國小二年級學童個案分析

研究者於94 年元月間對國小二年級學童—小祥進行訪談，每次 50 分鐘，一 共三次。以下由小祥的未知數概念及未知數解題歷程兩方面來分析訪談結果：

一、 小祥的未知數概念：

，分別為：他能將文字符號N 視為特定未知數、在具體情境中使用結合律化簡 式子、在具體情境中使用交換律化簡式子，並能指出未知數符合三一律但無法提 出其成立的條件。

1.將文字符號 N 視為特定未知數

所謂的特定未知數乃是指孩童可以將文字符號視為一特定但未知的數來進 行運算。研究者利用彈珠的增減情境佈題，由於小祥在加法第1 題所算出 N 等 於4，所以他在加法第 2 題一開始，就直接把 N 當成 4 來計算第 2 題的答案：

0201T：看一下。我們現在假設小新原來有 N 個彈珠好不好？所以這一題你要怎 麼表示？

（S 寫出 N-4=0）

0202T：你怎麼知道是 0？

0203S：4-4=0 啊？

0204T：N 是 4 啊？

0205S：N 代表 4。

雖然小祥把N 視為加法第 1 題的答案 4，也就是把文字符號 N 當成一個固 定數，但經由研究者口頭的提示：「那是上一題的哦，這一題的 N 我們知不知道

？」。小祥面對的訪談問題，都可以把N 視為特定的未知數，而不是固定數。例 如加法第4 題，他就會列出「12-N=( )」而不是直接把 N 當成 4，寫出「12-4=8

」：

0406T：好，那老師問你，如果後來送給妹妹 N 個彈珠，那你怎麼列式？

（S 寫出 12-N=( ) ）

0407T：好，所以說，後面這個( )代表？

0408S：剩下幾個。

在加法第11 題中，小祥算出小新最後有 N＋3 個，小丸子最後有 N＋4 個，

而能夠指出因為N 都一樣，所以不管 N 的大小，說出兩人相差 1 個：

1163T：那老師問你的問題是，星期三小新和小丸子差幾個？

1164S：1 個 1165T：為什麼？

1166S：因為小新 3 個，小丸子 4 個。

1167T：那 N 呢？

1168S：一樣。

且在加法第13 題「未知數比大小」中，小祥能在具體物協助下，指出 N＋4 比N＋2 多，而且能在算不出 N 的數值（每包巧克力的個數）的情形下，說出 N＋4 比 N＋2 多 2 個。

1301T：這一題看一下。誰的彈珠比較多？

1302S：小玉

1303T：小玉。為什麼？

1304S：她多兩個

1305T：她多兩個。那你可不可以解釋給老師聽，為什麼她多兩個？

（S 排出 2 堆巧克力，一堆是 1 包＋2 個，另 1 堆是 1 包＋4 個）

1306T：（指 1 包巧克力）因為他這兩個？

1307S：一樣。然後，這兩個（指 2 個和 4 個）…不同 1308T：所以他們差了？

1309S：2 個

1310T：很好哦，那你可以算出 N 是多少嗎？

（S 搖頭）

又例如加法第6 題：「星期日小丸子原來有一些彈珠，星期一和豬太郎比賽 輸了3 個彈珠，星期二，不小心掉了 7 個彈珠，請問這時候小丸子有幾個彈珠？

」小祥可以在不知道N 是多少的情形，說出星期二為 N─3─7 個，並且說出一 共少了10 個。並認為 N─3─7 等於 N－10。

0612T：那老師問你，這個 N-3-7 有沒有等於 N-10？

0613S：……有。

0614T：為什麼？可以講給老師聽嗎？

0615S：7+3=10 啊

0616T：對，很好哦。就是說，他星期一輸了？

0617S：3 個

0618T：星期二掉了？

0619S：7 個

由小祥以上的解題表現可以知道，小祥不但能把文字符號N 視為可算出的 值（letter evaluated）、不使用的（letter not used），還能把 N 當成特定的未知數（

letter used as a specific unknown）。也就是說，小祥在具體的問題情境中，可以達 到Kuchemann（1981）的文字符號概念層次的第四階段。

2 在具體情境中使用結合律化簡式子

小祥在連加問題及連減的問題情境中，能自行以結合律化簡。例如，在加法 第5 題，研究者問小祥：「星期日小新原來有一些彈珠，星期一和風間比賽贏了 3 個彈珠，星期二，小新幫媽媽擦玻璃，媽媽給他 4 個彈珠，請問小新這時候有 幾個彈珠？」，小祥寫出：3＋4=7，N＋7=( )。在彈珠數的改變型問題情境中，

小祥可以運用結合律化簡式子，指出禮拜一贏了3 個，禮拜二得到 4 個，總共比 原來多7 個，也就是 N＋3＋4 與 N＋7 是相等的，並由題目條件：禮拜二有 12 個，解出原來的彈珠為5 個（0517T~0519S）。

