國小六年級分數的除法單元之數位數學教材及電腦適性測驗研發

國立臺中教育大學教育測驗統計研究所

教學碩士學位暑期在職進修專班碩士論文

指導教授：郭伯臣 博士

國小六年級分數的除法單元之

數位數學教材及電腦適性測驗研發

研究生：蘇文君

中華民國九十七年七月

國小六年級分數的除法單元 之數位數學教材

及電腦適性測驗研發

摘

要

本研究以知識結構為基礎，結合貝氏網路，研發一套數位數學教材與電腦 適性測驗。首先根據教材內容，建立專家知識結構，再以能力指標、子技能、 錯誤類型等編製電腦適性測驗試題，進行紙筆預試。接著按照施測結果分析學 生的知識結構，再依此結構建立電腦適性測驗系統的選題規則及題庫 。同時， 編製以知識結構為基礎之數位數學教材供實驗組進行教學與補救使用 。正式施 測後，根據所得資料加以分析。並利用貝氏機率統計方法，檢視在適性與全測 之作答情況下，對子技能與錯誤類型之辦識率 。 研究結果簡要摘述如下： 一、實驗組使用本套指導教材進行教學後，實驗組前測分數為 88.41分，控制組 為 83.61分，經檢定達顯著差異，顯示本套數學指導教材具有學習成效。 二、實驗組經過補救教學後，前測平均分數是 88.69分，後測平均分數是 92.48 分，經檢定達顯著差異，表示研究者自編之補助教材 ，的確能幫助學生之學 習。 三、電腦適性測驗能有效節省 65％以上之題目，且能達到 94％以上的預測精準 度。 四、以貝氏網路推論電腦適性測 驗，在適性和完整作答情況下，對錯誤類型與子技 能的一致性，前測達94.20%，後測達95.58％。 關鍵詞：知識結構、貝氏網路、電腦適性診斷測驗、分數除法

Development of Mathematical Teaching Materials and Computerized

Adaptive Testing for Fractional Division of the Sixth Grade

Abstract

This research aims to establish a knowledge structure and Bayesian networks based mathematical teaching materials and computerized adaptive testing . First, we analyzed the content of the textbook, and established the expert knowledge structures of the content. According to the expert knowledge structures, indicator, sub-skills, and mistaken types which can be calculated in the Bayesian networks, items were designed. After the pre-test, ordering theory is used to decide the students' knowledge structure and those parameters were used in the item b ank. At the same time, establish a knowledge structure based mathematical teaching materials which can be used by experimental teaching. After experiment, analyze the data by Bayesian probability statistics method, inspect the prediction accuracy of the sub-skills and mistaken types in the situations of adaptive test and completely tested.

Some findings are briefly outlined as follows:

1. After taking the experimental teaching, experimental group students' average grades were better than control group’s significantly (88.41>83.61). It shows that this teaching material is valuable for learning.

2. After experimental group students taking the remedial instruction, they have significant progress on their average grades (post-test > pre-test, 92.48 > 88.69). It shows that this teaching material is valuable for remedy.

3. The rate of saving items by Bayesian networks computerized adaptive testing (BNAT) is above 65% and prediction accuracy can reach over 94%.

4. With regard to the effect of BNAT, the prediction accuracy of the mistaken types and sub-skills is 94.20% in pre-test and 95.58% in post-test.

Keywords: knowledge structure, bayesian networks, computerized adaptive test, fractional division

目 錄

中文摘要 ……… I Abstract ……… II 目 錄 ……… III 表目錄 ……… IV 圖目錄 ……… V

第一章

緒論

………

1

第一節 研究動機……… 1 第二節 研究目的……… 3 第三節 名詞釋義……… 3 第四節 研究限制……… 6

第二章

文獻探討

………

7

第一節 國小分數的除法教材分析……… 7 第二節 貝氏網路……… 14 第三節 電腦適性測驗……… 21 第四節 補救教學……… 27

第三章

研究方法

………

31

第一節 研究流程……… 31 第二節 研究對象……… 38 第三節 研究工具……… 38 第四節 實驗設計……… 43 第五節 資料收集與分析……… 45

第四章

研究結果

………

47

第一節 以知識結構與貝氏網路為基礎的 診斷測驗……… 47 第二節 編製輔助指導教材與補救教學教材……… 56 第三節 自編輔助指導教材與補救教學教材之成效……… 61 第四節 電腦適性診斷測驗之省題率 與預測精準度……… 70 第五節 電腦適性選題與全測診斷之一致性……… 71

第五章

結論與建議

………

73

第一節 研究結論……… 73 第二節 研究建議……… 76

參考文獻 ………

78

中文部份 ……… 78 英文部分 ……… 82

附

錄

………

84

附錄一 專家知識結構圖……… 84 附錄二 筆試測驗卷……… 86 附錄三 教學教案使用說明……… 87 附錄四 單元講義使用說明……… 88 附錄五 補救園地使用說明……… 89 附錄六 學生加油手冊使用說明……… 90

表目錄

表 2-1-1 分數乘除運算相關之錯誤類型 ……… 9 表 2-1-2 本研究分數的除法之錯誤類型與相關研究對照表 ……… 10 表 2-1-3 國小分數概念能力指標分年細目對照表 ……… 12 表 2-2-1 貝式網路在教育測驗上的應用 ……… 19 表 2-3-1 知識結構檢核表……… 23 表 2-3-2 命題卡……… 24 表 3-1-1 子技能代號對應表……… 33 表 3-1-2 錯誤類型與子技能的對應表 ……… 34 表 3-1-3 錯誤類型與試題的對應表……… 35 表 3-4-1 實驗教學時程表……… 43 表 4-1-1 預試之試題參數、答題情形以及信度分析表 ……… 49 表 4-3-1 教學模式對照表……… 61 表 4-3-2 受試者起點測驗與前測分數對照表……… 62 表 4-3-3 起點測驗之獨立樣本 t檢定……… 62 表 4-3-4 受試者起點測驗組內迴歸係數同質性檢定表 ……… 63 表 4-3-5 前測描述性統計……… 63 表 4-3-6 受試者前測成績組內迴歸係數同質性檢定表 ……… 63 表 4-3-7 前測成績單因子共變數分析檢定摘要表 ……… 63 表 4-3-8 受試者前測與後測成績對照表 ……… 64 表 4-3-9 受試者前測成績組內回歸係數同質性檢定表 ……… 64 表 4-3-10 後測成績描述性統計……… 65

表 4-3-12 後測成績單因子共變數分析檢定摘要表 ……… 65 表 4-3-13 受試者前、後測成績進步對照表……… 66 表 4-3-14 受試者前、後測成績分布表……… 67 表 4-3-15 受試者前、後測成績樣本統計量……… 68 表 4-3-16 受試者前、後測成績成對樣本 t檢定……… 68 表 4-3-17 高分組受試者前、後測成績成對樣本 t檢定……… 68 表 4-3-18 中分組受試者前、後測成績成對樣本 t檢定……… 69 表 4-3-19 低分組受試者前、後測成績成對樣本 t檢定……… 69 表 4-4-1 電腦適性診斷測驗之省題率與預測精準度 ……… 70 表 4-5-1 電腦適性選題與全測診斷之一致性 ……… 72

圖目錄

圖 2-1-1 「分數的除法」單元教材地位圖……… 13 圖 2-2-1 簡單的貝氏網路圖……… 15 圖 2-2-2 多節點貝氏網路結構圖……… 17 圖 2-2-3 建立貝氏網路模型的流程圖 ……… 18 圖 2-3-1 試題上下位順序結構圖……… 22 圖 3-1-1 研究流程圖……… 32 圖 3-1-2 施測畫面……… 36 圖 3-1-3 學習診斷報告書……… 36 圖 3-1-4 貝氏網路結構圖……… 37 圖 3-3-1 教材內容試題化流程圖……… 39 圖 3-3-2 教學簡報媒體……… 41 圖 3-3-3 補救教學動畫……… 41 圖 3-4-1 實驗教學施測流程圖……… 43 圖 4-1-1 題庫施測畫面……… 53 圖 4-2-1 學生試題結構圖……… 56 圖 4-2-2 專家知識結構(部分) ……… 57 圖 4-5-1 貝氏網路推測各錯誤類型及子技能有無之機率圖 ……… 71

第一章

緒論

本研究是以國小六年級「分數的除法」單元相關能力指標為研究領域 ，研發 以知識結構為基礎的指導教材及補救教材 ，探討教材應用後的成效；並以貝氏網 路為推論工具，應用於學生之子技能與錯誤類型有無之診斷 ；配合數位化的補救 教學元件，提供學生立即的作答分析結果和適性化的補救教學 。

