第四章 研究結果與分析
第二節 國小五年級學童個案分析
研究者於2005 年 2 月間對國小五年級學童－小儀進行訪談，一共五次，每 次約50 分鐘，以下由未知數概念及未知數解題歷程兩方面來分析訪談結果：
一、小儀的未知數概念：
訪談結果發現，在本研究的問題情境中，國小五年級學童小儀的未知數概念 包括：能將文字符號N 視為一般數；能在具體情境中對未知數使用結合律、交 換律及分配律化簡式子；由於無法對未知數進行分割，所以無法合併兩個未知數 的分割量；能說出未知數符合三一律但無法完整提出其成立的條件。
1. 將文字符號 N 視為一般數
在加法第13 題「未知數比大小」中，小儀能在不計算出 N 的數值之情形下
，以N＋4－N＋2=2 算出 N＋4 比 N＋2 多 2 個。並且在具體情境中，解釋為何 N＋4 比 N＋2 多 2 個。
（F 寫出 N＋4＞N＋2）
1306T：妳覺得 N＋4 比較多嘛！
1307F：嗯
1308T：那老師問妳，N＋4 比 N＋2 多幾個？
1309F：多 2 個
1310T：多 2 個，嗯，那妳可以解釋給我聽嗎？
（F 寫出 N＋4－N＋2=2）
……
1315T：那妳能不能舉一個具體的例子來告訴我，像我們之前？
1316F：…
1317T：N＋2 可能代表什麼？
1318F：一盒彈珠加 2 個 1319T：那 N＋4 呢？
1320F：一盒彈珠加 4 個
1321T：所以這個(N＋4)比這個(N＋2)多？
1322F：2 個！
由此可知小儀可以把文字符號視為不使用的。
小儀一開始先以「一些」來表示未知數：
0104T：這樣說好了，妳覺得應該要怎麼表示？假設妳要用一個數學式子把這個 題目表示出來，然後要我看得懂，妳覺得…妳要怎麼寫。
0105F：一些加 9 個彈珠。
0106T：嗯，好，那妳寫給我看
（F 寫出
研究者進一步問她，有沒有其他的表示法，她回答沒有（0116T~0120F），
研究者猜想由於她一到三年級是用82 年版的教科書，所以她不熟悉算式填充題
。於是研究者直接引入N，而小儀可以將每一個問題情境中的 N 視為特定未知 數，不曾出現「將前一題的N 所代表的數代入這一題的 N」的情形。例如在加 法第3 題中，小儀以 6＋N 代表「小新有 6 個彈珠，後來阿呆給了小新一些彈珠
」，並由「小新有11 個彈珠」計算出 N=5：
（F 寫出 6＋N）
0305T：那妳的 N 是代表？
0306F：一些
0307T：那一些？可以說清楚一點嗎？
0308F：阿呆給小新的那一些彈珠。
而接下來在第4 題，小儀則能以 12－N 表示「小新有 12 個彈珠，後來送給妹妹 一些彈珠」，並由「小新剩下5 個彈珠」計算出 N=7：
0401T：好，來。來看看這一題
（F 寫出 12－N）
0402T：那妳的 N 是什麼？
0403F：小新送給妹妹的 0404T：嗯，很好哦。來…
兩題中的N 分別代表的是「阿呆給小新的彈珠」、「小新送給妹妹的彈珠」，小儀 知道每一題中的N 代表的是該問題情境的特定未知數，也就是說小儀在第 3 題
另外，小儀在未知數比大小的問題中，能夠將N 代入不同的自然數來推估 三一律成立之條件，即使她無法正確列出所有的解集合，但是已具備「將N 視 為一般數」的能力。例如加法第14 題（比較 N＋2 及 N＋N 的大小）：
1422T：那，什麼時候小玉會比較多？
（F 口中念念有詞）
1423T：妳在想什麼，就說出來啊！
1425F：3 以上的數
1426T：很好，那妳是怎麼算出來的？
1427F：如果一盒有 3 個，那小丸子有 5 個，小玉有 6 個啊。所以小玉比較多。
1428T：嗯…那妳覺得 3 以上都會是小玉比較多嗎？
1429F：嗯。
由小儀以上的解題表現可知，在本研究的問題情境中，小儀不但能把N 視 為可算出的值、視為可不使用的，及特定的未知數，還能把N 當成一般數（letter used as a generalized number），列舉出一個以上的解。相當於 Kuchemann（1981
）的文字符號概念階段的第五層次。
2. 在具體情境中使用結合律化簡式子
小儀在加減混合，連乘及連除的問題中能夠以結合律化簡，但在乘除混合的 問題則無法順利完成，分述如下：
(1) 能以結合律化簡加減混合運算的式子
面對連加或連減的代數式，小儀能夠自行運用結合律化簡，例如加法第5 題，小儀能夠在彈珠輸贏的具體情境中，將N＋3＋4 化簡成 N＋7：