0502T：我們現在直接假設小新他原來有 N 個彈珠，好不好？

（S 寫出 N＋3=( ) ） 0503T：這個( )代表什麼？

0504S：比賽贏了 3 個。

0505T：可是星期二媽媽又給他 4 個彈珠耶，你覺得要怎麼表示

（S 寫出

0506T：所以這是小新…

0507S：原來的，加上媽媽給他的 0508T：所以這個 ( ) 是？

0509S：一共有的。

………

0517T：來，他星期二發現他口袋裡共有 12 個彈珠，請問他星期天有幾個彈珠？

（S 寫出 12－7=N）

0518T：那 N 是多少？

0519S：5

接下來研究者再以加法第6 題測試小祥能否使用結合律化簡。問題為：「星 期日小丸子原來有一些彈珠，星期一和豬太郎比賽輸了3 個彈珠，星期二，小丸 子不小心掉了7 個彈珠， 請問這時候小丸子有幾個彈珠？」，小祥指出星期一掉 了3 個，星期二掉了 7 個，總共掉了 10 個，所以後來小新有 N－10 個彈珠。

0603T：來我們來看這題，一樣，我們假設小丸子原來的 N 個彈珠。

（S 寫出

0604T：那你可以寫一個最簡單的式子來告訴老師嗎？

（S 寫出 N－3－7=( )）

0605T：所以他總共掉了幾個彈珠？

0606S：10 個 0607T：所以是？

0608T：小新原來有？

0609S：N 個

0610T：所以他後來有？

（S 搖頭）

0611T：原來有 N 個，掉了 10 個之後，後來有？可以用 N 表示

（S 寫出 N－10= ( ) ）

0612T：那老師問你，這個 N－3－7 有沒有等於 N－10？

0613S：……有。

0614T：為什麼？可以講給老師聽嗎？

0615S：7＋3=10 啊

但是在加減混合的問題中，若是直接從算式化簡，小祥會忽略數字前面的負號，

出現N-3+5=N-8 的錯誤（0809T~0811S）。他必須藉研究者的引導：「星期二和星 期日差幾個？」。例如在加法第7 題，小祥指出星期二比星期日少 4 個，於是把 N＋2－6 化簡成 N－4（0704T~0712T），加法第8 題可以把 N－3＋5 化簡成 N＋

2（0812T~0818S），確認小祥在具體的問題情境中，能以結合律化簡含有未知數 的式子。

另外，研究者推測由於小祥未學過兩步驟算式列式的格式，所以在加法第5 題時，無法以N＋3＋4=( )，而以 3＋4=7，N－7=( )來表示問題情境，然而加 法第6 題他嘗試以 N－3－7=( )來表示後來的彈珠數，並經過研究者的默許之 後（未提出質疑），雖然加法第7 題還是習慣性的使用 N－2 = ( )、( )－6 = 7 來表示問題情境（0742T~0744S），但是從加法第 8 題到第 10 題（0804T、0902S

、1002T），小祥都能夠用一個式子來表示「未知數先加後減」、「未知數先減後 加」及「未知數在式子中間」的問題情境。甚至在加法第11 題，小祥能在具體 物巧克力的協助下，將N＋6－8＋5 化簡成 N＋3。

3.在具體情境中使用交換律化簡式子

在第9 題「星期日小新原來有 14 個彈珠，星期一和風間比賽輸了一些彈珠

，星期二和正男比賽又贏了5 個彈珠，請問這時候小新有幾個彈珠？」中，小祥 可以把小新星期一輸的彈珠數當成N 個，列出小新最後的彈珠數為 14－N＋5=( )

。當研究者問他：「『星期一先輸N 個，星期二再贏 5 個』和『星期一先贏 5 個

，星期二再輸N 個』」結果是否相同？小祥知道兩種情形的結果相同，並利用此 一結論，列出最後的彈珠數為19－N=( )，更能指出 19－N=( )與 14－N＋5=( ) 是相等的（0921T~0928S）。最後並利用題目條件：「最後發現口袋裡有 8 個」，