第一節

研究動機

研究者在國小任教多年，在教育現場觀察到有關數學教學所 遭遇到的幾個問 題如下： 隨著九年一貫課程的實施 ，七大領域的能力指標，各種新興議題的學習活 動，鄉土語言、英語教學的加入，雖然使課程多元化，卻也壓縮了原來數學領 域的教學時間。每週三到四節課中，要完整且詳細的教導學生各種數學概念 ， 對教師來說，實為不可能的任務。 目前學校教育體制內，教師的教學皆以團班教學為主 ，教師在教學時需面對 30位左右的學生。再者，我國目前規定國中小均應實施常態編班 ，為了統一的進 度，班上程度較差的學生，常常為了趕上教學進度，而延誤了補救時機。在大班 教學下，教師沒有充分的時間去了解學生的個別差異 ，並針對其錯誤的迷思概 念，給予個別的指導。在紙筆測驗結束後，往往要花更多的時間去做個別的補救 教學，因而感到力不從心。 自從教科書一綱多本實施以來 ，教師每學期都有可能因為選用了不同版本的 教科書，需要重新備課；或者利用廠商所提供的光碟進行命題或設計學習單 ，缺 乏一套有系統的結構性教材及教學模式，導致教學成效無法彰顯。此外，教師花

了很多的時間編製測驗與批改考卷 ，卻無法及時針對學生的錯誤迷思進行補救 。 欲解決上述的問題，從許多研究（林立敏、白曉珊、郭伯臣、劉育隆，2006； 吳玫君、施淑娟、許天維、陳淑勤，2008；趙琬津，2006）可知，科技的發展提 供一個可行的管道。在資訊融入教學的理念下，若能利用資訊科技的便利，建置 一套電腦化診斷暨學習系統，提供教師診斷學生學習狀況，針對學生學習不足的 部份加以個別補救教學。這樣不但能建立學生自學模式，也可節省學習時間，教 師也容易針對學生學習不足的部份做補救教學 。 在學校團班教學的環境下，透過電腦系統讓學生進行自學，可以解決學校教 育中個別指導人力上的不足。家長、家教老師或社會教育機構也能經由網路，不 受時間空間的限制，透過此套系統的教材與教學媒體，隨時隨地幫助學生學習， 提昇學生的數學程度。 本研究擬以國小六年級「分數的除法」相關能力指標為例，並以「分數的除 法」常發生的錯誤類型為診斷單位，採用以機率推論為基礎的貝氏網路作為分析 工具，研發一套輔助指導教材，並結合以「知識結構」與「貝氏網路」為基礎的 電腦適性診斷測驗，設計一套完整的教學、評量以及補救教學活動，將其應用於 教學實驗中，以評估此模式的教學成效。

第二節

研究目的

根據上述研究動機，本研究將以「分數的除法」單元為例，研發輔助指導教 材，並結合以「知識結構」及「貝氏網路」為基礎的電腦適性診斷測驗 ，來達成 以下之目的： 一、編製一套以「知識結構」及「貝氏網路」為基礎之診斷測驗。 二、編製一套輔助指導教材與補救教學教材 。 三、探討自編之輔助指導教材與補救教學教材是否具有成效 。 四、探討電腦適性診斷測驗之省題率和預測 精準度。 五、探討電腦適性選題與全測診斷之一致性。

第三節

名詞釋義

一、知識結構 知識結構理論探究的重點在於，人類的大腦如何將經由表徵歷程所獲得的知 識，組織成清楚顯示各概念之間連結關係的知識結構 。關於知識結構的理論，

Morton & Bekerian(1986) 主張將其分成「語意網路理論」與「基模理論」兩種：其

中「語意網路理論」較強調知識在大腦記憶中的組織方式，而「基模理論」則較重 視知識在大腦記憶中的運作歷程 。 二、專家知識結構 專家知識結構是由國小教師群及數學教育專家，參考現行國小數學領域九年 一貫課程綱要內之相關能力指標 、各版本教師手冊、坊間相關單元之教材；依據 教學原理以及教學現場經驗，分析教材內容及教學目標，找出單元內重要的學習 概念；再根據教學流程中，學生的概念發展順序及概念 之間的關係，繪製出單元

的專家知識結構。專家知識結構中，最上層的概念為此單元較高階的概念 ，稱作 上位概念；下層則為最先學到的基礎概念，稱作下位概念。專家知識結構主要運 用在教材編製及測驗編製上。 三、學生知識結構 按照專家知識結構編製測驗 後進行施測，再將施測所得之學生作答反應，經 由OT軟體分析，所得到的試題順序結構轉化為概念順序結構 ，稱為學生知識結 構。學生知識結構主要是提供學生之學習狀況。 四、補救教學結構 補救教學結構係以學生知識結構為基礎，再參照專家知識結構，並經專家群 討論修正後繪製而成。補救教學結構主要運用在進行補救教學時，提供教師數學 概念補救的順序依據。 五、錯誤類型 錯誤類型是指學生學習「分數的除法」概念後，在解題的歷程中，可能發生 的一些錯誤型態，其成因來自於穩定的錯誤 ，或因不完全、誤導的學習所造成， 也就是迷思概念所造成的結果。研究者將依學生錯誤之處進行更細部的 分析，經 由相關文獻的探討，定義出常見的錯誤類型，並進行分類。 六、子技能 子技能是指學生解決「分數的除法」概念問題所需的基本能力。本研究之「分 數的除法」概念，係以教育部於九十四學年度正式實施的「國民中小學九年一貫 課程綱要—數學學習領域」中，第二階段國小六年級「分數的除法」能力指標為 範圍。

七、電腦適性診斷測驗 診斷測驗試題的編製，是以專家知識結構為主，參考「分數的除法」相關文 獻，以教師在進行教學時，學生容易發生的錯誤類型和迷思概念來設計選項。將 編好之試題，結合貝氏網路，轉化為線上題庫，讓學生在施測時，能按照自己的 能力來進行適性化的診斷測驗，提供教師及學生一個立即的成績回饋，以達到「因 材施測、因材補救」之目的。本研究採用的是以「知識結構」及「貝氏網路」為 基礎的電腦適性診斷暨學習系統。 八、貝氏網路 十八世紀數學家與神學家 Thomas Bayes 於 1763 年所提出「貝氏定理」。 而貝氏網路 （Bayesian Network）是以貝氏定理為基礎，後來又有許多不同的名 稱被提出，包括「信念網路」（Belief Network）、「影響力圖表」 （Influence

Diagram）、「因果網路」（Causal Network）等等。

貝氏網路是一個以條件機率 (Conditional Probability) 為基礎所建構出來的 非循環之有向圖 (Directed Acyclic Graph, DAG) 。圖中的節點 (node) 表示一個 事件（event），節點之間的連線(link)則表示兩個事件間的關連或因果關係，其影 響程度的強弱藉由條件機率來表達 。在給定證據之後，利用貝氏定理的先驗機率 和聯合機率，推論後驗機率，用來預測事件發生的機率到底是多少 。

第四節

研究限制

一、預試樣本部份： 本研究因時間、人力及物力所限，預試樣本僅取台中市某國小全部六年級學 生，共10個班級，有效樣本318人。測驗樣本集中於一個學校，因此，由測驗結 果所推論出的學生知識結構之代表性會受到限制 。 二、教學實驗對象部份： 本研究限於人力、時間及試卷蒐集、電腦施測的完整性和便利性等因素 ，樣 本集中於台中市某國小之六年級學生。由於研究對象的限制，因此研究結果僅能 做部份區域的推論，不宜做過度的推論。 三、研究工具部分： 本研究是以電腦適性測驗系統作為學生學習評量之工具 ，施測時需搭配足夠 的電腦硬體和網路設備才能順利進行 。 四、適性診斷測驗試題部分： 本研究之測驗因受限於電腦適性測驗形式，題目皆以選擇題方式建置，評量 結果會受到選擇題型的限制，並且無法避免猜測所造成的測量誤差 。此外，由於 本研究之測驗為四選一的試題，一個題目最多只能設計三項錯誤類型，為了囊括 學生可能會犯的所有錯誤類型 ；有時同一節點必須設計二至三題之測驗題 。

第二章

文獻探討

第一節

國小「分數的除法」教材分析

壹、分數除法的相關問題

Fendel (1987) 和 Payne (1976) 指出分數的除法在小學階段通常是被視為最 機械式、最難理解的主題。學生在做這一類分數除法時，成功率通常很低。 在分數除法的情境中，若只依照整數除法的情境：「包含除 (measurement

division) 」、「等分除 (partitive division) 」「笛卡兒積的逆運算(inverse of a Cartesian production) 」是不夠的，必須再加上「單位當量(determination of a unit rate)」的情境。 南一版教師手冊第十二冊中也提到 ，國小階段之分數問題在於分數的原始意 義：等分切割再合成其數份的活動。只是問題情境中選取的基準單位量的計數性 質不同，對學生產生了解題方式的差異。因此有研究者認為必要將其區分為不同 類型的問題，或是以單位量轉換的觀點來引入乘除法較為恰當 。所謂單位量轉換 觀點是指：同一種量的情境，可以選用不同的單位量來描述，包含除是新單位數 未知的單位量轉換問題；等分除是新單位量未知的單位量轉換問題 。換言之，以 單位量轉換觀點，可以將除法問題視為下列兩個式子 包含除：總量 ÷新單位量＝新單位數 等分除：總量 ÷新單位數＝新單位量 一般的情境中，整數的除法可以用包含除或是等分除的觀念來理解 ，但是將 除法運算推至分數範圍時，就不能以上述的觀點來加以說明 ，例如：「 3 1 公尺長 的鋼筋重 5公斤，1公尺的鋼筋重多少公斤?」，這一題可以用除法運算來解決 ， 5÷ 3 1 =15，但是這種運算不容易用包含除或等分除的意義來解釋，因為 5公斤並不

