國小分數的除法教材分析

壹、分數除法的相關問題

Fendel (1987) 和 Payne (1976) 指出分數的除法在小學階段通常是被視為最 機械式、最難理解的主題。學生在做這一類分數除法時，成功率通常很低。

在分數除法的情境中，若只依照整數除法的情境：「包含除 (measurement division) 」、「等分除 (partitive division) 」「笛卡兒積的逆運算(inverse of a Cartesian production) 」是不夠的，必須再加上「單位當量(determination of a unit rate)」的情境。

南一版教師手冊第十二冊中也提到 ，國小階段之分數問題在於分數的原始意 義：等分切割再合成其數份的活動。只是問題情境中選取的基準單位量的計數性 質不同，對學生產生了解題方式的差異。因此有研究者認為必要將其區分為不同 類型的問題，或是以單位量轉換的觀點來引入乘除法較為恰當 。所謂單位量轉換 觀點是指：同一種量的情境，可以選用不同的單位量來描述，包含除是新單位數 未知的單位量轉換問題；等分除是新單位量未知的單位量轉換問題 。換言之，以 單位量轉換觀點，可以將除法問題視為下列兩個式子

包含除：總量 ÷新單位量＝新單位數 等分除：總量 ÷新單位數＝新單位量

一般的情境中，整數的除法可以用包含除或是等分除的觀念來理解 ，但是將 除法運算推至分數範圍時，就不能以上述的觀點來加以說明 ，例如：「

3

1公尺長

的鋼筋重 5公斤，1公尺的鋼筋重多少公斤?」，這一題可以用除法運算來解決 ， 5÷3

1=15，但是這種運算不容易用包含除或等分除的意義來解釋，因為 5公斤並不

包含3 一、因演算而犯的錯誤 (Algorithmically based mistakes)

Ashlock (1990) 與 Barash & Klein (1996) 提到，在這一類的錯誤中最常見的 是將被除數倒置，而不是將除數倒置，或是在乘分子分母之前，就將被除數與除 數均先倒置。通常這些錯誤是被歸因於「死記」演算過程而導致。也就是說，學 生如果只將計算過程視為一連串無意義的步驟時 ，就可能因為忘了一些步驟，或 因某方面稍加改變而計算錯誤 。

二、因直覺而犯的錯誤 (Intuitively based mistakes)

這一類的錯誤起因於對除法的直覺 ，Fischbein, Deri, , Nello & Marino (1985) 在除法運算研究中指出，學生傾向於將自然數運算的特性概括化 ，認為分數也是 如此，因此用「等分除」的模式來解釋除法。在自然數的「等分除」模式中，有 三個限制：除數必須是整數；除數必須小於被除數；商必須小於被除數。這樣的

「等分除」模式，在學生解決含分數除法的應用問題時 ，會嚴重影響到其正確的 反應能力。

三、因形式認知不足而犯的錯誤 (mistakes based on formal knowledge)

黃權貴(2003)

B5 假分數、帶分數轉化錯誤 湯錦雲(2002) B6 帶分數先算分數再加整數部份 吳仁奇(2006)

B7 被除數與除數對調

B8 帶分數除以帶分數時，整數與分數

分別運算 林榮煌(2006)

B9 帶分數和整數相除時，只做整數之

間的運算 林榮煌(2006)

B10 除法改乘法時，未將除數倒置

B11 除法改乘法時，將被除數倒置 Ashlock(1990)

Barash & Klein(1996)

B12 除法改乘法時，將被除數倒置，除 數未倒置

B13 直接把答案的分數部分當餘數

B14 無法由除數的大小判斷被除數與 商的關係(直接以計算結果比較)

参、教材內容分析與地位

二、「分數的除法」單元之教材地位