0512T：那如果是這個式子，妳可以把它變短一點？
（F 寫出 N＋7）
0513T：嗯，很好，來妳告訴老師 N＋7 的意思
0514F：N 是他原來有 N 個彈珠，然後他贏了 3 個媽媽又給他 4 個，加起來是 7 個。
而加減混合運算的代數式，小儀雖然無法自行化簡，必須在研究者的引導下
方能順利的將式子化簡。例如加法第8 題，小儀能將 N－3＋5 化簡成 N＋2：
0805T：來，沒關係，我們一步一步慢慢來，我先問妳，妳覺得他禮拜二的彈珠 比較多還是禮拜日的彈珠比較多？
0806F：禮拜二
0807T：禮拜二。嗯，那禮拜二多幾個？
0808F：多 5 個。
0809T：禮拜二跟禮拜天比哦！
0810F：嗯…多 2 個
0811T：多 2 個，那妳怎麼表示？這個 N 是禮拜幾？
0812F：禮拜天的啊！
0813T：那妳說比禮拜天多 2 個，所以是 0814F：N＋2
但是研究者亦發現，若是小儀已知的關係並不是以N 為基準來敘述時，她 則無法明確的表示兩量之間的關係，例如加法第7 題，先假設星期天是 N 個，
就算小儀知道星期天比星期二多4 個時，她也無法說出星期二是 N-4：
0708T：（指 N+2-6）那現在這個式子妳可以把它變短嗎？
0709F：……
0710T：妳覺得星期二比賽完，跟星期天比的話，那一天比較多？
0711F：嗯…星期天
0712T：星期天會比較多嘛？那星期天多幾個？
0713F：星期天多…他多…
0714T：星期天比星期二多幾個？
0715F：多 4 個
……
0718T：那如果星期天，我們剛剛設他是 N 個嘛，那星期二有幾個？
0719F：星期二減…
0720T：我們剛剛不是說星期天比星期二，怎樣？
0721F：多 4 個
0722T：那星期天有 N 個的話，星期二有幾個？
0723F：星期二…
顯示小儀對於兩未知量的關係仍是不可逆的。她無法由「若星期二為N，則星期 天為N+4，推出若星期天為 N，則星期二為 N-4」
(2) 能以結合律化簡連乘及連除運算的式子
化簡代數式，例如第3 題：
1707T：好，那老師問妳哦，妳覺得他總共有幾包巧克力？
1708F：有 6 包
1709T：那我們剛剛說一包有幾個？
1710F：N 個
1711T：所以說妳又可以怎麼寫？他總共有幾個巧克力？
（F 寫出 6×N）
1712T：（指 2×3×N）剛剛這樣子是表示什麼？
1713F：他有…全部！
1714T：對對對，那這樣子呢？
1715F：也是全部
並利用化簡結果，以42÷6=7 計算出 1 盒巧克力有 7 個。
而小儀在第4 題中，可以將「先分成 5 盒，再分成 2 包」，視為分成 10 包，
於是將N÷5÷2 寫成 N÷10。
1834T：N÷5÷2 這個代表什麼？
1835F：老師有一些巧克力，分裝成 5 盒，然後再分成 2 包 1836T：所以他代表的是？
1837F：每包有多少巧克力 1838T：對，那這邊的話？
1839F：嗯，老師有多少巧克力，可以分成 10 包，每包有幾個 1840T：對啊，所以這兩個代表的東西一不一樣？
1841F：不一樣？
1842T：不一樣嗎？
1843F：一樣。
1844T：一樣還是不一樣？
1845F：一樣！
(3) 無法以結合律化簡乘除混合運算的式子
由於小儀無法對未知量進行分割，所以當化簡後出現分數的情境時，小儀則 無法順利的以結合律來化簡式子。例如乘法第5 題，小儀雖然能以 N×3÷4 來表 示問題情境，亦能指出每個人可以分到四分之三盒，但卻無法將上式化簡成N×
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（1935T~1938F）：
1919T：來老師問妳一個可能比較難一點的，這個式子妳可以把它寫短一點嗎？
1920F：……短一點…
1921T：有沒有辦法？
（F 搖頭）
……
1928T：總共有 3 盒耶，3 盒分給 4 個人，每個人分到幾盒？
（F 寫出 3÷4= 3/4）
1929T：所以每個人分到？
1930F：四分之三盒
1931T：嗯，那剛剛說到每盒有幾個巧克力？
1932F：每盒有 N 個
1933T：所以我們知道每個人分到幾個？
1934F：分到…N 個
1935T：我們知道每個人分到四分之三盒，每盒又有 N 個，所以每個人分到幾個
