小數知識的學習與探討

理論；第二節我國國小小數課程與教材內容分析，藉由本節的探討，將能更 了解新、舊課程在小數教材上的差異及五年級小數數學教材的內容，也使研 究者更能掌握出題的方向；第三節小數概念學習的相關研究，藉由本節的探 討，研究者將引入國內外小數概念的相關研究，以了解學生在小數概念的學 習情形。

第一節 小數知識的學習與探討

ㄧ、小數知識的起源

人類早從西元前二千多年就能使用小數，當時的巴比倫人便已有位 值的概念，只是當時的記數系統是六十進位制，而非現今所用的十進位 制。因此小數的實用性並沒那麼明顯，而小數系統的建立應歸功於荷蘭 科學家 Stevin，由於他明確地陳述小數理論、介紹與運算有關的規則，

使大眾了解到小數和整數一樣可以被應用在四則運算上。後來經過印度 及阿拉伯數學家的改進，便演變成現在我們所看到的小數。

早期人類生活中，如進行測量時對於數字並不需要那麼精準，且對 數字的需要也並不是很多，在那時只要有整數就足夠了，隨著人類的進 步，人類開始要建築房屋，要與別人談生意，這時才發現整數不再是很 夠用，當人們開始嘗試去測量一些精確度高的事物時，例如長度、面積、

重量、容量以及溫度時，會發現整數在人們的日常生活中根本不夠用，

因此將測量的單位給予細分變得非常重要。為了描述這些單位中的小單 位，人們需要一種符號，其大小要比整數還要小，因而小數就慢慢產生 了。由此可見，小數是在以某單位測量長度時的餘量而產生的，也就是

比單位 1 還小的數（劉曼麗，1998）。小數是指：解決未滿一的分量。

它是來自拉丁文〝decima〞，〝decima〞的意思是指小部份「tithe」或 是時十分之一的部分。

二、小數與整數、分數三者間的關係

我國國小的數學課程教材中，對於整數、分數和小數的安排順序，

首先先引入整數部份，再進入分數部份，最後才藉由分數概念引入小數 部份。因此在探討小數概念時，若要理解小數的意義可從兩各層面著 手：一是整數層面的多單位記數系統；二是分數層面的「部分與全體」

意義。由此可知，學童的小數概念是會受到整數和分數概念的影響。然 而，整數、分數和小數三者間的概念也有些異同點，以下就分別加以探 討與比較說明。

（一）小數與整數知識的比較

當兒童利用多單位來組織數概念時，就是他們在學習印-阿記數 系統的位值概念（甯自強，1997b）。印-阿記數系統是世界上普遍使 用的一種方法，在印-阿記數系統下，學童學習使用 0~9 的十個數字，

及其被置放的相對位置，來表徵所有的非負整數（劉曼麗，1996，

1998）。

小數可透過整數的位值概念，以個位為基準點，往右邊延伸為十 分位、百分位、千分位等等，來了解小數的記數系統。因此小數的記 法可從整數的多單位點來看。Resnick et al.（1989）表示學生先前 的整數概念可以遷移和干擾小數概念的建構。如果學生對小數與整數 間的不同點理解不夠，也常誤導學生將小數視為整數，所以會產生所 謂「整數法則」，將小數點後的數字讀成整數的迷思概念。以下摘錄 Resnick,Nesher,Leonnard,Magone,Omansonc 和 Peled（1989）對“小 數與整數的比較＂如表 2-2-1：

表 2-1-1 小數與整數知識的比較表（引自 Resnick et al.,1989,p.10）

類似（＋）

小數知識的元素 整數知識的元素

不同（－）

A.數字的位值 A.數字的位值

1.數字從左而右，值會變小 1.數字從左而右，值會變小 ＋ 2.左邊數字位值是右邊數字 2.左邊數字位值是右邊數字 ＋

位值的 10 倍 位值的 10 倍

3.「0」有位值的意義 3.「0」有位值的意義 ＋ 4.一個數的最右邊增加「0」 4.一個數的最左邊增加「0」 － 時，其值不變 時，其值不變

5.從小數點開始往右其值是 5.從小數點開始往左其值是 － 遞減 遞增

B.數字的位名 B.數字的位名 1.小數點以後名稱按數字次 1.沒有小數點以後的數字 － 序讀出

2.從十分位開始 2.從個位開始 － 3.位名順序是從左到右（十 3.位名順序是從右到左（個 － 分位，百分位，…… ） 位，十位…百位，……）

4.讀數字順序是十分位，百 4.讀數字的順序是千位，百 －

分位，千分位 位，十位，個位 C.讀的規則 C.讀的規則

1.小數點左邊的整數部分按 1.依整數十進結構讀出 － 照整數讀法讀出，右邊數

字則依照數字次序讀出

從上表 2-1-1 中可發現小數與整數的相同點大致有兩點：（1）小

數和整數中，數字從左而右其值都會變小，且左邊數字位值是右邊數 字位值的 10 倍。（2）小數與整數中的 0 皆有位值的意義。小數與整 數的相異點大致有四點：（1）當「0」加到小數部份的最右邊時，其 值不變：但若加到整數的最右邊時，其值則會變成原來的 10 倍。（2）

