第四章 研究結果與討論
第一節 國小學生小數學習後影響其能力表現的潛在因素探討
本節主要以「自編小數概念試題」為工具，對自編小數概念試題作潛在 因素分析。「自編小數概念試題」所包含的概念有七個類型能力，分別為（1）
小數的意義之理解能力類型；（2）小數的結構能力類型；（3）小數的大小比 較能力類型；（4）小數的單位量化聚能力類型；（5）度量衡單位小數的換算 能力類型；（6）小數與分數的雙向連結能力類型；（7）小數的加減運算能力 類型。本研究是採用主軸分析法來進行潛在因素分析，以 KMO 取樣適當性檢 定及 Bartlett 球面性考驗來檢定進行因素分析的適當性。
（一）KMO 與 Bartlett 檢定
表 4-1-1 KMO 取樣適當性檢定及 Bartlett 球面性考驗表
KMO 與 Bartlett 檢定
Kaiser-Meyer-Olkin 取樣適切性量數。 0.924
近似卡方分配 9780.839
自由度 666
Bartlett 球形檢定
P 值 0.000
由表 4-1-1 的檢定結果顯示，KMO 是 Kaiser-Meyer-Olkin 的取 樣適當性量數，當 KMO 值愈大時，表示變項間的共同因素愈多，愈 適合進行因素分析，根據學者 Kaiser（1974）觀點，如果 KMO 的值 小於 0.5 時，較不適合進行因素分析，此處的 KMO 值為 0.924，表
經由因素分析陡坡圖、因素解說總變異量（見附錄七）與轉軸 後成分矩陣，參考陡坡圖中較大轉折處之成分個數，抽取因素時的 特徵值採大於 1 的特徵向量，由上述之考量點，以下是針對抽取出 四個、五個、六個潛在因素加以分析比較，確定因素個數後，先考 慮試題的共同性，再來做因素命名。
（二）經由因素分析抽離出的潛在因素之個數分析探討 1.抽取出四個潛在因素之分析結果：
轉軸後的成份矩陣，乃依據各潛在因素中題項之因素負荷量 的大小排序，所以很容易檢視出各潛在因素所包含的部分能力試題 。第一個潛在因素共包含了 19 題，第二個潛在因素共包含了 7 題，第三個潛在因素共包含了 8 題，第四個潛在因素共包含了 3 題。
2.抽取出五個潛在因素之分析結果：
轉軸後的成份矩陣，乃依據各潛在因素中題項之因素負荷量 的大小排序，所以很容易檢視出各潛在因素所包含的部分能力試 題。第一個潛在因素共包含了 18 題，第二個潛在因素共包含了 6 題，第三個潛在因素共包含了 3 題，第四個潛在因素共包含了 6 題，第五個潛在因素共包含了 4 題。
3.抽取出六個潛在因素之分析結果：
轉軸後的成份矩陣，乃依據各潛在因素中題項之因素負荷量 的大小排序，所以很容易檢視出各潛在因素所包含的部分能力試 題。第一個潛在因素共包含了 17 題，第二個潛在因素固包含了 6 題，第三個潛在因素共包含了 3 題，第四個潛在因素共包含了 6 題，第五個潛在因素共包含了 3 題，第六個潛在因素共包含了 2 題。
4.抽選出的四個、五個、六個的潛在因素所含之題項綜合分析比較：
以下依序整理出四個比較表格，分析比較抽離出四個、五個、六個 潛在因素所含題項的相同點及相異點，見表 4-1-3、表 4-1-4、表 4-1-5、
表 4-1-6。
（1） 表 4-1-3 抽離出四個、五個潛在因素所含題項的比較表 四個潛在因素與五個潛在因素之間的比較：
相同點 《1》第一個潛在因素所包含的試題有 18 題相同（第 1、3、
4、5、11、13、15、17、19、24、25、30、31、32、
33、35、36、37 題），唯有第 12 題不同。
《2》第三個潛在因素所包含的試題中有 6 題相同（第 16、9、
14、6、22 及 21 題），唯有第 7 題不同。
《3》試題第 10、8 題都是歸類在同一個潛在因素內。
《4》試題第 23、18、34、29、2、20 題都是歸類在同一個共 潛在因素內。
《5》試題第 26、27、28 題都是歸類在同一個潛在因素。
相異點 《1》 試題 7、8、10、12 題在抽離出的五個潛在因素中，是 各自組成一個共同因素。