包含 3 1 公尺，所以無法用包含除解釋；另外，將 5公斤等分成 3 1 ，等分成不足 1 份，也很難用等分除的意義來解釋 ，因為分通常是分成整數份，而非分數份。 因此將原先單位量轉換的觀點 ，擴充為單位當量轉換的觀點 ，「 3 1 公尺長的 鋼筋鋼筋重 5公斤」，並不是將鋼筋等分成非整數的 3 1 份，而是以 1公尺為單位， 5公斤的鋼筋鐵絲相當於 3 1 份(單位)。

貳、分數運算的錯誤類型分析

在分數的除法中，Tirosh (2000) 將學生所犯的錯誤類型大致分為以下三類 ： 一、因演算而犯的錯誤 (Algorithmically based mistakes)

Ashlock (1990) 與 Barash & Klein (1996) 提到，在這一類的錯誤中最常見的

是將被除數倒置，而不是將除數倒置，或是在乘分子分母之前，就將被除數與除 數均先倒置。通常這些錯誤是被歸因於「死記」演算過程而導致。也就是說，學 生如果只將計算過程視為一連串無意義的步驟時 ，就可能因為忘了一些步驟，或 因某方面稍加改變而計算錯誤 。

二、因直覺而犯的錯誤 (Intuitively based mistakes)

這一類的錯誤起因於對除法的直覺 ，Fischbein, Deri, , Nello & Marino (1985) 在除法運算研究中指出，學生傾向於將自然數運算的特性概括化 ，認為分數也是 如此，因此用「等分除」的模式來解釋除法。在自然數的「等分除」模式中，有 三個限制：除數必須是整數；除數必須小於被除數；商必須小於被除數。這樣的 「等分除」模式，在學生解決含分數除法的應用問題時 ，會嚴重影響到其正確的 反應能力。

三、因形式認知不足而犯的錯誤 (mistakes based on formal knowledge) Hart (1981) 指出，學生認為除法是可互換的，如同乘法中的交換率，例如： 有學生辯稱1÷ 3 1 ＝ 3 1 ，是因為1÷ 3 1 ＝ 3 1 ÷1＝ 3 1 的緣故。 本研究根據先前相關的研究資料，整理出國小學生在學習「分數乘除」相關 之能力指標時，容易產生的錯誤類型(迷思概念)，整理如表 2-1-1。表 2-1-2 則是 研究者透過文獻探討、專家學者以及實際教學工作者的經驗，整理出本單元錯誤 類型與相關研究之對照表。 表 2-1-1 分數乘除運算相關之錯誤類型 研究者 錯誤類型 陳麗玲（1992） 1.帶分數乘以整數，只做整數部份而忽略分數。 2.帶分數乘以真分數，分子乘分子，分母乘分母，忽略整數。 陳和貴（2001） 1.分母相乘，分子相加。 2.帶分數的整數部分相乘 ，分數部分，分子和分子相乘，分母和 分母相乘。 3.分母相同時，分子相乘。 4.反轉而後相乘。 5.分子乘以整數，分母也乘以整數。 6.分子與整數相乘，遺漏了分母。 7.整數與分母相除，遺漏了分子。 湯錦雲(2002) 1.乘數的整數部份用乘法，真分數部份用加法。 2.被乘數分別乘上乘數的整數 、分子、分母成為答案的整數、分 子、分母。 3.被乘數、乘數都化成假分數後，分子乘分子，分母則不相乘。 4.只做真分數部份的乘法，整數部份則不相乘。 5.乘法用加法算則計算。 6.帶分數化成假分數的錯誤 。 7.假分數化成帶分數的錯誤 。 8.計算錯誤。 黃芳玉(2003) 1.分子分母同乘以乘數。 2.乘數只對分母乘。

黃權貴(2003) 1.計算過程中，分子相乘，分母相加。 2.計算過程中，分子相加，分母相乘。 3.計算過程中，分子相乘，分母相加。 4.計算過程中，分子相乘，分母相加。 何欣玫(2004) 1.題目數字直接相加減或相乘除 。 2.胡亂猜測答案。 3.使用關鍵字解題。 吳仁奇(2006) 1.被乘數為整數時，乘數的分子與分母均乘以該整數。 2.被乘數為整數時，將乘數的分母乘以該整數當分母，分子不變。 3.被乘數為分數時，將被乘數、乘數的分母、分子分別相加。 4.忽略帶分數中的整數部份 。 5.帶分數未先化為假分數，直接計算分數部份再加上整數部份 。 6.不清楚題目的題意，導致計算錯誤。 林榮煌(2006) 1.先通分後再計算。 2.將第二個數顛倒後再計算 。 3.交叉相乘而得到分子與分母 。 4.分母相乘，分子卻作加法運算。 5.分數乘以整數時，分數不變，只處理整數部份。 6.帶分數乘以整數時，分數不變，只處理分數部份。 7.帶分數乘以整數時，整數、分數分別自行做乘法運算 。 表 2-1-2 本研究分數的除法之錯誤類型與相關研究對照表 代號 錯誤類型(bug) 相關研究與實例說明 B1 數字計算錯誤 湯錦雲(2002) B2 應用題不懂題意 吳仁奇(2006) B3 分數除法時，只用分母相除 B4 分數除法時，只用分子相除

B5 假分數、帶分數轉化錯誤 湯錦雲(2002) B6 帶分數先算分數再加整數部份 吳仁奇(2006) B7 被除數與除數對調 B8 帶分數除以帶分數時，整數與分數 分別運算 林榮煌(2006) B9 帶分數和整數相除時，只做整數之 間的運算 林榮煌(2006) B10 除法改乘法時，未將除數倒置 B11 除法改乘法時，將被除數倒置 Ashlock(1990)

Barash & Klein(1996)

B12 除法改乘法時，將被除數倒置，除

數未倒置

B13 直接把答案的分數部分當餘數

B14 無法由除數的大小判斷被除數與

参、教材內容分析與地位

一、各年級分數相關之能力指標分年細目表 在現行國小九年一貫課程數學領域的能力指標中 ，有關分數概念學習的部 份，其分年細目如表 2-1-3 所列，包含了分數的認識、比較與加減問題；真、假 分數與帶分數的互換、比較與加減運算；分數的乘法、約分；最簡分數到分數的 除法；最後能作分數的兩步驟四則混合計算 。 表 2-1-3 國小分數概念能力指標分年細目對照表 年級 指標編碼 分年細目內容 二 2-n-10 能在平分的情境中，認識分母在 12以內的單位分數，並比 較不同單位分數的大小。 三 3-n-09 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比 較與加減問題。 4-n-06 能在平分情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。 N-2-06 4-n-07 能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數與帶分數的 互換，並進行同分母分數的比較 、加、減與非帶分數的整 數倍的計算。 N-2-07 四 4-n-08 能理解等值分數，進行簡單異分母分數的比較 ，並用來做 簡單分數與小數的互換。 5-n-05 能用通分作簡單異分母分數的比較與加減 。 5-n-06 能在測量情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。 5-n-07 能理解乘數為分數的意義及計算方法 ，並解決生活中的問 題。 五 5-n-11 能將分數、小數標記在數線上。 6-n-02 能認識兩數的最大公因數 、最小公倍數與兩數互質的意 義，理解最大公因數、最小公倍數的計算方式，並能將分 數約成最簡分數。 6-n-03 能理解除數為分數的意義及計算方法 ，並解決生活中的問 題。 六 6-n-05 能作分數的兩步驟四則混合計算 。

二、「分數的除法」單元之教材地位 圖 2-1-1 是「分數的除法」單元在國小數學領域中，各年級相關單元的教材 地位。學生學習完本單元後，接下來將學習分數的四則運算，統整之前有關分數 的各項運算技巧。 第 10冊 在具體情境中，能以假 分數或帶分數描述具 體的量，並能解決分數 的合成、分解以及簡單 整數倍的問題。 第 7、8冊 在等分好、整體 1能明 顯出現之具體情境 中，能以真分數來描述 單位分數內容物為多 個個物的幾份，進行同 分母真分數的合成、分 解活動，並理解等值分 數的意義。 第 12冊 能在具體情境中解決分數 除以整數的問題。 能在具體情境中解決分數 除以整數的問題。 能在具體情境中解決分數 除以整數的問題。 能在具體情境中解決分數 除以整數的問題。 第 12冊 分數的四 則運算 圖 2-1-1 「分數的除法」單元教材地位 圖