解出小新星期一輸了11 個。

0914T：好，老師問你一個問題哦，如果他星期一先贏了 5 個，星期二再輸 N 個 彈珠，那你告訴老師，如果他這兩天調換，最後會不會有影響？

0915S：不會

0916T：他先贏後輸和先輸後贏，個數會不會一樣多？

0917S：一樣

0918T：好，那老師問你，他如果星期一贏了 5 個，這時候有幾個？

0919S：19

（S 寫下 14＋5=19）

0920T：然後星期二又輸了一些彈珠

（S 寫下 19－N= ( ) ）

0921T：那老師問你哦，你覺得這一個式子（19－N = ( )）跟這個式子（14－N

＋5= ( )）的結果有沒有一樣？

0922S：（點頭）嗯。

0923T：（指 14－N＋5= ( )）這個式子代表？

0924S：先輸後贏

0925T：（指 19－N= ( )）那這個式子代表？

0926S：先贏後輸

0927T：那這兩個式子的彈珠數會不會一樣？

0928S：（點頭）嗯！

小祥在加法第10 題也同樣能使用前一題「兩天調換」的策略來進行化簡，

所以研究者認為小祥能在具體情境中使用交換律來化簡式子（1004T~1009S）。

4.能說出未知數符合三一律但無法確定其成立條件

小祥能夠說出兩個未知數比大小的所有情形，但無法確定其成立的條件。在 第14 題「小丸子有 N＋2 個彈珠，小玉有 N＋N 個彈珠，請問誰的彈珠比較多

？」未知數比大小的問題情境中，小祥隨機地利用不同的數字代入，來推估N

＋2 與 N＋N 的大小，他原先認為有可能是小玉的彈珠比較多，也有可能是小丸 子的彈珠比較多，或者兩者都一樣多。他先計算出當N 為 2 時，小丸子和小玉 的彈珠會一樣多。

1414T：什麼時候小丸子會比較多？什麼時候小玉會比較多？來，你畫在下面給 老師看，小丸子有幾個，小玉有幾個

（S 畫出

1415T：那，什麼時候兩個人會一樣多？

1416S：（指其中 1 包巧克力）這邊 2 個。

當研究者問及什麼時候小玉會比較多時，小祥的回答是「兩邊不一樣多的時 候」，但是進一步要小祥舉例時，他則無法回答。

於是研究者再問他，如果袋子裡有5 個的時候呢？小祥嘗試將 5 代入，結果

1439T：明明還是這邊比較多耶，所以有沒有可能（小丸子）這邊比較多？

1440S：不可能

1441T：真的不可能嗎？你覺得不可能就說不可能沒關係。

1442S：不可能

1443T：確定不可能喔？

（S 點頭）

由於他只能將N 視為某個特定的未知數，無法將 N 視為一般數，於是發現「當 N 愈接近 2 時，N＋2 與 N＋N 的差會趨近 0」，所以無法舉出小丸子彈珠比較多 的例子。由小祥理解三一律的表現可知：在本問題情境中，小祥可以指出兩未知 數比大小的所有情形，但是小祥無法將未知數視為不同的自然數，亦無法了解N 在式子中的運算關係。所以無法比較N＋2 及 N＋N 的大小。

上述國小二年級的學童小祥所顯示出的未知數概念，乃是經由研究者的導引

，加上賦予其所熟悉的日常情境—彈珠或巧克力的增減及輸贏，輔助小祥以未知 數來完成解題任務。例如，在未知數的交換律方面，當小祥不知如何化簡14－N

＋5 時，研究者提出：「星期一與星期二發生的事件調換會不會影響最後的結果

？」關鍵性的問題，來引導小祥繼續解題。是故若無經適當的教學導引，小祥將 無法自行利用未知數完成解題。

由訪談結果不難發現，在小祥熟悉的彈珠或巧克力的增減情境中，他不但能 將文字符號視為可計算出的值，並且可以在不使用它的情形下解題，另外也可以 當成是一個物體（例如：一包巧克力），最後，在「未知數比大小」的問題中，

顯示出小祥只能把文字符號視為特定未知數，而無法視為一般數來運算。

二、 小祥的未知數解題歷程：

訪談結果發現，小祥的未知數解題歷程的特徵包括：能列出未知數在等號左 邊的方程式、等號的意義仍停留在「算出答案」、曾出現的解題策略包括回憶數

字事實、逆運算及嘗試錯誤，並且在具體表徵的協助下使用等量公理解題。以下 分述之：

1.能列出未知數在等號左邊的出方程式

研究者嘗試讓小祥以文字符號N 取代 ( ) 來描述本研究的問題情境，每一 個問題的N 不但分別代表不同的數字，而且指涉不同型態的彈珠量。例如，加 法第1 題的 N 是代表小新原有的彈珠數、加法第 3 題的 N 代表阿呆給小新的彈 珠數，而加法第9 題的 N 則是代表小新星期一和風間比賽所輸掉的彈珠數。研 究結果發現小祥面對加法第1 題到第 10 題，也就是未知數 N 僅出現在等號左邊 的問題情境，均能正確的列出方程式來表示問題情境。至於面對未知數同時出現 在等號兩邊的問題時，小祥則無法用等式來表達問題情境，他僅能用實物來告訴 研究者，這一堆等於那一堆！

2.等號的意義仍停留在「算出答案」

小祥認為「等號」是算式與答案的連結，所以常寫出不對稱的等式。例如在 加法第1 題中，研究者問小祥：「小新有一些彈珠，後來風間又給他 9 個彈珠，

請問小新這時候有幾個彈珠？」小祥寫出 ( )＋9=( ) ，研究者進一步要求小祥指 出兩個括號的意義時，得到如下的回答：

0102T：那你這兩個括號長的一樣耶，可不可以告訴老師前面的括號代表什麼？

後面的括號代表什麼？

0103S：前面代表小新有的彈珠，後面代表小新跟風間給他的加起來

在文檔中 不同年級學童在具體情境中未知數概念及解題歷程之研究 (頁 55-68)