第五章 結論與建議
第三節 建議
二、反省
經由與上述三個知名的國外研究的比較過程中，研究者對於本研究有以下三 點反省與檢討：
1. 由於財力、人力與時間的限制，本研究雖然試圖在三個個案的選擇上力求 具代表性及說服力，但在研究樣本及訪談問題的數量上，均不如以上的三 個國外研究，所以本研究的推論性仍待進一步的研究來釐清。
2. 研究者本身為初窺高深學術殿堂之新手，由於訪談技巧仍相當生澀，加上 理論觸覺（theoretical sensitivity）較為遲鈍，可能在訪談過程中有錯失了 某些重要的概念或影響因素而不自知。例如：算術方面的迷思概念（例如
：括號、分數）亦可能影響受試者的解題表現，在本研究則未納入探討。
3. 研究者應該避免有偏見的介入行為，而導致受試者表現出研究者預期的概 念類型。例如在五年級的個案訪談中，小儀在面對兩步驟加減問題時，直 接以兩步驟逆運算求解，出乎研究者的意料之外，而研究者則欲引導小儀 先化簡，再進行解題的動作，反而讓小儀不知所措，看似簡單的問題答不 出來，只好暫時休息（見加法第7 題）。所幸短暫的休息過後，並未影響 小儀之後的解題表現，故該原案仍被本研究保留。
我國在民國82 年版以前的「國小數學課程標準」中，代數方面安排的 題材較少，進入中學後突然引入文字符號，很容易造成學童學習代數的挫敗
。而教育部（2003）最新公佈的《國民中小學九年一貫課程綱要》中，特地 在小學階段代數題材向下延伸，包括運用未知數作算式填充題、認識變數的 概念、理解等量公理等，就是希望能夠有系統地、順利地銜接國中代數課程
。而本研究結果發現小學二年級學童能以文字符號列式來描述改變型的問題 情境，正好呼應九年一貫課程綱要的安排。另外，在本研究的訪談問題情境 中，研究者在訪談時嘗試讓學童以N 取代( )來代表未知數，兩位國小的學 童都能很順利的使用N 來代表一個量，順利的表達問題情境，並不會覺得(
)可以填入數字，但 N 不行。也許在這方面累積大量研究成果之後，日後撰 寫教科書的學者專家，可以歸納出在某些條件限制下能夠引入文字符號來代 替( )或□，讓學童試著使用文字符號 N 代表某個特定未知數來討論他們所 熟悉的日常生活問題情境的數量關係，而不只是要他們列出算式填充題後，
在( )或□中填入數字。
二、 引導學童以代數式表達問題情境
雖然本研究結果發現，國小的學童在已熟悉的算則範圍之內，他們都可 以正確列出方程式，並且以逆運算來解題。不過由於他們仍然將等號視為「
算出答案」的指令，無法由右至左來閱讀一個方程式。而且國小的學童剛開 始接觸數學不久，各種運算法則及性質尚未紮實，所以教師在實施初步代數 的教學時，應該側重如何在學童已習得的算則中，以代數式來表達各種具體 的文字問題情境。換句話說，就是文字符號的概念要建立在具體問題情境中
。例如：小新有一些彈珠，後來風間又給他9 個彈珠，如果這時候小新有 13 個彈珠，問小新原來有幾個彈珠？讓學童理解能用 N＋9=13 來表示問題
中的數量關係，而以減法計算出答案。Carracher, Schliemann & Schwartz (in press)認為，這種形式的初步代數課程有助於建立不同數學主題（算則、變 數、集合…）及不同表徵（表、圖形、數線、文字符號）之間的連結網絡。
但初步代數的課程旨在建立學童的代數前置經驗，所以千萬不能超出學童已 學的算則範圍，或者讓國小中低年級學童提早學習如何以較高階的解題策略 例如等量公理，甚至移項法則來解方程式，這種揠苗助長的行為，無助於學 童在未知數概念方面的提升，不但加重學童的負擔，更會造成學童厭惡數學 的原因之一。
三、 後續可進行更多個案調查或教學實驗研究
由於本研究的問題情境侷限於20 以下的自然數之加減法改變型問題及 乘除法等組型問題，而且僅選取三個年級共三名個案。為了要更進一步的釐 清國小學童的未知數概念，研究者建議，可以設計其他問題情境的個案晤談 問題，徹底了解學童們未知數的概念。另外，本研究是以數學能力中上程度 的孩童為個案，所以可以繼續針對不同能力的學童進行個案研究。再者，為 了要針對國小一到六年級設計完整的初步代數課程，並能銜接國中的代數課 程，應該對於其他年級學童的未知數概念深入探討，累積大量研究成果以建 立國小學童的代數概念模型。是故，可針對選取不同年級、不同能力的個案 繼續進行研究。
最後，教育部將於今年度（94 年度）在國小一年級及國中一年級同步 實施九年一貫數學課程的新綱要，後續的研究者可參考新綱要裡國小的代數 能力指標及新版數學教科書，來研擬設計初步代數的課程進行教學實驗，以 探究在國小中低數學課堂實施初步代數教學之可行性及各種侷限。
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附錄一：訪談導引
一、加法結構訪談導引（國小二年級，五年級、國中一年級）
1.未知數在被加數（N+9=13）
加法第1 題 目的
小新有一些彈珠，後來風間又給他9 個彈珠，請問小新這 時候有幾個彈珠？
如果這時候小新有13 個彈珠，問小新原來有幾個彈珠？
瞭解能否以方程式 表達題意及未知數 在被加數解題策略 2. 未知數在被減數（N－4=12）
加法第2 題 目的
小新有一些彈珠，後來送給美美4 個彈珠，請問小新這時 候有幾個彈珠？
如果這時候小新剩下12 個彈珠，問小新原來有幾個彈珠？
瞭解能否以方程式 表達題意及未知數 在被減數解題策略 3. 未知數在加數（6+N=11）
加法第3 題 目的
小新有6 個彈珠，後來阿呆給小新一些彈珠，請問小新這 時候有幾個彈珠？
如果這時候小新有11 個彈珠，請問阿呆給了小新幾個彈珠
？
瞭解能否以方程式 表達題意及未知數 在加數的解題策略
4. 未知數在減數（12－N=5）
加法第4 題 目的
小新有12 個彈珠，後來送給妹妹一些彈珠，請問小新這時 候有幾個彈珠？
這時候小新剩下5 個彈珠，請問小新送給妹妹幾個彈珠？
瞭解能否以方程式 表達題意及未知數 在減數的解題策略 5. 連加問題（N+3+4=12）
加法第5 題 目的
星期日小新原來有一些彈珠，星期一和風間比賽贏了3 個 彈珠，星期二，小新幫媽媽擦玻璃，媽媽給他4 個彈珠，
請問小新這時候有幾個彈珠？
小新發現口袋裡有12 個彈珠，請問小新星期日時有幾個彈 珠？
瞭解未知數能否進 行結合律連加運算 及
連加問題解題策略