇到無法化簡的式子，就會使用嘗試錯誤的方法來計算答案，

不過她也不是隨機以數字代入，她會先將未知數合成後的結果，分解成兩個數字

，再進行檢查。另外，她也可以使用自製具體表徵-線段圖來輔助計算。小融的 解題策略則為「化簡式子之後，進行逆運算」。在「等號兩邊都有兩個未知數」

的問題中，小儀能以「1 盒＋2 包＋8 個=1 盒＋4 包＋2 個」來列式，小融則畫出 兩堆具體物，中間加等號（3008T~3009T）來表示。小儀使用具體物來進行等量 公理算出1 包有 3 個，小融則直接以他的圖畫來進行等量公理計算出每包有 3 個。在被問及「那每一盒有幾個呢？」，小儀會一直以題目給定的數字來求答，

小融則看出「不管1 盒有幾個，兩邊都會相等」（3027T ~3030R）。

在「未知數比大小」的問題中，小儀認為2N＋5 個巧克力一定會小於 3N＋

5 個巧克力，因為她把 N 當成 1 包巧克力，而忽略了 N 是 0 的可能性；小融則

N 是－1 才行，如果 N 是－2 的話，阿呆的巧克力（3×N＋5）就變成負的了」。

在另一個問題（比較N＋7 及 2×N＋1 的大小），小儀和小融也都有類似的表現。

相較之下，小融能夠脫離具體情境，把N 當成任何整數來考慮，完整地說出成 立的條件，小儀則侷限在具體情境「N 是代表 1 盒巧克力（彈珠）」，只能把 N 當成自然數。