《2》試題第 7、12 題的歸類上不同。
（2） 表 4-1-4 抽離出四個、六個潛在因素所含題項的比較表 四個潛在因素與六個潛在因素之間的比較：
相同點 《1》第一個潛在因素所包含的試題有 17 題相同（第 1、3、
4、5、11、13、15、12、24、25、30、31、32、33、
35、36、37 題），唯有第 17、19 題不同。
《2》第三個潛在因素所包含的試題中有 6 題相同（第 16、9、
14、6、22 及 21 題），唯有第 7 題不同。
《3》試題第 10、8 題都是歸類在同一個潛在因素內。
《4》試題第 17、19 題都是歸類在同一個潛在因素內。
《5》試題第 23、18、34、29、2、20 題都是歸類在同一個潛 在因素內。
《6》試題第 26、27、28 題都是歸類在同一個潛在因素。
相異點 《1》 試題 17、19 題在抽離出的六個潛在因素中，是各自組 成一個共同因素。
《2》試題第 7、17、19 題的歸類上不同。
（3） 表 4-1-5 抽離出五個、六個潛在因素所含題項的比較表
五個潛在因素與六個潛在因素之間的比較：
相同點 《1》第一個潛在因素所包含的試題有 16 題相同（第 1、3、
4、5、11、13、15、24、25、30、31、32、33、35、36、
37 題），唯有第 12、17、19 題不同。
《2》第三個潛在因素所包含的 6 題試題完全相同（第 16、9、14、6、22 及 21 題）。
《3》試題第 10、8、7 題都是歸類在同一個潛在因素內。
《4》試題第 17、19 題都是歸類在同一個潛在因素內。
《5》試題第 23、18、34、29、2、20 題都是歸類在同一個潛 在因素內。
《6》試題第 26、27、28 題都是歸類在同一個潛在因素。
相異點 《1》 試題 17、19 題在抽離出的六個潛在因素中，是各自組 成一個共同因素。
《2》試題第 12、17、19 題的歸類上不同。
（4）表 4-1-6 抽離出四個、五個、六個潛在因素所含題項的比較表
四個潛在因素、五個潛在因素與六個潛在因素之間的比較：
相同點 《1》試題 1、3、4、5、11、13、15、24、25、30、31、32、
33、35、36、37 題，共 16 題都是歸類在第一個潛在因 素內。
《2》 試題第 16、9、14、6、22、21 題都是歸類在第三潛在 因素。
《3》 試題第 23、18、34、29、2、20 題都是歸類在同一個潛 在因素內。
《4》試題第 10、8 題都是歸類在同一個潛在因素內。
《5》試題第 26、27、28 題都是歸類在同一個潛在因素內。
相異點 《1》試題第 7、12、17、19 題的歸類上不盡相同。
由以上表 4-1-3
~
表 4-1-6 四個比較表格之分析結果顯示，研究者 發現具有四個潛在因素之因素結構最為適當，是以本研究決定在「小數 概念試題」中，以抽離出四個潛在因素來進行探討。表 4-1-7 所列即 為四個潛在因素之解說總變異量表。表 4-1-7 學生小數概念試題的四個潛在因素之解說總變異量分析表
解說總變異量
初始特徵值 平方和負荷量萃取 轉軸平方和負荷量
因子 總和 變異數的% 累積% 總和 變異數的% 累積% 總和 變異數的% 累積%
1 8.598 23.239 23.24 7.942 21.466 21.47 3.803 10.278 10.28 2 1.782 4.815 28.05 1.212 3.276 24.74 3.143 8.496 18.77 3 1.443 3.901 31.96 0.965 2.608 27.35 2.099 5.674 24.45 4 1.332 3.599 35.56 0.736 1.99 29.34 1.811 4.893 29.34 萃取法：主軸因子萃取法。
