第三章 研究方法
第四節 晤談方法
本研究以半結構式晤談法（semi-structured interview）收集個案的資料，研 究者於訪談之前先針對每位個案各擬定一份訪談導引，為了反覆測試確定研究個 案的未知數概念，同一類型的問題會設計不同算則的類題來進行交叉檢定（cross checking）。當研究者佈題後，若孩童不了解問題的情境時，研究者會適時解釋 題意。另外，而本研究欲藉由瞭解學童的未知數概念及其解題歷程，探究學童在 未知數概念的發展準備（developmental readiness），再加上國小學童尚未正式學 習相關的未知數概念及如何表達未知數的數學格式，為了避免學童解題時遭受太 大的挫折，所以本研究除了採用半結構式晤談法，一旦察覺孩童確實無法解決問 題時，會在晤談中適當給予學生鷹架作用（scaffolding），來探索學生的可能發展 區（zone of proximal development, ZPD）。以評估未知數討論引入國小的數學教 學的可行性。
所以晤談實施時，研究者首先以訪談導引中的問題依序對孩童進行佈題，確 定孩童理解問題的情境後要求他加以解題，並解釋自己的解題策略及心中的想法
；接著研究者以孩童的外顯解題表現及反思活動為基礎提出進一步的問題，用以 釐清孩童如何運用他的未知數概念以及解題歷程，當孩童嘗試解題失敗時，研究 者則操弄預設的三種提示引導他思考。溝通互動的過程持續到孩童完成解題或研 究者以三種表徵提示孩童之後，他仍無法完成解題為止。除了整個晤談的過程會 予以錄音之外，還會加上研究者在現場的觀察記錄及孩童的紙筆解題記錄，作為 本研究資料分析的來源。
當研究參與對象解題發生困難的時候，研究者會提供三種不同的表徵協助其
思考。由於Lesh、Post & Behr（1987）指出，數學學習與解題共有五種表徵，
分別是語言（spoken languages）、圖畫或圖示（picture or diagram）、真實經驗（
experience－based）、處理模式（manipulative model）及符號（written symbols）
。而根據本研究的研究設計，以前三種表徵來協助孩童思考，即：第一、口語提 示，即視個案作答情形，提出改變詢問技巧來協助研究參與對象解題。第二、提 示孩童可以用圖畫協助思考及解題。第三、提供問題情境中的具體物讓孩童操作
。
第五節 訪談導引與實施
本研究是以半結構式晤談收集個案資料，事先必須擬定一份訪談導引。訪談 導引乃依據研究者閱讀參考文獻，進行先導個案訪談，最後與指導教授討論後修 改而定案。訪談導引是一系列用來在訪談進行中探索的問題，是作為訪談進行的 主要方向，以確信與研究問題相關的主題都有被含括在內，在實際訪談時，可以 因應特定的研究參與對象調整問題的順序（黃瑞琴，1991）。本研究的訪談導引 不僅參考Kuchemann(1981)、林光賢等人（1989），TERC（2003）及陳維民（1998
）的研究工具，並參照我國現行國中一年級下學期數學教科書的一元一次方程式 單元之內容，編製而成。
一、先導個案訪談
研究者於民國93 年 11 月間，先分別訪談國小二年級、五年級及國中一年級 學生各乙位。訪談內容以訪談導引的初稿為主，除了訪談錄音記錄，還有學生的 解題紙筆記錄。研究者基於先導個案的訪談結果，針對訪談導引的問題結構及研
談導引。例如，在先導個案研究中，發現研究參與對象一看到題目，就迫不及待 以算術的方法解題，於是研究者將題目分成兩個子題，子題一先要求研究對象以 文字符號表達題意，子題二才進行解題。再者，由3 位先導個案訪談中發現，有 學生似乎能將未知數視為變數，於是正式訪談導引加入了未知數比大小問題（加 法第13、14 題及乘法第 17、18 題，詳見附錄一），例如：比較 N＋2 和 2×N 的 大小。