第二節

貝氏網路

一、貝氏網路簡介

貝氏網路是一種結合圖形和機率的推論工具，它使用先驗知識或專家意見並 結合可觀察資訊之機率推論模式 (劉湘川，2004)。也叫做貝氏信念網路

(Bayesian belief networks) 、信念網路 (belief networks) 、因果關係網路 (casual networks)、機率網路 (probabilistic networks) 或者為知識地圖 (knowledge map)

(蘇俊和，2002)。 貝氏網路主要的作用在於可以達到預測 、溝通、訓練及提供更好的選擇來決 定決策的做法，且貝氏網路具有可以輕易地處理不完整的資料的特性 ，它利用表 示相依關係的知識表示法，及允許因果關係的學習，和透過貝氏統計的方法，可 以具備將領域知識與資料之間做結合的優點 （潘俊帆，2001）。貝氏網路是機率 圖形模式，可將教育測驗領域中不確定性組合成模型（Vomlel, 2004）。使用圖形 模式的優點是，它能很容易而且清楚的表達變數之間 的因果關係，藉由機率來表 達關係的強度，也可作為未來推論的工具。它是一個應用十分廣泛的工具，特別 是在人工智慧系統、電腦化科學、決策學、工程學領域方面。 因為學生的錯誤類型往往也具有不穩定性，這種不穩定性常常容易造成診斷 上的困難，所以「錯誤類型」為診斷的模式勢必得採用可表 現不確定性的統計技 術，才能根據學生作答的反應來推論其不確定的特質 。因此，本研究希望藉由貝 氏網路具有以機率的方法來整合不確定性的功能 ，利用其完整的機率理論及決策 理論來做不確定性因素的推論 。 貝氏網路結構圖是一個以條件機率 (conditional probability) 為基礎所建構出 的非循環有向圖 (Directed Acyclic Graph，簡稱DAG)。完整的貝氏網路包含二個 部分，分別是節點 (node) 及連結 (link) 。在貝氏網路中，節點對應於有限範圍 中的任意的變數，例如：本研究中，節點代表子技能(S)、錯誤類型(B)和試題(Item)。

圖2-2-1中的節點表示一個事件（event）也就是隨機變數，各節點之間用有向 的箭頭連結代表事件的因果關係，其影響程度的強弱藉由條件機率來表達 。該網 路中之節點表示隨機變數，而連結線用來表示兩個變數間的關聯或因果關係 。換 言之，這個非循環有向圖（DAG）是這些變數之聯合機率分佈的分解表示法（呂 靜芳，1999）。在本研究中，節點代表子技能、錯誤類型、試題，在貝氏網路結 構中，各節點間的連結，用有向邊連結，而有向邊的有無即代表其節點之間的關 係是否為條件相依或條件獨立的情形 ，而節點有連結即表示條件相依，節點之間 沒有連結就被稱為條件獨立。 貝氏網路可以用來推論基礎的學習行為預測機制 ，即可以藉由先前的學習經 驗與歷程，估算出所有狀況的發生機率，讓往後的學生一開始學習，便能有效利 用此 Bayesian Networks 進行可能性的評估，達到幫助學生與老師更了解學習過 程發展的可能性。 Item2 Item1 B1 Item3 B2 S1 圖2-2-1 簡單的貝氏網路圖

貝氏網路根據貝氏定理建立的 ，貝氏定理是Thomas Bayes在1763年提出: ) ( ) ( ) | ( ) | ( B P A P A B P B A P  (2 .1) 條件機率 P(B|A)表示，在給予 A 的條件之下，B 發生的機率。機率 P(A)和機 率 P(B)表示 A 和 B 各自發生的機率。P(B|A)，P(A)和 P(B)在本研究中先用訓練的 資料求得。（楊智為，2007）。因此，若已知貝氏結構圖中某觀測節點之先驗機率 值，則可依貝氏定理推論出其他所要觀察節點之條件機率值 ，同時可產生 P(A|B) 的機率表，此條件機率表即為貝氏網路推論的基礎 。 在多節點的貝氏網路中，令U (X₁,X₂,X₃,...,X_n)為所有變數的範圍，其聯 合機率P(X₁,X₂,X₃,...,X_n)為P(U)，若在U中條件獨立依然成立，P(U)可以從貝 氏網路的條件機率中被明確的求出，聯合機率分佈P(U)即為所有的條件機率的乘 積，其數學式子如下： ) ,..., , , ( ) (U P X₁ X₂ X₃ X_n P 



   n i i i X X X X P 1 1 2 1, ,..., ) | (



  n i i i pa X X P 1 )) ( | ( )) ( | ( ) ,..., , | (X_i X₁ X₂ X_i1 P X_i pa X_i P _  (2.2) 在此pa(X_i)為X 的父節點。_i

圖 2-2-2 多節點貝氏網路結構圖 例如圖2-2-2的多節點貝氏網路結構圖。X 是1 X 的父節點，條件機率是2 ) | (X₂ X₁ P 。X 和₂ X 是₃ X 的父節點，所以條件機率是₄ P(X₄|X₂,X₃)。貝氏網路 全部節點的聯合機率則為 ) , | ( ) ( ) | ( ) ( ) , , , (X₁ X₂ X₃ X₄ P X₁ P X₂ X₁ P X₃ P X₄ X₂ X₃ P  (2.3) 因此，若已知觀測節點X ，可以依貝氏定理推論，求其他節點發生的條件₄ 機率，如公式2.4: ) ( ) , , , ( ) | , , ( 4 4 3 2 1 4 3 2 1 X P X X X X P X X X X P  (2.4) 所以貝氏定理可結合先驗機率與條件機率 ，並能有效的利用樣本資訊，引入 先驗機率來得到理想的統計數值，比起傳統統計方法只由樣本數統計，貝氏方法 可以得到更多資訊。此外貝氏定理方法中利用到以前的經驗 (先驗機率)，因此在 分析時不需太多樣本數，即可得到不錯的結果的優點 (黃雅鳳，2006)。 二、貝氏網路建立的步驟 要建立一個貝氏網路來進行推論，必須先取得研究資料樣本後，根據資料及 學科專業知識的分析，建立一個完整的貝氏網路結構模型 ，再根據資料來進行推 論。 1

X

2

X

3

X

4

X

建立模型的過程如圖2-2-3所示，分成以下三個步驟：（楊智為，2007） 圖 2-2-3 建立貝氏網路模型的流程圖 (一)根據研究資料，建立貝氏網路節點及連結 根據所設定的研究資料，進行學科專業知識探討與分析，建立節點與節點之 間的連線關係，其連結需符合該領域資料群體特性及專業知識 ，組成完整的貝氏 網路結構。 (二)設定模型中節點的機率分布 計算所有可觀測節點和未觀測節點的先驗機率及條件機率分布 。以觀測的資 料當證據，透過貝氏網路推論，獲得所感興趣的未觀測節點 之後驗機率分布。 (三)評估後驗機率的正確性 評估模型填入這些資料是否適合，以及此後驗機率對建立模型中所要知道的 節點推論是否正確。 根據以上步驟，取得一個完整而且最合適的貝氏網路模型 後，便可依據此貝 氏網路模型來進行推論。本研究將根據相關研究結果，採二元資料輸入值，及動 態決斷值選取法（許雅菱，2005；郭伯臣、李俊儀、許雅菱、林文質，2005）來 設定研究資料 建構貝氏網路模式 驗證貝氏網路模型 設定模型中節點的 機率分布 觀測 資料

獲得較佳之辨識率。 三、貝氏網路在教育測驗上的應用 近年來，貝氏網路運用在各種領域上，因為它對於不確定性的因素具有強大 的推論整合效果，更有不少相關的研究顯示貝氏網路運用在教育測驗上 的可行性 相當高，所以利用貝氏網路的推論，快速、有效地診斷學生在學習上所發生的錯 誤，其相關的研究文獻整理如下表2-2-1所示： 表2-2-1 貝氏網路在教育測驗上的應用 研究者 研究內容 鄭乃塵(2004) 建置以學生歷程之學生模型 ，應用至診斷學生學習狀態 的推估。 李俊儀(2004) 建置以貝氏網路為基礎的電腦化適性測驗選題策略 ，比 較不同選題策略，建構試題結構，提供電腦化適性測驗 時選題的依據。 劉麒峰(2004) 建置以貝氏網路為基礎應用於國中數學相關因素的預測 及診斷系統。 許雅菱(2005) 提出概念性的評量架構中的學生模式採用以機率推理為 基礎的貝氏網路作為分析工具 ，應用在國小面積學習單 元的評量。 楊維中、陳秀郁 郭伯臣、張雅媛 (2005) 建立一套以國小五年級數學領域能力指標 5n01~5n07 為評量內容的電腦適性診斷測驗系統，同時輔以專家知 識結構之電腦補救教學動畫系統，除了斷出學生能力指 標的學習成效外，還可以讓學生進行自我學習，以此模 式反覆練習達臻嫻熟之境地。 林垣圻(2006） 建構出根據不同學生的作答反應 ，給予不同題目作答的 適性選題線上學習診斷系統 。 施淑娟(2006) 建立一個以貝氏網路為基礎的錯誤類型與子技能認知診 斷模式，應用於國小五年級數學學習領域中 「小數」單 元。 黃雅鳳(2006) 建置以國小六年級數學領域之五個能力指標方便有效的 診斷系統。 吳仁奇(2006) 發展一套應用在國小五年級數學領域上智慧型線上測驗 及補救教學系統。