？ 1936F：……
1937T：四分之三盒是幾個巧克力？
1938F：……
研究者猜想小儀可能無法分割未知數，於是以已知量20 再進行測試發現，
小儀必須先把20 分割成 4 份，得到 5 為新單位，計算其中 3 單位的數量，得到 20 的四分之三為 15，再以 36 測試，她也可以算出 36 的四分之三為 27。
1940T：那我問妳一個問題哦，如果一盒有 20 個，四分之三盒有幾個？
1941F：20 個…
1942T：妳可以用筆算沒關係。
（F 寫出 20÷4=5 5×3=15）
1943T：嗯，妳為什麼會用這樣算？
1944F：因為一盒有 20 個，要分給 4 個人啊，每個人可以分到 5 個，每份有 3 盒，所以每個人分到 15 個。
1945T：嗯，我懂妳的意思。
1946T：現在如果一盒有 36 個，四分之三盒是幾個？
（F 寫出 36÷4=9 9×3=27）
但是因為N 是未知數，小儀無法對 N 進行分割，而無法表示「N 分割成 4 份，
每份的數量」。
珠分給7 個小朋友的動作，而不是代表「每個小朋友得到的彈珠數」，而「每個 小朋友得到的彈珠數」指的是「N÷7 計算出的結果」。
2412T：比如我是花輪，我把我的彈珠分給 7 個小朋友，其中有一個是小丸子，
那請問小丸子得到幾個？
2413F：小丸子也分到一樣多的。
2414T：對啊。所以小丸子是？
2415F：一樣多的呀
2416T：那妳可以告訴我妳寫的 N÷7 是？
2417F：花輪他把他原來的彈珠分給 7 個小朋友呀 2418T：是每一個人得到的彈珠嗎？
2419F：嗯
2420T：那小丸子也是其中之一啊，所以小丸子也得到？
2421F：也得到一樣多的 2422T：一樣多是那裡啊？
2423F：……
……
2455T：是不是乘法比較容易，除法比較搞不清楚？
2456F：不會呀！
2457T：那妳剛剛為什麼表示不出來？妳在想什麼？
2458F：我剛在想，為什麼每個人有 N÷7 個。
2459T：妳覺得 N÷7 這個表示方法感覺怪怪的嗎？
2460F：嗯。
2461T：覺得應該要把它算出來才對嗎？
2462F：嗯。
小儀認為N÷7 應該要計算出結果，才能用來代表一個量。也就是說她無法把 N÷
7 當作是未知數 N 進行分割後的部分量。
由上述結果可知，小儀能在加減混合、連乘及連除的情境中，對未知數使用 結合律來化簡式子，但由於未學過通分、約分、擴分及異分母加減的概念，於是 無法將等分除的結果化成未知數的分割量。
3. 在具體情境中使用交換律化簡式子
在加法第9 題：「星期日小新原來有14 個彈珠，星期一和風間比賽輸了一些 彈珠，星期二和正男比賽又贏了5 個彈珠，請問這時候小新有幾個彈珠？」中，
小儀可以把小新星期一輸的彈珠數當成N 個，列出小新最後的彈珠數為 14－N
＋5=( )。經由研究者進一步引導她：「『星期一先輸 N 個，星期二再贏 5 個』和
『星期一先贏5 個，星期二再輸 N 個』」結果是否相同？小儀再利用題目條件：
「最後發現口袋裡有8 個」，寫出14＋5=19 19－8=11，解出小新星期一輸了 11 個。
0919T：我問妳好了，如果他星期一跟星期二發生的事情調換呢？結果有沒有影 響？就是說他星期一先贏 5 個，星期二再輸一些，跟原來星期一輸一些
，星期二再贏 5 個，最後他彈珠的數量有沒有差？
（F 搖頭）
0920T：沒有對不對？那我們要不要把他當作星期一先贏 5 個？試試看？
（F 寫出 14＋5=19 19－8=11）
0921T：嗯？11 是什麼？
0922F：11…他輸掉的。
而接下來在加法第10 題中，小儀能自行用前一題同樣的方法來化簡式子，
並求出爺爺星期一買給小丸子的彈珠數：
1002T：嗯，很好啊，那老師問妳可不可以把這個式子弄短一點？
1003F：…
1004T：妳可以試試看啊，沒關係？
（F 寫出 15－9＋N ）
1005T：變成星期二爺爺買彈珠給他嘛！那這裡可不可以先算？
1006F：可以啊！
1007T：所以整個式子可以寫成什麼？
1008F：先算的話，就等於 6
（F 寫出 6＋N）
…
1018F：星期二有 6 個，
1019T：再來？還有…
1020F：再加上…
1021T：爺爺買給她的嗎？
1022F：嗯
1023T：題目告訴妳說，總共有幾個？
1024F：總共有 8 個