另外，研究者本身也藉由先導個案訪談來熟稔兒童語言及其思維的能力，以 及增進研究者自身的訪談技巧、流暢性與掌握度。
二、加法結構訪談導引
Fuson（1992）曾提出共有四種加減法問題的語意結構，分別是改變型問題
（change）、合併型問題（part－part－whole）、比較型問題（compare）及等量型 問題（equalize）。
本研究以改變型問題為問題語意結構，且問題中的數字在20 以內，各題型 如下所述（問題請詳見附錄一）：
1. 單步驟加減問題
① 未知數在被加數（N＋9=13）
② 未知數在被減數（N－4=12）
③ 未知數在加數（6＋N=11）
④ 未知數在減數（12－N=5）
2. 兩步驟加減問題
① 連加問題（N＋3＋4=12）
② 連減問題（N－3－7=5）
③ 先加後減問題（N＋2－6=7）
④ 先減後加問題（N－3＋5=4）
⑤ 兩步驟問題未知數在中間Ⅰ（14－N＋5=8）
⑥ 兩步驟問題未知數在中間Ⅱ（15＋N－9=8）
3. 兩未知數關係問題
① N＋6－6＋5 與 N＋6－8＋4 相差多少？
② 等號兩邊都有未知數（N＋N=N＋12）
4. 未知數比大小問題（先導個案訪談後新增）
① 比較N＋2 和 N＋4 的大小
② 比較N＋2 和 N＋N 的大小
加法訪談導引以彈珠或巧克力的增減及比較問題為本研究之具體情境，發展 上述的14 種問題類型。例如：星期日小丸子原來有 15 個彈珠，星期一爺爺又買 了一些彈珠給她，星期二她和豬太郎比賽，輸了9 個彈珠，請問這時候小丸子有 幾個彈珠？如果這時小丸子發現口袋裡還有8 個彈珠，請問爺爺買了幾個彈珠給 她呢？其他題目請讀者參見附錄一。
三、乘法結構訪談導引
Greer（1992）指出，乘除法的問題有十種類型，分別為等組(Equal Group)
、等量(Equal Measures)、速度 (Rate)、測量轉換 (Measure Conversion)、乘法比 較(Multiplicative Comparison)、部分/全體(Part/Whole)、倍數的轉變(Multiplicative Change)、笛卡兒乘積(Cartesian Product)、矩形面積(Rectangular Area)、乘積的估 計(Product)。
本研究以等組型的乘除問題為語意結構，發展出以下各種題型（題目請詳
1. 單步驟乘除問題
① 乘法問題（6×N=30）
② 除法問題（N÷7=11）
2. 兩步驟加減乘除混合問題
① 連乘問題（N×2×3=42）
② 連除問題（N÷5÷2=4）
③ 先乘後除Ⅰ（N×3÷4=6）
④ 先乘後除Ⅱ（24×2÷N=6）
⑤ 先乘再加（N×3＋6=30）
⑥ 先乘再減（N×7－5=23）
⑦ 先除再加（N÷5＋4=9）
⑧ 先除再減（N÷7－3=5）
3. 兩未知數關係問題（先導個案訪談後新增）
① 未知單位合成Ⅰ（N＋3×N=36）
② 未知單位合成Ⅱ（N÷2＋N÷3=15）
③ 未知單位比較Ⅰ（5×N – 2×N=12）
④ 未知單位比較Ⅱ（N÷3–N÷6=3）
⑤ 兩未知量關係的問題Ⅰ（3×N＋9=4×N＋1）
⑥ 兩未知量關係的問題Ⅱ（N＋2Y＋12= N＋4Y＋2）
4. 未知數比大小問題
① 比較2×N＋5 和 3×N＋5 的大小
② 比較N＋6 和 2×N＋1 的大小
乘法訪談導引亦以彈珠或巧克力的增減、合成及比較問題為本研究之具體情 境，發展上述的18 種問題類型。例如：老師有一些巧克力，分裝成 5 盒後，每 1 盒再分成 2 包，請問每包有幾個巧克力？如果 1 包有 4 個巧克力，問老師原來
有幾個巧克力？其他問題請讀者參閱附錄一。
四、三名個案的訪談導引