蘇文君、汪端正、 郭伯臣 (2006) 以國小數學「等值分數」單元為研究範圍，探討技能層 之間有上下位關係的貝氏網路診斷精準度 。 汪端正、蘇文君、 郭伯臣、楊智為 (2006) 以數學領域「數與量」能力指標為研究範圍，探討技能 層之間的上下位關係，應用四層之貝氏網路進行診斷測 驗。 謝典佑(2006) 探討單一貝氏網路模組和多重貝氏網路模組在不同融合 演算法下辨識率的比較，發現多重貝式網路模組於不同 融合演算法下其辨識率確實有大幅的提升 ，提出此一結 果對於建構電腦化適性測驗系統時有實質上的幫助 。 楊智為(2007) 提出後驗機率值輸入SVM分類器的方法，結合多重貝氏網 路，能更加有效的提升辨識率 ，此一結果對於建構電腦 化適性測驗系統時有實質上的幫助 。 在這些研究中，我們可以發現，將貝氏網路應用於教育上非常多，有針對系 統開發、理論架構的實證、實際應用於診斷教學，以不同方式應用至貝氏網路推 論，顯示將貝氏網路應用於教育 測驗是可行的，而且隨著研究的發展會更趨於完 備。

第三節

電腦適性測驗

壹、以知識結構為基礎之電腦適性測驗

國小教師在教學活動上，需要花費很多時間來診斷學生學習困難之所在 ，隨 著電腦科技的迅速發展，許多專家學者投入電腦診斷測驗的研究，希望藉由電腦 適性診斷測驗系統，配合適性動畫補救教學，能達到節省施測題數、施測時間， 準確診斷出學生錯誤所在，並給予適性化補救教學，減輕教師負擔，提升教學品 質。 由相關文獻中可知，以知識結構（郭伯臣，2004）為基礎，配合貝氏網路（施 淑娟，2006；許雅菱，2005；謝典佑，2006； Russell, Almond, Robert & Mislevy,

1999）的電腦適性診斷測驗，在節省試題和預測精準度兩方面都有最佳的表現 ，

是ㄧ有效的適性診斷評量工具 ，可協助達到「因材施測，因材施教」的目標。 郭伯臣、謝友振、張峻豪、蔡坤穎（2005）的研究中比較了三種估計試題結 構方法，Airasian,& Bart(1973)所研發之「順序理論」(ordering theory, OT)、 Takeya(1991)所研發之「試題關聯結構分析法」(item relationship structure analysis,

IRS) 及 Appleby, Samuels & Treasure-Jones (1997) 所研發之 Diagnosys。研究結果

顯示，使用 OT 結構之適性測驗選題策略，所需訓練樣本較少並可節省較多施測 題數，優於 IRS 與 Diagnosys。因此本研究採用 OT 分析法進行學生試題結構分析， 作為電腦化適性測驗選題策略的依據 。 以知識結構為基礎的電腦化適性診斷測驗，要依據學生作答狀況分析，假設 其上位概念學會，就同時具備了下位概念。如圖 2-3-1 所示的試題上下位順序結 構圖，第 1 題是第 2 題和第 3 題的上位，題與題之間以箭號連結，表示這兩個試 題有關連，箭頭的方向由下位概念指向上位概念。所以如果答對了第 1 題，則預 設第 2 題也會答對，但如果第 1 題答錯，則必須再做第 2 題及第 3 題，找出是哪 一個概念未完成，而導致第 1 題答錯。藉由這樣的設計來診斷出學生真正的錯誤 概念，所以如果第 1 題答錯，第 2 題答錯，但第 3 題答對，即可認定包含在第 3

題以下的下位概念已經達成，這些題目(第 6-9 題)皆可不用再測，只必須再測第 4 題和第 5 題，如此就可以節省施測 4 題。（曾彥鈞，2007）。 圖 2-3-1 試題上下位順序結構圖

貳、診斷測驗試題題庫的建置

陳怡如、吳慧珉和黃碧雲（2004）的研究中設計出一套診斷測驗試題題庫的 建立方式，說明如下： 一、編製預試紙筆測驗 （一）知識結構編製原則 以單元教材中所呈現的課程內容及概念教學的順序作為分析的主體 ，先熟讀 課本、習作和教師手冊，再針對課本與習作的練習題，分析出正確的解題概念和 所需要運用的技能，進而編出該單元的知識結構。編製知識結構的原則如下： 1.每一節點為單一概念。 2.每一節點皆可出題。 3.了解上位節點，則推論受試者了解其所有下位節點 。 4.同層節點難度可能不一。 5.注意數字大小之影響。 item 1 item 2 item 3

6.注意非文字題及文字題之不 同。 7.當無法明確界定節點間次序性時 ，宜定義為無次序性。 （二）知識結構檢核表 如表 2-3-1（陳怡如、吳慧珉和黃碧雲，2004），在於初步建立單元知識結構 後，檢核其每一節點之概念內容與節點順序是否妥切 。 表 2-3-1 知識結構檢核表 項目 檢核內容 是 否 一 每一節點是否都是單一概念？ 二 每一節點是否都可以出題？ 三 上位節點和下位節點的次序性是否明確合理 ？ 四 節點的設定是否有考慮到數字位數大小的問題 ？ 五 節點的設定是否有考慮到文字題和非文字題的不同 ？ 六 節點的敘述是否清楚明確？ 七 節點的設定是否有符合課程資料的教學目標 ？ （三）命題程序 編製完成單元的知識結構後 ，便可依據下列的命題程序開始進行命題 ： 1.依據單元知識結構，再參考課程資料命題，每個試題都只針對一個節點 （概念）出題。 2.依照知識結構和課程資料選定合適之試題結構類型，設計出適當的題幹。為 了符合日後電腦化的趨勢，試題型式以四選一之選擇題為主 。 3.依據題幹內容，設計正確選項，並根據學生易犯錯誤類型設計誘答選項 。 4.完成出題後，進行校對與驗算工作，檢視該題的設計是否符合節點的內容 ， 且驗算正確選項的正確性。

（四）命題卡及相關檢核表（盧炎成，2006） 1.命題卡(如表 2-3-2)。每題皆有一張命題卡，上面填寫題目之概念、內容及 其他相關資料，包含每個試題的編碼紀錄。 2.命題檢核表。針對節點選定具代表性的問題後，再次確認其內容、題幹和選 項等三方面的設計是否適當。 3.試卷檢核表。選定代表某一單元全部節點的各個試題後，將所有試題組成一 份試卷後，再仔細評估整份試卷的設計編排是否恰當 ，是否已能完全代表該 單元的知識結構，完成預試試卷。 表2-3-2 命題卡

二、預試收集學生作答反應資料 。 三、分析學生資料：一方面分析試題難度、鑑別度及信、效度；一方面根據 OT 演算法建立學生知識結構，作為適性測驗選題的依據，進行題庫之建置。

參、以貝氏網路為基礎之電腦適性測驗

貝氏網路以貝氏理論為基礎，是一種非常強大的知識表現方法和推論的工 具，它對於不確定性的因素，具有強大的推論整合效果，可以用來說明變項間相 互影響程度的機率關係。近年來被運用在各種領域上，在人工智慧領域相當的熱 門，且廣泛的應用於醫學、工程等方面，而其在預測及診斷上的能力，近來也被 應用於教育測驗的研究上(李俊儀，2004)。有不少相關的研究顯示以貝氏網路為 基礎之電腦適性測驗，其可行性相當高 郭伯臣、李俊儀、許雅菱、林文質(2005)的研究指出，如果運用以證據為中 心的評量設計所定義的貝氏網路結構圖，將學生的作答資料分成訓練資料和測試 資料，將訓練資料用來訓練貝氏網路函式的參數 ，作為將來推論運算所需；測試 資料則當作學生作答的證據，利用其聯合樹的推論方法，可算出聯合機率，用以 推論學生所具有的錯誤類型和子技能 。 施淑娟(2006)的研究發現，將貝氏網路認知診斷模式應用於國小五年級小數 單元學習診斷，與專家分類的結果相當一致，單元內各評量重點皆達良好的診斷 結果。 高健智(2006)以貝氏網路為基礎之學生分數概念診斷系統，也發現貝氏網路 可以做到下列各項： 一、可正確的診斷出學生的錯誤概 念。 二、可明確的指出學生的概念認知程度範圍。 三、在受測的學生數不斷的增加時，貝氏網路推論與分析也能做動態的更新。 四、藉由系統的診斷與推論可得到與學生實際的答題行為較接近的結果。 五、能有效的提供受測學生應加強的概 念或補救學習路徑。