表 4-1-7 顯示本研究所發展之「國小五年級學生小數概念試題」的 四個潛在因素的解釋變異量為 29.34％，若計入獨特變異量，其所對應整 體的解釋變異量為 35.55％。後者為一般主成分分析所能解釋的整體變異 量。值得一提的是此整體的解釋變異量含有 6.21％的獨特變異量，也就 是若使用主成分分析法，它會因為融入來自各題特有的特殊因素與誤差 因素（如量測誤差、系統誤差等）的變異量，而呈現過度解釋的現象。
林清山（2003）曾指出抽取共同因素的方法有多種，自從高速電腦廣為 使用之後，利用「主軸法」來抽取共同因素的研究便愈來愈多。因此，
研究者採用主軸分析法來進行潛在因素分析。
（5）就抽離出的四個潛在因素加以分析討論
由表 4-1-2 可知，抽離出的四個潛在因素為：
○1 因素一所包含的題號為 1、3、4、5、11、12、13、15、17、19、24、
25、30、31、32、33、35、36、37。其中第 11、33、35、36 題是 屬於小數概念試題中的第二個類型「小數的結構能力類型」；其中
的第 1、3、12、17、19 題是屬於小數概念試題中的第三個類型「小 數的大小比較能力類型」；其中的第 4、5、13、15、31、32 題是屬 於小數概念試題中的第四個類型「小數的單位量化聚能力類型」；
其中的第 24、25、30 題是屬於小數概念試題中的第七個類型「小 數的加減運算能力類型」。所以潛在因素一中主要涵蓋的類型能力 為第二個類型「小數的結構能力類型」、第三個類型「小數的大小 比較能力類型」、第四個類型「小數的單位量化聚能力類型」以及 第七個類型「小數的加減運算能力類型」。研究者進而分析發現，
在小數概念試題的七個類型能力中，其實，第二個類型「小數的結 構能力類型」、第三個類型「小數的大小比較能力類型」、第四個類 型「小數的單位量化聚能力類型」以及第七個類型「小數的加減運 算能力類型」，這些類型能力都與小數的「位值概念」能力有關聯，
因此，研究者將因素一命名為『小數位值概念的理解與應用於運算 之能力』。
○2 因素二所包含的題號為 2、8、10、18、20、23、29、34。其中第 8、10 題是屬於小數概念試題中的第一個類型「小數的意義之理解
能力類型」，且這兩題都是十等分的概念；其中的第 2、18、23、
29、34 題是屬於小數概念試題中的第六個類型「小數與分數的雙 向轉換能力類型」，且這些試題都是分母為 10 或 100 的概念。因此，
研究者將因素二命名為『分數與小數概念的轉換能力-分母為 10 或 100』。
○3 因素三所包含的題號為 6、7、9、14、16、21、22。其中第 6、7、
9、21、22 題是屬於小數概念試題中的第一個類型「小數的意義之 理解能力類型」，在小數的意義之理解能力中，這些題目又都是屬 於圖示題，唯有第 21 的題目中沒有明確的給予圖示，但研究者從 回收的部份有效問卷中發現，在該題附近的空白處可以看到學生在 作答時，自己用圖示的方式來思考作答。因此，研究結果也將第 21 題歸納為圖示題；其中第 14、16 題是屬於小數概念試題中的第
六個類型「小數與分數的雙向連結能力類型」中的分數化為小數理
（三）四個潛在因素（F1、F2、F3、F4）對小數概念學習的影響
彰化地區之國小五年級學生的測驗卷總共回收了 1053 份有效測驗 卷，用 Excel 軟體輸入學生作答情形，經 SPSS 10.0 for Windows 軟體 進行因素分析的結果，由表 4-1-7 表中可以發現四個潛在因素中，第一 共同因素（F1）「小數位值概念的理解與應用於運算之能力」的解釋變 異量為 10.28%，第二共同因素（F2）「分數與小數概念的轉換能力-分 母為 10 或 100」的解釋變異量為 8.50%， 第三共同因素（F3）「小數 概念的圖解能力」的解釋變異量為 5.67%，第四共同因素（F4）「度量 衡單位小數的換算能力」的解釋變異量為 4.89%。
由研究結果顯示學生在 F1「小數位值概念的理解與應用於運算之 能力」對「小數概念試題之總分」的可解釋變異量最高，最具影響力，
由研究結果顯示學生在 F1「小數位值概念的理解與應用於運算之 能力」對「小數概念試題之總分」的可解釋變異量最高，最具影響力，