由於二年級學童在上學期初學二位數的加減法，下學期才開始學習乘法。所 以二年級學童的訪談問題是以加法結構為主的代數文字題；國小五年級學童由於 已熟稔二位數以內的加減乘除，所以訪談問題包括加法及乘法結構的問題；另外
，本研究乃是以二年級及五年級為主要教學引導對象，所以國中一年級學童的訪 談導引即包括二年級與五年級學童所面對的問題情境，藉以比較國中一年級學童 面對相同的問題情境，解題歷程與二年級及五年級學童有何差異。而由於國中一 年級已開始學習一元一次方程式單元，所以訪談時，研究者的角色是完全的觀察 者（a complete observer），僅在研究參與對象對題意不清或對問題情境不暸解時
，予以解說，將不提供任何額外的協助。
表 3-1 訪談問題類型
國小二年級 國小五年級 國中一年級
單步驟加減問題 1、2、3、4 1、2、3、4 1、2、3、4
兩步驟加減問題 5~10 5~10 5~10
兩未知數關係 11、12 11、12 11、12
加法結構
未知數比大小 13、14 13、14 13、14
單步驟乘除問題 1~2 1~2
兩步驟加減乘除
混合問題 3~10 3~10
兩未知數關係 11~16 11~16
乘法結構
未知數比大小 17~18 17~18
對 象 題
題 型 號
另外，為了能確實測驗受訪者的未知數概念，避免受訪者一拿到題目，就立 刻以學校教過的算術方法來解答，研究者將問題分成兩個子題先後佈題，先以第 一子題要求受訪者以未知數表示出結果量，再以第二子題再告知受訪者結果量為 何，請他設法計算出答案。
例如：乘法第7 題分為如下兩個子題：
乘法第7 題
7－11 大特價，小丸子買 3 盒彈珠，老闆又多送她 6 個彈珠，請問小丸子 一共有幾個彈珠？
如果她回家算一算，發現一共有30 個彈珠，請問每 1 盒中有幾個彈珠呢？
第六節 資料分析
Neuman（2000）認為個案研究應嘗試透過不同角度或視野來觀察研究參與 對象，將更能確認其真實位置。而個案研究的証據來源有六種，分別是訪談、檔 案紀錄、直接觀察、文件、參與觀察、以及實體的人造物(artifact)（Yin, 1994 / 尚 榮安譯，2001）。
本研究每次訪談實施時，研究者均取得研究參與對象的許可進行錄音，並且 保留研究參與對象解題歷程的紙筆記錄。所以本研究的分析資料主要有三：錄音 帶中的訪談內容、紙筆解題記錄以及研究者於訪談現場的觀察記錄。
研究者首先將錄音帶內的訪談內容及觀察記錄轉成訪談原案，完成之後再對 照一次以求正確無誤。原案編碼的原則為：每次訪談為一小節，每句話以阿拉伯 數字4碼加上英文字母1碼共5碼來進行編碼，編碼原則如下表3-2所示：
表3-2 原案編碼原則
編碼位置 編 碼 意 義
前二碼為題號
1.加法第1題到加法第14題為01~14
2.乘法第1題到乘法第18題則為15~32（即加法的題號再加14）
第三碼及第四碼 該問題的第幾句話
第五碼為發話者
研究者簡稱 T，二年級學童小祥簡稱 S、五年級學童小儀簡稱 F及國中一年級學童小融簡稱 R。
例如：0101T即為加法第1題的第一句話，發話者為研究者。1835F為乘法第 14題的第35句對話，發話者為小儀。研究者便針對這些資料進行原案分析（
protocol analysis），包括孩童所使用的未知數概念，以及面對未知數問題情境時
，從設未知數，轉譯問題情境到解方程式所表現的解題歷程。
所以研究者除了實地訪談、研究者觀察，並收集研究參與對象的紙筆解題記 錄，試圖從訪談（錄音逐字稿）、直接觀察（研究者觀察記錄）和文件（紙筆解 題記錄）三項証據交叉比對，進行三角校正（triangulation），將這三項証據收歛 於同一組事實或研究發現。而且研究者分析完畢後，會先交由一位現任國中教師 及一位研究生檢查，最後再經由指導教授鑑定確認，藉此剔除研究者之個人主觀 偏見。