林怡濱、陳世銘、李淑娟 (2008)以貝氏網路為基礎的電腦診斷測驗及補救教 學系統研究中發現： 一、以專家知識結構結合貝氏網路，建構以概念性的評量架構為主的評量模 式，可以有效的用來診斷學生的錯誤類型及子技能。 二、以貝氏網路為推論工具的測驗診斷系統，能有效且精準的評量出學生常見 的錯誤或迷思概念。 三、以貝氏網路推論電腦適性測驗，在適性和完整作答下，錯誤類型及子技能 符合程度具有效度。 因此，利用貝氏網路的優點，將其應用到電腦適性測驗，不但具有電腦適性測 驗的優點，更能利用貝氏網路的推論能力，取得學生的背景資料，快速準確分辨 出學生的能力等級，進一步地針對學生的錯誤類型、子技能來進行電腦補救教學 (劉麒峰，2003)。

第四節

補救教學

壹、補救教學的意義

補救教學是在教學評量活動後所進行的 ，透過診斷測驗工具診斷，可以及時 發現學生學習困難，它具有事後幫助學生學習釐清錯誤觀念的功能 ，大都是針對 未達成教學目標或學習有困難的學生 ，幫助他們再學習（陳長春，1992）。教師 從學生的評量結果，可以了解學生既有的知識與經驗，也可以從學生發生的錯誤 類型上，回溯檢視其學習上的問題並加以輔導修正 。

貳、補救教學的模式

補救教學使用直接教學模式、精熟教學模式、個別化教學模式及合作式學習 模式等教學策略，對於低成就學生澄清迷思概念皆有成效，分述如下：（引自張 新仁，2001；李坤崇、歐慧敏，2006）

一、直接教學（the direct instruction）模式：Rosenshine 和 Hunter 是此模式的 倡導者。此模式是以教師為中心的教學模式 ，視教師為知識與資訊的主 要來源，適用於教導學生記憶方面的知識及動作技能 。教師負起組織和 呈現教材的責任，學生負責接受學習。

二、精熟教學（the mastery teaching）模式：此模式適用於團體教學，教材的 學習進度由教師決定，其中 Bloom的精熟教學模式最常為人引用 ，其基 本理念為：只要給予足夠的學習時間，學生就可以精熟大部分的學習內 容。

三、個別化教學（the individualized instruction ）模式：此模式以 Keller 的個別 化教學系統（personalized system of instruction ，PSI）較著名，主張學生 根據教材個別學習，且學習進度由學生自行決定。

四、合作學習（the cooperative learing）教學模式：主要倡導學者為 Slavin 和

容，雖然過程會有錯誤的答案產生 ，但這些有助於其概念澄清，其中以 學生小組成就區分法（student teams achievement division , STAD）較適用 於補救教學。

参、適性補救教學（adaptive remedial instruction ）

適性補救教學可分為兩種，分別是「以電腦為基礎」及「以教師為基礎」之 適性補救教學，分述如下：

一、以電腦為基礎之適性補救教學（computer-based adaptive remedial Instruction ,

CBRI）

1980年代末期，美國科學促進協會(American Association for the Advancement

Science，AAAS)提出「2061專案」(Science for All Americans Project 2061)，它強 調科學與科技的結合，讓學生在上課所學的科學知識也能應用在日常生活中 。而 近年來隨著電腦技術的不斷精進 ，以電腦作為教學媒體，協助教師進行教學，幫 助學生學習教材的電腦輔助教學 (Computer Assisted Instruction，簡稱 CAI ) 也開 始被採納。

Hicks & Hyde (1973)認為「CAI是一種直接運用電腦交談模式來呈現教 材，

並控制個別化學習環境的教學過程 。」 Sipple C.J.& Sipple R.J. (1980) 對它的定 義是「CAI是一種將學生安置在已編寫好的電腦互動模式課程中的教育觀念 ，電 腦依照學習者先前的學習反應，選擇下一個適當的主題或單元，並允許學習者按 照自己的學習能力調整進度。」 近年來由於電腦科技的突飛猛進 ，CAI 也經常被用來作為提供學生的補救教 學法之一。根據研究發現，大多數學生喜歡透過電腦來學習，並且對於使用電腦 進行多媒體的線上補救教學具有高度的興趣 （顏雅莉，2002），因此利用電腦多 媒體對學生的吸引力，給予適當且正確的補救教學，功效有時會比傳統的團班或 個人指導教學來得大。就學生而言，電腦的補救教學可以反覆進行。對教師而言， 利用同樣一堂課的時間，達到因材施教的功效（蔡昆穎，2004）。

洪旭亮(2006)於研究中指出，隨著電腦科技發展及不同程式語言的使用，CAI 也有了不同的發展，其改變說明如下： (一)傳統電腦輔助教學：在行為主義的學習理論下，強調反覆練習及回饋機 制，教材呈現編序性，讓使用者反覆練習及給予適當回饋 。 (二)智慧型電腦輔助教學：加入人工智慧技術來發展高度個別化的教學軟體 ， 讓CAI更具智慧，能了解內容(what)、對象(who)、何時教(when)及怎麼 教(how)。 (三)多媒體電腦輔助教學：將各種不同的文字、圖片、動畫、聲音等媒體輸入 電腦之中，整合成教材來進行教學，可以使內容更活潑生動，吸引學習 者目光，在學習者與系統間有更好的溝通 ，但仍受限於單機平台，僅能 在某些專屬電腦使用。 (四)網路化電腦輔助教學：前述三項輔助教學皆置於電腦單機上，若將課程設 計架設於網路上，利用網路連結和即時互動設計之特性 ，建構出一個共 同學習的社群，可彌補上述CAI中互動性不足之缺點，此乃當前電腦補救 教學之走向。

二、以教師為基礎之適性補救教學（teacher-based adaptive remedial Instruction,

TBRI） 此種適性補救教學是除了使用電腦之外 ，加上人力介入的補救教學，電腦雖 然扮演著CAI助教的功能，但CAI並無法完全取代教師及同儕的地位 ，真正負責 課程進行和學生反應回饋的仍是教師 。 洪榮昭、劉明洲(1996)指出，傳統教師指導具有電腦教學無法取代的四項優 點，分述如下： (一)學習互動：師生互動教學較具啟發性，而此互動效果是電腦連線作業最不 易表現的。 (二)教師的身教：教師的身體語言，可把只能意會之處表達出來，如及時的獎 勵與責備，使學習者能有所領會。

(三)語言表達的機動性與彈性：教師指導時，語意表達可保持機動與彈性，說 明的語句，亦可依學生的臉部表情而彈性改變 。 (四)情意教學：教師可視學生的回答、反應及情緒表現，作適當的雙向溝通。 綜合以上所述，可見因有了老師適當的介入，給予線索、協助探索，TBRI具 有其正面的教育意義。 本研究旨在建立一套電腦適性診斷測驗與學習系統，將電腦多媒體輔助教學 之課程，以網路化的型態，架設於網站平台上(劉育隆、曾筱倩、郭伯臣，2006)， 利用網路無遠弗屆和即時反應的特性，建構出共同學習的社群。學習者根據系統 施測後的診斷報告書，可以電腦為主，依照個人的需要來進行線上動畫補救教 學，得到立即而正向的回饋；也可以教師為基礎，進行個別化的補救教學；或是 兩者並用，提高補救教學的成效。

第三章

研究方法

本研究旨在探討以貝氏網路為基礎，結合知識結構之學理，並根據能力指標、 子技能、錯誤類型，建立「分數的除法」單元的專家知識結構及貝氏網路結構 ， 並以學生作答反應，針對紙本測驗樣本進行學生試題結構分析 ，以順序理論建立 學生知識結構。嘗試以知識結構結合貝氏網路 ，求出具有最佳辨識率之貝氏網 路。目的在了解學生在學習「分數的除法」的能力指標所對應之教材內容時 ，診 斷出可能會產生的錯誤類型。並利用貝氏機率統計方法來進行資料的分析 ，最後 以本研究發展出的模式，建立補救教學系統並驗證其成效 。 因此，根據研究目的，本研究採用以下的步驟，以獲得研究中所需的各項資 料，來驗證所要探討的問題。本章共分為以下五個部分： 一、研究流程；二、研究對象；三、研究工具；四、實驗設計； 五、資料收集與分析。

第一節

研究流程

本研究利用知識結構分析法，將分數的除法單元內容結構化，編製診斷測驗， 透過預試收集並分析學生作答反應資料 ，修正試題，並建立題庫。同時開發以知 識結構為基礎之輔助指導教材和補救指導教材 ，進行實驗教學。實驗完畢後，根 據資料分析撰寫研究報告。研究計畫之流程如圖 3-1-1。