小數部份中，從小數點開始往右其值是遞減；整數部份中，從小數點

開始往左其數值是遞增。（3）在數字的位名，小數是從十分位開始且 位名順序是從左而右；整數是從個位開始且位名順序是從右而左。（4）

在讀法規則上，小數是依照數字次序讀出；而整數則是依整數十進結 構讀出。若學生無法區分上述這些相異點，就會使得學生在學習小數 時，易受到整數概念之干擾，因而產生「整數法則」、「位值概念不清 楚」、「小數點後的數字精讀」等錯誤概念。

（二）小數與分數知識的比較

有理數的範圍內將小數看做是分數的另一種表示法或寫法，小數 與分數的記數法可以互換，例如 0.9＝

10

9 ；0.37＝

100

37 。分數的意義 可從『部分－全體』關係的解釋來了解，將一個整體等分後，再集聚 其中一部份的量，分數就是用來表示或記錄此分量。而小數根源於分 數，小數如同分數一樣，整體可反覆地被分割為十分位，接著十分位 被分割為百分位，依此類推。此種無限制被分割的觀念，正可用來說 明小數稠密性的性質（劉曼麗，1996，1998a）。例如在小數的記數中 的 0.1，是將 1 分成十等分，再取其中的一部份，亦即 0.1＝

10

1；0.01

則是將 0.1 分成十等分，再取其中的一部份，亦即 0.01＝

100

1 。因此

大多數國家或學者把小數當做分數的另一種記法來指導學生學習小 數概念，也就是分數符號能與小數符號互換，因此在數學教材的編排 中，指導學生小數概念時宜由分數著手，之後再將分數的概念應用在 小數上。但也由於分數與小數的某些相異點，干擾學生在建構小數概 念時，極易產生「分數法則」（小數點後數字越多其值越小）的迷思 概念。以下摘錄 Resnick,Nesher,Leonnard,Magone,Omansonc 和 Peled（1989）對“小數與分數的比較＂如表 3-1-2：

表 2-1-2 小數與分數知識的比較表（引自 Resnick et al.,1989,p.12）

小數知識的元素 分數知識的元素 類似（＋）

不同（－）

A.小數數值 A.分數數值

1.表示 0 與 1 之間的一個值 1.表示 0 與 1 之間的一個值 ＋ 2.整數被分割成越多等份， 2.整數被分割成越多等份， ＋

每一份的數值就越小 每一份的數值就越小

3.在 0 與 1 之間有無限多個 3.在 0 與 1 之間有無限多個 ＋ 小數存在 分數存在

B.小數符號 B.分數符號

1.一個單位被等分成多少等 1.一個單位被等分成多少等 － 份是隱含在位數中 份是由分母顯示

2.佔多少等份是由小數點後 2.佔多少等份是由分子顯示 － 的部分顯示

3.整體被分成 10 的冪次方等 3.整體被分成任何等份，都 － 份，才能以小數表示 能用分數表示

從表 2-1-2 中可發現小數與分數的相同點大致有兩點：（1）小數與分數 所代表的値是相同的，兩者皆是指在 0 與 1 之間的一個值，且 0 與 1 之間有 無限多個小數或分數存在。（2）兩者都是由整數分割而得，且整數被分割成 越多等份，每ㄧ份的數值就越小。小數與分數的相異點大致有兩點：（1）當 一個單位被等分割時，小數知識中分割成多少等份是被隱藏在位數中，小數 點後的部份顯示佔多少等份；分數知識中分母則代表被切割的份數，分子代 表佔了多少等分。（2）小數的分割被限制於 10 的冪次方；分數則可以被分 割成任何等份，分割是隨著分母的不同而得到不同的分數。

（三）小數、分數和整數知識三者的比較 下摘錄 Hiebert（1992）將“小數、整數和分數的比較＂如表 2-1-3：

表 2-1-3 整數、分數和小數知識的比較表（引自 Hiebert 1992 p.293）

總而言之，要掌握小數的意義必需從整數的多單位記數系統和分數的

「部分-全體」概念兩部分著手，由表 2-1-3 我們可以發現小數的記數系統 和運算規則都跟整數一樣，僅是表示的形式上不同，小數部份多了小數點的 存在，而在小數點右邊的數字所代表的位名、位值則不同於整數規則。小數 可說是分數的一種特殊表示形式，因而純小數與真分數在記數系統和運算規 則方面的差異性很大，相同的則是兩者皆是介在 0 與 1 之間，且在 0 與 1 之 間都是存在著無限多個純小數或真分數。從以上說明可以知道，小數與整 數、分數的概念是有相關連性的，因此，小數概念可以藉由整數或分數概念 來加以解釋或理解。我國小數課程中有關「數」的領域之安排上，包括有整 數、分數、小數與概數等四個主題（教育部，1975，1993），其中整數與分 數兩者代表不一樣的數的系統，需要不一樣的規則來應用，但小數對於初學 者而言，也是屬於一個全新的數的系統，然而，小數的意義卻是從分數與整 數概念之延伸與統整所建立起來的（Behr & Post,1988；Hiebert,1984；

Hiebert & Wearne,1983；Thipkong,1988）。但是，學生若無法了解小數與 整數、分數之間的異同，將會極易形成「張冠李戴」的情形，這是值得教師 教學時應特別注意的（劉曼麗，2001a,b）。

三、小數學習的相關理論

概念（concepts）就是個人將自己的經驗加以歸納整理建立起的類別。

概念的形成則為屬性（attributes）或特徵（features）等同類事物的總稱

概念的形成則為屬性（attributes）或特徵（features）等同類事物的總稱