2.1編製紙筆測驗試 題 6.進行實驗 7.分析結果 8.撰寫研究報告 3.預試(紙筆測驗) 4.作答資料分析 5.3編製指導及補救教材 5.1修題， 編製複本題 圖 3-1-1 研究流程圖 2.2建置貝氏網路架構草圖 國小教師、測驗學者、數學專家 1.建立專家知識結構 確立本單元之子技能、錯誤類型 5.2確立貝氏網路架構， 根據受試樣本資料， 訓練貝氏網路辨識率 6.以學生知識結構結合貝氏網路， 架設電腦化適性診斷測驗系統

本研究根據研究實驗之流程，詳細說明如下： 一、根據文獻探討國小六年級數學領域 「分數的除法」能力指標(6-n-03)之內涵， 將文獻整理後的錯誤概念再次進行分析釐清 ，並歸納出各能力指標之子技 能，其代號對應表如表3-1-1。實際學習過程中出現次數較頻繁的錯誤類型 與 子技能的對應表如表3-1-2；錯誤類型與試題的對應表如表 3-1-3，以作為後續 研究中試題選項編製之依據。 表3-1-1 子技能代號對應表 代號 內 容 S1 能解決真（假）分數除以整數的計算題 S2 能解決帶分數除以整數的計算題 S3 能解決真（假）分數除以整數的應用題 S4 能解決帶分數除以整數的應用題 S5 能解決真分數除以真分數且為同分母的計算問題 S6 能解決真分數除以真分數且為異分母的計算問題 S7 察覺「 b a ÷ d c ＝ b a × c d 」 S8 能解決帶分數除以帶（真）分數的計算問題 S9 能解決真分數除以真分數且為同分母的應用問題 S10 能解決真分數除以真分數且為異分母的應用問題 S11 能解決帶分數除以帶（真）分數的應用問題 S12 能解決帶分數除以帶（真）分數有餘數的應用問題 S13 能解決整數除以真分數的計算問題 S14 能解決整數除以帶分數的計算問題 S15 能解決整數除以真分數的應用問題 S16 能解決整數除以帶分數的應用問題 S17 能解決整數除以分數有餘數的應用問題 S18 利用除數大小判斷商與被除數的關係

表3-1-2 錯誤類型與子技能的對應表 代號 錯誤類型 (bug) 對應的子技能 (skill) B1 數字計算錯誤 S1、S10、S13 B2 應用題不懂題意 S9、S10、S11、S15、S16 B3 分數除法時，只用分母相除 S6 B4 分數除法時，只用分子相除 S1、S3、S9、S13、S16 B5 假分數、帶分數轉化錯誤 S2、S4、S8、S11、S14、S16 B6 帶分數先算分數再加整數部份 S2、S4、S8、S11 B7 被除數與除數對調 S7、S10 B8 帶分數除以帶分數時 ，整數與分 數分別運算 S8、S11 B9 帶分數和整數相除時 ，只做整數 之間的運算 S2、S4、S14、S16 B10 除法改乘法時，未將除數倒置 S1、S3、S4、S5、S6、S7、S8、S10、 S11、S12、S13、S15、S16、S17 B11 除法改乘法時，將被除數倒置 S3、S5、S6、S7、S8、S9、S10、S11 B12 除法改乘法時，將被除數倒置， 除數未倒置 S5、S6、S7、S8、S11、S14 B13 直接把答案的分數部分當餘數 S12、S17 B14 無法由除數的大小判斷被除數與 商的關係 S18

表3-1-3 錯誤類型與試題的對應表 代號 錯誤類型 (bug) 對應的試題 (item) B1 數字計算錯誤 1、13、22 B2 應用題不懂題意 9、10、15、16、23、25、 29 B3 分數除法時，只用分母相除 6 B4 分數除法時，只用分子相除 1、3、9、13、25 B5 假分數、帶分數轉化錯誤 2、8、14、16、19、23、 29、30 B6 帶分數先算分數再加整數部份 2、8、14、16、19、23、 29、30 B7 被除數與除數對調 10、20 B8 帶分數除以帶分數時，整數與分數分 別運算 21、29 B9 帶分數和整數相除時，只做整數之間 的運算 2、4、14、16、30 B10 除法改乘法時，未將除數倒置 1、3、4、5、6、7、8、 11、12、13、15、17、22、 24、25、26、30 B11 除法改乘法時，將被除數倒置 3、5、6、7、9、10、11、 20、21、22、28 B12 除法改乘法時，將被除數倒置，除數 未倒置 5、6、7、11、14、20、 21、22、23、28 B13 直接把答案的分數部分當餘數 12、17、26 B14 無法由除數的大小判斷被除數與商的 關係 18、27 二、建立專家知識結構 根據上述資料，將學生學習完本單元後所應具備的子技能 ，根據教學的順序 及概念間的上下位關係，建立專家知識結構圖（如附錄一）。

三、編製試題 依據所決定之子技能及錯誤類型編製一份紙筆測驗卷 (如附錄二)，為了配 合發展電腦化測驗並利於在電腦上施測，本研究之試題皆以選擇題的形式呈 現，每個試題只測單一個子技能概念 ，其選項各代表一種可能的錯誤類型因此 依據學童的答題情形，即可診斷學生所犯之錯誤類型。其命題卡內容如表2-3-2。 四、建置貝氏網路架構圖 邀請數學領域學有專精的教授與數位國小教師組成的研究小組 ，透過討 論交流以專家知識結構結合貝氏網路 ，利用試題錯誤類型及子技能的上下位 關係，繪製貝氏網路結構圖（如圖3-1-4）。圖的左邊是試題編號，共30題；左 二為錯誤類型，共14項；右二為子技能，共18項；而最右側為能力指標「6-n-03 能理解除數為分數的意義及計算方法 ，並解決生活中的問題。」 五、根據子技能及錯誤類型編寫指導與補救教 材，製作電腦動畫補救教學腳本， 並使用 Flash 軟體製作補救教學動畫，以配合貝氏網路電腦診斷系統，實施 補救教學。 六、使用電腦線上測驗系統，配合貝氏網路之診斷，有效找出學生所犯之錯誤 類型，以前述製作之電腦動畫實施補救教學，並作成效評估。施測相關畫面 如圖3-1-2，圖3-1-3: 圖 3-1-2 施測畫面 圖 3-1-3 學習診斷報告書

圖3-1-2 貝氏網路架構圖 BUG SKILL ITEM INDICAT OR S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S12 S13 S14 S15 S16 S17 S18 B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 Item1 Item2 Item3 Item4 Item5 Item6 Item7 Item8 Item9 Item10 Item11 Item12 Item13 Item14 Item15 Item16 Item17 Item18 Item19 Item20 Item21 Item22 Item23 Item24 Item25 Item26 Item27 Item28 Item29 Item30 6n03

第二節

研究對象

本研究包含試題預試及正式施測兩階段，選取的研究對象說明如下：

壹、預試對象(試題預試階段)

紙筆測驗採方便抽樣，對象為 95學年度台中市某國小已教學完「分數的除法」 單元之六年級學生，共 10個班級，有效樣本共計 318人。施測時間為 96年 5月 1日至 96年 6月 20日止。

貳、教學實驗對象(正式施測階段)

電腦適性測驗採方便抽樣，對象為 96學年度已學習過「分數的除法」單元的 國小六年級學生。因考慮研究者時間及行政上的支援等因素 ，因此選擇台中市某 國小六年級的兩個班級學生為研究對象，人數共計 66名。其中一班為實驗組， 依自編教材實施教學；另一班為控制組，依現行教材實施教學。實驗時間為 96 年 11 月 19 日至 96 年 11 月 30 日止。

第三節

研究工具

本研究所使用的工具包括：自編診斷測驗、學生試題分析軟體、電腦適性診 斷測驗暨學習系統(BNAT)、輔助指導教材和補救教學教材，相關統計軟體、Matlab 軟體及 TASBN 工具箱。分別說明如下：

壹、自編診斷測驗

本研究參考南一版及康軒版之數學領域 「分數的除法」單元教材，先將教材 內容試題化，建立適性測驗題庫。其試題化的方法是依據「電腦適性診斷測驗之 研究」（陳怡如、吳慧珉、黃碧雲，2004），分為兩個部份，詳述如下：

一、建立專家知識結構 首先，依據九十四學年度教育部審定通過的六年級數學能力指標 「分數的除 法」單元，參考有關學童分數除法概念的相關 文獻，根據知識結構編製原則，訂 出各相關概念間的上下位次序關係 ，建立知識結構草案。再邀請八到十位現任國 小教師，根據知識結構檢核表（如表 2-3-1），建立「分數的除法」單元的專家知 識結構圖。 二、編製診斷測驗試題 知識結構圖完成後，依此結構根據命題程序，編製診斷測驗之試題。每一個 節點編製一至三題試題，並邀請上述之國小教師，根據電腦化適性診斷測驗之命 題檢核表檢核試題。其單元教材內容試題化流程圖如圖 3-3-1： 圖 3-3-1 教材內容試題化流程圖 分析教材內容 建立知識結構草案 確認知識結構 編製試題 通過檢核 否 是 通過檢核 知識結構 檢核表 命題檢核表 是 否 試題組卷

貳、學生試題分析軟體

教材內容試題化後，將試題編製成試卷，進行紙筆測驗。取得受試者的基本 資料及作答情形，再依其二元資料利用分析軟體（OT）做試題結構之分析，建立 適當的學生試題結構，用來設定適性測驗的選題順序，縮短施測時間。最後依資 料分析結果，檢討與適度修訂知識結構及試題 ，以完成「分數的除法」單元電腦 適性診斷測驗之編製。

參、電腦適性診斷測驗暨學習系統

本研究使用之電腦適性診斷測驗暨學習系統，是由郭伯臣、曾彥鈞(2007） 所架設之貝氏網路線上測驗平台 (Bayesian Network based Adaptive Test ，簡稱

BNAT)。依據貝氏網路為推論引擎來進行電腦診斷測驗和補救教學實驗 ，並結合 OT順序理論，將試題依上下位關係排列，判斷是否能節省試題。整個系統以 PHP 語言撰寫，搭配免費的 MySQL資料庫系統和 Apache網站伺服器，具備立即的 診斷能力。

肆、輔助指導教材和補救教學教材

一、輔助指導教材：根據專家知識結構之各節點序位，編製一套「分數的除法」 單元教學用教材（附錄三、四），其中包含各活動之輔助教學媒體（如圖 3-3-2）。 二、補救教學教材：根據專家知識結構和學生知識結構及錯誤類型之參考文 獻，編製一套「分數的除法」單元補救教學用教材(附錄五、六)及多媒體 補救教學動畫(圖 3-3-3)。

圖3-3-2 教學簡報媒體 圖3-3-3 補救教學動畫

伍、相關統計軟體

一、SPSS統計軟體： SPSS是一種被廣泛使用的統計套裝軟體 ，它能協助研究者迅速統整資料 並加以計算數據，依據輸出之數據來解釋資料所呈現的意涵。本研究用SPSS 軟體計算測驗信度，使研究者了解自編測驗的適用程度 。 二、Excel 套裝軟體：

Excel套裝軟體是由微軟公司 (Microsoft) 所推出之 Microsoft Office 的

產品之一。這套軟體除了資料的建檔、公式的建立、函數的應用、統計圖表的 繪製，還可以建立資料庫提供查詢、排序及資料轉換。其建立之資料也可與

反應及測驗資料分析。

陸、Matlab 軟體及 TASBN 工具箱輔助

Matlab（Matrix Laboratory 矩陣實驗室）由MathWorks公司於1984年推出的

數學軟體，最早的發展理念是提供一套非常完善的矩陣運算指令 ，但隨著數值運 算需求的演變，matlab 已成為系統模擬，數位訊號處理的標準語言。其主要應用 於矩陣理論 (Matrix Theory) ，線性代數 (Linear Algebra) 及數值分析

(Numerical Analysis)等課程。

本研究採用貝氏網路測驗分析軟體Test Analysis Software based on Bayesian

Network (簡稱TASBN)，作為分析貝氏網路資料的工具，由郭伯臣、謝典佑(2007)

所設計。以 Matlab 7.0版配合Kevin Murphy(2004) 所設計的Bayes Net Toolbox

for Matlab 之相關函數，再加上TASBN，三者結合成一套完整程式，能依施測樣

第四節 實驗設計

本研究為探討適性診斷測驗及以知識結構為基礎之指導教材成效 ，採準實驗 設計，方便抽樣以台中市某國小六年級兩個班級為研究對象 ，其中一班為實驗 組，另一班為對照組，為避免實驗誤差，以兩班之數學期中評量成績為起點能力 ， 進行實驗分析，表 3-4-1 為實驗教學時程表，圖 3-4-1 為實驗教學施測流程圖。 表 3-4-1 實驗教學時程表 組別 實驗組 控制組 起點能力 期中評量成績 期中評量成績 實施教學 自編指導教材教學（四節課） 現行教材教學（四節課） 前 測 線上診斷測驗（一節課） 線上診斷測驗（一節課） 補救教學 自編指導教材補救教學 （一節課） 現行教材補救教學（一節 課） 後 測 線上診斷測驗（一節課） 線上診斷測驗（一節課） 實施前測 根據系統分析之個別診斷報告實施補救教學 使用自編教材教學 實施後測 教學模式成效評估 檢驗電腦適性測驗系統的 成效

有關本研究之教學實驗流程，茲說明如下： 壹、起點行為：本研究之「分數的除法」單元，進行教學時間正好於實驗學校進 行期中評量之後，所以選擇兩組之數學科期中評量成績做為起點行為 ，目的 在瞭解受試者的起點能力。 貳、單元教學實驗(每40分鐘進行一教學活動，共計四節課160分鐘)：實驗組以研 究者自編之「分數的除法」指導教材，控制組則以現行教材進行教學 。 叁、適性前測(40分鐘)：受試者在單元教學完畢後，先進行系統使用講解 5分鐘， 再以BNAT系統進行第一次測驗35分鐘，測驗畫面如圖3-1-4，測驗完畢後由 系統產生學習診斷報告書，如圖3-1-5。 肆、補救教學實驗(40分鐘)：在第一次測驗進行完畢後，實驗組依據自編之補救 教材進行補救，依據班級學習狀態統計表，依其錯誤概念之通過率，由全班 錯誤率最高的重點開始，進行團班補救教學；對照組教師則按照現行之教 材，利用習作或評量卷進行補救教學。 伍、適性後測(35分鐘)：兩組受試者在補救教學進行完畢後，再以BNAT系統進行 第二次測驗（35分鐘），以瞭解補救教學之成效。

第五節 資料收集與分析

本研究資料的收集與處理方式說明如下： 壹、資料的收集： 一、經由紙筆預試彙整學生的作答反應 ，修正原始的貝氏網路架構，進而 修正正式施測的試題與誘答選 項。 二、透過正式施測收集欲進行分析的資料 。 貳、資料的分析 一、紙筆預試資料之分析 （一）由紙筆測驗收集預試資料，彙整學生的作答反應，透過Excel軟體及SPSS 統計套裝軟體，分析測驗的信度及試題的難度、鑑別度，同時修正試題。 （二）研究者與領域專家共同對預試資料進行人工分析，由選答反應判斷受試 學生錯誤類型、子技能及能力指標之真正有無情形 ，並利用Excel軟體 將研判結果整理建檔。 （三）使用郭伯臣、田聖才（1995）研發之學生試題結構分析軟體（OT），在 設定適當的閾值下，分析出學生試題結構，作為電腦適性診斷測驗選題 策略的依據。本研究在預測精準度設定為 95%之下，最佳學生試題結構 是在閾值設定為0.04時的結構。 （四）依據受試樣本之能力指標、子技能、錯誤類型、題目等資料，以及確 立好的貝氏網路圖型模式，使用郭伯臣、謝典佑(2007)研發之貝氏網 路測驗分析軟體 (TASBN)計算出貝氏網路之最佳辨識率，完成以學生 知識結構結合貝氏網路為基礎的電腦適性診斷系統建置工作 。

二、正式施測後所得資料之分析 （一）共變數分析，是一種統計控制的方法，亦即利用統計的方法把可能影響 實驗正確性的誤差排除。將實驗組、對照組電腦適性診斷測驗的前測分 數進行共變數分析。以起點分數為共變項，教學模式的不同為自變項 ， 前測分數為依變項。探討使用以知識結構為基礎之指導教材是否具有成 效。 （二）將實驗組與控制組之電腦適性診斷測驗的後測分數 進行共變數分析，， 以前測分數為共變項，教學模式的不同為自變項，後測分數為依變項。 做不同教學模式的學習成效比較，探討使用以知識結構為基礎之 補救教 材是否具有成效。 （三）將實驗組之前、後測分數，使用SPSS統計套裝軟體，採用成對樣本t檢 定，檢定實驗組補救教學後的學習成效差異 。 （四）將實驗組成高、中、低分組，採用成對樣本t檢定，檢定組內高、中、 低三組學生之補救教學模式的進步分數是否有顯著差異 。 （五）利用Excel 軟體分析施測結果，計算所有試題之選項作答情形與所有受 試者之錯誤類型分配。根據學生作答反應計算CAT省題率和CAT的精準 度。其計算公式如下：  省題率：(試題總數－平均施測題數)/全部題數 (3.1)  CAT預測精準度： (全部受試者實際作答題數 －預測答對實際答錯之題數 )/全部題數 (3.2) （六）利用 Matlab 軟體所撰寫的程式，分析受試者在適性測驗與完整測驗之 貝氏網路推論出錯誤類型、子技能有無的一致性。